专题03 直线方程及其应用（竞赛培优专项训练）高二数学人教A版2019全国通用

专题03 直线方程及其应用 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 直线的倾斜角或斜率问题 3 考点二 由直线的位置关系求参 6 考点三 两直线的位置关系在几何中的应用 9 考点四 求直线方程 11 考点五 两点间距离公式的应用 13 考点六 点线距、线线距公式的应用 16 考点七 对称问题 18 考点八 利用直线方程解决最值问题 21 考点九 直线的实际应用 25 考点十 与直线有关的数学文化题 29 考点十一 与直线有关的新定义题 31 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题12道） 【归纳重点知识】 知识点01 直线方程 1．直线的倾斜角 （1）定义：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． （2）规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为0． （3）范围：直线倾斜角的取值范围是． 2．斜率公式 （1）定义式：直线的倾斜角为，则斜率． （2）坐标式：（在直线上，且，则的斜率． 3．直线方程的5种形式 名称 方程 适用条件 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面内所有直线 知识点02 两直线的位置关系 1．两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行： ①对于两条不重合的直线，若其斜率分别为，则有． ②当直线不重合且斜率都不存在时，． 两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况． （2）两条直线垂直： ①如果两条直线的斜率存在，设为，则有． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，． 2．两条直线的交点的求法 直线，则与的交点坐标就是方程组的解． 3．三种距离公式 （1）两点之间的距离：． （2）点到直线的距离：．应用点到直线的距离公式时，直线方程必须是一般式 （3）平行线与间距离：．两平行线的距离公式中，两直线方程的一般式中的系数要对应相等 【熟记重要结论】 1．过定点的直线系方程：，还可以表示为和． 2．平行于直线的直线系方程：． 3．垂直于直线的直线系方程：． 4．过两条已知直线交点的直线系方程：（不包括直线）和． 5．点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． 6．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 7．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 8．点关于点的对称点为． 9．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 考点一 直线的倾斜角或斜率问题 1．如图，若直线 的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 2.已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．过点的直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知点在函数的图象上，当时，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 考点二 由直线的位置关系求参 6．设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 7．（多选）已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为90° B．对任意的k，与都有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 8.(多选）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 9．已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 10.已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 考点三 两直线的位置关系在几何中的应用 11．已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 14．已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 15．如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    考点四 求直线方程 16．已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 17．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 18将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，则折痕所在直线的方程是 . 19．已知点，求： (1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)过点且与原点距离为2的直线的方程； (3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离． 考点五 两点间距离公式的应用 20.已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 21．已知的三个顶点分别是，则为（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 22．如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点.若该抛物线的对称轴上存在点Q满足是等腰三角形，则点Q的坐标不可能是（    ）    A． B． C． D． 23．已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 . 考点六 点线距、线线距公式的应用 24.（多选）已知直线与，过定点，则下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．点的坐标为 D．点到直线的距离的最大值为1 25.(多选）已知直线与，则（   ） A．若，则两直线垂直 B．直线恒过定点 C．直线在两坐标轴上的截距相等 D．若两直线平行，则与的距离是 26.点到直线距离的最小值为 ，最大值为 . 27.已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为. (1)求直线AC的方程； (2)求的面积. 考点七 对称问题 28．设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 29.（多选）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 30.已知，，动点P在直线上.则的最小值为 . 31．已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 考点八 利用直线方程解决最值问题 32.已知点在直线上的运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 33．已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 34．数的取值范围是 ． 35．已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 36．直线过点，且与轴，轴正半轴分别交于两点. (1)若，求直线的方程； (2)求的面积的最小值. 考点九 直线的实际应用 37.如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器（体积忽略不计），已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 38．台球是一项有趣的体育项目，如图的球桌上在左下角的D点有一颗球（体积忽略不计），现击打该球使其在球桌上做理想运动，碰撞到桌壁后反弹时满足反射角=入射角，设洞口E为CD中点，，击球方向与CD所在直线夹角的正切值为，则下列说法正确的是：（   ）． A．若，球仅碰撞桌壁一次即可进入洞口E，则 B．若，球第一次碰撞在BC上，则最少碰撞桌壁三次可进入洞口E C．不论的值为多少，一定存在某种击打方式使球碰撞桌壁两次可进入洞口E D．若击出的球可以依次碰撞桌壁BC、AD、AB后进入洞口E，则可以为0.8 39.城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正徐徐展开．某市规划四边形空地OABC建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC与ABC关于中心道路AC对称，在AC的中点P处规划建一公共厕所．测得且，点C到OA的距离为20米，米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O为坐标原点，以直线OA为x轴建立如图所示平面直角坐标系xOy．    (1)求点P到OC的距离； (2)求出BC所在直线方程及该口袋公园的总面积． 考点十 与直线有关的数学文化题 40．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 41．(多选)古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 42．剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品都体现了数学中的对称美，如图所示的剪纸是一幅中心对称图形，以中心对称点为坐标原点将其放入平面直角坐标系中，若图中点坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，其关于坐标原点对称的点的坐标为，则 ． 考点十一 与直线有关的新定义题 43.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在平面直角坐标系中有两点，，其“曼哈顿距离”．下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，且，则 C．若点，点Q是直线上的动点，则的最小值为3 D．若点，点Q是曲线上的动点，则的最小值为2 44．现代城市大多是棋盘式布局，许多城市的道路几乎都是东西和南北走向．在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离，而是实际路程，也叫“直角距离”．如图，在平面直角坐标系内，我们定义，两点间的“直角距离”为． (1)求到定点的“直角距离”为2的点的轨迹方程，并写出所有满足条件的“格点”的坐标（格点是指横、纵坐标均为整数的点）． (2)求到两定点，的“直角距离”和为定值的动点的轨迹方程，并在平面直角坐标系内作出该动点的轨迹．（在以下三个条件中任选一个作答，多答不计分） ①，，；②，，；③，，． 45．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由. 1．（2022·安徽示范高中培优联盟高二冬季竞赛）设（是虚数单位），其中是实数，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（2024·厦门大学强基计划），和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 3．（2024·全国“章鱼杯”竞赛）记直线与直线的交点的轨迹为，则使得直线与恰有一个交点的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．(多选)（2023·湖南岳阳竞赛）在中，，则可为（    ）． A．12 B．16 C．24 D．30 E．48 5．（多选）（2024·清华大学强基计划）直线l：，，，，下列选项中正确的有（    ）． A．若，则l与射线PQ相交 B．若，则l与射线PQ平行 C．若，则l与射线PQ垂直 D．若x存在，则Q在l上 6．(多选)（2024·全国“英才杯”竞赛）在四边形中，，，平分，为上一点，且，于点F，G为上一点，且，连接，则下面说法不正确的有（    ） A． B．不垂直于 C．平分 D． 7．(2023·安徽太和中学高二上竞赛）直线分别交轴､轴的正半轴于､两点，当面积最小时，直线的方程为 . 8．（2024·清华大学强基计划），，有零点，则的最小值为 ． 9．（2024·广东肇庆高二竞赛）点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 . 10．（2025·北京大学强基计划）求的值域. 11．（2024·清华大学强基计划）有零点，则的最小值为多少. 12．（2025·东南大学强基计划）在任意平面凸四边形中，求点个数的最大值，使得． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 直线方程及其应用 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 直线的倾斜角或斜率问题 3 考点二 由直线的位置关系求参 6 考点三 两直线的位置关系在几何中的应用 9 考点四 求直线方程 11 考点五 两点间距离公式的应用 13 考点六 点线距、线线距公式的应用 16 考点七 对称问题 18 考点八 利用直线方程解决最值问题 21 考点九 直线的实际应用 25 考点十 与直线有关的数学文化题 29 考点十一 与直线有关的新定义题 31 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题12道） 【归纳重点知识】 知识点01 直线方程 1．直线的倾斜角 （1）定义：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． （2）规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为0． （3）范围：直线倾斜角的取值范围是． 2．斜率公式 （1）定义式：直线的倾斜角为，则斜率． （2）坐标式：（在直线上，且，则的斜率． 3．直线方程的5种形式 名称 方程 适用条件 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面内所有直线 知识点02 两直线的位置关系 1．两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行： ①对于两条不重合的直线，若其斜率分别为，则有． ②当直线不重合且斜率都不存在时，． 两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况． （2）两条直线垂直： ①如果两条直线的斜率存在，设为，则有． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，． 2．两条直线的交点的求法 直线，则与的交点坐标就是方程组的解． 3．三种距离公式 （1）两点之间的距离：． （2）点到直线的距离：．应用点到直线的距离公式时，直线方程必须是一般式 （3）平行线与间距离：．两平行线的距离公式中，两直线方程的一般式中的系数要对应相等 【熟记重要结论】 1．过定点的直线系方程：，还可以表示为和． 2．平行于直线的直线系方程：． 3．垂直于直线的直线系方程：． 4．过两条已知直线交点的直线系方程：（不包括直线）和． 5．点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． 6．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 7．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 8．点关于点的对称点为． 9．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 考点一 直线的倾斜角或斜率问题 1．如图，若直线 的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可判断. 【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大； 倾斜角为钝角时，斜率为负，倾斜角越大，倾斜程度越小，斜率越大， 所以 故选： A. 2.已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的变化关系，可得答案. 【详解】设直线l的倾斜角为，， 由题意，，则， 所以. 故选：A. 3．已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 4．过点的直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点与端点的斜率值，再结合图象，根据正切函数单调性，得到斜率范围即可. 【详解】由点，可求得： 结合图象，根据正切函数在锐角范围和钝角范围内都是单调递增可得： 直线的斜率的斜率范围是. 故选：B. 5．已知点在函数的图象上，当时，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 【分析】（1）可看作过点与点的直线的斜率，结合图形分析求解； （2）整理得，可看作过点与点的直线斜率，结合图形分析求解. 【详解】（1）因为点M在函数的图象上，且，记点，． 由题意可知点在线段AB上移动．记点， 则可看作过点与点的直线的斜率， 又因为，， 由于，可知线段AB上存在点与N点连线的斜率不存在， 所以的取值范围为．    （2）因为，记点， 则可看作过点与点的直线斜率， 又因为，，所以的取值范围为．    考点二 由直线的位置关系求参 6．设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系. 【详解】若，则直线，直线，此时平行， 若平行，则即， 当时，平行， 当时，直线，直线，此时也平行， 故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件， 故选：A. 7．（多选）已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为90° B．对任意的k，与都有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 【答案】BD 【分析】根据两直线的位置关系求解判断. 【详解】A错，当时，：，符合倾斜角为90°； B对，：过定点，而点也在：上，所以对任意的k，与都有公共点； C错，当时，：，然与：重合； D对，要使与垂直，则，即，显然不存在这样的k值． 故选：BD. 8.(多选）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知得，的交点坐标为，又过定点，讨论经过点，或与平行，或与平行求参数值，即可得. 【详解】由，解得，所以，的交点坐标为，又过定点， 若直线，，不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得， 当与平行时，且，解得， 当与平行时，，解得， 故a的值为，，. 故选：BCD 9．已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 【分析】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于、的方程组，即可得解； （2）由直线平行和垂直满足的系数关系，列方程即可求解，． 【详解】（1）因为，，且，所以， 又直线过点， 所以， 所以， 所以， 所以或； （2）若且，则或， 解得，或， 由于不能同时为，故这组解舍去， 故. 10.已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 【分析】（1）根据垂直满足的关系，结合直线经过的点，即可联立方程求解. （2）根据任意两条直线平行不可构成三角形，以及三条直线交于一点不能构成三角形，结合两直线平行满足的系数关系，以及两直线的交点坐标，即可求解. 【详解】（1）因为：，：，且，所以， 又直线过点，所以，所以， 即，即，解得或 所以或； （2）因为，则：，：， ①当时，由得， 此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ④当，，交于一点时，，则由,解得 所以与的交点，将M代入到方程得，解得； 综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为． 考点三 两直线的位置关系在几何中的应用 11．已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选：D. 12．已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 13．已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 【答案】矩形 【分析】分别求出直线的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论. 【详解】解：，且不在直线上，. 又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又. 平行四边形为矩形. 故答案为：矩形. 14．已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见详解 【分析】根据直线的斜率和图象进行判断. 【详解】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 15．如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见详解. 【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【详解】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 考点四 求直线方程 16．已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，边上的高必过点B，联立、得出交点B，设边上的高所在直线的斜率为，根据互相垂直直线斜率乘积为解出斜率，求出直线所在方程. 【详解】设边上的高所在直线的斜率为，则有， 联立、方程，得交点， 中边上的高过点，斜率为，所在直线的方程为， 即． 故选：A. 17．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】如图，设，直线过和.      ①当直线为时，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在． ②当直线的斜率为负时，设关于轴的对称点为，当直线过两点时，是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，满足题意，因为，所以此时直线的方程为． ③当直线的斜率为正时，设直线与轴负半轴相交于点，则，由直线AB的斜率为，倾斜角为，可得， 所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：A. 18将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，则折痕所在直线的方程是 . 【答案】 【分析】设，，则折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，故先求出AB中点坐标，又因为折痕与直线AB垂直，进而求出折痕所在直线的斜率，然后用点斜式求出折痕所在直线方程. 【详解】设，，则线段AB的中点坐标为， 又，所以折痕所在直线的斜率为1， 故折痕所在直线的方程为，即. 19．已知点，求： (1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)过点且与原点距离为2的直线的方程； (3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离． 【分析】（1）分直线过截距为0和截距不为0两种情况讨论即可； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求； （3）由题可知过点且与原点距离最大的直线与垂直，由此求出，进而得到直线的方程及最大距离. 【详解】（1）①若直线的截距为0时，设直线方程为， 因为过点，所以， 所以，故直线的方程为． ②若直线的截距不为0时，设直线的方程为， 因为过点，所以， 解得， 故直线的方程为． 综上，可得直线的方程为或． （2）①若直线的斜率不存在， 由于过点，则其方程为， 原点到直线的距离为2，满足题意； ②若直线的斜率存在，设为， 则直线的方程为，即． 由已知，得，解得． 此时的方程为． 综上，可得直线的方程为或． （3）记原点为，过点且与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线， 设直线、直线的斜率分别为，． 由题意知， 由，得，即． 由直线方程的点斜式得，即． 即直线：是过点P且与原点距离最大的直线，且最大距离为． 考点五 两点间距离公式的应用 20.已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形对角线互相垂直可知轴，则可设，由可构造方程求得结果. 【详解】四边形为菱形，轴，轴，可设， ，， 解得：（舍）或，. 故选：A. 21．已知的三个顶点分别是，则为（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据斜率公式，求得的值，结合，即可求解. 【详解】由的三个顶点分别是， 可得， ，所以， 又由斜率公式，可得， 所以，即，所以为直角三角形. 故选：A. 22．如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点.若该抛物线的对称轴上存在点Q满足是等腰三角形，则点Q的坐标不可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的解析式，当和时就可以求出点A、B的坐标，设抛物线的解析式为，根据A、B、C三点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，求出对称轴，设出Q点的坐标，是等腰三角形的情况分为3种，即A、B、Q分别为等腰三角形的顶点，利用等腰三角形的性质，根据勾股定理、两点之间的距离公式即可求出Q点的坐标． 【详解】∵，∴当时，，当时，， ∴，， 设抛物线的解析式为，由题意，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为，设， ①当时，如图，过点作，交对称轴于.    由勾股定理可得 ，， 得，解得， ∴； ②当是腰时，Q是对称轴与x轴交点时，，如图.    ，解得或， 当Q点的坐标为时，其在直线AB上，A、B和Q三点共线，舍去， 则此时Q的坐标是； ③当时，如图.    ，解得， 则Q的坐标是和， 综上所述：Q的坐标可能为． 故选：D. 23．已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 . 【答案】直角三角形,5 【分析】利用两点间的距离公式算出三边的长度,再利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形. 【解析】因为， ，， 所以，即是以A为直角顶点的直角三角形． 由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以. 考点六 点线距、线线距公式的应用 24.（多选）已知直线与，过定点，则下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．点的坐标为 D．点到直线的距离的最大值为1 【答案】BCD 【分析】根据两直线平行列方程求解，然后根据充分不必要定义判断A，根据直线垂直列方程求解，然后根据充要条件判断B，将直线变形即可求得定点判断C，由到所过定点距离为最大距离，即可判断D. 【详解】因为直线，所以，解得或，经检验都成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误. 因为直线，所以，解得， 所以“”的充要条件是“”，故B正确. 因为，即，所以过定点，故C正确. 因为过定点，所以点到直线距离的最大值， 是到定点的距离，即为，故D正确. 故选：BCD 25.(多选）已知直线与，则（   ） A．若，则两直线垂直 B．直线恒过定点 C．直线在两坐标轴上的截距相等 D．若两直线平行，则与的距离是 【答案】ABD 【分析】对于A，根据条件得两直线斜率之积为，即可判断；对于B，通过变形得，由，即可求出定点，从而作出判断；对于C，直接求出横纵截距，即可判断；对于D，根据条件，求出，再利用两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，斜率为， 又直线的的斜率为，所以，故两直线垂直，所以选项A正确， 对于选项B，由，得到， 由，得到，所以直线过定点，故选B正确， 对于选项C，令，得到，令，得到，所以直线在两坐标轴上的截距不相等，故选项C错误， 对于选项D，当时，，得到，此时， 所以两平行线间的距离为，故选项D正确， 故选：ABD. 26.点到直线距离的最小值为 ，最大值为 . 【答案】 / / 【分析】利用点到直线的距离公式结合辅助角公式求得，然后利用正弦函数的性质求解最值即可. 【详解】点到直线的距离 ，其中， 故当时，取得最小值；当时，取得最大值． 27.已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为. (1)求直线AC的方程； (2)求的面积. 【分析】（1）利用点斜式求得直线的方程. （2）先求得两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形的面积. 【详解】（1）由边上的高所在直线方程为，得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）边上的中线所在的直线方程为， 由，解得，即， 设，则， 所以，解得，即， ，到的距离为， 所以的面积为. 考点七 对称问题 28．设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案. 【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 29.（多选）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】点关于直线的对称点在反射光线所在的直线上，进而求反射后的光线所在的直线方程即可求解. 【详解】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点，故A错误； 对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确； 对于D：时，故D错误； 故选：BC. 30.已知，，动点P在直线上.则的最小值为 . 【答案】 【分析】借助线段和的几何意义求解即可. 【详解】设关于直线对称对称点坐标为， 则，解得，即， ， 所以的最小值为. 故答案为：. 31．已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 考点八 利用直线方程解决最值问题 32.已知点在直线上的运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将所求代数式等价为两点之间距离的平方，由动点在直线上，则最小值为定点到直线的距离的平方，利用点到直线距离公式，可得答案. 【解析】可表示为点到的距离的平方， 由点在直线上的运动， 则的最小值为点到直线的距离的平方， . 故选：A. 33．已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记点、、、，，可得出，数形结合可得出所求代数式的最小值. 【详解】记点、、、，，如下图所示： 易知四边形是边长为的正方形， 所以，，，， 所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立， ， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 所以 ， 当且仅当点为线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 34．数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】记点、、，则，数形结合可得出的最小值，当时，设，结合函数的基本性质可得出，综合可得出的取值范围. 【详解】， 记点、、， 利用几何意义，根据两边之差小于第三边， 又注意到、、三点共线时可以取到最小值， 故，如下图所示： 又因为，则， 当时，，此时； 当时，设， 则， 此时. 综上所述，函数的取值范围是. 35．已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2)最小值为4，. 【分析】（1）截距相等时，要考虑到截距为和不为两种情况分类讨论； （2）设直线方程为点斜式，表示直角三角形的面积，通过基本不等式即可求得最值. 【详解】（1）当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则， 解得， 所以直线方程为； 当截距相等且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，， 则直线方程为. 所以直线方程为或. （2）由题意可知，直线的截距不为，且斜率存在且， 设直线方程为， 令，；令， 则， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为，此时的直线方程为. 36．直线过点，且与轴，轴正半轴分别交于两点. (1)若，求直线的方程； (2)求的面积的最小值. 【分析】（1）设直线截距式为，可得，，进而结合列方程组求解即可； （2）设直线截距式为，代入点得到，利用基本不等式即可求出面积最小值. 【详解】（1）设直线的方程为，则，， 所以， 由，得，解得， 所以直线的方程为，即. （2）设直线的方程为， 将点代入得，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以，. 所以的面积最小值为12. 考点九 直线的实际应用 37.如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器（体积忽略不计），已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 【答案】BC 【分析】利用点线对称与光线镜面反射的虚像原理作出图像，数形结合，可一一得到答案. 【详解】由于该射线平行于地面，根据题意可视为射线在平面四边形内部发生反射， 对于A，当时，发出射线使其反射点在靠近端的四等分点，反射后再正好被感应器捕捉， 所以，则，故A错误； 对于B，当时，第一次反射在边上，所以不可能只反射一次就被感应器捕捉； 如图1，假设反射两次后被感应器捕捉，则第二次反射一定在边上， 将平面依次向右、向上翻折一次，到达， 观察线段，要求此线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 设直线，所以:，令得， 所以线段不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 即不可能经过两次反射后被感应器捕捉； 如图2，计算得：时可以反射三次后被感应器捕捉（线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部）， 故B正确； 对于C，如图3，依次将平面向上、向右翻折，连接，观察线段，其经过点， 所以与直线的交点在线段上， 故线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 意味着射线将依次经过、反射后被感应器捕捉，反射了两次，故C正确； 对于D，如图4，同翻折，同理分析，观察线段，交点恰好在转折点处， 所以线段一定不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部，故D错误. 故选：BC. 38．台球是一项有趣的体育项目，如图的球桌上在左下角的D点有一颗球（体积忽略不计），现击打该球使其在球桌上做理想运动，碰撞到桌壁后反弹时满足反射角=入射角，设洞口E为CD中点，，击球方向与CD所在直线夹角的正切值为，则下列说法正确的是：（   ）． A．若，球仅碰撞桌壁一次即可进入洞口E，则 B．若，球第一次碰撞在BC上，则最少碰撞桌壁三次可进入洞口E C．不论的值为多少，一定存在某种击打方式使球碰撞桌壁两次可进入洞口E D．若击出的球可以依次碰撞桌壁BC、AD、AB后进入洞口E，则可以为0.8 【答案】BC 【分析】可将台球的运动用“平面展开法”来分析（即每碰到一次边就将球桌作相应的镜像反射，从而把带有反射的运动转化为在多个拼接的“镜像球桌”中的直线运动），然后对各个选项的情况进行分析判定. 【详解】A：当时，可设.击打球使其碰撞靠近端的四等分点，反射后再正好进入洞口，所以，故A错误； B：当时，可设.第一次碰撞在边上，所以不可能只碰撞一次进入洞口，假设碰撞两次进入洞口，则第二次碰撞一定在边上，将桌面依次向右、向上翻折一次，到达，观察线段，要求此线段完全在桌面与翻折桌面构成图形的内部，设直线，所以，令得，所以线段不可能完全在桌面与翻折桌面构成图形的内部，即不可能两次碰撞入洞．如第二张图，计算得：时可以碰撞三次入洞（线段完全在桌面与翻折桌面构成图形的内部），B正确； C：如第三张图，依次将桌面向上、向右翻折，对应连接得到线段，观察线段，其经过点，所以与直线的交点在线段上，故线段完全在桌面与翻折桌面构成图形的内部，这意味着这样击球球将依次碰撞桌壁后进洞，碰撞了两次，C正确． D：如第四张图，同C翻折，同理分析，观察线段，交点恰好在转折点处，所以线段一定不可能完全在桌面与翻折桌面构成图形的内部，D错误． 。 故选：BC． 39.城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正徐徐展开．某市规划四边形空地OABC建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC与ABC关于中心道路AC对称，在AC的中点P处规划建一公共厕所．测得且，点C到OA的距离为20米，米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O为坐标原点，以直线OA为x轴建立如图所示平面直角坐标系xOy．    (1)求点P到OC的距离； (2)求出BC所在直线方程及该口袋公园的总面积． 【分析】（1）先求点的坐标与直线的方程，再由点到直线的距离公式可得； （2）由对称性解得点坐标，可得所在直线方程，再由对称性将四边形面积转化为求三角形面积求解即可. 【详解】（1）过作轴，垂足为， 由可知，直线OC的斜率， 直线OC的方程为， 因为点C到OA的距离为20米，设，故，可得， 因为，则为的中点，， 则，所以， 所以点P到OC的距离；    （2）因为，，得AC所在直线方程为， 设，因为点O与点B关于AC对称，故可得 得，，即， 所以所在直线方程为， ， 所以该口袋公园的总面积200平方米． 考点十 与直线有关的数学文化题 40．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线的方程即可. 【详解】因为的顶点，， 所以线段的中点坐标为，线段所在直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率， 则线段的垂直平分线的方程为，即， 因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上， 所以的欧拉线方程为. 故选：A. 41．(多选)古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【答案】BD 【分析】求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线所在直线方程，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线所在直线方程，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确. 【详解】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得，即. 对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，即，故A错误； 对于B，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 42．剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品都体现了数学中的对称美，如图所示的剪纸是一幅中心对称图形，以中心对称点为坐标原点将其放入平面直角坐标系中，若图中点坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，其关于坐标原点对称的点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】根据点关于坐标轴以及原点对称的点坐标，构造方程组可解得结果. 【详解】因为，其关于轴对称的点坐标为， 则，解得； 又点关于原点对称的点坐标为，所以， 解得， 则． 考点十一 与直线有关的新定义题 43.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在平面直角坐标系中有两点，，其“曼哈顿距离”．下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，且，则 C．若点，点Q是直线上的动点，则的最小值为3 D．若点，点Q是曲线上的动点，则的最小值为2 【答案】AC 【分析】利用“曼哈顿距离”的定义即可判断AB，对于C设，则利用三角不等式即可判断，对于D设，则，由二次函数即可判断. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：或1，故B错误； 对于C：设，所以，故C正确； 对于D：设，所以， 当时，，所以当时，则的最小值为，故D错误， 故选：AC. 44．现代城市大多是棋盘式布局，许多城市的道路几乎都是东西和南北走向．在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离，而是实际路程，也叫“直角距离”．如图，在平面直角坐标系内，我们定义，两点间的“直角距离”为． (1)求到定点的“直角距离”为2的点的轨迹方程，并写出所有满足条件的“格点”的坐标（格点是指横、纵坐标均为整数的点）． (2)求到两定点，的“直角距离”和为定值的动点的轨迹方程，并在平面直角坐标系内作出该动点的轨迹．（在以下三个条件中任选一个作答，多答不计分） ①，，；②，，；③，，． 【分析】（1）根据题意可得轨迹方程为，进而分析格点； （2）根据题意求轨迹方程，分析其对称性，分类讨论去绝对值化简轨迹方程，进而可得轨迹. 【详解】（1）到定点的“直角距离”为2的点的轨迹方程为， 因为，则，解得， 令，则，解得； 令，则，解得； 令，则，解得； 令，则，解得； 令，则，解得； 综上所述：满足条件的格点为，，，，，，，． （2）若选择条件①：该动点的轨迹方程为． 用替换，方程不变，可知轨迹关于y轴对称； 用替换，方程不变，可知轨迹关于x轴对称； 当，时，轨迹方程为； 当，时，轨迹方程为； 根据对称性作图，如图所示． 若选择条件②，该动点的轨迹方程为． 用替换，方程不变，可知轨迹关于y轴对称； 用替换，方程不变，可知轨迹关于x轴对称； 当，时，轨迹方程为； 当，时，轨迹方程为； 根据对称性作图，如图所示． 若选择条件③，该动点的轨迹方程为． 用替换，方程不变，可知轨迹关于y轴对称； 用替换，方程不变，可知轨迹关于x轴对称； 当，时，轨迹方程为； 当，时，轨迹方程为； 当，时，轨迹方程为． 根据对称性作图，如图所示． 45．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由. 【分析】（1）由各距离定义代入坐标求解可得； （2）结合等式分段讨论去绝对值作出图形，结合图形分析，当最大时取到最大值，进而求相应余弦距离可得； （3）由定义代入坐标化简不等式得，转化为直线与抛物线交点求解，再结合定义求相应余弦距离可得. 【详解】（1）已知，，则由题意可得欧几里得距离为； 曼哈顿距离为； 因为， 所以， 则余弦距离为. （2）设，由题意得：，即， 由， 作出表示的图形，为如图所示的正方形， 其中， 即点在正方形的边上运动，， 结合图形，由可知， 当取到最小值时，最大，相应的有最大值. 因此，点有如下两种可能： ①点为点时，， 则； ②点在线段上运动时，此时与方向相同， 取，则. 因为，， 所以的最大值为. （3）设，则； ； ，. ，， 或. 联立解得，或； 联立解得，或； ，由， 则，， ，， 所以相应余弦距离为 . 综上，曲线上存在点，使得， 相应余弦距离 的值分别为. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是应用定义坐标代入求值化简，如第（3）问中利用定义得到不等式，再平方化简转化为或，从而将问题转化为直线与抛物线的交点问题. 1．（2022·安徽示范高中培优联盟高二冬季竞赛）设（是虚数单位），其中是实数，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】由复数相等的条件求出，从而可求出直线的斜率 【详解】因为，是实数， 所以，解得， 所以直线的斜率.故选：A 2．（2024·厦门大学强基计划），和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】C 【分析】做出直线的图像，依据图像进行求解. 【详解】 显然直线，上无整点，当，，有1个点；当，，有1个点；当，，有2个点；当，，有3个点；当，，有3个点； 当，，有4个点；当，，有5个点；当，，有5个点； 当，，有6个点；当，，有7个点；得到37个整点. 故选：C. 3．（2024·全国“章鱼杯”竞赛）记直线与直线的交点的轨迹为，则使得直线与恰有一个交点的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出直线所过定点分析可知，求出点的轨迹方程，再应用直线和圆的位置关系判断即可. 【详解】直线与直线的交点的轨迹为， 直线方程可化为， 由可得，所以直线过定点， 直线方程可化为， 由可得，所以直线过定点， 设线段的中点为，设点，因为，则两直线垂直，即， 由直角三角形的几何性质可得， 即，化简可得， 所以点的轨迹为圆， 直线过定点，在轨迹上， 直线与恰有一个交点则直线与圆相切， 过圆上的一点做切线只有一条故使得直线与恰有一个交点的的个数是1个. 故选：B. 4．(多选)（2023·湖南岳阳竞赛）在中，，则可为（    ）． A．12 B．16 C．24 D．30 E．48 【答案】ABC 【分析】根据题意，求得点在以为直径的圆上，得到点到的距离为，得到的面积，结合选项，即可求解. 【详解】在中，因为，可得点在以为直径的圆上， 设点到的距离为，根据圆的性质，可得， 所以的面积， 结合选项，可得A、B、C符合题意. 故选：ABC. 5．（多选）（2024·清华大学强基计划）直线l：，，，，下列选项中正确的有（    ）． A．若，则l与射线PQ相交 B．若，则l与射线PQ平行 C．若，则l与射线PQ垂直 D．若x存在，则Q在l上 【答案】AB 【分析】若，则，或，根据点与直线的位置关系判定A；若，则，进而得到，根据两直线斜率的关系判断B；为两点到直线的距离，判断C；点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到，进而判断D． 【详解】若，则，或， 即点在直线的同侧，且直线与线段不平行．故A正确； 若，则，即， 若，则，过两点的直线与直线斜率都不存在，故平行， 若，则，，即过两点的直线与直线平行，故B正确； 因为，即为两点到直线的距离， 若，则，即两点到直线的距离相等，且直线l两侧， 但l与射线PQ不一定垂直，即C不正确； 若点在直线上，则， 结合题设及分母不为0，不存在实数，使点在直线上，故D不正确. 故选：AB 6．(多选)（2024·全国“英才杯”竞赛）在四边形中，，，平分，为上一点，且，于点F，G为上一点，且，连接，则下面说法不正确的有（    ） A． B．不垂直于 C．平分 D． 【答案】ACD 【分析】建立平面直角坐标系，由两直线夹角公式即可判断A；由全等三角形的性质即可判断B；由两直线夹角公式即可判断C；由三角形中位线及两直线交点即可判断D． 【详解】由题可知，点均为动点，故的度数也随之改变， 由题可知，，则， 对于A，以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，，则， 由，直线方程为：， 由，直线方程为：， 联立直线方程，得，解得， 所以， 所以， 则， ， 显然，，故错误，故A符合题意； 对于B，连接，交于点， 由可得，，所以不垂直于，故B不合题意； 对于C，由A可知，， 若平分，则， ，故错误，故C符合题意； 对于D，取中点，则，，所以， 所以直线方程为：， 由已知可得直线方程为：， 联立，解得，即当点为直线和交代，坐标为时，才满足，其他位置不成立，故不正确，故D符合题意； 故选：ACD． 7．(2023·安徽太和中学高二上竞赛）直线分别交轴､轴的正半轴于､两点，当面积最小时，直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题可得直线恒过定点，可设方程为，则，利用基本不等式可得，即求. 【详解】∵直线， ∴， 由，得， ∴直线恒过定点， 可设直线方程为，则，， 又，即，当且仅当时取等号， ∴， 当面积最小时，直线的方程为，即. 8．（2024·清华大学强基计划），，有零点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将方程看成关于的二元一次方程，转化为原点到直线的距离的平方，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，方程有实数根， 将关于的方程看成关于的直线方程， 则可视为直线上的点到原点的距离的平方， 其最小值即为原点到直线的距离的平方， 所以距离的平方， ， 令，则， 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 则， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以， 所以的最小值为. 9．（2024·广东肇庆高二竞赛）点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】求出动直线过定点，再由得出点在以为直径的圆上运动，进而得出点的轨迹方程. 【详解】将动直线整理为， 联立，可得，所以动直线过定点. 又，所以点在以为直径的圆上运动， 设，则， ， 即. 10．（2025·北京大学强基计划）求的值域. 【答案】 【分析】设，问题化为求的范围，数形结合确定值域即可. 【详解】令， 设，如下图示， 则，当且仅当在线段的延长线上时取等号， 当时，直线可近似看作平行关系，此时， 综上，目标式的范围是. 11．（2024·清华大学强基计划）有零点，则的最小值为多少. 【答案】 【分析】将方程看成关于的二元一次方程，转化为原点到直线的距离的平方，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，方程有实数根， 将关于的方程看成关于的直线方程， 则可视为直线上的点到原点的距离的平方，其最小值即为原点到直线的距离的平方， 所以， ， 令，则， 因为，所以，则， 由对勾函数的单调性可知，在上单调递增， 所以. 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是方程主次元的转化，构造的几何意义. 12．（2025·东南大学强基计划）在任意平面凸四边形中，求点个数的最大值，使得． 【答案】详见详解 【分析】在任意平面凸四边形 ABCD 中，考虑满足题设条件的点 P 的个数.通过分析面积条件对应的轨迹，每个面积相等条件对应一条直线，这些直线的交点即为可能的 P 点. 【详解】设四个三角形的面积均等于.点 的位置决定了这些面积. 条件 定义了一条直线（称为等面积线），类似地， 定义了另一条直线. 点 必须同时位于这两条直线上，因此是这两条直线的交点.两条直线在平面中最多相交于一个点，但在某些四边形中，这两条直线可能重合或特殊情况，导致多个点. 对于大多数凸四边形（如平行四边形、矩形、菱形），点 的个数通常为 1（例如，在平行四边形中， 是对角线交点）. 然而，存在一些非对称或特殊凸四边形，使得两条等面积线相交于两个不同的点，且在这两点处，所有四个三角形的面积都相等.例如： 考虑四边形 , , , . 通过计算，点 可以是 和 ， 且在这两点处， 成立. 因此，点 的个数可以达到 2，且这是可能的最大值. 最大值证明： 在一般凸四边形中，点 的个数不超过 2，因为两条直线最多相交于两个点. 对于某些四边形（如梯形或不规则四边形），点 的个数可能为 0 或 1，但存在具体四边形（如上述例子）使得个数为 2. 由于问题要求“在任意平面凸四边形中”的 点个数的最大值，这表示在所有可能凸四边形中，满足条件的 点数的上确界是 2. 结论：满足条件的点 的个数最大值是 2，出现在特定凸四边形中. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$