北师大版八年级数学下册第一章1.4角平分线（2）课件（共15张PPT）

第一章 三角形的证明 第四节 角平分线（二） 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 用尺规作角的平分线. 作法: 1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C. 3.作射线OC. 射线OC就是∠AOB的平分线. A B O C D E 如图, ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 角平分线的性质 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 如图, ∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). 角平分线性质定理的逆定理 逆定理 在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 例2 求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P ，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别是D,E,F. 求证：∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF. 证明： ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上 ∴PD=PE （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） 同理：PE=PF ∴PD=PE=PF ∴点P在∠A的平分线上 （在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上） 即 ∠A的平分线经过点P 例3 如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD． (1)解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC,DE⊥AB,垂足为E ∴DE=CD=4cm ∵AC=BC ∴∠B=∠BAC ∵∠C=90° ∴∠BDE=900-45°=45° ∴BE=DE 在等腰直角三角形BDE中 （等边对等角） （等边对等角） （勾股定理） ∴∠B= ×90°=45° （2）证明： 由（1）的求解过程易知 Rt△ACD≌Rt△AED （HL） ∴AC=AE （全等三角形的对应边相等） ∵BE=DE=CD ∴A