暑假作业03 线段的垂直平分线&角平分线（15大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）

完成时间： 月 日 天气： 作业03 线段的垂直平分线&角的平分线 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一： 利用线段垂直平分线的性质求长度 】 1．（2024秋•香坊区校级月考）如图，AB＝AC，BC＝4，△BCE的周长为9，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则AB＝（　　） A．6 B．5 C．4 D．无法确定 2．（2025·湖北荆州·三模）如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点，，，，则周长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 4．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ． 【题型二： 利用线段垂直平分线的性质求角度 】 1．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点、，，那么 ． 3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点E，若，，则的度数为 ． 4．（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）如图，已知，若和分别垂直平分和，则 ． 【题型三： 利用线段垂直平分线的性质证明 】 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 2．（2024春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：    (1)CB平分； (2)． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ 4．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）图，在等腰中，，，平分，折叠使得点B与点C重合，折痕交于点E、F、G，连接交于点H． (2)连接，求的度数． (1)试说明：； 【题型四： 线段垂直平分线的判定 】 1．如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则（　　） A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上 C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上 2．（2024•丰顺县校级开学）已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于点D，求证：点D在BC的垂直平分线上． 3．如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段AC的垂直平分线上． 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)延长相交于点 D，联结．证明：垂直平分线． 【题型五： 尺规作线段垂直平分线 】 1．（2025·云南楚雄·三模）如图，直线，直线分别与，交于点，，分别以点，为圆心，适当长为半径画弧，相交于，两点，作直线交直线于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点、； ②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北唐山·三模）如图，在中，，，平分交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D．1 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，． (1)用尺规作的垂直平分线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【题型六： 线段的垂直平分线的实际应用 】 1．（2024春•福田区校级期末）如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（　　） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点 C．三角形三个内角的角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 2．（2024春•胶州市期中）某公园的A，B，C处分别有海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（　　） A．△ABC三边高线的交点处 B．△ABC三角角平分线的交点处 C．△ABC三边中线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处 3．（2024秋•两江新区期末）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（　　） A．B．C．D． 4．（2024春·广西北海·八年级统考期中）如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货．若要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？不写作法，保留作图痕迹．    【题型七： 利用角平分线的性质求长度 】 1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AC＝9，CD＝6，则点D到BC的距离是（　　） A．2 B．4 C．3 D．6 2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3，BC＝8，则BD的长为（　　） A．3 B．5 C．8 D．10 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．7 4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．若△ACD的面积为16，AC＝8，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【题型八： 利用角平分线的性质求面积 】 1．（2025·山西大同·三模）如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（   ） A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6 2．（2025·广西南宁·模拟预测）如图，在中，为的平分线，于点，，，则的面积为（    ） A．32 B．20 C．16 D．8 3．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点G．若，，的面积为9，则的面积为 ． 【题型九： 角平分线性质的证明 】 1．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB．求证：BE＝FD． 2．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 3．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC． 4．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点． 【题型十： 尺规作角平分线 】 1．（2025·上海普陀·三模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线与交于点，，垂足为．若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·吉林延边·二模）如图，在中，，以点A为圆心，按照要求进行尺规作图，若的面积是4，，则（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25八年级下·山西太原·期中）如图，在中，，利用尺规以点C为圆心，线段的长为半径作弧，交边于点D，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线，交边于点F．若，则线段的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，． (1)尺规作图： ①作的角平分线，交于点P； ②作点P到的距离．（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求的长． 【题型十一： 角平分线性质的实际应用 】 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，某小区的三栋单元楼分别位于的三个顶点处，要在内建一个快递站，并使快递站到每一栋单元楼的距离相等，则快递站应建在的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 2．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置 C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置 3．（2024春·湖南株洲·八年级校考期末）如图，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为 ．    4．（2024春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【题型一： 利用线段垂直平分线的性质求最值 】 1．（2024春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在中，，，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是 ．    2．（2024春·江西九江·八年级统考开学考试）如图，在中，，边上的垂直平分线分别交于点D、E，若的周长是11，则直线上任意一点到A、C距离和最小为（　　）    A．28 B．18 C．10 D．7 3．（2025·山东济宁·一模）如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 4．（2024春·山东青岛·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝ 时，△PDQ的周长最小． 【题型二： 利用线段垂直平分线的性质探究角度之间的关系 】 1．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，已知是线段的垂直平分线，直线经过点，过点作，垂足是，点是线段上一点，连接，，平分，则线段之间的等量关系是 ． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 3．（2024春·福建三明·八年级统考期末）如图，四边形ABCD是长方形，E是边CD的中点，连接AE并延长交边BC的延长线于F，过点E作AF的垂线交边BC于M，连接AM． （1）请说明 ΔADE ≌ ΔFCE； （2）试说明AM = BC + MC； （3）设S△AEM= S1，S△ECM= S2，S△ABM= S3，试探究S1，S2，S3三者之间的等量关系，并说明理由． 4．（2024春·山东日照·八年级统考期末）如图1，在直角△ABC中，∠C=90°，分别作∠CAB的平分线AP和AB的垂直平分线DP，交点为P． （1）如图2，若点P正好落在BC边上． ①求∠B的度数； ②求证：BC=3PC． （2）如图3，若点C、P、D恰好在一条直线上，线段AD、PD、BC之间的数量关系是否满足AD+PD=BC？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由． 【题型三： 利用线角平分线的性质判断多结论问题 】 1．（2024春·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在中，是高，是角平分线，是中线与相交于，以下结论正确的有（    ）    ①；②； ③；④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024春·山东威海·八年级统考期末）如图，在中，，，，分别是和的角平分线，，交于点O，分别过点O作于点M，作于点N．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）      A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2024春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在中，，，，分别是的中线、角平分线和高线，交于点G，交于点H，下面说法中一定正确的是（    ） 的面积等于的面积；    ②； ③；        ④．    A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 4．（2024春·湖北武汉·八年级校考期中）如图，在中，，平分，，，下列结论：平分；；若，，则； ；其中正确的是（  ）    A． B． C． D． 【题型一： 线段垂直平分线的性质与判定的综合运用 】 1．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，是等边三角形，点D，E，F分别在，，AC上，且，，． (1)若，求线段的长； (2)求证：垂直平分． 2．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点P，作直线． (1)求证：垂直平分； (2)若，，计算的长． 3．（2024春·福建福州·八年级统考期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE． (1)求证：∠ACB＝∠ACD； (2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P． ①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE； ②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合． 【题型二： 角平分线的性质与判定的综合运用 】 1．（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的值； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，于点，平分，交于点E，过E作于点F，交于点G．    (1)求证：； (2)若，求的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 线段的垂直平分线&角的平分线 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一： 利用线段垂直平分线的性质求长度 】 1．（2024秋•香坊区校级月考）如图，AB＝AC，BC＝4，△BCE的周长为9，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则AB＝（　　） A．6 B．5 C．4 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线求出AE＝BE，根据周长求出BE+CE＝5，求出AC＝5，即可得出答案． 【详解】解：∵AB的垂直平分线DE， ∴AE＝BE， ∵△BCE的周长为9，BC＝4， ∴4+BE+CE＝9， ∵AE＝BE， ∴AE+CE＝9﹣4＝5， ∴AC＝5， ∵AB＝AC， ∴AB＝5， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 2．（2025·湖北荆州·三模）如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点，，，，则周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据是的垂直平分线得，继而得到，可得答案．解题的关键是掌握：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴周长为． 故选：B． 3．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解： 为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 4．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得，结合的周长为，，即可得出 【详解】解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵，，的周长为， ∴ ∴， 故答案为：． 【题型二： 利用线段垂直平分线的性质求角度 】 1．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等，由线段垂直平分线的性质得，即得，由直角三角形两锐角互余得，进而由三角形外角性质可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点、，，那么 ． 【答案】76 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，根据线段的垂直平分线的性质得到，得到，根据三角形的外角性质求出，再根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：76． 3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点E，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据线段垂直平分线的性质，角平分线的定义以及等边对等角可得出，然后根据三角形内角和定理求出，，最后根据三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）如图，已知，若和分别垂直平分和，则 ． 【答案】90 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，，则可得出，，根据三角形内角和得到，则，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图： 和分别垂直平分和， ，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：90． 【题型三： 利用线段垂直平分线的性质证明 】 1．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，熟练掌握中垂线的性质，是解题的关键： （1）中垂线的性质，得到，易得垂直平分，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长公式推出，根据，等量代换推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 2．（2024春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：    (1)CB平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由所在直线垂直平分线段得到，从而得到，再利用平行线的性质可知，再用等量代换即可证明； （2）由所在直线垂直平分线段得到，，从而得到，再根据即可得证． 【详解】（1）证明：∵所在直线垂直平分线段， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）∵所在直线垂直平分线段， ∴， ∴． ∵是的一个外角， ∴， ∴． 又∵，即， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，掌握相关定理是解题的关键． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定和性质等知识，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据垂直平分线的性质得到，再利用等边对等角得到，等量代换得到，从而利用内错角相等两直线平行得解； （2）证明得到，根据平行线的性质得到，从而等量代换得解． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为是的平分线， 所以， 因为垂直平分， 所以， 所以， 所以， 所以． （2），理由如下： 因为垂直平分， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以． 4．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）图，在等腰中，，，平分，折叠使得点B与点C重合，折痕交于点E、F、G，连接交于点H． (1)试说明：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)45度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定及性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． （1）由折叠可知，，垂直平分，然后导角证明，进而可证明，则； （2）由线段垂直平分线的性质得到，则，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：由折叠可知，，垂直平分， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型四： 线段垂直平分线的判定 】 1．如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则（　　） A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上 C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上 【答案】D． 【分析】根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC＝PB即可得出P在线段BC的垂直平分线上． 【详解】解：∵PB＝PC， ∴P在线段BC的垂直平分线上， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 2．（2024•丰顺县校级开学）已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于点D，求证：点D在BC的垂直平分线上． 【分析】由在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，易得∠DBC＝∠C，即可得DB＝DC，继而证得结论． 【详解】证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠DBC， ∵在△ABC中，∠ABC＝2∠C， ∴∠C＝∠DBC， ∴DB＝DC， ∴点D在BC的垂直平分线上． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 3．如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段AC的垂直平分线上． 【分析】因为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点P是否在AC的垂直平分线上，只需判断PA是否等于PC即可． 【详解】证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P， ∴PA＝PB，PB＝PC． ∴PA＝PB＝PC． ∴点P必在AC的垂直平分线上． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上． 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)延长相交于点 D，联结．证明：垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，等角对等边，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等角对等边得到，再证明，即可证明； （2）证明，得到，则可证明，再根据线段垂直平分线的判定定理即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分线． 【题型五： 尺规作线段垂直平分线 】 1．（2025·云南楚雄·三模）如图，直线，直线分别与，交于点，，分别以点，为圆心，适当长为半径画弧，相交于，两点，作直线交直线于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的性质和线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，然后根据平行线的性质得到． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， ， ∵， ∴， ∵， ． 故选：B． 2．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点、； ②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：， ， ， 由作图可知，垂直平分， ， ， ， 故选：C． 3．（2025·河北唐山·三模）如图，在中，，，平分交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理等；由线段垂直平分线的性质得，，由等腰三角形的性质得，，由勾股定理，即可求解；掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：连接， 由作图得：垂直平分， ， ， ， 平分， ， ， ， 设， ， ， ， 解得：， 故的长为， 故选：C． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，． (1)用尺规作的垂直平分线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了作已知线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形内角和性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，则作的垂直平分线，连接，即可作答． （2）先运用三角形内角和性质以及等边对等角得，结合垂直平分线的性质，故，则，即可作答． 【详解】（1）解：作的垂直平分线，连接，如图所示： （2）解：∵，． ∴， 由（1）得是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 【题型六： 线段的垂直平分线的实际应用 】 1．（2024春•福田区校级期末）如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（　　） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点 C．三角形三个内角的角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D． 【分析】根据线段垂直平分线的性质进行判断． 【详解】解：∵该地铁站到三座商场的距离相等， ∴该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 2．（2024春•胶州市期中）某公园的A，B，C处分别有海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（　　） A．△ABC三边高线的交点处 B．△ABC三角角平分线的交点处 C．△ABC三边中线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处 【答案】D． 【分析】由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点． 【详解】解：∵售票中心到出口A、B的距离相等， ∴售票中心到在线段AB的垂直平分线上， 同理可得，售票中心应该在三条边的垂直平分线的交点， 故选：D． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法． 3．（2024秋•两江新区期末）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（　　） A．B．C．D． 【答案】D． 【分析】利用线段垂直平分线的性质可求解． 【详解】解：连接PQ，作PQ的垂直平分线交直线l于点M， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用．这类问题的解答依据是“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”． 4．（2024春·广西北海·八年级统考期中）如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货．若要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？不写作法，保留作图痕迹．    【答案】见解析 【分析】根据线段垂直平分线的性质，只需画线段垂直平分线，与公路的交点即为中转站P的位置． 【详解】解：如图，点P即为所求．    【点睛】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线，熟知线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的性质，能将实际问题转化为作线段的垂直平分线是解答的关键． 【题型七： 利用角平分线的性质求长度 】 1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AC＝9，CD＝6，则点D到BC的距离是（　　） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C． 【分析】根据题意作辅助线，然后根据角平分线的性质得出DE＝AD，根据已知可得AD＝3，所以DE＝3，即D点到BC的距离是3． 【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E， ∵已知∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC， ∴∠A＝∠DEB＝90°， 根据角平分线的性质可得：DE＝AD． ∵AC＝9，CD＝6， ∴DA＝3． ∴DE＝3，即D点到BC的距离是3， 故选：C． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，作出辅助线是解决本题的关键，难度适中． 2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3，BC＝8，则BD的长为（　　） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】B． 【分析】根据角平分线的性质得出ED＝CD＝3，进而可得出结论． 【详解】解：∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3， ∴ED＝CD＝3， ∵BC＝8， ∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5． 故选：B． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B． 【分析】作DE⊥AB于E，由BD平分∠ABC，得到DE＝DC，由AC＝7，，求出CD＝3，得到DE＝3，即可求出点D到AB的距离． 【详解】解：作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DC， ∵AC＝7，， ∴CD＝3， ∴DE＝3， ∴点D到AB的距离等于3． 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到DE＝DC． 4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．若△ACD的面积为16，AC＝8，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C． 【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，先利用三角形的面积公式求出DF＝4，然后再利用角平分线的性质可得DE＝DF＝4，即可解答． 【详解】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵△ACD的面积为16，AC＝8， ∴AC•DF＝16， ∴DF＝4， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【题型八： 利用角平分线的性质求面积 】 1．（2025·山西大同·三模）如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（   ） A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键，作于点E，求出，进而求出面积即可． 【详解】解：作于点E， 平分， 的面积是， 故选：A． 2．（2025·广西南宁·模拟预测）如图，在中，为的平分线，于点，，，则的面积为（    ） A．32 B．20 C．16 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点D作于，根据角平分线的性质定理得到，再结合，即可求出面积． 【详解】解：如图，过点D作于， ∵为的平分线，于，于，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，勾股定理的应用，含度角的直角三角形的性质，二次根式的运算，如图，过点作于点，作，交的延长线于点．证明，证明，设的长为，则，求解，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，作，交的延长线于点． 是的角平分线， ． ， ， ， ． 设的长为，则， 在中，由勾股定理得． ， ， ， 解得， ． 故选：A 4．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点G．若，，的面积为9，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，过点G作于点M，于点N．利用角平分线的性质定理证明，利用三角形面积公式求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点G作于点M，于点N． 由作图可知平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型九： 角平分线性质的证明 】 1．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB．求证：BE＝FD． 【分析】利用角平分线的性质得到CD＝CE，然后证明Rt△CBE≌Rt△CFD，从而得到BE＝FD． 【详解】证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD， ∴CD＝CE， 在Rt△CBE和Rt△CFD中， ， ∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝FD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答． 2．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【详解】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB＝∠CDB是解题的关键． 3．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC． 【分析】要证AD平分∠BAC，只需证DF＝DE．可通过证△BDF≌△CDE（AAS）来实现． 根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE，从而可得出AD平分∠BAC． 【详解】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠BFD＝∠CED＝90°． 在△BDF与△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（AAS）． ∴DF＝DE， ∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴AD是∠BAC的平分线． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键． 4．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM＝90°，根据垂直的定义得到答案； （2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM＝MN，MN＝CM，等量代换得到答案． 【详解】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴2∠MAD+2∠ADM＝180°， ∴∠MAD+∠ADM＝90°， ∴∠AMD＝90°， 即AM⊥DM； （2）作NM⊥AD交AD于N， ∵∠B＝90°，AB∥CD， ∴BM⊥AB，CM⊥CD， ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴BM＝MN，MN＝CM， ∴BM＝CM， 即M为BC的中点． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【题型十： 尺规作角平分线 】 1．（2025·上海普陀·三模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线与交于点，，垂足为．若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了尺柜作图－作角的平分线，角平分线的性质，由作图可得是的角平分线，然后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作图可得是的角平分线， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选B． 2．（2025·吉林延边·二模）如图，在中，，以点A为圆心，按照要求进行尺规作图，若的面积是4，，则（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题干作图过程，得是的平分线，得，因为的面积是4，，则，故，即可作答． 【详解】解：根据题干作图过程，得是的平分线， 过点作， ∴， ∵， ∴， ∵的面积是4，， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：A． 3．（24-25八年级下·山西太原·期中）如图，在中，，利用尺规以点C为圆心，线段的长为半径作弧，交边于点D，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线，交边于点F．若，则线段的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线，三角形全等、勾股定理，解题的关键是理解为的角平分线，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接：，由题意知射线为的角平分线， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，． (1)尺规作图： ①作的角平分线，交于点P； ②作点P到的距离．（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图、勾股定理、全等三角形的性质与判定，利用尺规正确作图是解题的关键． （1）①利用尺规作角平分线的方法即可作图；②利用尺规作垂线的方法即可作图； （2）利用勾股定理求出，再通过证明，得到，利用线段的和差即可求出的长． 【详解】（1）解：①如图所示，角平分线和点P即为所求： ②如图所示，点P到的距离即为所求： （2）解：， ， ， ， 由（1）作图得，平分，， ，， ， 又， ， ， ， 的长为． 【题型十一： 角平分线性质的实际应用 】 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，某小区的三栋单元楼分别位于的三个顶点处，要在内建一个快递站，并使快递站到每一栋单元楼的距离相等，则快递站应建在的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键． 要使快递站到的距离相等，说明快递站在的三边的垂直平分线的交点处，据此即可解答． 【详解】解：∵快递站到每一栋单元楼的距离相等， ∴快递站应建在的三边的垂直平分线的交点处． 故选B． 2．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置 C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴加油站应该在三条角平分线的交点处． 故选：A 3．（2024春·湖南株洲·八年级校考期末）如图，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为 ．    【答案】200 【分析】过作于点，根据角平分线的性质得出，再求出的长即可． 【详解】解：如图，过作于点，   ， ， ， 为的平分线，， ， ，， ， ， 此时这个人到的最短距离为， 故答案为：200． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 4．（2024春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线，作的角平分线，则交于一点，即为点P． 【详解】解：点P即为所求，如图所示：    【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型一： 利用线段垂直平分线的性质求最值 】 1．（2024春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在中，，，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是 ．    【答案】 【分析】根据题意知，故当点P与点D重合时，的最小值等于的长，根据的长度即可得到周长的最小值． 【详解】解：连接，设交于D，    ∵垂直平分， ∴， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵， ∴周长的最小值是． 故答案为：． 【点睛】此考查了垂直平分线的性质、最短路径等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 2．（2024春·江西九江·八年级统考开学考试）如图，在中，，边上的垂直平分线分别交于点D、E，若的周长是11，则直线上任意一点到A、C距离和最小为（　　）    A．28 B．18 C．10 D．7 【答案】D 【分析】利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴， 则， 又∵的周长为11， 故， 直线上任意一点到A、C距离和最小为7． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识．难度简单． 3．（2025·山东济宁·一模）如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：连接， ∵， ∴垂直平分， ， ， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当、、三点共线，且时，最小， 过点作于点交于点，如图所示： ∴当点在点处，点Q在点E处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 4．（2024春·山东青岛·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝ 时，△PDQ的周长最小． 【答案】28°/28度 【分析】根据两点之间线段最短，把三角形的周长转化为一条线段的长，利用三角形的内角和及平角的定义求解． 【详解】过点D作DF⊥BC于N，并截取NF＝DN，过点D作DE⊥AC于M，并截取ME＝DM，连接EF，则EF的长为△PDQ的最小值， 根据作图知：AC垂直平分DE，BC垂直平分DF， ∴DQ＝FQ，PD＝PE， ∴DQ+DP+PQ＝FQ+PE+PQ， 根据两点之间线段最短，所以EF的长是△PDQ的最小值， 此时有：∠FDQ∠DQP，∠MDP∠DPQ， 在△ABC中有∠A＝54°，∠C＝76°， ∴∠B＝180°－∠A－∠C ＝50°， ∴∠BDN＝40°，∠ADM＝36°， ∴∠PDQ＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP ＝180°﹣40°﹣36°（∠DQP+∠DPQ） ＝104°（180°﹣∠PDQ） ＝104°﹣90°∠PDQ， 解得：∠PDQ＝28°． 故当∠PDQ＝28°时，△PDQ的周长最小． 故答案为：28° 【点睛】本题考查了最短路径问题，通过轴对称把问题进行转化是解题的关键． 【题型二： 利用线段垂直平分线的性质探究角度之间的关系 】 1．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，已知是线段的垂直平分线，直线经过点，过点作，垂足是，点是线段上一点，连接，，平分，则线段之间的等量关系是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 过点作于，连接，先证明得，，，再证明得，由此可得出线段之间的等量关系． 【详解】解：如图，过点作于，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∵， 在和中,， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）连接、，先根据线段垂直平分线的性质的性质得，再根据角平分线的性质得，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）证明得，再结合（1）的结论，得； （3）根据（2）的结论得，再根据可得答案. 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵，D为中点， ∴， ∵，，且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 即； （3）解：由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．（2024春·福建三明·八年级统考期末）如图，四边形ABCD是长方形，E是边CD的中点，连接AE并延长交边BC的延长线于F，过点E作AF的垂线交边BC于M，连接AM． （1）请说明 ΔADE ≌ ΔFCE； （2）试说明AM = BC + MC； （3）设S△AEM= S1，S△ECM= S2，S△ABM= S3，试探究S1，S2，S3三者之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）S3=2S1-4S2，理由见解析． 【分析】（1）根据ASA可证得 ΔADE ≌ ΔFCE； （2）由（1）可得AE=EF，AD=CF，根据垂直平分线的性质可得再由线段等量关系即可说明AM = BC + MC； （3）由AE=EF得出S△ECF=S1-S2，再由底和高的倍数关系得到S△ABF=4S△ECF=4S1-4S2，从而根据S3=S△ABF-S△MAF得到结果． 【详解】解：（1）∵E是边CD的中点， ∴DE=CE， ∵∠D=∠DCF=90°，∠DEA=∠ECF， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）由（1）得AE=EF，AD=CF， ∴点E为AF中点， ∵ME⊥AF， ∴AM=MF， ∵MF=CF+MC， ∵AD=BC=CF， ∴MF=BC+MC， 即AM=BC+MC； （3）S3=2S1-4S2，理由是： 由（2）可知：AE=EF，AD=BC=CF， ∴S1=S△MEF=S2+S△ECF， ∴S△ECF=S1-S2， ∵AB=2EC，BF=2CF，∠B=∠ECF=90°， ∴S△ABF=4S△ECF=4S1-4S2， ∴S3=S△ABF-S△MAF=S△ABF-2S1=2S1-4S2． 【点睛】本题考查了长方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理。熟记性质并找出三角形全等的条件是解题的关键． 4．（2024春·山东日照·八年级统考期末）如图1，在直角△ABC中，∠C=90°，分别作∠CAB的平分线AP和AB的垂直平分线DP，交点为P． （1）如图2，若点P正好落在BC边上． ①求∠B的度数； ②求证：BC=3PC． （2）如图3，若点C、P、D恰好在一条直线上，线段AD、PD、BC之间的数量关系是否满足AD+PD=BC？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由． 【答案】（1）①∠B的度数是30°；②见解析；（2）满足，理由见解析 【分析】（1）①由垂直平分线与角平分线的性质证明：∠PAD=∠PAC=∠B，再利用直角三角形的内角和定理即可得到答案；②先利用角平分线的性质证明PC=PD，再用∠B=30°证明BP=2PD，进而即可得到结论； （2）过点P作PE⊥AC于点E，由垂直平分线的性质可知AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，进而证明PE=CE，由角平分线的性质可知PE=PD，即可证明Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），可得AE=AD，再利用线段的和差性质即可证明AD+PD=BC． 【详解】（1）①∵DP是AB的垂直平分线， ∴PA=PB， ∴∠PAD=∠B， 又∵AP平分∠CAB， ∴∠PAD=∠PAC， ∴∠PAD=∠PAC=∠B， 设∠B=x°，则∠CAB=∠PAD+∠PAC=2x°， ∵在中，∠C=90°， ∴∠B+∠BAC=90°， 即3x=90，x=30， ∴∠B的度数是30°． ②∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DP⊥AB， ∴PC=PD， ∵在Rt△BDP中，∠B=30°， ∴BP=2PD， ∴BC=BP+PC=3PC． （2）如图，过点P作PE⊥AC于点E， ∵CD是AB的垂直平分线， ∴AC=BC， ∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°． ∵PE⊥AC， ∴∠CPE=90°−∠PCE=90°−45°=45°=∠PCE， ∴PE=CE， 又∵AP平分∠CAB，PD⊥AB，PE⊥AC， ∴PE=PD， ∴在Rt△AEP和Rt△ADP中， ∴Rt△AEP≌Rt△ADP（HL）， ∴AE=AD， ∴AC=AE+EC=AD+PE=AD+PD， 又∵AC=BC， ∴AD+PD=BC． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、线段的和差性质，解答本题的关键是掌握并熟练运用以上知识． 【题型三： 利用线角平分线的性质判断多结论问题 】 1．（2024春·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在中，是高，是角平分线，是中线与相交于，以下结论正确的有（    ）    ①；②； ③；④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】解：由高的定义，得，①正确；由中线得，两三角形等底同高，于是,②正确；根据直角三角形两锐角互余及外角知识，得，结合角平分线定义可判断③正确；如图，过点E作，垂足为H，I，根据角平分线性质，得，可证得．④正确． 【详解】解：∵是高， ∴． ∴，①正确； ∵是中线， ∴． 令中边上的高为h， ∴,②正确； ∵ ∴. ∵是角平分线， ∴． ∴，③正确； 如图，过点E作，垂足为H，I， ∵是角平分线， ∴．    ．④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形角平分线，中线，高的定义，直角三角形性质，三角形内角和定理，角平分线性质；熟练掌握相关定义是解题的关键． 2．（2024春·山东威海·八年级统考期末）如图，在中，，，，分别是和的角平分线，，交于点O，分别过点O作于点M，作于点N．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）      A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据，分别是和的角平分线，求出，再根据三角形的内角和定理，即可求出，即可判断①；连接，则平分，推出，则，，进而得出，即可判断②④；通过证明，即可判断③． 【详解】解：①∵，，，分别是和的角平分线， ∴， 在中，， 故①正确，符合题意； ②④连接， ∵，分别是和的角平分线， ∴平分， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． 故②④正确，符合题意； ③在和中， ， ∴， ∴， 故③正确，符合题意． 综上：正确的有①②③④，共4个． 故选：A．    【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，解题的关键是掌握三角形的三条角平分线交于一点，角平分线上的点到两边距离相等． 3．（2024春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在中，，，，分别是的中线、角平分线和高线，交于点G，交于点H，下面说法中一定正确的是（    ） 的面积等于的面积；    ②； ③；        ④．    A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 【答案】B 【分析】①根据三角形中线平分三角形的面积，即可判断的面积等于的面积； ②先根据同角的余角相等证得，再根据角平分线的定义得出，最后根据三角形外角的性质得出，，即可得证； ③先根据同角的余角相等证得再根据角平分线的定义得出，于是推出； ④无法证得AH=BH． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的面积等于的面积， 故①正确； ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 故②正确； ∵CF是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故③正确； 无法证得AH=BH，故④错误； 故正确的有①②③ 故选∶B． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形外角的性质，同角的余角相等，角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解题的关键． 4．（2024春·湖北武汉·八年级校考期中）如图，在中，，平分，，，下列结论：平分；；若，，则； ；其中正确的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证出＋，则可得出正确； 证明，由全等三角形的性质得出 ，，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，，则可判断正确； 求出 ，可得出正确，由三角形面积公式及角平分线的性质可得出错误． 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， 故正确； ∵， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故正确； ∵，， ∴， ∴， 故正确； ∵平分， ∴点到，的距离相等，设为， ∴，， ∴， 故错误； 故选: . 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 【题型一： 线段垂直平分线的性质与判定的综合运用 】 1．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，是等边三角形，点D，E，F分别在，，AC上，且，，． (1)若，求线段的长； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形和等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和三线合一是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质，求出，再根据三线合一得到的长，最后在中，运用勾股定理求出的长． （2）先依据等腰三角形三线合一得出 ，用证明 ，得到， ，根据线段垂直平分线的判定得出结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 在中， ； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴A、D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 2．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点P，作直线． (1)求证：垂直平分； (2)若，，计算的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理；利用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，利用线段垂直平分线的判定即可证明； （2）由勾股定理求出，利用面积关系求得，即可求得． 【详解】（1）证明：∵直线分别为的垂线， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点A，P都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：设交于点D， 在中，，， 由勾股定理得：； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 3．（2024春·福建福州·八年级统考期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE． (1)求证：∠ACB＝∠ACD； (2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P． ①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE； ②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）用HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到结论； （2）①证明△NEC≌△NPC (SAS)即可； ②作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O，证明∠ MP=30°即可． 【详解】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中， BC＝CD，AC=AC， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴∠ACB=∠ACD； （2）∵Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴∠BAC=∠CAD， ∵CA=CE， ∴∠CAE=∠CED， ∵∠EBA=90°， ∴∠BEA=∠BAC=∠CAE=30°， ∵PD⊥AE，MP⊥PD， ∴AE∥MP， ∴∠PMC=∠MAE=30°， ∵ME∥AB， ∴∠MEB=90°， ∴∠MEA=120°， ∵∠MAE=30°， ∴∠EMA=30°， ∵CР⊥MP，CE⊥ME， ∴∠MCP=∠MCE=60°， ∴△NEC≌△NPC (SAS)， ∴EN=PN， ∴ N是EP的中点，NC⊥PE， ∴AM垂直平分PE； ②作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O， ∵AM垂直平分PE， ∴ME=MP， ∵∠EMP=60°， ∴∠MPE=60°， ∴∠EPD=30°， ∴∠=30°， ∴∠ MP=30°， ∵∠MЕP=60°， ∴O点与E点重合． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质定理，线段垂直平分线的判定及性质，轴对称的性质，正确掌握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键． 【题型二： 角平分线的性质与判定的综合运用 】 1．（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角的和差可得，结合，，即可由证得； （2）过点作，，由（1）可知，推出，，然后利用面积公式进而得到，根据角平线的判定定理即可判定． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ． （2）证明：过点作，，如图， 由（1）可知， ，， ， ， 又，， 平分． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键； （1）根据角平分线的性质定理即可作出判断； （2）过点P作于E，于F，如图，可得，根据补角的性质得出，证明，进而得到结论． 【详解】（1）解：是的平分线， ； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 如图，过点P作于E，于F， ， ∵是的平分线， ， ，， ， 在和中 ， ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的值； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理及其逆定理． （1）由直角三角形的性质求出，由平角定义即可求出的度数； （2）过E作于M，于N，由角平分线的性质推出，，得到，于是推出平分； （3）由的面积的面积的面积，得到，即可求出，得到，由三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过E作于M，于N， ∵平分，， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （3）解：∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积 ． 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，于点，平分，交于点E，过E作于点F，交于点G．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理．作作于M，于N，由等腰三角形的性质可得，，由角平分线的性质定理可得，从而得出、均为等腰直角三角形，证明，得出，进而得出，由等面积法结合等腰直角三角形的性质可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】（1）解：在中，，于点D， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ 又∵平分 ∴ （2）如图，作于M，于N． ∵平分， ∴， ∴、均为等腰直角三角形． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，解得． ∵为等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴．    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$