第二十一章一元二次方程同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版

第二十一章一元二次方程同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．3，，9 B．3，， C．3，5，9 D．3，5， 2．若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 3．下列关于的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 4．你能找到三个连续整数，使得前两个数的平方和等于第三个数的平方吗？如果将这三个连续整数中最小的数设为，那么可得方程，则该方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．若关于x的一元二次方程 无实数根，则m的值可能是（    ） A． B． C． D． 6．已知方程的两根分别为，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 7．为贯彻落实教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开展劳动教育课程，计划在果园多种一些果树．果园中原有樱桃树10棵，平均每棵树结1000颗樱桃，试验发现，如果每多种一棵，平均每棵樱桃树的产量就会减少5颗，如果要使产量增加，应多种多少棵樱桃树？设多种x棵樱桃树，则根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 8．若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知关于的方程是一元二次方程，则 ． 10．若、是一元二次方程的两根，则的值为 ． 11．若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ． 12．关于x的方程有一根，那么这个方程的另一个根是 13．若一个三角形的两条边分别是5和7，另一条边是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为 ． 14．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 15．定义新运算：，若，则x的值为 ． 16．已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是 ． 三、解答题 17．用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)若，求方程的根． 19．某奶茶店今年3月份的销售利润是2万元，4、5月份的销售利润均有所增长，5月份的销售利润达到万元．求这家奶茶店的月平均利润增长率． 20．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 21．已知：关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若这个方程的一个根为3，求另一个根及的值． 22．某服装店在销售A，B两款服装时，销售员记录了从4月到6月的销售情况，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题． 素材1 A款服装每销售一件可盈利100元，已知4月份销售量为64件，且销售量逐月递增，6月份销售量达到100件． B款服装每销售一件可盈利150元，每月的销售量均为80件． 素材2 7月开始换季，服装店仅对A款服装进行降价销售，根据往年数据测算：以6月份的月销售量为基准，A款服装每降5元，其月销售量增加25件，同时会使B款服装月销售量减少10件． 问题解决 问题1：求6月份销售A，B两款服装的利润之和． 问题2：求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率． 问题3：为了使7月份销售A，B两款服装的利润之和达到22500元，那么A款服装应降价多少元？ 23．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限制方程”．比如：一元二次方程的两根为，因，所以一元二次方程不是“限制方程”．请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程______“限制方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限制方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限制方程”，求m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十一章一元二次方程同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C A A B A A 1．B 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式，即可直接读出二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：原方程为，展开左边括号得：， 将右边移到左边，得：， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 故选B． 2．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和利用根的判别式判断方程根的情况． 根据一元二次方程的定义和根的判别式，得二次项系数不为零且判别式非负，联立求解即可． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数 ，即 ， 又∵方程有实数解， ∴， 解得 ， 综上所述：关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 且 ． 故选C． 3．C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟知判别式是解题关键．根据二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根．逐一计算各选项的判别式，判断其是否恒大于0． 【详解】A、方程，判别式，方程无实数根，故本选项不符合题意； B、方程，判别式，方程有两个相等实数根，故本选项不符合题意； C、方程，判别式．因，故，方程恒有两个不相等实数根，故本选项符合题意； D、方程，判别式．当时，，方程有两个相等实数根，不满足“一定不相等”，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，掌握根的判别式是解题的关键．将方程整理为标准二次方程后，计算判别式判断根的情况． 【详解】解：， ， 即 ， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．当判别式小于0时，方程无实数根．根据题意表示出判别式并小于0，则可列出不等式，解出即可判别． 【详解】解：一元二次方程 无实数根， ， 解得． 选项中只有满足 ， 故选：A． 6．B 【分析】根据二次方程根与系数的关系，直接计算两根的倒数和． 【详解】已知方程 的两根为 和 ，由根与系数的关系可得： 根的和：， 根的积：， 所求表达式为 ，通分后得： ， 将根的和与积代入： ． 故选： B． 7．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设多种x棵樱桃树，则总棵数为棵，每棵产量为颗，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设多种x棵樱桃树，则总棵数为棵，每棵产量为颗，根据题意得： ． 故选：A 8．A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴可以为：， ∴满足要求的方程为：， 故选：A． 9．1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为2的整式方程是一元二次方程成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义得出且，然后求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：1． 10． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两根， ∴， ∴ ． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键． 根据方程无实数根，得，即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据得到，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程有一根，设另一个根为 ∴， 解得：， 故答案为：． 13．20 【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理的应用，先求出方程的解，然后再看看是否符合三角形的三边关系定理，进而确定三角形的第三条边，从而可求三角形的周长． 【详解】解：， ， 或， ， ①三角形的三边是5，7，2， ∵， ∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去； ②三角形的三边是5，7，8，此时符合三角形三边关系定理， ∴三角形的周长是， 故答案为：20． 14． 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 15． 【分析】本题考查解一元二次方程；根据新定义以及已知条件，可得，利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解．依据题意，由方程的一个根是，求得，再由方程有两个相等的实数根，可得，进而，最后计算即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵方程的一个根是， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）由公式法求解即可； （2）利用直接开平方法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ∴； （2）解： 或 ∴； （3）解： ， 或 ∴ （4）解： 或 ∴． 18．(1) (2)， 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用根与系数的关系得到，由于，于是可求出k的值，则原方程化为，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 即k的取值范围为； （2）根据根与系数的关系得， ， ， 解得， ， 符合题意， 原方程化为， 解得，． 19．这家奶茶店的月平均利润增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这家奶茶店的月平均利润增长率为x，根据某奶茶店今年3月份的销售利润是2万元，5月份的销售利润达到万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设这家奶茶店的月平均利润增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：这家奶茶店的月平均利润增长率为． 20．该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．设每台学习机售价为x元，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润等于每台的销售利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每台学习机售价为x元， 依题意得：， 解得：，， ∵减少库存， ∴； 答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 21．(1)见解析 (2)另外一根为； 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况； （2）设方程的另外一个根为3，带入可求出的值；再利用的值可知原方程，解之即可得到答案． 【详解】（1）证明：方程化简为：， 根据判别式： ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵这个方程的一个根为3， ∴；解得：，则 把带入方程得：； ∴；解得：或； ∴方程得另外一根为：. 22．问题1：22000元；问题2：A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为；问题3：A款服装应降价10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 问题1：利用6月份销售A，B两款服装的利润之和=每件A款服装的销售利润×A款服装的月销售量+每件B款服装的销售利润×B款服装的月销售量，即可求出结论； 问题2：设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为x，利用A款服装6月份的销售量款服装4月份的销售量款服装从4月到6月销售量的平均月增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 问题3：设A款服装应降价y元，则每件A款服装的销售利润为元，A款服装的月销售量为件，B款服装的月销售量为件，利用7月份销售A，B两款服装的利润之和=每件A款服装的销售利润款服装的月销售量+每件B款服装的销售利润款服装的月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：问题1：根据题意得： （元）． 答：6月份销售A，B两款服装的利润之和为22000元；．        问题2：设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长举为x， 由题意可以列出方程， 解得（不合题意，舍去）， 答：A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为．            问题3：设A款服装应降价y元， 由题意可以列出方程． 解得． 答：A款服装应降价10元． 23．(1)不是 (2)6 (3)或 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，正确理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，根据，代入可求出k的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得，然后分两种情况，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 不是“限制方程”； （2）解：是的两根， 则，， ∵， ∴， ， 解得或6， 当时，，解得， ， 不符合题意，舍去， 当时，，解得，满足， ∴； （3）解：方程的根为， ∵该方程是“限制方程”， ∴， 当时， ，解得， 当时， ，解得， ∴m的取值范围是或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$