生活中“无处不在”的体积讲义-2026届高三数学二轮复习

全国新高考数学核心考点解读--生活中“无处不在”的体积 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：从2020年至2025年的新高考全国Ⅰ卷和Ⅱ卷来看，立体几何中几何体体积问题全国Ⅰ卷6年考了4年，其中2022年涉及到3道题目，全国Ⅱ卷每年都考1道题．总体难度不大，以中档题为主，大多数年份考的是利用公式求多面体或旋转体的体积，个别年份考了体积的分割、补形法，等体积法以及体积的实际应用与综合应用．为什么命题专家这么喜欢处体积的题目，说明体积在高中数学中的重要性，以及数学来源于生活实际，又要应用到生活实际中去还的原因．具体试题分布情况如下表所示： 新高考全国Ⅰ卷 新高考全国Ⅱ卷 2020年 第13题 2021年 第20题 第5题 2022年 第8题和第19题 第11题 2023年 第14题 第9题 2024年 第5题 第7题 2025年 第14题 （二）．历年真题常考题型 题型一：用公式求几何体体积 题型二：分割、补形法求体积 题型三：等体积法 题型四：跟外接球综合 题型五：体积的综合应用 （3） 备考建议 预计立体几何中几何体体积问题在未来的高考每年肯定要考至少1道题目，难度以中等难度为主，考生复习备考时首先要把教材中要求掌握的几何体体积公式记牢.直接代公式求几何体体积可能性会更大些，当然也可以出一些考查能力、创新的试题，不管命题专家怎么命题，我们基础扎实就可以以不变应万变． 二．真题再现 题型一：用公式求几何体体积 例1．（2021年新高考全国Ⅱ卷数学第5题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解. 【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 所以该棱台的高， 下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积. 故选：D. 例2．（2024年新高考全国Ⅰ卷数学第5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 例3．（2024年新高考Ⅱ卷数学第7题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 例4．（2023年新高考全国Ⅰ卷数学第14题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，    因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 例6．【多选】（2023年新高考全国Ⅱ卷数学第9题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）． A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．的面积为 【答案】AC 【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性. 【详解】依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误； C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确； D选项，，所以，D选项错误. 故选：AC. 例7. （2022年新高考全国Ⅰ卷数学第19题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 【解析】 【小问1详解】 在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得， 所以点A到平面的距离为； 【小问2详解】 取的中点E,连接AE,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得，所以，，所以， 则,所以的中点， 则，, 设平面的一个法向量，则， 可取， 设平面的一个法向量，则， 可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 例8．（2021年新高考全国Ⅰ卷数学第20题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 【解析】解：（1）证明：因为，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）方法一： 取的中点，因为为正三角形，所以， 过作与交于点，则， 所以，，两两垂直， 以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，1，， 设，0，，则， 因为平面，故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 又， 所以由，得， 令，则，，故， 因为二面角的大小为， 所以， 解得，所以， 又，所以， 故． 方法二： 过作，交于点，过作于点，连结， 由题意可知，，又平面 所以平面，又平面， 所以，又， 所以平面，又平面， 所以， 则为二面角的平面角，即， 又， 所以，则， 故， 所以， 因为， 则， 所以，则， 所以，则， 所以． 题型二：分割、补形法求体积 例9．【多选】（2022年新高考全国Ⅱ卷数学第11题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可. 【详解】 设，因为平面，，则， ，连接交于点，连接，易得， 又平面，平面，则，又，平面，则平面， 又，过作于，易得四边形为矩形，则， 则，， ，则，，， 则，则，，，故A、B错误；C、D正确. 故选：CD. 题型三：等体积法 例10．（2020年新高考全国II卷数学第13题）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、AB的中点，则三棱锥的体积为__________. 【分析】 本题考查利用等体积法求多面体的体积，是基础的计算题． 由题意画出图形，再由等体积法求三棱锥的体积． 【解析】解：如图， 正方体的棱长为2，M、N分别为、AB的中点， ， 故答案为： 题型四：跟外接球综合 例11．（2022年新高考全国Ⅰ卷数学第8题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. [方法二]：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 题型五：体积的综合应用 例12．（2022年新高考全国Ⅰ卷数学4题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（    ） A． B． C． D． 【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出． 【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积． 棱台上底面积，下底面积， ∴ ． 故选：C． 例13．（2025年新高考全国Ⅱ卷数学第14题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ． 【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径； 【详解】圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 故答案为：. 3、 专项训练 1． （2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为 ． 【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积. 【详解】因为且四边形为正方形，故， 而，故，故， 故所求体积为， 故答案为：. 2．（2023·全国甲卷·高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【分析】证明平面，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB得解. 【详解】取中点，连接，如图，   是边长为2的等边三角形，， ，又平面，， 平面， 又，， 故，即， 所以， 故选：A 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答. 【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图， ，，由的面积为，得， 解得，于是， 所以圆锥的体积. 故选：B 4．（2023·天津·高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【分析】分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.先证平面，则可得到，再证.由三角形相似得到，，再由即可求出体积比. 【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.    因为平面，平面，所以平面平面. 又因为平面平面，，平面，所以平面，且. 在中，因为，所以，所以， 在中，因为，所以， 所以. 故选：B 5．（2022·天津·高考真题） 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若,,则该几何体的体积为（    ） A． B． C．27 D． 【分析】根据几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积. 【详解】如图所示，该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成. 记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为， 则， . 所以 . 故选：C. 6．（2022·全国甲卷·高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ） A． B． C． D． 【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解. 【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为， 则， 所以， 又， 则， 所以， 所以甲圆锥的高， 乙圆锥的高， 所以. 故选：C. 8．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ） A． B． C． D． 【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点， 设圆锥和圆锥的高之比为，即， 设球的半径为，则，可得，所以，， 所以，，， ，则，所以，， 又因为，所以，， 所以，，， 因此，这两个圆锥的体积之和为. 故选：B. 9．（2021·北京·高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下： 等级 24h降雨量（精确到0.1） …… …… 小雨 0.1~9.9 中雨 10.0~24.9 大雨 25.0~49.9 暴雨 50.0~99.9 …… …… 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是 A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解. 【详解】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥， 所以积水厚度，属于中雨. 故选：B. 10．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为 ． 【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱和四棱锥后结合体积公式可求几何体的体积. 【详解】先证明一个结论：如果平面平面，平面平面，平面，则. 证明：设，， 在平面取一点，， 在平面内过作直线，使得，作直线，使得， 因为平面平面，，故，而，故， 同理，而，故 . 下面回归问题. 连接，因为且，故，同理，， 而，故直角梯形与直角梯形全等， 故， 在直角梯形中，过作，垂足为， 则四边形为矩形，且为以为直角的等腰直角三角形， 故， 平面平面，平面平面，, 平面，故平面， 取的中点为，的中点为，的中点为，连接， 则，同理可证平面，而平面， 故平面平面，同理平面平面， 而平面平面，故平面， 故，故四边形为平行四边形，故. 在平面中过作，交于，连接. 则四边形为平行四边形，且，故， 故四边形为平行四边形， 而平面， 故平面，故平面平面， 而，故， 故几何体为直棱柱， 而，故, 因为，故平面， 而平面，故平面平面， 在平面中过作，垂足为，同理可证平面， 而，故，故， 由对称性可得几何体的体积为， 故答案为：. 11．（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解. 【详解】由题可得两个圆台的高分别为， ， 所以. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国新高考数学核心考点解读--生活中“无处不在”的体积 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：从2020年至2025年的新高考全国Ⅰ卷和Ⅱ卷来看，立体几何中几何体体积问题全国Ⅰ卷6年考了4年，其中2022年涉及到3道题目，全国Ⅱ卷每年都考1道题．总体难度不大，以中档题为主，大多数年份考的是利用公式求多面体或旋转体的体积，个别年份考了体积的分割、补形法，等体积法以及体积的实际应用与综合应用．为什么命题专家这么喜欢处体积的题目，说明体积在高中数学中的重要性，以及数学来源于生活实际，又要应用到生活实际中去还的原因．具体试题分布情况如下表所示： 新高考全国Ⅰ卷 新高考全国Ⅱ卷 2020年 第13题 2021年 第20题 第5题 2022年 第8题和第19题 第11题 2023年 第14题 第9题 2024年 第5题 第7题 2025年 第14题 （二）．历年真题常考题型 题型一：用公式求几何体体积 题型二：分割、补形法求体积 题型三：等体积法 题型四：跟外接球综合 题型五：体积的综合应用 （3） 备考建议 预计立体几何中几何体体积问题在未来的高考每年肯定要考至少1道题目，难度以中等难度为主，考生复习备考时首先要把教材中要求掌握的几何体体积公式记牢.直接代公式求几何体体积可能性会更大些，当然也可以出一些考查能力、创新的试题，不管命题专家怎么命题，我们基础扎实就可以以不变应万变． 二．真题再现 题型一：用公式求几何体体积 例1．（2021年新高考全国Ⅱ卷数学第5题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 例2．（2024年新高考全国Ⅰ卷数学第5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 例3．（2024年新高考Ⅱ卷数学第7题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 例4．（2023年新高考全国Ⅰ卷数学第14题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 例6．【多选】（2023年新高考全国Ⅱ卷数学第9题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）． A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．的面积为 例7. （2022年新高考全国Ⅰ卷数学第19题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 例8．（2021年新高考全国Ⅰ卷数学第20题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 题型二：分割、补形法求体积 例9．【多选】（2022年新高考全国Ⅱ卷数学第11题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 题型三：等体积法 例10．（2020年新高考全国II卷数学第13题）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、AB的中点，则三棱锥的体积为__________. 题型四：跟外接球综合 例11．（2022年新高考全国Ⅰ卷数学第8题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：体积的综合应用 例12．（2022年新高考全国Ⅰ卷数学4题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（    ） A． B． C． D． 例13．（2025年新高考全国Ⅱ卷数学第14题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ． 3、 专项训练 1． （2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为 ． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·天津·高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·天津·高考真题） 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若,,则该几何体的体积为（    ） A． B． C．27 D． 6．（2022·全国甲卷·高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ） A． B． C． D． 9．（2021·北京·高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下： 等级 24h降雨量（精确到0.1） …… …… 小雨 0.1~9.9 中雨 10.0~24.9 大雨 25.0~49.9 暴雨 50.0~99.9 …… …… 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是 A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 10．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为 ． 11．（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$