11.1 因式分解 课件 2024—2025学年青岛版数学七年级下册

第11章 因式分解 11.1 因式分解 青岛版 数学 七年级下册 1 1.解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.（重点） 2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.（难点） 学习目标 青岛版 数学 七年级下册 2 问题1 6 等于 2 乘哪个整数？ 6＝2×3 问题2 x2－1等于x+1乘哪个多项式？ 回顾与思考 青岛版 数学 七年级下册 3 1.运用整式乘法法则或公式填空： (1) m(a+b+c)= ； (2) (x+1)(x-1)= ； (3) (a+b)2 = . ma+mb+mc x2 -1 a2 +2ab+b2 合作探究 2.根据等式的性质填空： (1) ma+mb+mc=( )( ) (2) x2 -1 =( )( ) (3) a2 +2ab+b2 =( )2 m a+b+c x+1 x-1 a+b 都是多项式化为几个整式的积的形式 青岛版 数学 七年级下册 4 对于整数 6 与 2，有整数 3 使得 6＝2×3，我们把2叫作6的一个因数．同理，3也是6的一个因数． 对于多项式 ，有多项式 x－1使得 ，我们把x+1叫作 x2－1的一个因式，同理，x－1也是 x2－1 的一个因式． 青岛版 数学 七年级下册 5 定义： 像这样，把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式,叫做多项式的因式分解，也叫做将多项式分解因式. 概念学习 一般地，对于两个多项 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh ，那么我们把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式． 青岛版 数学 七年级下册 6 x2-1 (x+1)(x-1) 因式分解 整式乘法 x2-1 = (x+1)(x-1) 等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即 青岛版 数学 七年级下册 7 典例精析 例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 青岛版 数学 七年级下册 8 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的 有 ，不是的，请说明为什么？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ 辨一辨： am+bm+c=m(a+b)+c 24x2y=3x ·8xy x2-1=(x+1)(x-1) (2x+1)2=4x2+4x+1 x2+x=x2(1+ ) 2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式， 是整式乘法 每个因式必须是整式 青岛版 数学 七年级下册 9 万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌成的，因此， 砖是基本建筑块之一. 在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”，例如，在正整数集中，像2，3，5，7，11，13，17，…这些大于1的数，它的因数只有1和它自身，称这样的正整数为质数或素数，素数就是正整数集中的“基本建筑块”：每一个正整数都能表示成若干素数的乘积的形式． 青岛版 数学 七年级下册 10 ① ② 有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为 进而很容易把分数 约分：分子与分母同除以6，得 例如 同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中，也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁． 青岛版 数学 七年级下册 11 例2 检验下列因式分解是否正确？ (1) x2 y-xy 2=xy(x-y)； (2) 2x2-1=(2x+1)(2x-1); (3) x2+3x+2=(x+1)(x+2). 用什么方法检验 因式分解是否 正确呢？ 分析：看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等. 青岛版 数学 七年级下册 12 解：(1)因为xy(x-y)=x2 y-xy 2， 所以因式分解 x2 y-xy2 =xy(x-y)正确； (2)因为(2x+1)(2x-1)= 4x2-1, 所以因式分解 2x2-1=(2x+1)(2x-1)错误； (3)因为(x+1)(x+2)= x2+3x+2， 所以因式分解x2+3x+2=(x+1)(x+2)正确. 青岛版 数学 七年级下册 13 判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解： 辩一辩 A. x(a﹣b)=ax﹣bx B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1) D. ax+by+c=x(a+b)+c E. 2a3b=a2•2ab F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9 √ × × × × × 提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多项式．(2)右边是积的形式. (3)右边的因式全是整式. 青岛版 数学 七年级下册 14 例3 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x﹣2）（x+3），求a，b的值. 解：因为x2+ax+b=a（x﹣2）（x+3） =ax2+ax-6a. 所以a=1，b=﹣6a=﹣6， 典例精析 方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可. 青岛版 数学 七年级下册 15 练一练：把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m+n的值为 　 ． 　 解析：由题意可得 x2+4mx+5=(x+5)(x+n) =x2+(n+5)x+5n， 5n=5，4m=n+5． 解得n=1，m= ， m+n=1+ = . 青岛版 数学 七年级下册 16 下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是（　　） A．x2﹣y2 B．﹣x2+y2 C．x2+y2 D．﹣x2﹣y2 B 练一练 青岛版 数学 七年级下册 17 x2-y2 9-25x2 x2+2x+1 xy-y2 (x+1)2 y(x-y) (3-5x)(3+5x) (x+y)(x-y) 1.连线： 青岛版 数学 七年级下册 18 2.把下列多项式因式分解： 3.求4，6，14的最大公因数. 4=1×2×2 6=1×2×3 14=1×2×7 最大公因数是2 青岛版 数学 七年级下册 19 4.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2)2x(x-3y)=2x2-6xy (3)(5a-1)2=25a2-10a+1 (4)x2+4x+4=(x+2)2 (5)2πR+ 2πr= 2π(R+r) 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 因式分解 青岛版 数学 七年级下册 20 5. 若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)， 求mn的值. 解：因为x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4， 所以可设x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)， 则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b 比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n 解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20. 所以mn=﹣5×20=﹣100． 青岛版 数学 七年级下册 21 6. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1）(x+9)，求a+b的值. 解：分解因式甲看错了b，但a是正确的， 其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8， 所以a=6， 同理，乙看错了a，但b是正确的， 分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9， 所以b=9， 因此a+b=15． 青岛版 数学 七年级下册 22 a a b b a – b a + b a2– b2 = （a + b)（a – b） 7.手工课上，老师给南韩兵同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助南韩兵同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？ 青岛版 数学 七年级下册 23 $$