培优01 勾股定理的证明与应用5大题型（专项训练）数学北师大版2024八年级上册

培优01 勾股定理的证明与应用5大题型 题型1 勾股定理的证明 勾股定理证明策略核心：面积剖分等量代换，相似比例代数变换，构造辅助图形转化 面积法：拼补/切割图形证面积相等（如赵爽弦图）； 代数法：列方程恒等变形（如总统证法）； 辅助线法：作垂线/平行线构造可证图形（如加菲尔德证法）． 1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 2．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：由题意知，，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理， 故选：D． 3．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）13；（3） 【分析】（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案； （3）设的长为，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解:（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积还可以表示为 ∴ ∴ ∴； （2）空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）∵设的长为，则 ∵是边上的高 ∴ ∴ ∴ 解得． 【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为和，斜边长为；图②是以为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (1)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形． (2)用这个图形验证勾股定理． (3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）． 【答案】(1)图形见解析，直角梯形 (2)验证见解析 (3)能，拼图见解析 【分析】本题考查勾股定理的验证，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． （1）如图所示，得到所拼图形的示意图，它是一个直角梯形； （2）由（1）中图形，结合两种方式表示图形面积，结合整式混合运算法则恒等变形即可得证； （3）将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示，即可得到答案． 【详解】（1）解：示意图如图①所示， 则它是一个直角梯形； （2）解：如图所示： ， ， 即， 则； （3）解：假设图①中的直角三角形有若干个，能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形，将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示： ． 5．（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确与面积的关系． （1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可； （2）由图可得到和的值，进而求出，代入，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴ ∴． （2）解：大正方形面积为13， ， ， ， 又小正方形面积为3， ， ， ， ． 6．（24-25八年级下·北京·阶段练习）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等． 当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明． (1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证： 证明：连结，过点作边上的高于点，则． ， 又______________________， ______________________ ． (2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． （1）根据证明过程结合图形即可解答； （2）仿照（1）的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】（1）证明：连接，过点作边上的高于点，则． ∵ 又∵， ∴， ∴； （2）证明：连接，过点B作边上的高，则． ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型2 以弦图为背景的计算问题 以弦图为背景的勾股定理计算问题的解题策略 1. 识结构：确认弦图由4个全等Rt△+1个中心方形构成； 2. 标边长：设直角边a、b，斜边c（内/外方边长对应a+b或c）； 3. 列等式：外方面积=内方面积+4△面积 →； 4. 导结论：化简得 a2+b2=c2； 变式关键：非等腰直角三角形中，弦图结构仍成立，只需调整边长参数． 7．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的性质．由小正方形的面积为49得到小正方形的边长为7，由此得到直角三角形两直角边分别为5和12，，根据勾股定理求出斜边长． 【详解】解：∵小正方形的面积为49， ∴小正方形的边长为7， 设直角三角形的短直角边长为， ∴直角三角形的长直角边为：， ∵直角三角形两直角边和为17， ∴， 解得， ∴直角三角形两直角边分别为5和12， ∴直角三角形的斜边， 即大正方形的边长为13， 故选：C． 8．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交，于点，已知，且，则（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据已知条件设出和的长度，再利用勾股定理求出的长度，最后再次利用勾股定理求出的长度．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：， 设， 由题意得，， ， ， ， ， ， ， 故选： 9．（2025·山西吕梁·三模）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形．若，则的长为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，根据正方形，全等三角形的性质得到，，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：5 ． 10．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，，推出，设，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，，， ∵， ， 设，则 ， ． 故选：B． 11．（2025·安徽芜湖·三模）清代数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》中运用“出入相补”原理证明了勾股定理如图，已知，四边形，，均为正方形若四边形，的面积分别为和，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理的证明．根据正方形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形，的面积分别为和， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，，．现将4个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长． 【详解】解：设将延长到点D，连接，如图所示： 根据题意，得，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·福建福州·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形和中间一个小正方形(如图2)．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，若，较短直角边与较长直角边和为5，求正方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，求得，，得到，解方程组得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 正方形的面积． 14．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国汉末三国时期赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形，这个图称为“弦图”，并用它证明了勾股定理． (1)如图1，在中，，设，，．利用该“弦图”证明：； (2)小雨同学通过学习发现：对“弦图”进行一定的变化可制作出如图2所示的“数学风车”．将图1中四个直角三角形的直角边分别向外延长，使，连接，，，，得到如图3所示的“数学风车”平面图．若，，，求“数学风车”外围轮廓（图3中实线部分）的总长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理是解决问题的关键． （1）依据题意得， ，再结合，，正方形边长为，即可解题； （2）依据题意，结合图形，利用勾股定理得出即可求解． 【详解】（1）证明：由图可知， ∵，，正方形边长为， ∴， 即． （2）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为． 题型3 用勾股定理理解三角形 用勾股定理解三角形核心策略： 建代数方程求边，逆定理判直角，非直角时化斜为直构造辅助线； 求边长：遇直角三角形直接列； 解斜三角形：作高分割为双直角三角形，分段用勾股定理列方程． 15．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）已知一直角三角形的三边的平方和为200，则斜边长为（   ） A．20 B．15 C．10 D．400 【答案】C 【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理得，再由三边的平方和为200，得，根据两式即可求出斜边的长． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去负值） 故选：C． 16．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）在中，，，，则的长为（   ） A．7 B．5 C．25 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理.在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，已知斜边，直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度.掌握勾股定理是本题的解题关键. 【详解】解：在中，， ∴ ． 故选：B. 17．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）直角三角形的两条直角边的长分别为3，4，则斜边长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理，直角三角形的斜边长为两条直角边平方和的平方根求出即可． 【详解】解：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4， 根据勾股定理，斜边长为， 因此，斜边长为5． 故选：B． 18．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，太原某公园安装的摄像头支架由水平、竖直方向的，两段构成．若，，则段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 19．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知的两直角边分别是，，则的斜边上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法”求出斜边上的高，即可． 【详解】解：设斜边上的高为， 的两直角边分别是，， 斜边长， ， ， 即的斜边上的高是 故答案为： 20．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，于点，且，点是的中点，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理， 根据勾股定理求得，根据点是的中点，得出，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：因为于点D， 所以和是直角三角形． 在中，． 因为点是的中点，所以． 在中，． 21．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，． (1)尺规作图：在的边上找到点，使得点到的距离等于；（请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2)的长为3． 【分析】（1）作的角平分线，交于点，根据角平分线的性质得点到的距离等于； （2）根据，，证明，即可得出，由勾股定理可得的值，从而得出则，设，则，由勾股定理得，求解即可． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线，交于点，过点作于点， ∵，，是的角平分线， ∴点到的距离等于，即， 故点即为所求； （2）解：由（1）可得，， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：， ∴的长为3． 【点睛】本题考查尺规作角平分线，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，点到直线的距离的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．（2025·广西贵港·模拟预测）如图，在中，，，． (1)尺规作图：作的角平分线交于点P；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了基本作图－作已知角的角平分线、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用基本作图（作已知角的平分线）作平分即可； （2）直接运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； ． （2）解：∵在中，，，， ∴． 题型4 以直角三角形的边为边的图形面积 以直角三角形的边为边的图形面积解题策略： 紧扣勾股关系，将图形面积拆解为直角三角形组合或转化为边平方表达式 核心步骤： 直接关联：若图形为正方形/半圆等，面积即  或 ，直接利用 关联； 分割组合：将复杂图形分割成以 a,b,c 为边的直角三角形，用勾股表示各子面积再求和； 代数替换：遇含的表达式，用 等勾股恒等式代换化简． 23．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）图中数字表示对应正方形的面积，则图中正方形中边长为的是（   ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．勾股定理指的是在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．对于以直角三角形三边为边长的正方形，两个较小正方形的面积之和等于较大正方形的面积．我们可以通过正方形面积求出边长的平方，再根据勾股定理来判断每个选项中字母所代表正方形的边长是否为即可． 【详解】解：A、由图可知两个正方形面积分别为和，根据正方形面积等于边长的平方，设字母 所代表正方形的面积为．由勾股定理可得．那么所代表正方形的边长为．故本选项不符合题意； B、由图可知两个正方形面积分别为和，设字母所代表正方形的面积为．根据勾股定理，所代表正方形的边长为．故本选项不符合题意； C、由图可知两个正方形面积分别为和设字母所代表正方形的面积为．由勾股定理可得．因为，所以所代表正方形的边长为．故本选项符合题意； D、由图可知两个正方形面积分别为和，设字母所代表正方形的面积为．根据勾股定理，所代表正方形的边长为．故本选项不符合题意； 故选：C． 24．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，．则（   ） A．5 B．12 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，掌握直角三角形的三边关系是解答本题的关键．根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵如图，中，， ∴, ∵， ∴． 故选：D． 25．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．1 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，根据题意可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是；可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：∵一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形， ∴“生长”1次，“生长”出的两个正方形面积和原来正方形的面积，所有正方形面积和为； “生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为； ……； ∴经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； ∴经过2025次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； 故选：B． 26．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，分别以等腰直角的边，，为直径画半圆，若当时，则所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）的面积为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到，进而得到半圆面积即可得到答案． 【详解】解：是直角三角形， ， 以等腰的边，，为直径画半圆， 故，，， ， 两个月形图案和的面积之和的面积， 等腰，的长为， ， ， ， 故选：A． 27．（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，，两半圆的面积分别为132和108，则半圆m的面积为（　　） A．140 B． C． D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理以及圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出，再分别计算出两半圆的面积分别、，然后由半圆m的面积，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵两半圆的面积分别为132和108， ∴， ， ∴半圆m的面积 ， 故选：D． 28．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）《周髀算经》是我国现存最早的一部数学典籍，此书有一段关于勾股定理的记载：如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在大正方形内，若直角三角形两直角边分别为4和3，则图2中阴影部分面积为（   ）      A．5 B．6 C．7 D．无法计算 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、正方形的面积公式、长方形的面积公式，会利用割补法解决问题是解答的关键． 将图2阴影部分分割成正方形和长方形，根据直角三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：将图2阴影部分分割成正方形和长方形，如图， 根据勾股定理得：斜边长， ∴阴影部分面积为， 故选：B． 29．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为（    ） A．22 B．45 C．55 D．73 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，代数式求值，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．由勾股定理可得，，，，再代入化简求值即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得，，，， ∴ ， 故选：C． 30．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 ． 【答案】52 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先根据勾股定理求出，再根据正方形的面积公式得出答案． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理，得， 所以正方形的面积. 故答案为：52． 31．（24-25八年级下·广东潮州·期末）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，解题的关键是根据勾股定理得到． 由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， 如图所示， ∴， ∵阴影部分的面积为，与正方形等底等高， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 32．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，求的值． 【答案】12 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．利用勾股定理的几何意义解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ， ∴． 33．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键， （1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，则，由题可得，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，由勾股定理得， 再根据题意，代入可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，，由题可得：， ∴，， ∴， ∴， 解：， ∴飞镖状图案的面积为， （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，则：， 由题意得：，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 题型5 利用勾股定理构造图形解决问题 利用勾股定理构造图形解决问题的策略： 依题设构造直角三角形模型，化代数关系为几何直观，以图形性质反推结论 核心方法： 线段和/差最值：构造Rt△将折线转化为直线（如"将军饮马"问题）； 平方和等式证明：补弦图或旋转图形，利用面积不变性； 代数式几何化：以线段长表代数式，用勾股建方程（如作斜边）； 关键：通过辅助线将目标量嵌入直角三角形，激活勾股定理的应用条件． 34．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于，    则， 在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光． 故选：B． 35．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）代数式最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．作，过点A作，过点D作，使，，连接，设，，当三点共线时，有最小值，则的长即为代数式的最小值，然后构造，利用勾股定理可求得的值． 【详解】解：如图，作，过点A作，过点D作，使，，连接，过点作，交延长线与点F， 设，， 当三点共线时，有最小值，则的长即为代数式的最小值， ， ， ， ， （平行线间距离相等）， 同理得：， 中，，， ， 代数式最小值为5， 故选：B． 36．（2025·浙江·模拟预测）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点 ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起 故答案为：． 37．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】5米 【分析】本题主要考查勾股定理，根据题意，四边形是矩形，设，则，，在中，，，代入计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，，， ∴， 解得， 答：绳索的长度米． 38．（24-25八年级下·新疆巴音郭楞·期末）某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 【答案】云梯的长度足够 【分析】本题主要考查了勾股定理，连接，利用勾股定理求出，通过比较可知，可知云梯的长度不够． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 云梯的长度足够． 39．（21-22七年级上·山东青岛·期末）如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，． (1)求小凳子的高度； (2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）过A作垂直于墙面，垂足M，根据勾股定理解答即可； （2）延长交墙面于点N，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：过A作垂直于墙面，垂足M， 根据题意可得，， 在中，， 即凳子的高度为． （2）解：延长交墙面于点N，可得， 设cm，则，，， 在中，，即， 解得，则． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理解答． 40．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是____________； (2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值； 【答案】(1)①，；②5 (2) 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法． （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值． 【详解】（1）解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1， ∵，， 则四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； （2）解：如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，则四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 即的最小值为． 故答案为：． 41．（24-25八年级下·广西桂林·期末）探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 【答案】(1)①5；②； (2)1． 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）①由题意可知，，根据计算即可； ②由题意得到，，可知，求出，再根据求出，即可求出直角三角形的周长； （2）先证明、是直角三角形，再根据题干所给公式计算即可． 【详解】（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12， ∴，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）； ②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∵ ∴， 解得：（负值舍去）， ∴该直角三角形的周长； （2）解：∵， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 培优综合练 42．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，点P是长方形边上的一个动点，从A点开始，沿顺时针运动一周，运动速度是．当运动时间t为或时，点P均满足，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 利用“到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上”，确定点位置，再证明，得，运用勾股定理列式，代入数值得，求解得出的长度． 【详解】解：∵， ∴点在的垂直平分线上， 连接 则长方形中的垂直平分线是过、交点, 依题意，运动时间时，在上，； 依题意时，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 在中，， 即， ∴， 解得． 故答案为：12． 43．（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图，正方形的内部包含另一个正方形，线段和相交于点H，小正方形的对角线，且三角形的面积比四边形的面积大7平方厘米，求正方形的面积． 【答案】正方形的面积平方厘米． 【分析】本题考查勾股定理，整式的混合运算，根据差不变得到平方厘米是解题关键．设，，根据题意得出平方厘米，进而得到，再由勾股定理得到，从而求出，即可得解． 【详解】解：设，，则， 三角形的面积比四边形的面积大7平方厘米， 平方厘米， 平方厘米， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， 正方形的面积平方厘米． 44．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】由题知是的角平分线，作于G点，由角平分线的性质可得，由可得，，进而可得，．则，可得，在中，根据勾股定理即可求得的长． 本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理以及利用面积法求三角形的边．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：由题知是的角平分线， 作于点G，则， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又由， 得， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 45．（24-25八年级下·广东潮州·期末）综合与实践 某校“综合与实践”小组开展了测量游乐园秋千高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表． 课题 测量游乐园秋千 成员 组长：小明 组员：小华、小丽、小红 工具 卷尺（受卷尺长度限制，无法直接测量秋千长度），量角器 测量示意图                  如图所示，平台B处荡秋千到平台C处，垂直于地面，点A为秋千静止时在上的位置．过平台B、C分别作的垂线段、，即于点D，于点E． 测量数据 测量项目 测量大小 点B距地面高度 的长度 的长度 的大小 (1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出秋千的长度． (2)请求出秋千离地面的最小距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理， （1）由题意可知，，由等角的余角相等得到，根据证明，即可得到，根据勾股定理计算即可； （2）根据题干所给数据计算即可． 【详解】（1）解：∵于点D，于点E， ∴， ∵平台B处荡秋千到平台C处， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，（）； （2）由题意知，，， ∴ （）， 答：秋千离地面的最小距离为． 46．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：                       (1)如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则； (2)解决问题：受到（1）的启发，请你解决下面的问题：如图②，在中，D是边上的中点，，交于点，交于点F，连接． ①求证：； ②若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)①见详解；②，证明见详解 【分析】（1）延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则． （2）①延长到G，使得，再连接、，根据证明，则可得，根据线段垂直平分线的性质可得，将，，转换 到一个三角形中，利用三角形三边之间的关系即可得出结论． ②由全等易知，又因，可得，可得三边之间存在勾股定理关系，据此解答． 【详解】（1）解：延长到E，使得，再连接， ∵是边上的中线， ∴ 又∵， 则， ， 在中，， ∴， ∴， 则； （2）解：①延长到G，使得，连接、． ∵D是边上的中点， ∴， 又∵， 则， ， ， ． 在中，， ． ②若，.证明如下： 若，则， 由①知， ∴， ， 即， ∴在中，， 又∵， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的做出辅助线是解题的关键． 47．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质，，则，再由全等三角形的性质得，，则，然后由勾股定理即可解决问题； （3）分两种情况，①点在延长线上时，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由（2）可知，，，再由勾股定理求出的长即可； ②点在延长线上时，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，同（2）得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， 即， 是等腰直角三角形，且， ， 在和中， ， ； （2）解：，，是等腰直角三角形，且， ，， ， 由（1）可知，≌， ，， ， ， ， ； （3）解：和是等腰直角三角形，，， ，， ，，， 分两种情况： ①如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， 由（2）可知，，， ； ②如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 同（2）得：， ； 综上所述，的值为或． 48．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）对于一个图形，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，图1中的面积关系可以解释等式． 【探索发现】 （1）用四个长与宽分别为a，b的小长方形拼成如图2所示的图形．根据图中条件，猜想与之间的关系为： ________； （2）用四个完全相同的直角三角形（其中直角边长分别为a，b，斜边长为c），拼出如图3所示的图形．根据图中条件，猜想并验证a，b，c之间的等量关系． 【拓展提升】 （3）对于自然数中前n个奇数之和，可以通过计算正方形的面积得到．如图4，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加1，形成了一系列的新正方形．新正方形与原正方形相比，面积逐步增加3，5，7，…，．请你依据这个图形补全下面的等式： ________． （4）类似的，如图5，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加2，3，4，…，n，形成了一系列的新正方形．请你依据这个图形直接写出一个关于n的等式． 【答案】（1）；（2），验证见解析；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了完全平方公式与图形面积、多项式乘多项式与面积、勾股定理、图形规律等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为小正方形与四个面积为矩形之和，据此即可解答； （2）由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为小正方形与四个面积为矩形之和，据此列式并整理即可解答； （3）由图形可知图形的面积为或，据此列出等式即可解答； （4）由图形可知大正方形的边长为，则大正方形的面积为；大正方形的面积为，进而得到． 【详解】解：（1）由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为面积为小正方形与四个面积为矩形之和，即． 故答案为：． （2），验证如下： 由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为面积为小正方形与四个面积为矩形之和，即，整理得． （3）由图形可知图形的面积为或，所以． 故答案为：． （4）由图形可知大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为； 又∵大正方形的面积为， ∴． 49．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)的斜边的长为 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）证明，根据列式可得； （2）过点A作交延长线于H，设，由勾股定理得，整理得，由可得，故可得结论； （3）把代入得，求出的值，再求的值即可． 【详解】（1）证明：根据题意，由图1可知： ，，，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ； 又∵ ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点A作交延长线于H，设， 在中，， 在中，， ∴， 化简得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，， ∵ ∴， ∴， 解得，， ∵ ∴， ∴（负值舍去） ∴的斜边的长为． 50．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）已知正方形和正方形． (1)如图1，当正方形在正方形在外部时，连接，．求证：； (2)如图 2，将（1）中正方形绕点C旋转，使点G落在上． ①若 ，，求线段的长； ②如图 3，连接，若点O是的中点，连接．判断线段与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①4；②，理由见解析 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质； （1）由正方形可得，，即可利用证明； （2）①作于点P，由正方形性质可得，再由勾股定理求出，得到，最后由得到； ②连接，由正方形性质和得到，，再由点O是的中点得到点O是的中点，最后根据斜边中线性质得到，即可得到． 【详解】（1）证明：在正方形和正方形中， ，，， ∴， 即， ∴； （2）解：①如图2，作于点P， 在正方形和正方形中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴； ②，理由如下： 如图，连接， 在正方形和正方形中，，， ∴， ∵点O是的中点， ∴点O是的中点． 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴． 试卷第2页，共52页 2 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优01 勾股定理的证明与应用5大题型 题型1 勾股定理的证明 勾股定理证明策略核心：面积剖分等量代换，相似比例代数变换，构造辅助图形转化 面积法：拼补/切割图形证面积相等（如赵爽弦图）； 代数法：列方程恒等变形（如总统证法）； 辅助线法：作垂线/平行线构造可证图形（如加菲尔德证法）． 1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为和，斜边长为；图②是以为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (1)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形． (2)用这个图形验证勾股定理． (3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）． 5．（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 6．（24-25八年级下·北京·阶段练习）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等． 当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明． (1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证： 证明：连结，过点作边上的高于点，则． ， 又______________________， ______________________ ． (2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 题型2 以弦图为背景的计算问题 以弦图为背景的勾股定理计算问题的解题策略 1. 识结构：确认弦图由4个全等Rt△+1个中心方形构成； 2. 标边长：设直角边a、b，斜边c（内/外方边长对应a+b或c）； 3. 列等式：外方面积=内方面积+4△面积 →； 4. 导结论：化简得 a2+b2=c2； 变式关键：非等腰直角三角形中，弦图结构仍成立，只需调整边长参数． 7．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 8．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交，于点，已知，且，则（　　） A．1 B． C． D． 9．（2025·山西吕梁·三模）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形．若，则的长为 ．    10．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·安徽芜湖·三模）清代数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》中运用“出入相补”原理证明了勾股定理如图，已知，四边形，，均为正方形若四边形，的面积分别为和，则的长为 ． 12．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，，．现将4个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为 ． 13．（24-25八年级下·福建福州·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形和中间一个小正方形(如图2)．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，若，较短直角边与较长直角边和为5，求正方形的面积． 14．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国汉末三国时期赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形，这个图称为“弦图”，并用它证明了勾股定理． (1)如图1，在中，，设，，．利用该“弦图”证明：； (2)小雨同学通过学习发现：对“弦图”进行一定的变化可制作出如图2所示的“数学风车”．将图1中四个直角三角形的直角边分别向外延长，使，连接，，，，得到如图3所示的“数学风车”平面图．若，，，求“数学风车”外围轮廓（图3中实线部分）的总长． 题型3 用勾股定理理解三角形 用勾股定理解三角形核心策略： 建代数方程求边，逆定理判直角，非直角时化斜为直构造辅助线； 求边长：遇直角三角形直接列； 解斜三角形：作高分割为双直角三角形，分段用勾股定理列方程． 15．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）已知一直角三角形的三边的平方和为200，则斜边长为（   ） A．20 B．15 C．10 D．400 16．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）在中，，，，则的长为（   ） A．7 B．5 C．25 D．6 17．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）直角三角形的两条直角边的长分别为3，4，则斜边长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．7 18．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，太原某公园安装的摄像头支架由水平、竖直方向的，两段构成．若，，则段的长为 ． 19．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知的两直角边分别是，，则的斜边上的高是 ． 20．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，于点，且，点是的中点，求的长． 21．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，． (1)尺规作图：在的边上找到点，使得点到的距离等于；（请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的长． 22．（2025·广西贵港·模拟预测）如图，在中，，，． (1)尺规作图：作的角平分线交于点P；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求AC的长． 题型4 以直角三角形的边为边的图形面积 以直角三角形的边为边的图形面积解题策略： 紧扣勾股关系，将图形面积拆解为直角三角形组合或转化为边平方表达式 核心步骤： 直接关联：若图形为正方形/半圆等，面积即  或 ，直接利用 关联； 分割组合：将复杂图形分割成以 a,b,c 为边的直角三角形，用勾股表示各子面积再求和； 代数替换：遇含的表达式，用 等勾股恒等式代换化简． 23．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）图中数字表示对应正方形的面积，则图中正方形中边长为的是（   ） A．    B．    C．    D． 24．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，．则（   ） A．5 B．12 C．15 D．16 25．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．1 B．2026 C．2025 D．2024 26．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，分别以等腰直角的边，，为直径画半圆，若当时，则所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）的面积为（    ） A．2 B．3 C． D． 27．（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，，两半圆的面积分别为132和108，则半圆m的面积为（　　） A．140 B． C． D．24 28．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）《周髀算经》是我国现存最早的一部数学典籍，此书有一段关于勾股定理的记载：如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在大正方形内，若直角三角形两直角边分别为4和3，则图2中阴影部分面积为（   ）      A．5 B．6 C．7 D．无法计算 29．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为（    ） A．22 B．45 C．55 D．73 30．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 ． 31．（24-25八年级下·广东潮州·期末）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 32．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，求的值． 33．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 题型5 利用勾股定理构造图形解决问题 利用勾股定理构造图形解决问题的策略： 依题设构造直角三角形模型，化代数关系为几何直观，以图形性质反推结论 核心方法： 线段和/差最值：构造Rt△将折线转化为直线（如"将军饮马"问题）； 平方和等式证明：补弦图或旋转图形，利用面积不变性； 代数式几何化：以线段长表代数式，用勾股建方程（如作斜边）； 关键：通过辅助线将目标量嵌入直角三角形，激活勾股定理的应用条件． 34．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 35．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）代数式最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 36．（2025·浙江·模拟预测）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为 ． 37．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 38．（24-25八年级下·新疆巴音郭楞·期末）某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 39．（21-22七年级上·山东青岛·期末）如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，． (1)求小凳子的高度； (2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 40．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是____________； (2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值； 41．（24-25八年级下·广西桂林·期末）探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 培优综合练 42．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，点P是长方形边上的一个动点，从A点开始，沿顺时针运动一周，运动速度是．当运动时间t为或时，点P均满足，则的长为 ． 43．（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图，正方形的内部包含另一个正方形，线段和相交于点H，小正方形的对角线，且三角形的面积比四边形的面积大7平方厘米，求正方形的面积． 44．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若，则线段的长为 ． 45．（24-25八年级下·广东潮州·期末）综合与实践 某校“综合与实践”小组开展了测量游乐园秋千高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表． 课题 测量游乐园秋千 成员 组长：小明 组员：小华、小丽、小红 工具 卷尺（受卷尺长度限制，无法直接测量秋千长度），量角器 测量示意图                  如图所示，平台B处荡秋千到平台C处，垂直于地面，点A为秋千静止时在上的位置．过平台B、C分别作的垂线段、，即于点D，于点E． 测量数据 测量项目 测量大小 点B距地面高度 的长度 的长度 的大小 (1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出秋千的长度． (2)请求出秋千离地面的最小距离． 46．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：                       (1)如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则； (2)解决问题：受到（1）的启发，请你解决下面的问题：如图②，在中，D是边上的中点，，交于点，交于点F，连接． ①求证：； ②若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明． 47．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 48．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）对于一个图形，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，图1中的面积关系可以解释等式． 【探索发现】 （1）用四个长与宽分别为a，b的小长方形拼成如图2所示的图形．根据图中条件，猜想与之间的关系为： ________； （2）用四个完全相同的直角三角形（其中直角边长分别为a，b，斜边长为c），拼出如图3所示的图形．根据图中条件，猜想并验证a，b，c之间的等量关系． 【拓展提升】 （3）对于自然数中前n个奇数之和，可以通过计算正方形的面积得到．如图4，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加1，形成了一系列的新正方形．新正方形与原正方形相比，面积逐步增加3，5，7，…，．请你依据这个图形补全下面的等式： ________． （4）类似的，如图5，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加2，3，4，…，n，形成了一系列的新正方形．请你依据这个图形直接写出一个关于n的等式． 49．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 50．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）已知正方形和正方形． (1)如图1，当正方形在正方形在外部时，连接，．求证：； (2)如图 2，将（1）中正方形绕点C旋转，使点G落在上． ①若 ，，求线段的长； ②如图 3，连接，若点O是的中点，连接．判断线段与的数量关系并说明理由． 试卷第2页，共52页 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$