第6讲 等式性质与不等式性质 分层练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

暑假领航（人教A版 必修第一册） 第6讲 等式性质与不等式性质 A 基础夯实 一、选择题 1．如果,那么下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 2．若,,则( ) A. B. C. D. 3．已知,,则M与N大小关系是( ) A. B. C. D. 4．已知b克糖水中含有a克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为( ) A. B. C. D. 5．下列命题中正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,,则 D.若,,则 二、多项选择题 6．已知,下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 7．若，则下列不等式中一定成立的是( ) A. B. C. D. 三、填空题 8．已知a,,且,,则的取值范围是______. 9．设，，则a，b的大小关系为________. 四、解答题 10．比较下列两组代数式的大小. (1)与; (2)与. 11．（1）已知x,,求证:. （2）已知,,求代数式和的取值范围. 12．用不等式或不等式组表示下面的不等关系； （1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度h（单位：m）从地面算起不能超过； （2）a与b的和是非负实数； （3）如图，在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L（单位：m）大于宽W（单位：m）的4倍. 13．如果向一杯糖水里加糖,糖水变甜了,这其中蕴含着著名的糖水不等式：. (1)证明糖水不等式; (2)已知a,b,c是三角形的三边,求证：. B 思维拓展 一、选择题 1．下列命题为真命题的是( ) A.若，则 B.若，，则 C.若，则 D.若，则 二、多项选择题 2．如果，，那么下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 三、填空题 3．已知,,则的取值范围是__________. 四、解答题 4．港珠澳大桥通车后,经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出行,刘先生全程需要加两次油,由于燃油的价格有升也有降,现刘先生有两种加油方案,第一种方案:每次均加30升的燃油;第二种方案,每次加200元的燃油. （1）若第一次加油时燃油的价格为5元/升,第二次加油时燃油的价格为4元/升,请计算出每种加油方案的平均价格（平均价格总价格总升数）; （2）分别用m,n（）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格,请计算出每种加油方案的平均价格,选择哪种加油方案比较经济划算?并给出证明. 第6讲 等式性质与不等式性质 A 基础夯实 1．答案：D 解析：对于AB,当时,,,故AB错误； 对于C,当时,,故C错误； 对于D,因为,所以,故D正确. 故选：D. 2．答案：A 解析：因为,,所以,,所以,,故A正确,B错误； 当时,,,故C错误,D错误. 3．答案：C 解析：因为, 所以. 故选：C. 4．答案：D 解析：原糖水的浓度为，加入糖后糖水的浓度为.易知，所以加入糖后糖水变甜了.故选D. 5．答案：D 解析：对于A,若,当时,则,故A错误; 对于B,若,满足,但,故B错误; 对于C,因,,由,可得,故C错误; 对于D,由,得,因,则,故D正确. 故选:D. 6．答案：BD 解析：对于,所以,故A错误; 因为在R上单调递增,又,所以,故B正确; 令,,,,此时,,此时,故C错误; 因为,所以,因为,所以, 所以,所以,故D正确. 故选：BD. 7．答案：AC 解析：对于A，，因为，所以，即，故A正确； 对于B，，取，，则，即，故B错误； 对于C，，因为，所以，即，故C正确； 对于D，，因为，所以，即，故D错误. 故选AC. 8．答案： 解析：因为a,,且,, 所以,, 所以, 所以的取值范围是 故答案为: 9．答案： 解析：，， ， a、b的大小关系为； 故答案为：. 10．答案：(1) (2) 解析：(1), (2), . 11．答案：（1）证明见解析; （2）, 解析：（1） , (当且仅当等号成立) （2）, . 由,得①. 由,得②. 12．答案：（1） （2） （3） 解析：（3）由题，则矩形地基的长为，宽为， 则. 13．答案：(1)见解析 (2)2 解析：证明：(1). 因为,,所以,, 所以,即. (2)因为a,b,c是三角形的三边,所以, 由(1)知, 同理,, 所以, 所以原不等式成立. B 思维拓展 1．答案：D 解析：对于A，因为，所以，，所以，即，故A错误； 对于B，因为，所以，又，所以，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，若，则，，所以，故D正确.故选D. 2．答案：ACD 解析：由题知，，所以，故A正确﹔ 取，， 则，，故B不正确﹔ 因为，，所以，故C正确； 因为， 故，故D正确， 故选：ACD. 3．答案： 解析：因,而,, 则,即,, 所以的取值范围是. 4．答案：（1）方案一4.5元升;方案二元/升 （2）方案二比较经济划算,证明见解析. 解析：（1）第一种方案,两次加油共花费元,两次共加了60升燃油, 所以平均价格为元/升; 第二种方案,两次加油共花费元,两次共加了升燃油,所以平均价格为元/升; （2）由题意可得,第一种方案,两次加油共花费元,两次共加了升燃油,所以平均价格为元/升; 第二种方案,两次加油共花费元,两次共加了升燃油,所以平均价格为元/升; 且,所以选择第二种加油方案比较经济划算. ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$