第二十二章二次函数同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版

第二十二章二次函数同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 5 0 0 … 下列结论正确的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当 时， D．函数的最大值为5 3．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象的顶点坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 5．抛物线过三点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 7．已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线（为常数，且）经过点和点，若，则的值可能是（   ） A． B． C．1 D．4 9．如图，点从矩形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时，的面积随时间变化的关系图象是（   ） A． B． C． D． 10．已知点，，在二次函数的图象上，，，则下列判断正确的是（   ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．无论非零实数a为何值，都有 D．无论非零实数a为何值，都有 二、填空题 11．直线与的图象有两个不同的交点，则的取值范围是 ． 12．已知二次函数，，都在该抛物线上，且 ，则的取值范围是 ． 13．若二次函数与x轴交于和，关于x的一元二次方程的两个根分别是和，则 ． 14．如果拋物线上的点和关于它的对称轴对称，那么点的坐标是 ． 15．在平面直角坐标系中，已知抛物线和点、，其中、的坐标分别为，． （1）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为 ． （2）若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是 ． 16．抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 三、解答题 17．如下图，已知一抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点． (1)求该抛物线对应的表达式． (2)连接，，将沿x轴翻折后得到点C的对应点D，平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点B和点D，请求出平移的过程． 18．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25）另外三边用木栏围成，木栏长． (1)若养鸡场面积为，求鸡场垂直于墙的一边的长； (2)养鸡场面积能达到最大吗？如果能，请你求出最大面积；如果不能，请说明理由． 19．已知函数． (1)求证：无论取什么实数值，这个函数与轴总有交点； (2)若等腰的一边长，另两边、恰好是关于的方程的两根，求的周长． 20．如图已知二次函数图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B． (1)连接，求直线的解析式； (2)点P为该二次函数图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标． 21．已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 22．2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 23．如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求证：直线与该抛物线没有交点； (3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十二章二次函数同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B A C C B A D 1．D 【分析】根据抛物线的顶点式，直接确定对称轴即可. 本题考查了抛物线顶点式确定对称轴，熟练掌握顶点式是解题的关键. 【详解】解：抛物线的解析式为， 故抛物线对称轴为直线. 故选：D. 2．B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据对称性可得对称轴为直线，再由增减性可得抛物线的开口向上，据此可得答案． 【详解】解：∵当时和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线，故B结论正确，符合题意； ∵当时的函数值大于当时的函数值，当时的函数值小于时的函数值， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大， ∴抛物线的开口向上，故A结论错误，不符合题意； ∴当 时，，函数的最小值为，且没有最大值，故C和D的结论错误，不符合题意； 3．A 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求二次函数的顶点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式，进而可得二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式求出顶点坐标即可得到答案． 【详解】由图象可得，直线经过点，， 把点，代入得，，解得， 二次函数解析式为， 二次函数图象的顶点坐标为，即二次函数顶点在第一象限， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键． 根据右减上加的平移原则计算即可． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了比较抛物线上各点纵坐标的大小． 利用开口方向及点到对称轴的距离判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点为，开口向上， ∴点离对称轴越远，纵坐标越大． 计算各点横坐标到对称轴的距离： 时，距离为， 时，距离为， 时，距离为， 距离由大到小为， ∴对应纵坐标． 故选A． 6．C 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：，，然后根据图象判断其值． 根据和时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断①和②，由抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点可以判断③、④、从而可得答案． 【详解】解：当时，， ∴，故①正确； 当时，， 由图象可知，当时，，故②正确； ∵图象开口向下， ∴， ∵， ∴， ∵图象与y轴的交点在y轴的上半轴， ∴， ∴，故③错误； ∵，，， 当， 则，产生矛盾，故④错误； ∴正确的有2个． 故选：C． 7．C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 8．B 【分析】本题考查抛物线的性质，比较自变量大小，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴为直线，根据，则当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大 ，分两种情况：当时 ， 当时，依据，求出t的范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大 ， 当时 ， ∵， ∴， 当时 ， ∵， ∴ ∴， ∴或， ∴的值可能是． 故选：B． 9．A 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质、三角形面积公式以及函数图象的知识，熟练掌握三角形面积随动点位置变化的规律，利用相似三角形等知识分析面积与时间的函数关系是解题的关键．根据点在矩形的不同边上运动时，面积的变化情况来选择正确的函数图象．分点在上运动和点在上运动这两个阶段进行分析． 【详解】解：当点在边上运动时，如图， ∵矩形中，的长度不变，设，（、为定值）． 此时以为底边，为高，根据三角形面积公式底高，可得的面积 ． ∵、是定值， ∴在点从运动到的过程中，的面积保持不变，图象是一段水平线段． 当点在上运动时，如图， 设点运动到上时，运动时间为秒，点从出发沿运动，速度是．设，，则点在上运动时，． 过作于，则, ∴． ∴ ．即 ∴， ∴的面积， ∴与是一次函数关系，图象是一条下降的线段． 综上，整个过程中面积随时间变化的关系图象是先水平，再下降的线段， 故选：A． 10．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．先利用抛物线与y轴的交点坐标为和C点坐标得到抛物线对称轴为直线，再利用已知条件得到，所以点A到直线的距离小于点B到直线的距离，根据二次函数的性质，画出二次函数的草图，得出当时，；当时，，然后即可作出判断． 【详解】解：∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， ∵抛物线经过， ∴抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴，， ∴点A到直线的距离小于点B到直线的距离， 当时， 如图： 可得，即， ∴； 当时，如图： 可得，即， ∴， 综上，无论非零实数a为何值，都有， 故选：D． 11．或 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，根据题意联立与，得出，求解即可． 【详解】解：联立与，则，整理得：， ∵直线与的图象有两个不同的交点， 则， 解得：或， 故答案为：或． 12． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，进而根据 ，可得比离对称轴更近，列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，都在该抛物线上，且 ， ∴ 解得： 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根据二次函数的性质求得，，得到，，则方程可转化为，根据根与系数的关系，，再将整理得到，代入数据计算即可求解． 【详解】解：二次函数与x轴交于和， ∴，， ∴，， ∴一元二次方程为， 即， ∵关于x的一元二次方程的两个根分别是和， ∴，， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是了解对称点的性质． 首先确定抛物线的对称轴，然后根据对称点的性质解题即可． 【详解】解：∵的对称轴为， 点关于该抛物线的对称轴对称点的坐标为． 故答案为：． 15． 或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与轴的交点问题，一次函数的图象性质，二次函数的图象上的点的特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合抛物线与轴只有一个交点，得出，代入数值进行计算，即可作答． （2）理解题意，然后进行分类讨论，然后作图，求出直线的解析式为，再结合进行列方程组，得，再运用判别式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵抛物线与轴只有一个交点， ∴， 解得， 故答案为：． （2）∵抛物线的解析式为． 观察图象可知，当时，时，时，且，满足条件， 可得； 当时，时，，且抛物线与直线有交点，且满足条件， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立①②得 并整理得： ， ∵， ∴， ∴满足条件， 综上所述，满足条件的a的值为或， 故答案为：或． 16．；5 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据解析式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而得到离对称轴越远函数值越大，再确定当且仅当时，函数有最大值并计算出最大值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即最小值为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，当且仅当时，函数有最大值，最大值为， 故答案为；；5． 17．(1)； (2)向右平移2个单位，再向下平移4个单位． 【分析】本题主要考查抛物线表达式求法，抛物线平移规律，翻折性质等知识点，根据题意用待定系数法求表达式及一般式化为顶点式是解决本题的关键． （1）根据题目所给条件与x轴交于点，，设交点式，将C点坐标代入求解即可； （2）将求得的表达式化为顶点式，然后根据翻折得到D点坐标，再用待定系数法求出平移后经过点B和点D的抛物线表达式，根据“左加右减，上加下减”得到平移规律． 【详解】（1）解：由题意设该抛物线对应的表达式为． 将代入，得，解得， 该抛物线对应的表达式为． （2）由（1）知． 将沿x轴翻折后，点的对应点D的坐标为． 设平移后经过点B，D的抛物线对应的函数表达式为． 将代入，得，解得， 平移后经过点B，D的抛物线对应的函数表达式为． 平移过程为将抛物线向右平移2个单位，再向下平移4个单位． 18．(1) (2)最大面积为 【分析】本题考查了二次函数，一元一次不等式与一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，并根据题意列出一元二次方程与求出二次函数的解析式． （1）设边的长为，根据题意可知，结合墙长25，建立不等式求出，再根据“养鸡场面积为，”建立方程求解，即可解题； （2）根据题意表示出养鸡场面积，再结合二次函数最值求解，即可解题． 【详解】（1）解：设边的长为， 根据题意可知， 墙长25， ， 解得， 养鸡场面积为， ， 解得（不合题意，舍去）或， ． （2）解：养鸡场面积， ， 当时，养鸡场面积最大，最大面积为． 19．(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义： （1）根据根的判别式解答，即可求解； （2）分两种讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，     ∴无论取什么实数值，这个函数与轴总有交点； （2）解：若b，c的长为腰，此时原方程只有一个实数根， ∴， 解得：， 此时原方程为， 解得：， 即， 此时，不能构成三角形； 若a的长为腰，此时原方程一个实数根为， ∴， 解得：， 所愿方程为， 解得：， ∴三角形的三边长为4，4，2， 此时三角形的周长为． 20．(1) (2) 【分析】（1）求出，两点坐标，利用待定系数法求解； （2）过点作轴交于点，设，则，然后构建二次函数，利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：对于， 令，则， ， 令，可得， 解得或， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点， 设，则， ， ， ∵，， 当时，的面积最大，面积的最大值为4，此时． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象上的点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 21．(1)对称轴是直线 (2)；， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解； （2）①根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小； ②将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，即，再利用特殊值法即可求出系数的值． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入得， ，即， 所以， 故所求抛物线的对称轴是直线． （2）解：①由（1）可知，抛物线的解析式为． 又， 故． 因为抛物线过原点，且点A与原点不重合，所以． 于是， 故． ②由题意知，，． ∵， ∴． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，． 故，即． 于是． 依题意知，是与无关的定值． 则，解得． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． 所以，． 22．(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； (2)至少需要购进B款纪念品200个 (3)，W的最大值为4500 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 23．(1) (2)见解析； (3)，的最大值是20 【分析】本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式得到一个一元二次方程，利用判别式求解即可； （3）根据题意可得，可证明点E和点F关于抛物线对称轴对称，则可得到，进而求出，，根据据此周长计算公式可得，据此利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可设抛物线的函数解析式为， 将点代入解析式可得，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）证明：将直线与抛物线联立可得， 整理得； ∴， 直线与抛物线没有交点； （3）解：由题意得，则 ∵四边形是矩形， ∴， ∴点G和点D关于抛物线对称轴对称， ∴点E和点F关于抛物线对称轴对称， 由（1）可得抛物线对称轴为直线， ， ，． ，即与的函数关系式是 当时，的值最大，的最大值是20． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$