2026年中考数学一轮复习 专题09 一元二次方程及应用

专题09一元二次方程及应用 一、选择题（共10小题） 1．（2025•丹东二模）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（　　） A．x2+2＝0 B．x2+2x+3＝0 C．2x2﹣3x+4＝0 D．x2﹣1＝0 2．（2025•前郭县模拟）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+2x+1＝0 B．x2+2＝0 C．x2﹣3＝0 D．x2+2x+3＝0 3．（2025•樊城区模拟）被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为38cm、宽为23cm的矩形绣品（如图所示），为了完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同），且塑封后整幅图的面积为1000cm2，设留白部分的宽度为x cm，则可列方程为（　　） A．（38﹣2x）（23﹣2x）＝874 B．（38+2x）（23+2x）＝874 C．（38﹣2x）（23﹣2x）＝1000 D．（38+2x）（23+2x）＝1000 4．（2025•沙坪坝区校级一模）已知某市2022年工业碳排放总量为1000万吨，为响应国家“双碳”目标，该市通过技术升级，2024年的工业碳排放总量降至810万吨．若设年平均减少率为x，则下列方程正确的是（　　） A．1000（1+x）2＝810 B．1000（1﹣x）2＝810 C．810（1+x）2＝1000 D．810（1﹣x）2＝1000 5．（2025•利通区校级二模）将一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后．结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣6）2＝5 C．（x﹣3）2＝5 D．（x﹣3）2＝4 6．（2025•金平区一模）若x1、x2是方程x2+x﹣6＝0的两个根，则x1x2﹣x1﹣x2的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣5 7．（2025•金沙县校级一模）一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的常数项是（　　） A．2 B．﹣5 C．﹣1 D．1 8．（2025•市中区一模）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是﹣6，则另一个根是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 9．（2025•铁岭模拟）如果x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 10．（2025•雷州市三模）定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2025•石家庄校级一模）一元二次方程x2﹣□x+2＝0的两根为m，n，且mn（m+n）＝46，其中“□”表示一个数，则“□”为　 　 ． 12．（2025•贵州模拟）已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m＝ 　 　 ． 13．（2025•巴彦淖尔模拟）若关于x的方程x2+4x+a＝0有实数根，则a的值可以为　 　 ． 14．（2025•祁阳市模拟）随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶．现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为 　 　 ． 15．（2025•利通区校级二模）若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根，则的值为　 　 ． 16．（2025•大庆模拟）若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为m，n，则的值为　 　 ． 17．（2025•渝中区校级模拟）医保局第十批药品集采政策出台后，某种药品原价100元/盒，经过连续两轮降价后，现在仅卖49元/盒．若两轮降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为 　 　 ． 18．（2025•雨花区校级三模）如果x＝1是一元二次方程ax2+2bx﹣1＝0的解，则2a+4b+2023＝　 　 ． 19．（2025•双柏县模拟）某动画电影在首映当日票房为1.2亿元，2天后当日票房达到2.44亿元．设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为 　 　 ． 20．（2025•镇江模拟）定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1＝1，x2＝2，因为x2是x1的2倍，所以方程x2﹣3x+2＝0是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“一元二次倍根方程”，且关于y的一元二次方程y2+5y+n＝0总有两个不相等的实数根，则n的值为　 　 ． 三、解答题（共6小题） 21．（2025•兰州一模）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0． 22．（2025•营山县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0． （1）求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程的两个根为x1，x2，且满足，求k的值． 23．（2025•龙岗区模拟）（1）解方程：2x2﹣6x﹣15＝0； （2）茗茗同学在解关于x的方程ax2﹣6x﹣15＝0时，过程如下： 第一步：a＝a，b＝﹣6，c＝﹣15， 第二步：Δ＝（﹣6）2﹣4×a×（﹣15）＝36+60a 第三步：当△≥0（即时，，，当Δ＜0时方程无解 你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是 　 　 ． 你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是 　 　 ． 24．（2025•雨花区校级三模）靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同． （1）请问每次降价的百分率为多少？ （2）朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？ 25．（2025•西安校级三模）用适当的方法解方程：3x2+2x﹣2＝0． 26．（2025•埇桥区校级一模）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． （1）据统计某“巳升升”电商平台2024年12月份的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件，若月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）某实体店“巳升升”的进价力每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件，经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则售价应降低多少元？ 答案与解析 一、选择题（共10小题） 1．【答案】D 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根，据此求解即可． 【解答】解：分别计算根的判别式可得： A、Δ＝02﹣4×2×1＝﹣8＜0，则原方程没有实数根，不符合题意； B、Δ＝22﹣4×3×1＝﹣8＜0，则原方程没有实数根，不符合题意； C、Δ＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，则原方程没有实数根，不符合题意； D、Δ＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，则原方程有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 2．【答案】C 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则方程的Δ＞0，可据此判断符合条件的方程． 【解答】解：A、Δ＝4﹣4＝0，原方程有两个相等的实数根，故A错误； B、Δ＝0﹣8＜0，原方程没有实数根，故B错误； C、Δ＝0+12＞0，原方程有两个不相等的实数根，故C正确； D、Δ＝4﹣3×4＝﹣8＜0，原方程没有实数根，故D错误； 故选：C． 3．【答案】D 【分析】根据题意，塑封的长为（38+2x）cm，宽为（23+2x）cm，根据塑封后的面积可列式求解． 【解答】解：根据题意，可列方程为：（38+2x）（23+2x）＝1000， 故选：D． 4．【答案】B 【分析】根据2022年工业碳排放总量为1000万吨，2024年的工业碳排放总量降至810万吨，列出关于x的一元二次方程即可． 【解答】解：根据题意得：1000（1﹣x）2＝810． 故选：B． 5．【答案】A 【分析】根据解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答． 【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0， x2﹣6x＝5， x2﹣6x+9＝5+9， （x﹣3）2＝14， 故选：A． 6．【答案】D 【分析】先利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣6，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣6， 所以x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣6﹣（﹣1）＝﹣5． 故选：D． 7．【答案】C 【分析】按照定义即可找到常数项． 【解答】解：已知一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0，则其常数项为﹣1． 故选：C． 8．【答案】D 【分析】设方程的另一个为根为t，则利用根与系数的关系得到﹣6+t＝﹣5，然后解一次方程即可． 【解答】解：设方程的另一个为根为t， 根据根与系数的关系得到﹣6+t＝﹣5， 解得t＝1， 即方程的另一个根为1． 故选：D． 9．【答案】A 【分析】把x＝﹣1代入方程求出m即可． 【解答】解：∵x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个根， ∴1+m+3＝0， ∴m＝﹣4． 故选：A． 10．【答案】C 【分析】先根据新定义得到x2﹣2x﹣3a＝3，再把方程化为一般式，接着利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3a﹣3）＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵x*a＝3， ∴x2﹣2x﹣3a＝3， 方程化为一般式为x2﹣2x﹣3a﹣3＝0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3a﹣3）＞0， 解得a． 故选：C． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】23． 【分析】根据一元二次方程x2﹣□x+2＝0的两根为m，n，得到m+n＝□，mn＝2，结合mn（m+n）＝46得到2×□＝46，解答即可． 【解答】解：由条件可知m+n＝□，mn＝2， 又mn（m+n）＝46， 故2×□＝46， 解得□＝23． 故答案为：23． 12．【答案】见试题解答内容 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1， ∴x＝1满足一元二次方程x2﹣3x+m＝0， ∴1﹣3+m＝0， 解得，m＝2． 故答案为：2． 13．【答案】2（答案不唯一）． 【分析】根据方程没实数根得到Δ＝b2﹣4ac≥0，进行求解即可． 【解答】解：由条件可知Δ＝42﹣4a≥0， 解得：a≤4， ∴a的值可以为2， 故答案为：2（答案不唯一）． 14．【答案】见试题解答内容 【分析】设该种药品平均每次降价的百分率为x，利用该种药品的现价＝该种药品的原价×（1﹣该种药品平均每次降价的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该种药品平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：200（1﹣x）2＝98， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不符合题意，舍去）， ∴该种药品平均每次降价的百分率为30%． 故答案为：30%． 15．【答案】见试题解答内容 【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝1，x1x2＝﹣6，再将其代入原式＝x1x2（x1+x2）中，即可求出结论． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣6， ∴x2+x1x1x2（x1+x2）＝﹣6×1＝﹣6． 故答案为：﹣6． 16．【答案】3． 【分析】由m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，利用一元二次方程的解，可得出m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，进而可得出m2﹣1＝2m，n2﹣2n＝1，再将其代入原式（n2﹣2n）中，即可求出结论． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根， ∴m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0， ∴m2﹣1＝2m，n2﹣2n＝1， ∴原式（n2﹣2n）1＝2+1＝3． 故答案为：3． 17．【答案】30%． 【分析】设该种药品平均每次降价的百分率为x，利用该种药品的现价＝该种药品的原价×（1﹣该种药品平均每次降价的百分率）2，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【解答】解：设该种药品平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：100（1﹣x）2＝49， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不符合题意，舍去）， ∴该种药品平均每次降价的百分率为30%． 故答案为：30%． 18．【答案】2025． 【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b＝1，再利用整体代入的方法计算． 【解答】解：把x＝1代入方程ax2+2bx﹣1＝0得a+2b﹣1＝0， 所以a+2b＝1， 所以2a+4b+2023 ＝2（a+2b）+2023 ＝2×1+2023 ＝2025． 故答案为：2025． 19．【答案】1.2（1+x）2＝2.44． 【分析】根据首映当日票房为1.2亿元，2天后当日票房达到2.44亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：1.2（1+x）2＝2.44． 故答案为：1.2（1+x）2＝2.44． 20．【答案】2或5． 【分析】用因式分解法求解方程得出x1＝3，x1＝n+1，再根据一元二次方程根的判别式，得出m的取值范围，最后根据“倍根方程”的定义，即可求解． 【解答】解：x2﹣（n+4）x+3n+3＝0， （x﹣3）[x﹣（n+1）]＝0， x﹣3＝0或x﹣（n+1）＝0， 解得：x1＝3，x1＝n+1， ∵y2+5y+n＝0总有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×n＞0， 解得n， ∵n是正整数， ∴n＝1，2，3，4，5，6， ∵方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“倍根方程”， ∴3能被n+1整除或n+1能被3整除， ∴n＝2或5． 故答案为：2或5． 三、解答题（共6小题） 21．【答案】x1＝2，x2＝2． 【分析】利用配方法求解即可． 【解答】解：移项得x2﹣4x＝3， 配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7， 开方得x﹣2＝±， 所以x1＝2，x2＝2． 22．【答案】（1）证明见解析过程； （2）k的值为0或1． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2和x1x2，再求关于k的方程即可解决问题． 【解答】（1）证明：由题知， Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2+4k+4﹣8k+4＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4≥4＞0， 所以无论k为何值时，方程总有两个不相等实数根． （2）解：由题知， x1＝x2＝k+2，x1x2＝2k﹣1． 因为， 所以， 即2k﹣1﹣（k+2）+1＝k2﹣2， 解得k1＝0，k2＝1， 所以k的值为0或1． 23．【答案】（1）x1，x2； （2）a可以为0；当a＝0时，方程化为﹣6x﹣15＝0，解得x． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （2）茗茗同学的解方程过程忽视了a＝0，当a＝0时，方程化为﹣6x﹣15＝0，此时解一元一次方程． 【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣6，x＝﹣15， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣15）＝156， ∴x， ∴x1，x2； （2）茗茗同学的解方程过程忽视的问题是a可以为0； 故答案为：a可以为0； 应该增加的一个步骤是： 当a＝0时，方程化为﹣6x﹣15＝0， 解得x． 故答案为：a可以为0；当a＝0时，方程化为﹣6x﹣15＝0，解得x． 24．【答案】（1）每次降价的百分率是40%； （2）至少需要在促销活动开始前卖出120盒． 【分析】（1）设每次降价的百分率是x，根据原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设需要在促销活动开始前卖出m盒，根据要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设每次降价的百分率是x， 由题意得：100（1﹣x）2＝36， 解得：x1＝0.4＝40%，x2＝1.6（不符合题意，舍去）， 答：每次降价的百分率是40%； （2）设需要在促销活动开始前卖出m盒， 由题意得：50m+50×0.8（200﹣m）﹣36×200≥2000， 解得：m≥120， 答：至少需要在促销活动开始前卖出120盒． 25．【答案】x1，x2． 【分析】利用公式法解方程即可． 【解答】解：3x2+2x﹣2＝0， a＝3，b＝2，c＝﹣2， Δ＝4﹣4×3×（﹣2）＝28＞0， ∴x， ∴x1，x2． 26．【答案】（1）20%； （2）20元． 【分析】（1）设月平均增长率为x，利用该“巳升升”电商平台2025年2月份的销售量＝该“巳升升”电商平台2024年12月份的销售量×（1+月平均增长率相同）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件，利用每天销售后获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论． 【解答】解：（1）设月平均增长率为x， 根据题意得：5（1+x）2＝7.2， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率是20%； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件， 根据题意得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200， 整理得：y2﹣30y+200＝0， 解得：y1＝10，y2＝20， 又∵要尽量减少库存， ∴y＝20． 答：售价应降低20元． 第4页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $$