2026年中考数学一轮复习 专题15 图形认识初步、相交线与平行线

专题15图形认识初步、相交线与平行线 一、选择题（共10小题） 1．（2025•前郭县模拟）下列几何体的展开图中，能围成四棱锥的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•顺义区二模）如图，∠AOC＝∠BOD＝60°，∠AOD＝80°，则∠BOC的大小为（　　） A．20° B．30° C．40° D．60° 3．（2025•海淀区校级模拟）如图，已知O为直线AB上一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOD．若∠COE＝22°，则∠AOD的大小为（　　） A．46° B．44° C．68° D．22° 4．（2025•港北区校级模拟）“学而不思则罔，思而不学则殆”源自《论语•为政》，是孔子倡导的一种读书与学习的方法．如图，将“学而不思则罔”六个字写在正方体的展开图上，折叠成正方体后，与“思”字相对的面上的字是（　　） A．学 B．而 C．则 D．罔 5．（2025•丛台区校级模拟）如图，∠1和∠2的大小关系是（　　） A．∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1≥∠2 D．∠1≤∠2 6．（2025•丹东二模）光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，若∠3＝75°，∠2＝24°，则∠1的度数是（　　） A．70° B．61° C．51° D．24° 7．（2025•盐城校级一模）将直角三角尺ABC按如图位置摆放，∠ABC＝30°，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠1＝24°，则∠2的度数是（　　） A．46° B．36° C．34° D．24° 8．（2025•开封二模）如图，直线AB、CD相交于点E，∠CEF＝90°．当∠AEC＝57°时，∠BEF的度数为（　　） A．33° B．47° C．57° D．67° 9．（2025•渭城区一模）如图，已知AB∥CD，点E是CD下方一点，连接AE，CE，若∠C＝20°，∠E＝30°，则∠A的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 10．（2025•凤城市一模）如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，a与c相交于点O，OP⊥a于点O，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 二、填空题（共10小题） 11．（2025•梁溪区校级二模）若∠α＝35°27'，则∠α的余角的度数是　 　 ． 12．（2025•朝阳区校级二模）比较大小：32°15′　 　 32.15°．（填“＞”“＜”或“＝”） 13．（2025•阳山县三模）如图是一个正方体的表面展开图，如果相对面上所标的两个数互为相反数，那么x﹣2y+z的值是 　 　 ． 14．（2025•大庆二模）一个圆柱形队鼓，底面直径6dm，高2dm，它的侧面由铝皮围成，上下底面蒙的是羊皮，做一个这样的队鼓，需要内铝皮 　 　 dm2，羊皮 　 　 dm2． 15．（2025•五通桥区模拟）如图是一个正方体的表面沿着某些棱剪开后展成的一个平面图形，若这个正方体的每两个相对面上的数字都是相反数，则x+y+z的值是　 　 ． 16．（2025•龙口市一模）如图，已知直线l1∥l2，直线l与l1，l2分别相交于点A，B．把一块含30°角的直角三角尺按如图位置摆放，若∠1＝130°，则∠ABD的度数为 　 　 °． 17．（2025•天元区校级模拟）如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠2＝68°，则∠1＝　 　 °． 18．（2025•朝阳区校级模拟）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，折线EF交AD于E，交BC于F，点C、D的落点分别是C′、D'．ED'交BC于G，再将四边形C′D′GF沿FG折叠，点C′、D'的落点分别是 C″、D″，GD″交EF于H，下列四个结论：①∠GEF＝∠GFE；②2∠EFC＝∠EGC+180°；③∠EGD″＝2∠EFG；④∠EHG＝3∠EFB．其中正确的结论是　 　 （填写序号）． 19．（2025•苏州二模）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置．若∠2＝25°，则∠1的度数为 　 　 °． 20．（2025•福州模拟）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝40°，则∠2的度数为　 　 °． 三、解答题（共6小题） 21．（2025•邯山区校级一模）已知M﹣2N＝7a2﹣7ab，且N＝﹣4a2+6ab+7． （1）求多项式M； （2）一个正方体的表面展开图如图所示，相对面上所写的两个整数之和都相等，试求（1）中M的值． 22．（2025•长安区校级模拟）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．求∠DOG的度数． 23．（2025•武汉三模）已知A﹣B﹣E﹣C﹣D是一条折线段，且AB∥CD，E为平行线间的一点． （1）如图1，若∠ABE＝130°，∠ECD＝25°，求∠BEC的度数； （2）如图2，作∠ABC的平分线交直线CD于点F，若BE⊥CE，∠BFC＝60°，∠CBE＝30°，求证：CE∥BF； （3）如图3，作∠ABE的平分线交直线CD于点F，射线BE交直线CD于点M，且∠BMF＝60°，P为射线MF上一动点，连接EP，∠EPF的平分线交直线BF于点Q．设∠BEP＝α，∠FQP＝β，请直接写出α与β的数量关系． 24．（2025•武汉三模）如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF∥CA． 求证：∠FDE＝∠A． 25．（2025•苏州模拟）【学科融合】：如图1，有一种反光板，由两面镜子AB，BC组成，入射光线DE经过镜子AB，BC反射后形成反射光线FG．在光线反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 【问题初探】：（1）如图1，当两面镜于AB，BC的夹角∠ABC＝90°时，试说明DE∥FG； 【深入探究】（2）如图2，当两面镜子AB，BC的夹角∠ABC＝70°且0°＜∠1＜90°时，光线DE在两面镜子之间经过两次反射后，以光线FG射出，FG与DE相交于H（点H不经过点E），请直接写出光线DE与镜面AB的夹角∠1的取值范围． （3）如图2，在（2）的情况下，入射光线DE与反射光线FG的夹角∠EHF的度数是否改变？如果不变，请求出这个角度；如果改变，请说明理由． 26．（2025•苏州模拟）在△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，连接ED并延长使DF＝DE． （1）证明：AC∥BF； （2）若BC＝8，AB＝5，DB平分∠ABF，求AD的长． 答案与解析 一、选择题（共10小题） 1．【答案】B 【分析】棱锥的侧面都是三角形，根据棱锥展开图的特点即可判断． 【解答】解：A、根据图形判断是正方体的展开图，本选项不符合题意； B、根据图形判断是四棱锥的展开图，本选项符合题意； C、根据图形判断是三棱柱的展开图，不符合题意； D、根据图形判断是圆柱的展开图，不符合题意． 故选：B． 2．【答案】C 【分析】根据题意，∠AOC＝∠BOD＝60°，∠AOD＝80°，由∠AOD﹣∠BOD＝∠AOB，再根据∠AOC﹣∠AOB即可得出∠BOC的度数． 【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝60°，∠AOD＝80°， ∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD ＝80°﹣60° ＝20°， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB ＝60°﹣20° ＝40°． 故选：C． 3．【答案】B 【分析】先求出∠DOE的度数，再根据角平分线的定义求出∠BOD的度数，然后根据邻补角的定义即可求出∠AOD的度数． 【解答】解：∵∠COD＝90°，∠COE＝22°， ∴∠DOE＝90°﹣22°＝68°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠BOD＝2∠DOE＝136°， ∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣136°＝44°， 故选：B． 4．【答案】A 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“思”与“学”是对面， 故选：A． 5．【答案】A 【分析】延长a，b两线交于一点C，构建△ABC，根据三角形的外角性质即可得出答案． 【解答】解：如图所示，延长a，b两线交于一点C， ∵∠1是△ABC的外角， ∴∠1＝∠2+∠C， ∴∠1＞∠2． 故选：A． 6．【答案】C 【分析】由题意得∠AEF＝∠3＝75°，然后问题可求解． 【解答】解：如图， ∵AB∥CD，∠3＝75°， ∴∠AEF＝∠3＝75°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠2＝24°， ∴∠1＝∠AEF﹣∠2＝51°， 故选：C． 7．【答案】B 【分析】因为三角板中∠ABC＝30°，得∠CAB＝60°，则∠3＝60°﹣24°＝36°，由平行线的性质可求出∠2＝∠3＝36°，即可作答． 【解答】解：如图， ∵在三角板ABC中，∠ABC＝30°， ∴∠CAB＝180°﹣90°﹣30°＝60°． ∵∠1＝24°，∠1+∠3＝∠CAB ∴∠3＝60°﹣24°＝36° ∵l1∥l2 ∴∠2＝∠3＝36°（两直线平行，内错角相等）， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 8．【答案】A 【分析】根据对顶角相等得出∠AEC＝∠DEB＝57°，进而可得∠BEF＝33°，则答案可解． 【解答】解：∵∠AEC与∠DEB是对顶角，∠AEC＝57°， ∴∠AEC＝∠DEB＝57°， ∴∠BEF＝∠DEF﹣∠DEB＝90°﹣57°＝33°， 故选：A． 9．【答案】D 【分析】由三角形外角的性质求出∠3＝50°，由平行线的性质推出∠A＝∠3＝50°． 【解答】解：如图， ∵∠C＝20°，∠E＝30°， ∴∠3＝20°+30°＝50°， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠3＝50°． 故选：D． 10．【答案】C 【分析】根据两直线平行线，同位角相等，即可求出∠3，再根据垂直的定义，即可求解， 【解答】解：如图所示： ∵a∥b ∴∠3＝∠1＝50°， ∵OP⊥a， ∴∠2+∠3＝90° ∴∠2＝90°﹣∠3＝40°， 故选：C． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】54°33′． 【分析】根据余角定义，计算90°﹣35°27'即可． 【解答】解：∵∠α＝35°27′， ∴∠α的余角＝90°﹣35°27′ ＝89°60′﹣35°27′ ＝54°33′． 故答案为：54°33′． 12．【答案】＞． 【分析】根据度分秒的进制，进行计算即可解答． 【解答】解：32.15°＝32°9′， ∵32°15′＞32°9′， ∴32°15′＞32.15°． 故答案为：＞． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】根据正方体表面展开图的特征判定相对的面，再根据相反数的意义求解即可． 【解答】解：根据正方体表面展开图的可知， “x”与“﹣8”是对面，“y”与“﹣2”是对面，“z”与“3”是对面， 又因为相对面上所标的两个数互为相反数， 所以x＝8，y＝2，z＝﹣3， 所以x﹣2y+z＝8﹣2×2﹣3＝1． 故答案为：1． 14．【答案】12π，18π． 【分析】根据圆柱体的侧面积，底面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：需要铝皮的面积，即S侧面积＝6π×2＝12π（dm2）， 需要羊皮的面积，即2S底面积＝2×π×（）2＝18π（dm2）， 故答案为：12π，18π． 15．【答案】﹣14． 【分析】相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点求出x，y，z，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【解答】解：根据题意得：2和z，3和y，5和x+4所在的面是相对面， ∵每两个相对面上的数字都是相反数， ∴z＝﹣2，y＝﹣3，x+4＝﹣5， 解得：x＝﹣9， ∴把x＝﹣9，z＝﹣2，y＝﹣3代入x+y+z可得： x+y+z＝﹣9+（﹣3）+（﹣2）＝﹣9﹣3﹣2＝﹣14． 故答案为：﹣14． 16．【答案】20． 【分析】利用平行线的性质求出∠CBA即可解决问题． 【解答】解：如图，∵l1∥l2， ∴∠DAB+∠CBA＝180°， ∴∠DAB＝∠1＝130°， ∴∠CBA＝180°﹣∠DAB＝50°， ∵∠DBC＝30°， ∴∠ABD＝∠CBA﹣∠DBC＝50°﹣30°＝20°， 故答案为：20． 17．【答案】112． 【分析】利用平行线的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：如图： ∵AC∥BD， ∴∠ACD＝∠2＝68°， ∵AB∥CD， ∴∠1＝180°﹣∠ACD＝112°， 故答案为：112． 18．【答案】①②④． 【分析】根据平行线的性质得到∠DEF＝∠GFE，根据折叠性质得到∠GEF＝∠DEF，即可得到∠GEF＝∠GFE，故①正确；根据平行线的性质得到∠EGC+∠GED＝180°，根据折叠的性质得到∠GED＝2∠DEF＝2∠GEF，结合∠EFC＝∠EGC+∠GEF，即可求出2∠EFC＝∠EGC+180°，故②正确；先证明∠D′GF＝2∠EFG，根据折叠性质得∠D″GF＝∠D′GF，结合∠EGD″+∠D″GF+∠D′GF＝180°，得到当∠EGD″＝∠D″GF＝∠D′GF＝60°时，∠EGD″＝2∠EFG，故③错误；根据∠D″GF＝∠GED＝∠GEF+∠FED＝2∠EFB，即可得到∠EHG＝∠EFB+∠D″GF＝3∠EFB，故④正确，符合题意． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠GFE． 根据折叠的性质得，∠GEF＝∠DEF， ∴∠GEF＝∠GFE． 故①正确，符合题意； ∵AD∥BC， ∴∠EGC+∠GED＝180°， 根据折叠的性质得，∠GED＝2∠DEF＝2∠GEF， ∵∠EFC＝∠EGC+∠GEF， ∴2∠EFC＝2∠EGC+2∠GEF＝∠EGC+∠GED+∠EGC＝∠EGC+180°， 故②正确，符合题意； ∵∠GEF＝∠GFE，∠D′GF＝∠GEF+∠GFE， ∴∠D′GF＝2∠EFG， 根据折叠的性质得，∠D″GF＝∠D′GF， ∵∠EGD″+∠D″GF+∠D′GF＝180°， ∴当∠EGD″＝∠D″GF＝∠D′GF＝60°时，∠EGD″＝2∠EFG， 故③错误，不符合题意； ∵∠D″GF＝∠D′GF＝∠EGB＝∠GED＝∠GEF+∠FED＝2∠EFB， ∴∠EHG＝∠EFB+∠D″GF＝∠EFB+2∠EFB＝3∠EFB． 故④正确，符合题意； 故答案为：①②④． 19．【答案】20． 【分析】延长AC，交直线n于点D，由平行线的性质得∠3＝∠2＝25°，进而由三角形外角性质得∠4＝20°，最后根据对顶角相等即可求解． 【解答】解：延长AC，交直线n于点D， ∵m∥n， ∴∠3＝∠2＝25°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠3+∠4＝45°， ∴∠4＝45°﹣25°＝20°， ∴∠1＝∠4＝20°， 故答案为：20． 20．【答案】80． 【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：如图， 由题意得，∠3＝60°， ∵∠1＝40°， ∴∠4＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∵AB∥CD， ∴∠4＝∠2＝80°， 故答案为：80． 三、解答题（共6小题） 21．【答案】（1）M＝﹣a2+5ab+14； （2）38． 【分析】（1）把N＝﹣4a2+6ab+7代入M﹣2N＝7a2﹣7ab计算即可得到答案； （2）根据正方体平面展开图得到15与﹣6相对，a与8相对，b与4相对，求出a，b的值，将a，b的值代入计算即可得到答案． 【解答】解：（1）∵M﹣2N＝7a2﹣7ab，且N＝﹣4a2+6ab+7， ∴M﹣2（﹣4a2+6ab+7）＝7a2﹣7ab， M+8a2﹣12ab﹣14＝7a2﹣7ab， M＝7a2﹣7ab﹣8a2+12ab+14， M＝﹣a2+5ab+14； （2）由条件可知a+8＝b+4＝15+（﹣6）＝9， ∴a＝1，b＝5， ∴M＝﹣a2+5ab+14＝﹣12+5×1×5+14＝38， ∴M的值为38． 22．【答案】55°． 【分析】根据对顶角相等可得∠BOF＝∠AOE＝70°，由CD⊥EF可得∠DOF＝90°，再根据角平分线的性质求得∠GOF，进而根据∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF计算即可． 【解答】解：∵三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE＝70°， ∴∠BOF＝∠AOE＝70°， ∵CD⊥EF， ∴∠DOF＝90°， ∵OG平分∠BOF， ∴， ∴∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF＝90°﹣35°＝55°． 23．【答案】（1）75°； （2）证明见解答； （3）α＝180°﹣2β或α＝2β． 【分析】（1）过点E作AB的平行线EH，利用平行线的判定和性质即可解答； （2）利用平行线的性质和角平分线的定义可得∠FGC＝60°，根据三角形内角和求得∠BCE＝60°，即可解答； （3）分类讨论：分点P在点F左边或右边，画出图形，分别进行解答即可． 【解答】（1）解：如图，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥CD，AB∥EF， ∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝50°，CD∥EF， ∴∠FEC＝∠ECD＝25°， ∴∠BEC＝∠BEF+∠FEC＝75°； （2）证明：∵AB∥FD， ∴∠ABF＝∠BFC＝60°， ∵BF是∠ABC的平分线， ∴∠ABF＝∠FBC＝60°， ∵BE⊥CE，∠CBE＝30°， ∴∠BCF＝60°＝∠FBC， ∴EC∥BF； （3）解：当点P在点F左边时，如图， ∴∠BMF＝60°，BF平分∠ABM， ∴∠ABM＝120°， ∵BF平分∠ABM， ∴∠ABF＝∠FBE＝60°， ∴∠BFM＝60°， ∴∠QPF＝60°﹣β， ∵PQ平分∠EPF， ∴∠EPM＝2∠QPF＝120°﹣2β， ∴∠BEP＝∠EPM+∠EMP， 即α＝120°﹣2β+60°＝180°﹣2β； 当点P在点F右边时，如图， ∴∠QPF＝180°﹣∠QFP﹣∠FQP＝120°﹣β， ∵PQ平分∠EPF， ∴∠EPF＝2∠QPF＝240°﹣2β， ∴∠EPM＝180°﹣∠EPF＝2β﹣60°， ∴∠BEP＝∠EPM+∠EMP， 即α＝2β﹣60°+60°＝2β， 综上，α＝180°﹣2β或α＝2β． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】根据平行线的性质证明即可． 【解答】证明：∵DE∥BA， ∴∠FDE＝∠BFD； ∵DF∥CA， ∴∠A＝∠BFD， ∴∠FDE＝∠A． 25．【答案】（1）见解析；（2）20°＜∠1＜90°；（3）∠EHF的度数是固定的，为40°． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠2+∠3＝180°﹣∠ABC＝90°，根据∠1＝∠2，∠3＝∠4．得出∠1+∠4＝90°，进而得出∠DEF+∠EFG＝180°，即可得证； （2）根据三角形内角和定理得出∠1+∠3＝110°，在△BDE中，∠BED＝180°﹣2∠1，在△BCF中，∠BFC＝180°﹣2∠3．根据题意可得∠BED＞0°且∠BFC＞0°，解不等式组即可求解． （3）根据三角形内角和定理可得，在△ABC中，得出∠1+∠4＝110°．在△DEH中，∠EHF＝（∠1+∠4）﹣∠B，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠2+∠3＝180°﹣∠ABC＝90°． ∴∠1+∠4＝90°， ∴∠DEF+∠EFG＝180°﹣∠1﹣∠2+180°﹣∠3﹣∠4＝180°， ∴DE∥FG． （2）解：在△ABC中，∠ABC＝70°， 所以∠2+∠3＝180°﹣∠ABC＝110°． 因为∠1＝∠2，∠3＝∠4， 所以∠1+∠3＝110°． 在△BDE中，∠BED＝180°﹣2∠1， 在△BCF中，∠BFC＝180°﹣2∠3． 由于光线能在两面镜子之间经过两次反射，所以∠BED＞0°且∠BFC＞0°． 即180°﹣2∠1＞0°， 解得∠1＜90°；180°﹣2∠3＞0°． 把∠3＝110°﹣∠1代入得180°﹣2（110°﹣∠1）＞0°， 解180°﹣2（110°﹣∠1）＞0°， ∴180°﹣220°+2∠1＞0°． 解得∠1＞20°． ∴20°＜∠1＜90°． （3）解：由条件可知∠2+∠3＝180°﹣∠ABC＝110°． 因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1+∠4＝110°． ∠EHF+∠B＝∠1+∠4＝110°， ∴∠EHF＝110°﹣70°＝40°， ∴∠EHF的度数是固定的，为40°． 26．【答案】（1）见详解； （2）3． 【分析】（1）证明△BDF≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠FBD＝∠C，然后证明结论即可； （2）证明△ABC为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，，然后利用勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDF和△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（SAS）， ∴∠FBD＝∠C， ∴AC∥BF； （2）解：由条件可知∠FBD＝∠ABD， 由（1）可知，∠FBD＝∠C， ∴∠ABD＝∠C， ∴AB＝AC，即△ABC为等腰三角形， ∴AD⊥BC，， ∴在Rt△ABD中，． 第8页（共21页） 学科网（北京）股份有限公司 $$