2026年中考数学一轮复习 专题10 分式方程及应用

专题10分式方程及应用 一、选择题（共10小题） 1．（2025•建华区三模）若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是（　　） A．m≠﹣1 B． C．m＞﹣1且 D．m≠﹣1且 2．（2025•古塔区校级三模）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤3 B．m≥3 C．m≤3且m≠﹣1 D．m≤2且m≠﹣1 3．（2025•东莞市校级模拟）分式方程的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 4．（2025•东明县一模）DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．x+（x﹣2）＝1.2 5．（2025•兴庆区校级三模）在古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构使得建筑物连接牢固，工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同，设制作1个榫需要的木材为x千克，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 6．（2025•东莞市三模）方程解是（　　） A．x＝2 B．x＝5 C．x＝1 D．x＝﹣2 7．（2025•临川区一模）在物理学中，物质的密度ρ等于物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为3：5，当物体A的质量是100g，物体B的质量是200g时，物体B的体积比物体A的体积小27cm3.如果设物体A的体积是x cm3，那么根据题意列方程为（　　） A． B． C． D． 8．（2025•镇海区校级模拟）已知关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2 9．（2025•黑龙江一模）若分式方程无解，则a的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 10．（2025•牡丹江模拟）已知k为整数，关于x的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共10小题） 11．（2025•利通区校级二模）若关于x的分式方程无解，则m的值为 　 　 ． 12．（2025•仪征市校级三模）已知关于x的分式方程解为正数，则m的取值范围是　 　 ． 13．（2025•顺义区二模）方程的解为　 　 ． 14．（2025•南岗区校级三模）对于实数m、n，定义一种新运算“※”为m※n，这里等式右边是实数运算，例如：2※3，则方程x※（﹣1）1的解为 　 　 ． 15．（2025•锡山区校级四模）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 　 　 ． 16．（2025•宿城区二模）已知关于x的分式方程的解为负数，则字母a的取值范围是 　 　 ． 17．（2025•莲都区二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文是：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为x天，则根据题意可列方程为　 　 ． 18．（2025•海淀区校级模拟）方程的解为　 　 ． 19．（2025•如皋市二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是　 　 ． 20．（2025•三台县一模）小丽和小颖相约周末到百乐影院看电影，她们的家分别距离百乐影院1800m和2400m．两人分别从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度比是2：3，结果小丽比小颖晚4min到达剧院，则小丽的速度是 　 　 m/min． 三、解答题（共7小题） 21．（2025•台江区校级三模）解分式方程：2． 22．（2025•虹口区三模）解方程：． 23．（2025•宁海县二模）小明解分式方程如表所示，小慧认为小明过程有错误，请指出过程中首次出错的是 　 　 （填序号），并给出正确的解题过程． 解方程：1 解：去分母得，x+x﹣3＝2① ①移项得，2x＝3+2② ②所以，x③ ③经检验：x不是原方程的根，原方程无解．④ 24．（2025•新宾县校级模拟）“开心水果店”用3200元购进一批糖心苹果，很快售完．该店又用3000元购进第二批这种糖心苹果，已知第二批的进货价比第一批的进货价每千克少了1元，第一批购进数量比第二批少20%． （1）求第一批购进的苹果每千克多少元． （2）该水果店销售第一批苹果时，每千克的售价为6元，全部售完后购进第二批苹果，发现第二批苹果品质不如第一批，该店主决定降价销售，在销售过程中仍有5%的苹果出现了腐坏现象、不能销售、若该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2875元，则第二批销售最多能降价多少元？ 25．（2025•古塔区校级三模）为了助力乡村振兴，某乡镇政府计划对一条长3000米的乡村道路进行改造． （1）该工程原计划由甲队单独施工，工期为160天．刚开始每天施工16米，施工一段时后，甲队改进技术，施工效率提高了25%，刚好按时完工，则技术改造前甲队施工了多少天． （2）由于工期需要，该工程决定由甲、乙两队共同完成，通过工程招标，甲队获得了1800米的改造工程，乙队获得了1200米的改造工程．甲、乙两队同时开始施工，甲队每天比乙队多施工20%，结果甲队比乙队晚20天完成任务．求乙队平均每天施工的米数． 26．（2025•宁江区四模）机器狗在景区充当“挑山工”的现象成为今年“五一”文旅市场的一大亮点．景区有300千克货物需要搬运．已知机器狗A每小时能搬运的货物重量是机器狗B的1.2倍，机器狗A单独搬运货物所需的时间比机器狗B少1小时．求两只机器狗每小时分别能搬运多少千克的货物． 27．（2025•温州模拟）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得（x﹣1）﹣（x﹣4）＝2﹣x， 去括号：x﹣1﹣x+4＝2﹣x， 移项：x＝1． 所以原方程的解是x＝1. 小迪： 解：去分母，得（x﹣1）+（x﹣4）＝﹣1， 去括号：x﹣1+x﹣4＝﹣1， 移项并合并：2x＝4， 解得x＝2． 经检验：x＝2是方程增根，原方程无解． 老师批改时说小丁和小迪的解题过程都有错误，请你把小丁和小迪开始错误的步骤划上横线，然后重新写出正确的完整解答过程． 答案与解析 一、选择题（共10小题） 1．【答案】D 【分析】根据分式方程的解法和增根的定义进行解答即可． 【解答】解：将分式方程的两边都乘以x﹣1，得 x+mx﹣m＝2﹣3m， 解得x， 由于分式方程有解，即有意义， 所以m≠﹣1， 又因为分式方程的增根x＝1， 所以1， 解得m， 综上所述，m≠1且m． 故选：D． 2．【答案】C 【分析】先解关于x的分式方程，求出x，再根据分式方程的解是非负数且分式的分母不能为0，列出关于m的不等式，解不等式即可． 【解答】解：， ﹣m﹣1＝2（x﹣2）， ﹣m﹣1＝2x﹣4， 2x＝4﹣1﹣m， 2x＝3﹣m， ， ∵关于x的分式方程的解是非负数， ∴且， 3﹣m≥0且3﹣m≠4， m≤3且m≠﹣1， 故选：C． 3．【答案】D 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：3x﹣2x+2＝0， 解得：x＝﹣2， 经检验，x＝﹣2是分式方程的解， 故选：D． 4．【答案】C 【分析】设R1单独处理需要x小时，则R2单独处理数据的时间（x﹣2）小时，根据两队合作1.2小时完成，可得出方程． 【解答】解：依题意得， 故选：C． 5．【答案】A 【分析】设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为（x﹣0.5）千克，根据用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同，列出分式方程即可． 【解答】解：设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为（x﹣0.5）千克， 由题意得：， 故选：A． 6．【答案】C 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：2x+2＝x+3， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，（x+1）（x+3）≠0， 故原方程的解为x＝1， 故选：C． 7．【答案】D 【分析】设物体A的体积是x cm3，则物体B体积是（x﹣27）cm3，根据“A，B两个物体的密度之比为3：5，当物体A的质量是100g，物体B的质量是200g”列出方程即可． 【解答】解：设物体A的体积是x cm3，则物体B体积是（x﹣27）cm3， 根据题意，得53． 故选：D． 8．【答案】D 【分析】先求解方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将方程的增根代入整式方程计算可求解． 【解答】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴x﹣1＝0， 解得：x＝1， ∴， 方程的两边同乘（x﹣1）得：2x＝m+5（x﹣1）， 解得：m＝﹣3x+5， ∴m＝﹣3×1+5＝2， 故选：D． 9．【答案】D 【分析】先把方程两边同时乘x﹣3得整式方程，然后根据方程无解，分两种情况讨论：①分式方程的分母等于0，求出x再代入整式方程，求出a；②整式方程无解，列出关于a的方程，求出a即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘x﹣3得： ax﹣3＝2（x﹣3）， ax﹣3＝2x﹣6， ax﹣2x＝3﹣6， （a﹣2）x＝﹣3， ∵分式方程无解， ∴x﹣3＝0， ∴x＝3， ∴3（a﹣2）＝﹣3， 解得：a＝1， ∵分式方程无解， ∴a﹣2＝0， 解得：a＝2， 综上可知：a＝2或1， 故选：D． 10．【答案】B 【分析】先解分式方程得到，再根据方程的解是整数求出k＝2或3即可得到答案． 【解答】解：原方程去分母得到，kx＝x+2， 移项合并同类项得到，， ∵关于x的方程的解是正整数， ∴k﹣1＝1或2，且， 解得k＝2或3， 即方程的解为正整数的个数是2， 故选：B． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】2． 【分析】根据分式方程的解法以及分式方程增根的定义进行解答即可． 【解答】解：将分式方程的两边都乘以x﹣1得， 2m﹣x+1＝3x+1， 解得xm， 由于分式方程无解，即分式方程只有增根x＝1， ∴m＝1， 即m＝2． 故答案为：2． 12．【答案】m＜5且m≠2． 【分析】根据分式方程的解法以及增根的定义进行解答即可． 【解答】解：将分式方程的两边都乘以x﹣1，得 2x＝m+5x﹣5， 解得x， 由于分式方程的解为正数，即0， 解得m＜5， 又因为分式方程的增根是x＝1， 所以1， 即m≠2， 综上所述，m＜5且m≠2． 故答案为：m＜5且m≠2． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】将原方程去分母化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：x+2x﹣3＝0， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，x（2x﹣3）≠0， 故原方程的解为x＝1， 故答案为：x＝1． 14．【答案】x＝2． 【分析】根据新定义可得：x※（﹣1），再根据x※（﹣1），由此可得分式方程，再根据解分式方程的方法求解即可． 【解答】解：由新定义，得x※（﹣1）， ∵x※（﹣1）， ∴， 方程两边同时乘（x﹣1），得，1＝2﹣（x﹣1）， 去括号，得1＝2﹣x+1， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入x﹣1≠0， ∴分式方程的解为x＝2． 故答案为：x＝2． 15．【答案】见试题解答内容 【分析】先去分母，再将增根x＝2代入1﹣x＝﹣m，求解即可． 【解答】解：去分母，得1﹣x＝﹣m， 将增根x＝2代入1﹣x＝﹣m， 得1﹣2＝﹣m， 解得m＝1， 故答案为：1． 16．【答案】a且a． 【分析】根据分式方程的解法以及分式方程增根的定义进行计算即可． 【解答】解：将关于x的分式方程的两边都乘以x+1，得 2x﹣3a＝x+1， 即x＝3a+1， ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴x＝3a+1＜0， 解得a， 又∵关于x的分式方程的增根为x＝﹣1， 当x＝﹣1时，即3a+1＝﹣1， 解得a， 因此a， 综上所述字母a的取值范围是a且a． 故答案为：a且a． 17．【答案】． 【分析】根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的2倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【解答】解：根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，则： ， 故答案为：． 18．【答案】x＝﹣1.4． 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：4x+21x+35＝0， 解得：x＝﹣1.4， 经检验，x＝﹣1.4是分式方程的解， 故答案为：x＝﹣1.4． 19．【答案】见试题解答内容 【分析】根据分式方程的解和增根的定义确定a的取值范围即可． 【解答】解：把关于x的方程3的两边都乘以x﹣2，得x+a＝﹣3（x﹣2）， 解得x，由于分式方程的解大于1， 所以1， 解得a＜2， 由于分式方程有增根x＝2， ∴2， 解得a≠﹣2， 综上所述，a＜2且a≠﹣2， 故答案为：a＜2且a≠﹣2． 20．【答案】50． 【分析】设小丽的速度为2x m/min，则小颖的速度为3x m/min，根据“时间＝路程÷速度”结合“结果小丽比小颖晚4min到达剧院”即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：设小丽的速度为2x m/min，则小颖的速度为3x m/min， 根据题意列方程得：， 整理得，4x＝100， 解得x＝25， 经检验，x＝25是分式方程的根且符合题意， ∴2x＝2×25＝50． ∴小丽的速度是50m/min． 故答案为：50． 三、解答题（共7小题） 21．【答案】见试题解答内容 【分析】先把分式方程变成整式方程，求出方程的解，最后进行检验即可． 【解答】解：方程两边都乘以2（x﹣1）得：2x＝3﹣4（x﹣1）， 解得：x， 检验：把x代入2（x﹣1）≠0， 所以x是原方程的解， 所以原方程的解为x． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：（x+2）2﹣16＝x﹣2， 整理得：x2+4x+4﹣16＝x﹣2，即x2+3x﹣10＝0， 分解因式得：（x﹣2）（x+5）＝0， 解得：x＝2或x＝﹣5， 检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0， 当x＝﹣5时，（x+2）（x﹣2）≠0， ∴x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣5． 23．【答案】①；解题过程见解析． 【分析】根据题干中的解方程的步骤先判断再写出正确的解题步骤即可． 【解答】解：由解方程步骤可得首次出错的是①， 故答案为：①； 正确解题过程如下： 原方程去分母得，x+x﹣3＝﹣2， 整理得：2x＝1 解得：， 经检验：是原方程的解． 24．【答案】（1）第一批购进的苹果每千克4元； （2）第二批销售最多能降价1.5元． 【分析】（1）设第一批购进的苹果每千克x元，则第二批购进的苹果每千克（x﹣1）元，根据第一批购进数量比第二批少20%，列出分式方程，解方程即可； （2）设第二批销售能降价a元，根据该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2875元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设第一批购进的苹果每千克x元，则第二批购进的苹果每千克（x﹣1）元， 根据题意得：， 解得：x＝4， 经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意， 答：第一批购进的苹果每千克4元； （2）由（1）可知，第一批购进苹果数量为3200÷4＝800（千克）， 第二批购进苹果数量为3000÷（4﹣1）＝1000（千克）， 设第二批销售能降价a元， 根据题意得：6×800﹣3200+（6﹣a）×1000（1﹣5%）﹣3000≥2875， 解得：a≤1.5， 答：第二批销售最多能降价1.5元． 25．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设技术改造前甲队施工了x天，则技术改造后甲队施工了（160﹣x）天，根据某乡镇政府计划对一条长3000米的乡村道路进行改造，该工程原计划由甲队单独施工，刚开始每天施工16米，施工一段时后，甲队改进技术，施工效率提高了25%，刚好按时完工，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设乙队平均每天施工m米，则甲队每天施工（1+20%）m米，根据甲队获得了1800米的改造工程，乙队获得了1200米的改造工程，结果甲队比乙队晚20天完成任务，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设技术改造前甲队施工了x天，则技术改造后甲队施工了（160﹣x）天， 由题意得：16x+16×（1+25%）（160﹣x）＝3000， 解得：x＝50， 答：技术改造前甲队施工了50天； （2）设乙队平均每天施工m米，则甲队每天施工（1+20%）m米， 由题意得：20， 解得：m＝15， 经检验，m＝15是原方程的解，且符合题意， 答：乙队平均每天施工15米． 26．【答案】见试题解答内容 【分析】设机器狗B每小时能搬运x千克的货物，则机器狗A每小时能搬运1.2x千克的货物，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合机器狗A单独搬运货物所需的时间比机器狗B少1小时，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即机器狗B的工作效率），再将其代入1.2x中，即可求出机器狗A的工作效率． 【解答】解：设机器狗B每小时能搬运x千克的货物，则机器狗A每小时能搬运1.2x千克的货物， 根据题意得：1， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意， ∴1.2x＝1.2×50＝60（千克）． 答：机器狗A每小时能搬运60千克的货物，机器狗B每小时能搬运50千克的货物． 27．【答案】见解析． 【分析】根据解分式方程的步骤进行计算并判断和解答即可． 【解答】解：小丁和小迪的解法都是第一步错误（划线略）， 正确解法如下： 去分母得：x﹣1+x﹣4＝2﹣x， 移项得：3x＝7， ∴， 检验：当x时，x﹣2≠0， 所以原方程的解是x． 第5页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $$