2026年中考数学一轮复习 专题05 因式分解

专题05因式分解 一、选择题（共10小题） 1．（2025•石林县校级模拟）因式分解：（　　） A． B． C． D． 2．（2025•梅河口市模拟）把多项式2ab+4ab2分解因式，应提取的公因式是（　　） A．ab B．2ab C．2ab2 D．4ab2 3．（2025•安顺三模）下列能用平方差公式因式分解的是（　　） A．x2+1 B．x2﹣2x+1 C．x2+x D．x2﹣1 4．（2025•曾都区校级模拟）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．m（a+b）＝ma+mb B．a2+2a+1＝a（a+2）+1 C．m2﹣1＝（m﹣1）2 D．a2﹣a﹣2＝（a+1）（a﹣2） 5．（2025•泰兴市二模）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．﹣a2﹣b2 B．a2+b2 C．a2﹣b2 D．a2﹣b2﹣1 6．（2025•山东模拟）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2+b2＝（a+b）2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2（a+b）＝2a+2b 7．（2025•浙江模拟）下列因式分解中，正确的是（　　） A．ab﹣4a+1＝a（b﹣4）+1 B．﹣a2+b2＝（﹣a+b）（﹣a﹣b） C．a2﹣2ab+4b2＝（a﹣2b）2 D．﹣ab2+2ab﹣a＝﹣a（b﹣1）2 8．（2025•高新区校级四模）课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（　　） 用平方差公式分解下列各式： （1）a2﹣b2 （2）x2﹣1 （3）﹣x2﹣y2 （4）4m2﹣25n2 A．第（1）道题 B．第（2）道题 C．第（3）道题 D．第（4）道题 9．（2025•金水区模拟）对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 10．（2025•花山区校级一模）如果x﹣2是ax2﹣bx+2的一个因式，则2a﹣b的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 二、填空题（共10小题） 11．（2025•五华区校级模拟）分解因式：﹣18y+2y3＝ 　 　 ． 12．（2025•宝安区校级二模）分解因式：4x2﹣4y2＝　 　 ． 13．（2025•五华区校级三模）分解因式：81﹣m2＝　 　 ． 14．（2025•洛江区模拟）因式分解：3x2+3x＝　 　 ． 15．（2025•金山区校级三模）因式分解：2x3﹣8x＝　 　 ． 16．（2025•江都区二模）当x＝m或x＝n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+2025的值相等，则x＝m+n时，代数式x2﹣2x+2025的值为　 　 ． 17．（2025•南岗区模拟）把多项式3a3﹣6a2b+3ab2分解因式的结果是　 　 ． 18．（2025•宽城区校级二模）分解因式：9x2﹣3xy＝　 　 ． 19．（2025•南山区校级模拟）若x2﹣x+2＝0，则x3+2x2﹣x+3＝　 　 ． 20．（2025•霍邱县一模）因式分解：x2y﹣2xy+y＝　 　 ． 三、解答题（共5小题） 21．（2025•丰润区二模）“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：22＝1+12+2； 第2个等式：32＝2+22+3； 第3个等式：42＝3+32+4； 第4个等式：52＝4+42+5； （1）请用此方法拆分20252＝ 　 　 ； （2）请你用上面的方法归纳一般结论，用含n（n为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的； （3）嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为n的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度． 22．（2025•丛台区校级模拟）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． （1）求整式M，P； （2）将整式P因式分解． 23．（2025•桑植县三模）因式分解： （1）x2﹣9； （2）（m2﹣5）2+2（m2﹣5）+1． 24．（2025•龙沙区二模）（1）计算：； （2）分解因式：3ax2﹣6axy+3ay2． 25．（2025•东莞市模拟）因式分解是一种恒等变形，其本质是把一个多项式化为几个整式的积的形式．初中阶段只要求掌握提公因式法和公式法两种因式分解的方法．但小明同学接触了整体学习法后，提出一个观点：公式法分解因式，归根结底也是提公因式法分解因式．为了向同学们证明，小明同学提供了平方差公式分解因式的推理过程： 第①步：a2﹣b2＝a2﹣ab+ab﹣b2； 第②步：＝（a2﹣ab）+（ab﹣b2）； 第③步：＝a（a﹣b）+b（a﹣b）； 第④步：＝（a﹣b）（a+b）； （1）在上述推理过程中，第①步的推理依据是等式的基本性质之一，请写出该性质：　 　 ；第④步使用了“提公因式法”；第　 　 步的依据是“乘法分配律”；第　 　 步的依据是“加法结合律”； （2）请参考上述步骤，尝试推理公式法分解因式的另一个公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2． 答案与解析 一、选择题（共10小题） 1．【答案】D 【分析】根据题意，利用平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解： ． 故选：D． 2．【答案】B 【分析】根据公因式的确定方法解答即可． 【解答】解：2ab+4ab2＝2ab（1+2b）， 应提取的公因式是2ab， 故选：B． 3．【答案】D 【分析】根据提公因式法、公式法分解因式判断即可． 【解答】解：A、不能用平方差公式因式分解，故此选项不符合题意； B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，是用完全平方公式因式分解的，故此选项不符合题意； C、x2+x＝x（x+1），是用提公因式法因式分解的，故此选项不符合题意； D、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），能用平方差公式因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 4．【答案】D 【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可． 【解答】解：m（a+b）＝ma+mb是乘法运算，则A不符合题意； a2+2a+1＝a（a+2）+1中，其右边不是积的形式，则B不符合题意； m2﹣1＝（m﹣1）2中左右两边不相等，则C不符合题意； a2﹣a﹣2＝（a+1）（a﹣2）符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：D． 5．【答案】C 【分析】根据平方差进行因式分解即可． 【解答】解：A．﹣a2﹣b2不能用平方差进行因式分解，故选项A不符合题意； B．a2+b2不能用平方差进行因式分解，故选项B不符合题意； C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选项C符合题意； D．a2﹣b2﹣1不能用平方差进行因式分解，故选项D不符合题意． 故选：C． 6．【答案】A 【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式），根据概念判定即可． 【解答】解：根据因式分解定义逐项分析判断如下： A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，属于因式分解，符合题意； B、a2+b2≠（a+b）2，式子不成立，不属于因式分解，不符合题意； C、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，不属于因式分解，不符合题意； D、2（a+b）＝2a+2b，等号右边不是乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意； 故选：A． 7．【答案】D 【分析】把一个多项式变成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此可判断A；利用平方差公式可判断B，利用完全平方公式可判断C；利用提公因式法和完全平方公式可判断D． 【解答】解：A、ab﹣4a+1＝a（b﹣4）+1等式右边不是乘积形式，不符合题意； B、﹣a2+b2＝（b+a）（b﹣a）≠（﹣a+b）（﹣a﹣b），原分解错误，不符合题意； C、a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2，原分解错误，不符合题意； D、﹣ab2+2ab﹣a＝﹣a（b﹣1）2，正确，符合题意； 故选：D． 8．【答案】C 【分析】将各式因式分解后进行判断即可． 【解答】解：（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），它是利用平方差公式因式分解的； （2）x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），它是利用平方差公式因式分解的； （3）﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），它不是利用平方差公式因式分解的； （4）4m2﹣25n2＝（2m+5n）（2m﹣5n），它是利用平方差公式因式分解的； 综上，第（3）道题错误， 故选：C． 9．【答案】B 【分析】先利用平方差公式因式分解可得（2n+1）2﹣25＝4（n﹣2）（n+3），因此对任意整数n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数，据此即可得出答案． 【解答】解：∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1）2﹣52＝（2n+1﹣5）（2n+1+5）＝（2n﹣4）（2n+6）＝4（n﹣2）（n+3）， ∴对任意整数n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数， ∴对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能被4整除， 故选：B． 10．【答案】B 【分析】根据题意可知x＝2是方程ax2﹣bx+2＝0的一个根，然后代入解题即可． 【解答】解：由条件可知当x＝2时，ax2﹣bx+2＝4a﹣2b+2＝0， 解得：2a﹣b＝﹣1， 故选：B． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】2y（y+3）（y﹣3）． 【分析】先提公因式2y，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：﹣18y+2y3＝2y（y2﹣9）＝2y（y+3）（y﹣3）， 故答案为：2y（y+3）（y﹣3）． 12．【答案】见试题解答内容 【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式分解因式得出即可． 【解答】解：4x2﹣4y2＝4（x2﹣y2）＝4（x+y）（x﹣y）． 故答案为：4（x+y）（x﹣y）． 13．【答案】（9+m）（9﹣m）． 【分析】利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：81﹣m2＝（9+m）（9﹣m）， 故答案为：（9+m）（9﹣m）． 14．【答案】见试题解答内容 【分析】根据提公因式法分解因式即可． 【解答】解：3x2+3x＝3x（x+1）， 故答案为：3x（x+1）． 15．【答案】见试题解答内容 【分析】先提公因式2x，分解成2x（x2﹣4），而x2﹣4可利用平方差公式分解． 【解答】解：2x3﹣8x＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：2x（x+2）（x﹣2）． 16．【答案】2025 【分析】把代数式转化成二次函数，根据自变量x取不同的值，代数式的值即二次函数的值都相等，即可知道m、n关于对称轴对称，根据的值在对称轴上即可求出m+n的值，最后代入代数式即可． 【解答】解：设y＝x2﹣2x+2025，则a＝1，b＝﹣2，c＝2025， ∴对称轴x， ∵当x＝m或x＝n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+2025的值相等， ∴， ∴m+n＝2， 将x＝m+n＝2代入x2﹣2x+2025得：22﹣2×2+2025＝4﹣4+2025＝2025， ∴当x＝m+n时，代数式x2﹣2x+2025的值为2025， 故答案为：2025． 17．【答案】3a（a﹣b）2． 【分析】先提公因式3a，再根据完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：3a3﹣6a2b+3ab2 ＝3a（a2﹣2ab+b2） ＝3a（a﹣b）2， 故答案为：3a（a﹣b）2． 18．【答案】见试题解答内容 【分析】利用提公因式法分解因式即可． 【解答】解：原式＝3x（3x﹣y）． 故答案为：3x（3x﹣y）． 19．【答案】﹣3 【分析】先降次，x3+2x2﹣x+3＝3x2﹣3x+3，再利用因式分解，根据已知x2﹣x+2＝0，可得代数式的值． 【解答】解：∵x2﹣x+2＝0， ∴x2＝x﹣2，x2﹣x＝﹣2． x3+2x2﹣x+3 ＝x（x﹣2）+2x2﹣x+3 ＝x2﹣2x+2x2﹣x+3 ＝3x2﹣3x+3 ＝3（x2﹣x）+3 ＝3×（﹣2）+3 ＝﹣3． 故答案为：﹣3． 20．【答案】见试题解答内容 【分析】直接提取公因式y，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：原式＝y（x2﹣2x+1） ＝y（x﹣1）2． 故答案为：y（x﹣1）2． 三、解答题（共5小题） 21．【答案】（1）2024+20242+2025； （2）n2＝n﹣1+（n﹣1）2+n，见解析； （3）见解析． 【分析】（1）依据材料中等式的规律解答即可； （2）根据依据材料中发现等式的规律写出含 n的等式证明成立即可． （3）根据题意画出图形即可． 【解答】解：（1）第1个等式：22＝1+12+2； 第2个等式：32＝2+22+3； 第3个等式：42＝3+32+4； 第4个等式：52＝4+42+5； ……， 以此类推，可知第2024个等式：20252＝2024+20242+2025． 故答案为：2024+20242+2025； （2）由（1）可知含n的等式是n2＝（n﹣1）+（n﹣1）2+n． 理由：∵右边＝n﹣1+n2﹣2n+1+n＝n2， 左边＝n2， ∴左边＝右边， ∴n2＝（n﹣1）+（n﹣1）2+n成立． （3）如图所示，即为所求． 22．【答案】（1）M＝5x﹣20，P＝4x2﹣16；（2）4（x+2）（x﹣2）． 【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果； （2）把P提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：（1）根据题意得：M＝（3x2﹣4x﹣20）﹣3x（x﹣3） ＝3x2﹣4x﹣20﹣3x2+9x ＝5x﹣20； P＝3x2﹣4x﹣20+（x+2）2 ＝3x2﹣4x﹣20+x2+4x+4 ＝4x2﹣16； （2）P＝4x2﹣16 ＝4（x2﹣4） ＝4（x+2）（x﹣2）． 23．【答案】（1）（x+3）（x﹣3）； （2）（m+2）2（m﹣2）2． 【分析】（1）利用平方差公式进行分解即可； （2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【解答】解：（1）原式＝（x+3）（x﹣3）； （2）原式＝（m2﹣5+1）2 ＝（m2﹣4）2 ＝（m+2）2（m﹣2）2． 24．【答案】（1）；（2）3a（x﹣y）2． 【分析】（1）先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值，再算乘法和乘方，后算加减即可； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝3a（x2﹣2xy+y2） ＝3a（x﹣y）2． 25．【答案】（1）等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；③；②； （2）见解析． 【分析】（1）根据题干中的解题步骤即可求得答案； （2）利用题干中的方法进行因式分解即可． 【解答】解：（1）由推理过程可得第①步的推理依据是等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立，第④步使用了“提公因式法”；第③步的依据是“乘法分配律”；第②步的依据是“加法结合律”， 故答案为：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；③；②； （2）a2+2ab+b2 ＝a2+ab+ab+b2 ＝（a2+ab）+（ab+b2） ＝a（a+b）+b（a+b） ＝（a+b）（a+b） ＝（a+b）2． 第1页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $$