2026年中考数学一轮复习 专题08 一元一次方程、二元一次方程组及应用

专题08一元一次方程、二元一次方程组及应用 一、选择题（共10小题） 1．（2025•增城区校级三模）下列运用等式性质变化错误的是（　　） A．若a＝b，则a+3＝b+3 B．若﹣3x＝﹣3y，则x＝y C．若a﹣2＝b﹣2，则a＝b D．若x＝y，则 2．（2025•南海区校级三模）下列等式是四位同学解方程1过程中去分母的一步，其中正确的是（　　） A．x﹣1＝2x B．x﹣1＝﹣2 C．x﹣x﹣1＝﹣2x D．x﹣x+1＝﹣2x 3．（2025•湘桥区一模）已知x＝2是关于x的方程3x+a＝0的解，则a的值是（　　） A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6 4．（2025•连云港模拟）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．设杏有x个，则所列方程正确的是（　　） A． B． C．（x﹣10）×4＝（x﹣2）×3 D． 5．（2025•山阳区模拟）解为x＝2的方程是（　　） A．3x﹣2x＝0 B．2x+5＝11 C．4（3﹣x）＝2x D． 6．（2025•苏州模拟）我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今五人共车，两车空；三人共车，八人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐5人，则空余两辆车；若每辆车乘坐3人，则有8人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025•利通区校级二模）关于x，y的二元一次方程组的解为，则〇和☆代表的数分别为（　　） A．﹣9和﹣1 B．9和1 C．﹣3和﹣1 D．﹣3和1 8．（2025•长安区校级模拟）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则k的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 9．（2025•武汉三模）若是关于x，y的二元一次方程x﹣ay＝4的一组解，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2025•光明区校级模拟）（我国古代问题）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．若设1一个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2025•道外区一模）规定一种新运算：a⊗b＝a2﹣2b，若2⊗[3⊗（﹣x）]＝6，则x的值为 　 　 ． 12．（2025•淮安区模拟）关于x的方程3x+2a＝0的解是x＝2，则a＝　 　 ． 13．（2025•岳麓区校级模拟）某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，仍可获利20%．则该商品每件的进价为 　 　 元． 14．（2025•长春模拟）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起．问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设x天后相遇，根据题意所列方程为 　 　 ． 15．（2025•浙江模拟）若式子3x+2与式子2（x﹣2）﹣3的值相等，则x的值为　 　 ． 16．（2025•古塔区校级三模）已知是二元一次方程组的解，则关于x，y的方程组的解是　 　 ． 17．（2025•大庆模拟）已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则m﹣2n的值为　 　 ． 18．（2025•新泰市一模）一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1．若这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是x，个位数字是y，则列方程为　 　 ． 19．（2025•安州区模拟）若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程3x﹣2y＝8的解，则k的值为 　 　 ． 20．（2025•伊川县模拟）我国古代《四元玉鉴》中记载二果问价问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？其意思为：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个．已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？若设买甜果x个，买苦果y个，根据题意所列方程组是 　 　 ． 三、解答题（共5小题） 21．（2025•乾县校级二模）5月20日，“世界蜜蜂日”西北大区会场暨蜂产业助力乡村振兴主题活动在宝鸡市陇县八渡镇启幕．活动现场，西北地区优质蜂产品企业纷纷展示特色农货．已知购买A种蜂蜜1kg和B种蜂蜜2.5kg共需450元，若A种蜂蜜的单价打八折之后与B种蜂蜜的单价相等，求A，B两种蜂蜜的单价． 22．（2025•安徽二模）DeepSeek公司开发了两款AI模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理一批数据，模型A工作了3小时，模型B工作了5小时，一共处理了550GB数据．已知模型B每小时处理的数据量比模型A少10GB，问模型A和模型B每小时分别处理多少GB的数据？ 23．（2025•大渡口区模拟）为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A、B两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？ 24．（2025•中牟县模拟）2025年贺岁片《哪吒2・魔童闹海》通过一个热血激昂的神话故事，向观众传递出积极向上、永不言败的价值观，是中国动画电影走向世界的标杆．某商店销售A，B两款哪吒变脸摆件，每件A款摆件的利润比每件B款摆件的利润多2元，销售20件A款摆件和销售30件B款摆件的利润是440元． （1）求A，B两款摆件每个的利润分别是多少？ （2）若该商店计划购进A，B两款摆件共200个进行销售，且A款摆件的数量不超过B款摆件数量的，商店购进A，B两款摆件各多少个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润？最大利润是多少？ 25．（2025•长安区校级模拟）为美化校园环境，学校计划分两次购进杜鹃花和四季海棠两种花卉．第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元，且每次购进的单价相同． （1）求杜鹃花、四季海棠每盆的价格分别是多少元？ （2）若小晨同学帮班级购买两种花卉（与学校购买的单价相同），恰好用去80元，且两种花卉都至少采购一盆．请问有哪些采购方案？ 答案与解析 一、选择题（共10小题） 1．【答案】D 【分析】根据等式的性质解答． 【解答】解：A、若a＝b的两边同时加上3，等式仍成立，则a+3＝b+3，故本选项不符合题意． B、若﹣3x＝﹣3y的两边同时除以﹣3，等式仍成立，则x＝y，故本选项不符合题意． C、若a﹣2＝b﹣2的两边同时加上2，等式仍成立，则a＝b，故本选项不符合题意． D、若x＝y≠0时，等式不成立，故本选项符合题意． 故选：D． 2．【答案】D 【分析】方程左右两边同乘（x﹣1）去分母得到结果，即可作出判断． 【解答】解：方程1， 去分母得：x﹣（x﹣1）＝﹣2x， 整理得：x﹣x+1＝﹣2x． 故选：D． 3．【答案】D 【分析】根据一元一次方程的解的定义把x＝2代入关于x的方程3x+a＝0中，即可求出a的值． 【解答】解：把x＝2代入关于x的方程3x+a＝0中，得6+a＝0， 解得a＝﹣6， 故选：D． 4．【答案】B 【分析】设杏有x个，根据3人一组，每组5个杏，则多10个杏；4人一组，每组8个杏，则多2个杏，由人数相等列出方程，即可求解． 【解答】解：根据题意得：， 故选：B． 5．【答案】C 【分析】根据一元一次方程的解的定义把x＝2代入方程的左边、右边验证即可． 【解答】解：A、把x＝2代入方程的左边，左边＝3×2﹣2×2＝2，右边＝0，左边≠右边，所以x＝2不是方程的解，故此选项不符合题意； B、把x＝2代入方程的左边，左边＝2x+5＝2×2+5＝9，右边＝11，左边≠右边，所以x＝2不是方程的解，故此选项不符合题意； C、把x＝2代入得，左边＝4×（3﹣2）＝4，右边＝2×2＝4，左边＝右边，所以x＝2是方程的解，故此选项符合题意； D、把x＝2代入得，左边，右边，左边≠右边，所以x＝2不是方程的解，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．【答案】A 【分析】设有x人，y辆车，根据“若每辆车乘坐5人，则空余两辆车；若每辆车乘坐3人，则有8人步行”列出二元一次方程组即可． 【解答】解：设有x人，y辆车， 由题意得：． 故选：A． 7．【答案】A 【分析】把y＝3代入2x+y＝1，求出x的值，再把x，y的值代入第一个方程中，进行求解即可． 【解答】解：由题意可得：把y＝3代入2x+y＝1， 得：2x+3＝1， 解得：x＝﹣1， 即：☆代表的数为﹣1， 把x＝﹣1，y＝3代入3x﹣2y＝〇， 得：〇＝3×（﹣1）﹣2×3＝﹣9； 故选：A． 8．【答案】B 【分析】两式相加即可得到x+y1，进而求解即可． 【解答】解：， 方法一：①+②得，6x+6y＝5k+1， ∴x+y1， 解得k＝1； 方法二：①×2﹣②，得6x＝10k﹣13， 解得x③， 将③代入②，得4y＝5， 解得y， ∴原二元一次方程组是解为， ∵x+y＝1， ∴1， ∴k＝1． 故选：B． 9．【答案】C 【分析】将方程的解代入方程得到关于a的方程，解方程即可得到a的值． 【解答】解：将代入x﹣ay＝4得1+a＝4， ∴a＝3， 故选：C． 10．【答案】B 【分析】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【解答】解：设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛， 根据题意得：， 故选：B． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】﹣5． 【分析】根据a⊗b＝a2﹣2b和2⊗[3⊗（﹣x）]＝6，可以写出相应的一元一次方程，然后求解即可． 【解答】解：∵a⊗b＝a2﹣2b，2⊗[3⊗（﹣x）]＝6， ∴3⊗（﹣x） ＝32﹣2•（﹣x） ＝9+2x， ∴2⊗[3⊗（﹣x）] ＝2⊗（9+2x） ＝22﹣2（9+2x） ＝4﹣18﹣4x ＝﹣14﹣4x， ∵2⊗[3⊗（﹣x）]＝6， ∴﹣14﹣4x＝6， 解得x＝﹣5， 故答案为：﹣5． 12．【答案】见试题解答内容 【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把x＝2代入方程就得到关于a的方程，从而求出a的值． 【解答】解：把x＝2代入方程3x+2a＝0得： 6+2a＝0， 解得：a＝﹣3． 故答案为：﹣3． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】该商品每件的进价为x元，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：该商品每件的进价为x元， 依题意，得：150×80%﹣x＝20%x， 解得：x＝100． 故答案为：100． 14．【答案】见试题解答内容 【分析】把南海到北海的距离看作单位“1”，野鸭的速度是，大雁的速度为，根据野鸭x天的路程+大雁x天的路程＝1，即可列方程． 【解答】解：由题意可得，． 故答案为：． 15．【答案】﹣9． 【分析】由题意可得3x+2＝2（x﹣2）﹣3，再解方程即可． 【解答】解：由条件可知3x+2＝2（x﹣2）﹣3， 解得x＝﹣9． 故答案为：﹣9． 16．【答案】见试题解答内容 【分析】设x+2＝a，y﹣3＝b，则关于x，y的方程组可化为，再根据题意得出，即可求出x、y的值． 【解答】解：设x+2＝a，y﹣3＝b， 则关于x，y的方程组为， ∵二元一次方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴， ∴， 即关于x，y的方程组的解是， 故答案为：． 17．【答案】3． 【分析】根据题意，把x＝﹣2，y＝1分别代入方程组中，求出m，n的值，然后把m，n的值分别代入m﹣2n进行计算即可大小答案． 【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程组的一组解， ∴2×（﹣2）+3×1＝m，﹣2n﹣1＝3， 解得：m＝﹣1，n＝﹣2， ∴m﹣2n＝﹣1﹣2×（﹣2）＝﹣1+4＝3． 故答案为：3． 18．【答案】． 【分析】根据“十位数字比个位数字的2倍大1，且这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵十位数字比个位数字的2倍大1， ∴x﹣2y＝1； ∵这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数， ∴10x+y﹣36＝10y+x． ∴根据题意可列出方程组． 故答案为：． 19．【答案】1． 【分析】先利用加减消元法解二元一次方程组，用含k的代数式表示x、y，再把x、y的值代入方程3x﹣2y＝8得关于k的一元一次方程，求解得结论． 【解答】解：， ①+②，得3x＝6k， ∴x＝2k． 把x＝2k代入②，得2k+y＝k， ∴y＝﹣k． 又∵3x﹣2y＝8， ∴6k+2k＝8． ∴k＝1． 故答案为：1． 20．【答案】见试题解答内容 【分析】利用总价＝单价×数量，结合用九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵买了甜果和苦果共一千个， ∴x+y＝1000； ∵买甜果和苦果共花了999文钱， ∴xy＝999． ∴根据题意可列方程组． 故答案为：． 三、解答题（共5小题） 21．【答案】A种蜂蜜的单价为150元，B种蜂蜜的单价为120元． 【分析】设A种蜂蜜的单价为x元，则B种蜂蜜的单价为0.8x元，根据购买A种蜂蜜1kg和B种蜂蜜2.5kg共需450元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即A种蜂蜜的单价），再将其代入0.8x中，即可求出B种蜂蜜的单价． 【解答】解：设A种蜂蜜的单价为x元，则B种蜂蜜的单价为0.8x元， 根据题意得：x+2.5×0.8x＝450， 解得：x＝150， ∴0.8x＝0.8×150＝120（元）． 答：A种蜂蜜的单价为150元，B种蜂蜜的单价为120元． 22．【答案】模型A每小时处理75GB的数据，模型B每小时处理65GB的数据． 【分析】设模型A每小时处理x GB的数据，则模型B每小时处理（x﹣10）GB的数据，根据“模型A工作了3小时，模型B工作了5小时，一共处理了550GB数据”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即模型A每小时处理的数据量），再将其代入（x﹣10）中，即可求出模型B每小时处理的数据量． 【解答】解：设模型A每小时处理x GB的数据，则模型B每小时处理（x﹣10）GB的数据， 根据题意得：3x+5（x﹣10）＝550， 解得：x＝75， ∴x﹣10＝75﹣10＝65（GB）． 答：模型A每小时处理75GB的数据，模型B每小时处理65GB的数据． 23．【答案】（1）购进A、B两种哪吒玩偶的单价分别是30元，60元； （2）最少要花3210元钱． 【分析】（1）先设设购进A、B两种哪吒玩偶的单价分别是x元，2x元，再依题意列出，进行计算，即可作答； （2）先设该玩具店购进A种哪吒玩偶r个，则该玩具店购进B种哪吒玩偶（80﹣r）个，根据A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，得r≤2（80﹣r），解得，再设购进A、B两种哪吒玩偶所需w元，得w＝﹣30r+4800，运用一次函数的性质进行解答即可． 【解答】解：（1）∵一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍， ∴设购进A、B两种哪吒玩偶的单价分别是x元，2x元， ∵某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个． ∴， 解得x＝30， 经检验：x＝30是原分式方程的解， 则2x＝2×30＝60（元）， ∴购进A、B两种哪吒玩偶的单价分别是30元，60元， 答：购进A、B两种哪吒玩偶的单价分别是30元，60元； （2）∵该玩具店决定再次购进A、B两种哪吒玩偶共80个， ∴设该玩具店购进A种哪吒玩偶r个，则该玩具店购进B种哪吒玩偶（80﹣r）个， ∵A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍， ∴r≤2（80﹣r）， 整理得，3r≤160， 解得， 设购进A、B两种哪吒玩偶所需w元， ∵A、B两种哪吒玩偶的单价分别是30元，60元， ∴w＝30r+60（80﹣r）＝﹣30r+4800， ∵﹣30＜0， ∴w随着r的增大而减小， ∵，且r为正整数， ∴当r＝53时，w有最小值，且w＝﹣30×53+4800＝3210， 即此次购进至少要花3210钱， 答：此次购进至少要花3210钱． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设A款摆件每个的利润是x元，B款摆件每个的利润是y元，根据每件A款摆件的利润比每件B款摆件的利润多2元，销售20件A款摆件和销售30件B款摆件的利润是440元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A款摆件m个，则购进B款摆件（200﹣m）个，销售总利润是w元，根据A款摆件的数量不超过B款摆件数量的，列出一元一次不等式，解不等式，再根据（1）的结论，列出一次函数式，取最大值即可． 【解答】解：（1）设A款摆件每个的利润是x元，B款摆件每个的利润是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A款摆件每个的利润是10元，B款摆件每个的利润是8元； （2）设购进A款摆件m个，则购进B款摆件（200﹣m）个，销售总利润是w元， 由题意得：m（200﹣m）， 解得：m≤80， ∵w＝10m+8（200﹣m）＝2m+1600， ∵2＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝80 时，w取得最大值为：2×80+1600＝1760（元）， 此时，200﹣80＝120， 答：商店购进A款摆件80个、B款摆件120个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润，最大利润是1760元． 25．【答案】（1）每盆杜鹃花的价格是15元，每盆四季海棠的价格是10元； （2）共有2种采购方案， 方案1：购买2盆杜鹃花，5盆四季海棠； 方案2：购买4盆杜鹃花，2盆四季海棠． 【分析】（1）设每盆杜鹃花的价格是x元，每盆四季海棠的价格是y元，根据“第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m盆杜鹃花，n盆四季海棠，利用总价＝单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案． 【解答】解：（1）设每盆杜鹃花的价格是x元，每盆四季海棠的价格是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每盆杜鹃花的价格是15元，每盆四季海棠的价格是10元； （2）设购买m盆杜鹃花，n盆四季海棠， 根据题意得：15m+10n＝80， ∴n＝8m． 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种采购方案， 方案1：购买2盆杜鹃花，5盆四季海棠； 方案2：购买4盆杜鹃花，2盆四季海棠． 第1页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $$