2026年中考数学一轮复习 专题13 反比例函数

专题13反比例函数 一、选择题（共10小题） 1．（2025•长春校级二模）已知点P（n，y1）和点Q（n+3，y2）均在反比例函数（k是常数，k＜0）的图象上，则下列结论正确的是（　　） A．当n＜﹣3时，y2＞y1＞0 B．当﹣3＜n＜0时，y2＞y1＞0 C．当﹣3＜n＜0时，y2＞0＞y1 D．当n＞0时，y1＞y2＞0 2．（2025•顺德区校级三模）点（a，b）在函数图象上，下列说法正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点（b，a）和点（﹣b，﹣a）都在图象上 D．当x＜1时，y＜﹣6 3．（2025•萧县一模）若点A（x1，﹣3），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系为（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x3＜x1＜x2 D．x1＜x3＜x2 4．（2025•凤庆县模拟）下列函数不是反比例函数的是（　　） A．y＝2025x﹣1 B．xy＝2025 C． D． 5．（2025•太和县三模）已知一次函数y1＝2x﹣3与反比例函数交于点A（2，a），则反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 6．（2025•兰州校级模拟）若反比例函数的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣3 B．m＞﹣3 C．m＜0 D．m＞0 7．（2025•宣城二模）如图，直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作PB⊥x轴于点B，且PB＝4，则k的值为（　　） A．10 B．12 C．16 D．18 8．（2025•宝安区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点B在y轴上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点C在反比例函数的图象上，则平行四边形OABC的面积是（　　） A．32 B．16 C．8 D． 9．（2025•衢江区一模）若A（x1，a），B（x2，a）两点分别是双曲线和图象上的点．若k1＞k2＞0，且a＞0，则x1和x2的大小为（　　） A．x1＞x2 B．x1＜x2 C．x1＝x2 D．x1≥x2 10．（2025•西乡塘区校级模拟）如果点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，若0＜x1≤x2，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2 二、填空题（共10小题） 11．（2025•天宁区校级一模）已知反比例函数y，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 　 　 ． 12．（2025•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点（x1，3）和（x2，﹣3），则x1+x2的值是　 　 ． 13．（2025•乾县校级二模）已知点A（2，y1），B（2，y2）分别在反比例函数和的图象上，连接AB．若AB＝3，则k的值为　 　 ． 14．（2025•青山区校级三模）已知正比例函数图象与反比例函数图象都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为　 　 ． 15．（2025•碑林区校级模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点P，点A和B都在x轴上，△PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，，则k＝　 　 ． 16．（2025•如皋市二模）如图，A，B两点分别在函数和的图象上，过点B作y轴的垂线，垂足为点C，作点A关于原点O的对称点D，连接AC，AD，BD，若AC∥BD，且∠A＝2∠B，则k的值等于 　 　 ． 17．（2025•台州校级二模）若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数的图象交于点A（a，6），B（﹣2，b），则k1+k2的值为　 　 ． 18．（2025•花都区校级三模）在温度不变的条件下，通过对汽缸（图1）活塞重复加压，测得汽缸内气体压强P（kPa）与体积V（mL）成反比例函数关系，其函数图象如图2所示．若压强由40kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 　 　 mL． 19．（2025•鼓楼区校级三模）如图，点A（4，a）在双曲线上，作直线OA交双曲线于点B，过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC，已知△ABC的面积为2，那么k＝ 　 　 ． 20．（2025•罗湖区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，点B，C分别为反比例函数的图象上的点，且BC∥x轴，已知△ABC的面积为3，则k的值为 　 　 ． 三、解答题（共6小题） 21．（2025•湖北模拟）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（1，4），B（n，﹣1）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在x轴上有点C，且点C坐标为（m，0），若△ABC的面积小于10，求m的取值范围． 22．（2025•西湖区校级三模）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段AB的函数表达式为：，线段BC持续的时间恰为10分钟，曲线CD为反比例函数图象的一部分． （1）求m的值及曲线CD的函数表达式． （2）若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 23．（2025•前郭县模拟）某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： t（单位：s） 10 20 30 40 50 P（单位：W） 120 60 40 30 24 （1）写出功率P（W）与做功的时间t（s）之间的函数关系式； （2）在平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）结合图象，求当功率小于100W时，做功时间t的取值范围． 24．（2025•宜城市二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点A（m，1），B（﹣3，n），与x轴相交于点C（3，0）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集． 25．（2025•东莞市校级模拟）【问题情境】如图1，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（6，4），反比例函数的图象与边BC和边AB分别交于点D和点E，连接DE． 【数学理解】（1）如图1，当CD＝BE时，求点D和点E的坐标； （2）如图2，连接AC，请判断DE与AC的位置关系，并给出证明； （3）如图3，将△BDE沿DE折叠，点B关于DE的对称点为点B′，当点B′不落在矩形OABC外部时，求k的取值范围． 26．（2025•珠海三模）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，6），D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数（x＞0）的图象经过点D且与边AB交于点E，连接DE． （1）如图1，若点D是CB的中点，求E点的坐标； （2）如图2，若直线DE与x轴、y轴分别交于M点，N点，过D作DP⊥x轴交于P点，过E作EQ⊥y轴交于Q点，DP与EQ交于点H，连接PQ，求证：DE∥PQ； （3）如图3，将△BDE沿DE折叠，点B关于DE的对称点为点B′，当点B′落在矩形OABC内部时，求k的取值范围． 答案与解析 一、选择题（共10小题） 1．【答案】A 【分析】根据反比例函数解析式得到，函数图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，由此即可求解． 【解答】解：反比例函数，k＜0， ∴函数图象经过第二、四象限，每个象限y随x的增大而增大，当x＜0时，y＞0，当x＞0时，y＜0， 当n＜﹣3时，n+3＜0，则y2＞y1＞0，故A选项正确，符合题意； 当﹣3＜n＜0时，0＜n+3＜3，则y2＜0＜y1，故B、C选项错误，不符合题意； 当n＞0时，n+3＞3，则y2＞y1＞0，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 2．【答案】C 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解反比例函数性质逐项分析判断即可． 【解答】解：A、反比例函数k＜0，在每个象限内y随x的增大而增大，选项说法不正确，不符合题意； B、反比例函数k＜0，图象分布在第二、四象限，图象关于原点对称，选项说法不正确，不符合题意； C、点（a，b）在函数图象上，所以点（b，a）和点（﹣b，﹣a）都在图象上，选项说法正确，符合题意； D、当0＜x＜1时，y＜﹣6，选项说法不正确，不符合题意； 故选：C． 3．【答案】B 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可． 【解答】解：∵反比例函数中，k＝﹣2＜0， ∴反比例函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∵﹣3＜0，2＜3， ∴点A（x1，﹣3）在第四象限，B（x2，2），C（x3，3）在第二象限， ∴x2＜x3＜x1． 故选：B． 4．【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义回答即可． 【解答】解：A．y＝2025x﹣1是一次函数，不是反比例函数，故该选项符合题意； B．xy＝2025，是反比例函数，故该选项不符合题意； C．y是反比例函数，故该选项不符合题意； D．y是反比例函数，故该选项不符合题意． 故选：A． 5．【答案】A 【分析】利用一次函数的解析式求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得． 【解答】解：∵一次函数y1＝2x﹣3与反比例函数交于点A（2，a）， ∴a＝2×2﹣3＝1， ∴A（2，1）， ∴k＝2×1＝2， 则反比例函数的解析式为y， 故选：A． 6．【答案】B 【分析】先根据函数的增减性得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可 【解答】解：∵反比例函数的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小， ∴m+3＞0， 解得m＞﹣3． 故选：B． 7．【答案】C 【分析】先把P点的纵坐标代入中可确定P点坐标，然后把P点坐标代入中可计算出k的值． 【解答】解：∵PB＝4， ∴P点的纵坐标为4， 把y＝4代入得x＝4， ∴P点坐标为（4，4）， 把P（4，4）代入得4， 解得k＝16． 故k的值为16． 故选：C． 8．【答案】B 【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，再根据反比例函数系数k的几何意义，求得△ABE的面积＝△COD的面积相等＝5，△AOE的面积＝△CBD的面积相等＝3，最后计算平行四边形OABC的面积． 【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，则∠AEB＝∠CDO＝90°， 由条件可知AB＝CO，AB∥CO， ∴∠ABE＝∠COD， ∴△ABE≌△COD（AAS）， ∴△ABE与△COD的面积相等， ∴△ABE的面积＝△COD的面积相等， 同理可得：△AOE的面积＝△CBD的面积相等， ∴平行四边形OABC的面积2×（3+5）＝16， 故选：B． 9．【答案】A 【分析】根据题意，分别表示出x1和x2，再将两者相减即可． 【解答】解：由题知， 将A，B两点坐标分别代入双曲线的函数解析式得， ， 则． 又因为k1＞k2＞0，且a＞0， 所以x1﹣x2＞0， 则x1＞x2． 故选：A． 10．【答案】D 【分析】根据反比例函数的增减性解答即可． 【解答】解：∵k＝﹣6＜0， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵0＜x1≤x2， ∴y1≤y2． 故选：D． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】k＜1． 【分析】根据反比例函数的性质解答本题即可． 【解答】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大， ∴k﹣1＜0， ∴k＜1． 故答案为：k＜1． 12．【答案】0． 【分析】将两点代入得到x1，x2，则x1+x2＝0． 【解答】解：∵函数的图象经过点（x1，3）和（x2，﹣3）， ∴x1，x2， ∴x1+x2＝0． 故答案为：0． 13．【答案】5． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵点A（2，y1），B（2，y2）分别在反比例函数和的图象上， ∴y1，y2， ∵AB＝3， ∴， 解得k＝5． 故答案为：5． 14．【答案】． 【分析】根据正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点关于原点对称作答即可． 【解答】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点关于原点对称， ∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为， 故答案为：． 15．【答案】4． 【分析】过P点作PH⊥x轴于点H，根据△PAB是等腰直角三角形且PA＝PB，可求出点P的纵坐标，代入正比例函数可求出点P的横坐标，从而可求出k． 【解答】解：如图：过P点作PH⊥x轴于点H， ∵△PAB是等腰直角三角形且PA＝PB，， ∴PHAB， 当y时，， ∴x＝2， ∴点P坐标为（2，）， 将点P（2，）代入反比例函数中得：k4， 故答案为：4． 16．【答案】见试题解答内容 【分析】依据题意，作AE∥BC交BD于点E，故可得∠AED＝∠DAE，从而DE＝DA，则点D在AE的垂直平分线上，然后结合A、B分别在反比例函数y和y上，则可设A（a，），B（b，），从而D（﹣a，），又BC∥x轴，可得C（0，），利用平移的性质可得E的横坐标为：b+a，再利用对称性，可得a，即b＝﹣4a，最后由BD∥CA，则kBD＝kCA，进而，进而可以计算得解． 【解答】解：由题意，作AE∥BC交BD于点E， ∴∠AED＝∠B． 又∵AC∥BD， ∴∠CAE＝∠AED＝∠B． 又∵∠CAD＝2∠B，∠CAD＝∠CAE+∠DAE， ∴∠AED＝∠DAE． ∴DE＝DA． ∴点D在AE的垂直平分线上． ∵A、B分别在反比例函数y和y上， ∴可设A（a，），B（b，）． ∵点A关于原点O的对称点D， ∴D（﹣a，）． ∵BC∥x轴， ∴C（0，）． 由题意可得，BE∥CA，且BE＝CA， ∵C（0，），A（a，），B（b，）， ∴E的横坐标为：b+a． 又∵点D在AE的垂直平分线上，D（﹣a，）， ∴a． ∴b＝﹣4a． 又∵BD∥CA， ∴kBD＝kCA． ∴． ∴a（）＝（）（b+a）． ∴22﹣k． 又∵b＝﹣4a， ∴k+2＝﹣8+2﹣kk． ∴k＝﹣16． 故答案为：﹣16． 17．【答案】15． 【分析】先根据反比例函数的对称性求得A（2，6），B（﹣2，﹣6），继而可求k1和k2． 【解答】解：由条件可知点A（a，6）与B（﹣2，b）关于原点对称， ∴a＝2，b＝﹣6， ∴A（2，6），B（﹣2，﹣6）， ∵正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数的图象交于点A（2，6），B（﹣2，﹣6）， ∴6＝2k1， ∴k1＝3，k2＝2×6＝12， ∴k1+k2＝15． 故答案为：15． 18．【答案】90． 【分析】根据题意先设解析式为，代入（80，75）得出反比例解析式，再将压强40kPa和100kPa分别代入求出自变量值再做减法即可． 【解答】解：汽缸内气体压强P（kPa）与体积V（mL）成反比例函数关系，设反比例函数解析式为，将（80，75）代入得： 75， 解得：k＝6000， ∴反比例解析式为， ∴当压强为40kPa时，v150（ml）， 当压强为100kPa时，v60（ml）， ∴压强由40kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了：150﹣60＝90（ml）， 故答案为：90． 19．【答案】18． 【分析】先求出A点坐标进而求出OA的解析式，过点B作B D⊥y轴，延长CA交BD于点E，根据三角形的面积公式，求出B点坐标，即可得出k值． 【解答】解：点A（4，a）在双曲线y（x＞0）上， ∴4a＝8， ∴a＝2， ∴A（4，2） 设直线OA的解析式为y＝mx，则：2＝4m， ∴m， ∴yx， 设B（n，n）， 过点B作B D⊥x轴，延长CA交BD于点E，则： ∵AC⊥y轴， ∴CE⊥BD， ∴四边形OCED为矩形， ∵A（4，2）， ∴AC＝4，DE＝OC＝2， ∵S△ACBAC•BE＝2， ∴BE＝1， ∴BD＝3， ∴n＝3， ∴B（6，3）， ∴k＝6×3＝18． 故答案为：18． 20．【答案】﹣2． 【分析】如解图，连结OC，OB，因为BC∥x轴，则S△ACB＝S△OCB，而，则，则|k|＝2，解得k＝±2，根据k＜0，则k＝﹣2． 【解答】解：如解图，连结 OC，OB， ∵BC∥x轴， ∴S△ACB＝S△OCB，而， ， ∴|k|＝2， 解得k＝±2， ∵k＜0， ∴k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 三、解答题（共6小题） 21．【答案】（1）或y＝x+3； （2）﹣7≤m≤1． 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可； （2）先求出直线与x轴的交点，再根据△ABC的面积小于10，列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）由条件可得k＝4， ∴， 把B（n，﹣1）代入得：n＝﹣4， 由条件可得： ， 解得， ∴y＝x+3； （2）把y＝0代入y＝x+3得：0＝x+3， 解得：x＝﹣3， ∴直线y＝x+3与x轴的交点坐标为（﹣3，0）， ， 整理得：|m+3|≤4， 当m＜﹣3时，﹣m﹣3≤4， 解得：m≥﹣7， ∴此时﹣7≤m＜﹣3； 当m≥﹣3时，m+3≤4， 解得：m≤1， ∴此时﹣3≤m≤1； 综上分析可知：﹣7≤m≤1． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把y＝40，x＝m代入yx+15得40m+15，解方程得到m＝10，求得B（10，40），得到C（20，40），设反比例函数的解析式为y，把C（20，40）代入y，解方程即可得到结论； （2）分别求出注意力指数为32时的两个时间，再将两时间之差和18比较，大于18则能讲完，否则不能． 【解答】解：（1）把y＝40，x＝m代入yx+15得40m+15， 解得m＝10， ∴B（10，40）， ∵线段BC持续的时间恰为10分钟， ∴C（20，40）， 设反比例函数的解析式为y， 把C（20，40）代入y得40得k＝800， ∴曲线CD的函数表达式为y； （2）令y＝32， ∴32x+15， ∴x＝6.8， 令y＝32， ∴32， ∴x25， ∵25﹣6.8＝18.2＞18， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 23．【答案】（1）P． （2）见解答过程． （3）t＞12． 【分析】（1）先设出P与t的函数解析式，再把表中一组数据代入解析式即可； （2）描点连线即可； （3）把P＝100代入函数解析式即可． 【解答】解：（1）设功率P（W）与做功的时间t（s）之间的函数关系式P（k≠0）， 把t＝10，P＝120代入解析式得：120， 解得：k＝1200， ∴功率P（W）与做功的时间t（s）之间的函数关系式为P． （2）如图所示： （3）当P＝100时，100， ∴t＝12， ∴当功率小于100W时，做功时间t的取值范围为t＞12． 24．【答案】（1），； （2）﹣2＜x＜0或x＞6． 【分析】（1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求得b值，即可得到一次函数解析式，再求出m，进而利用待定系数法求解反比例函数解析式即可； （2）根据图象，只需找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分点的横坐标的取值范围即可求解． 【解答】解：（1）由题意得， 解得：b＝1， ∴一次函数解析式为：； 将A（m，1）代入得：， 解得：m＝6， ∴A（6，1）， 将A（6，1）代入得k＝6， ∴； （2）∵xA＝6，xB＝﹣3， ∴不等式的解集为﹣2＜x＜0或x＞6． 25．【答案】（1）D（2.4，4），E（6，1.6）； （2）见解析； （3）k的取值范围是k≤24． 【分析】（1）如图1，根据矩形的性质得到BC∥x轴，AB∥y轴，设CD＝BE＝a，得到D（a，4），E（6，4﹣a），列方程即可得到结论； （2）证明△BED∽△BAC，即可求解； （3）当点B'在y轴上时，k的值最小；若点D与点B重合，则k的值最大；若点D与点B重合，则k＝xy＝4×6＝24，即可求解． 【解答】（1）解：∵四边形OABC是拒形， ∴BC∥x轴，AB∥y轴， ∵B（6，4），CD＝BE， 设CD＝BE＝a， ∴D（a，4），E（6，4﹣a）， ∵点D，E在反比例函数的图象上， ∴4a＝6×（4﹣a）， ∴a＝2.4， ∴D（2.4，4），E（6，1.6）； （2）证明：∵点D、点E都在双曲线y上， ∴D（，4）、E（6，）， 则BD＝6，BE＝4， 则1，同理可得：1， ∵，∠B＝∠B， ∴△BED∽△BAC， ∴∠BDE＝∠BAC ∴DE∥AC； （3）解：如图3，连接AC、BB'交于点I，BB'交DE于点F， ∵D（，4）， .∴k随x的增大而增大， ∴当点B'在x轴上时，k的值最小；若点D与点B重合，则k的值最大， ∵DE垂直平分BB'，DE∥AC， ∴∠BFD＝∠BIC＝∠BIA＝90° ∴∠B′BA＝∠ACB＝90°﹣∠BAC， ∵B′A＝ABtan∠B′BA＝ABtan∠BCA＝4， ∴B′A2+AE2＝B′E2，且B′E＝BD＝4﹣AE， ∴（）2+AE2＝（4﹣AE）2， 解得AE 则点E（6，）， 则k＝xy6． 若点D与点B重合，则k＝xy＝4×6＝24， ∴k的取值范围是k≤24． 26．【答案】（1）点E的坐标为（4，3）；（2）见解析；（3）k的取值范围是． 【分析】（1）由D是CB的中点，求出D（2，6），再代入中求出双曲线解析式，进而求解； （2）证明△DHE∽△PHQ，即可求解； （3）当点B'在y轴上时，k的值最小；若点D与点B重合，则k的值最大；若点D与点B重合，则k＝xy＝4×6＝24，即可求解． 【解答】（1）解：∵四边形OABC是矩形， ∴BC∥x轴，AB∥y轴， ∵B（4，6），D是CB的中点， ∴D（2，6）， ∵双曲线经过点D（2，6）， ∴k＝xy＝2×6＝12， ∴， 当x＝4时，， ∴点E的坐标为（4，3）； （2）证明：∵点D、点E都在双曲线， ∴，E（4，），H（）， ∴BD，，QH，， ∵DP⊥x轴，EQ⊥y轴， ∴四边形BDHE是矩形， ∴EH＝BD＝4﹣5，， ∴，， ∴， 又∵∠DHE＝∠PHQ， ∴△DHE∽△PHQ， ∴∠HPQ＝∠HDE， ∴DE∥PQ； （3）解：如图，连接AC、BB'交于点I，BB'交DE于点F， ∵， ∴k随x的增大而增大， ∴当点B'在y轴上时，k的值最小；若点D与点B重合，则k的值最大， ∵DE垂直平分BB'，DE∥AC， ∴∠BFD＝∠BIC＝∠BIA＝90°， ∴∠B'BC＝∠BAC＝90°﹣∠ABB'， ∵， ∴B'C2+CD2＝B'D2，且 B'D＝BD＝4﹣CD， ∴， 解得：， 则点， 则， 若点D与点B重合，则k＝xy＝4×6＝24， ∴k的取值范围是． 第23页（共24页） 学科网（北京）股份有限公司 $$