第24章圆同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版

第24章圆同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．圆半径长为，对于圆的内接正六边形，下列说法错误的是（   ） A．中心角是 B．内角是 C．边心距为 D．边长为 2．如图，为的直径，点C在上，若，则长为（    ） A． B． C． D． 3．已知和的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 4．如图，四边形为的内接四边形，连接、、，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，的半径为10，，P是弦上的一个动点（不与A，B重合），符合条件的的值不可能是（    ） A．7.5 B．6.5 C．6 D． 6．如图，四边形内接于，为的直径，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等（如图②），小华用皮尺量出米，米，则阴影部分的面积为（    ）    A．平方米B．平方米C．平方米 D．平方米 8．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 9．如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．如图，四边形是正方形，曲线，，，，……叫作“正方形的渐开线”，其中，，，的圆心依次按，，，循环，若，则弧所对应的扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，内接于，，，则的半径为 12．如图，⊙的内接正六边形的边长为6，点P是弧的中点，则弧的长为 ． 13．如图，点在上，点在内，其中，则 ． 14．如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为 . 15．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，排水管水面宽为，则此时水管水面上升了 m． 16．如图，是的直径，点、为上的点．若，则 ． 17．如图，在中，，如果以点为圆心的与以边为直径的外切，那么的半径长是 ． 三、解答题 18．如图，已知点A，B在圆上，以为边在圆内作正方形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图1中作出圆的一条直径； (2)在图2中作出圆内接正方形． 19．如图，已知中，． (1)求作，使圆心在边中点，且与边相切于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：是的切线． 20．如图，以的边为直径的与边相交于点，过点作于点． (1)求证：为的切线； (2)若的直径为8，求的长． 21．如图，是的弦，点为上一点，的延长线垂直，垂足为，点为弧上一点，且，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)点为上一点，平分，且，求的度数． 22．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的；（，，的对应点分别为，，） (2)以原点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出；（，，的对应点分别为，，） (3)直接写出的外心坐标． 23．【问题情境】 （1）如图，三角形外接圆圆心为．若，圆半径为4．求三角形面积的最大值； 【问题解决】 （2）如图，在四边形中设计一个三角形花园，点在边上，修建四条笔直小路，，，．满足．经测量，，米，，．当三角形花园的面积取最小值时，求道路的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第24章圆同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D A D C B C C A 1．D 【分析】根据正六边形的性质，计算它的中心角、内角、边心距以及边长即可． 【详解】解：如图，正六边形内接于，连接，，过点作于点， ∴，， 即中心角是，故选项A不符合题意； ∵正六边形内接于， ∴， 即正六边形的内角为，故选项B不符合题意； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形的边长为，故选项D符合题意； ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为，故选项C不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形和圆，考查了正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理等知识点．掌握正六边形的性质是解题的关键． 2．C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键． 先确定为等边三角形，则求出度数，再由弧长公式求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴长为：， 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查了两圆位置关系，掌握两圆半径、圆心距的关系以及两圆不同位置关系时的公共点数成为解题的关键． 根据圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系逐项判断即可． 【详解】解：∵和的半径分别是5和7， ∴． A、，则与内切，有一个公共点，故该选项错误； B、，且，则与相交，有两个公共点，故选项错误； C、，当时，与内含，没有公共点，故选项错误； D、时，，则与相交，有两个公共点，故选项正确． 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．首先证明为等边三角形，易得，利用圆周角定理确定，进而可得的值，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，垂线段最短等知识．取的中点C，分别连接、，由垂径定理及勾股定理可求得的长，根据垂线段最短，则的值介于与之间，由此可求得结果． 【详解】解：如图，取的中点C，分别连接、，则，且， 在中，， ∴ ， 点P线段上（不与重合），则，即 ， ∵， ∴选项D符合题意； 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由圆内接四边形的性质可得，进而可得，又由圆周角定理得，再根据角的和差即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故选：． 7．B 【分析】此题主要考查了勾股定理以及扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握特殊角的三角函数关系是解题关键．设圆心为O，连接，过点O作于点E，进而得出，的长以及的度数，进而由得出弓形的面积，进一步即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：设圆心为O，连接，过点O作于点E， 由题意可得出：， ∴是的直径， ∵米，米， ∴，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴平方米， ∴阴影部分的面积为：平方米． ∴故选：B． 8．C 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，一元二次方程根的判别式；点O到直线a的距离为d，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．由方程无实数根，求出，从而得出答案． 【详解】解：∵点O到直线l距离是方程无实数根， ∴， ∴， ∴直线l与圆相交， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最大值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最大值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最大值为6， 故选C． 10．A 【分析】本题考查扇形面积的计算．依次求出弧，，，，……所对应的扇形的面积，发现规律即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形，且， 以为圆心的圆的半径为，则所对应的扇形的面积为， 以为圆心的圆的半径为，则所对应的扇形的面积为， 以为圆心的圆的半径为，则所对应的扇形的面积为， 以为圆心的圆的半径为，则所对应的扇形的面积为， ……， 依次类推，所对应的扇形的面积为(为大于的正整数)， 弧所对应的扇形的面积为． 故选：A． 11． 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，连接，，根据圆周角定理得出，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解∶连接，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的半径为， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质、弧长公式等知识点，正确地添加辅助线是解题的关键．连接、、、、，因为⊙的内接正六边形的边长为6，可得，，即可判断是等边三角形，即，由点P是弧的中点，，则，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接、、、、， ⊙的内接正六边形的边长为6， ，， ，， 是等边三角形， ， 点P是弧的中点， ， ， ， 弧的长为：， 故答案为：． 13．18 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，垂径定理和勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握垂径定理与勾股定理的综合求线段长是关键． 延长交于，过作于，于，由垂径定理得到，判定是等边三角形，得到，求出，由含度角的直角三角形的性质求出，，，求出，由勾股定理得到，，因此，由此即可求解． 【详解】解：延长交于，过作于，于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作，根据等边三角形的性质可知，，根据圆周角定理可知，根据直角三角形的性质可知，利用勾股定理求出，，根据可证，根据全等三角形的性质可得，从而可求的长度． 【详解】解：如下图所示，以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作， 是边长为的等边三角形， ，， ， 在中， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据图形的性质找到边、角之间的关系． 15．或 【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． ：设上升后的水面为，即，过作于，交于，连接，由垂径定理得，，在中，由勾股定理得，然后再分两种情况，根据可求解． 【详解】解：设上升后的水面为，即， 过作于，交于，连接， 则， ∵， ∴在中，． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 当水面未过圆心时，， 当水面超过圆心时，， 即水管水面上升了或， 故答案为：或． 16． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角，圆的内接四边形对角互补．根据圆的内接四边形对角互补可得，根据直径所对的圆周角为直角可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：， ， 是的直径，点为上的点， ， ， 故答案为：． 17．/ 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系和勾股定理，明确两圆相切时，两圆的圆心连线过切点是解题的关键．连接，由与外切，则经过切点，利用勾股定理求得，然后利用勾股定理求得，进一步即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 与外切， 经过切点， 在中，，，， ， 为的直径， ， ， ， ， 的半径长是； 故答案为：． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了用无刻度直尺作图，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，90度角对的弦是直径，同弧对的圆周角相等等知识，理解并掌握它们是解题的关键． （1）延长交圆于点C，连接即可； （2）依（1）作法作出圆的两条直径，两直径交于点O，连接并延长交圆于点G，连接并延长交圆于点H，则四边形为所作． 【详解】（1）解：如图，延长交圆于点C，连接， 由于，根据直角对的弦是直径， 则是所作的圆的直径； （2）解：作出圆的两条直径，两直径交于点O，连接并延长交圆于点G，连接并延长交圆于点H，则四边形为正方形． 由（1）知，是圆的两条直径，则O是圆心， 由正方形的性质知， ∴； ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，且是圆内接正方形． 19．(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，作垂线，切线的判定与性质，角平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先作角平分线，交于点，然后过作的垂线，以为半径作圆即可； （）过作于点，由与边相切于点，则，由作图可知平分，所以，然后根据切线的判定方法即可求证． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：过作于点， ∵与边相切于点， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， ∴是的切线． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握切线的判定方法，矩形的判定和性质是关键． （1）连接，如图，可得为的中位线，则，结合题意得到，由此即可求解； （2）过点作于点，如图，可得为等腰直角三角形，则，再证明四边形为矩形，由此即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， 为的中位线， ， ， ， 为的半径， 为的切线． （2）解：过点作于点，如图， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， 的直径为， ， ， ， ， 四边形为矩形， ． 21．(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，垂直平分线的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设与交于点，由垂径定理得，，则有，，然后通过三角形的内角和定理即可求证； （）由角平分定义可设，则，通过圆内接四边形和平角定义可得，则有，，，最后由角度和差求出的值即可． 【详解】（1）证明：设与交于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵平分， ∴， 设，则， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 22．(1)见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查了在平面直角坐标系内画轴对称图形，在平面直角坐标系内画旋转后的图形，勾股定理，作已知线段的垂直平分线等知识点，解题的关键是根据轴对称图形、旋转对称的意义找出对应点． （1）分别作出关于轴对称的对应点，，，再顺次连结得到； （2）以原点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到三个顶点对应点，，，再顺次连结得到； （3）根据三角形的外心的意义，找出与的垂直平分线交点，再写出其坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）如图，即为所求作的三角形； （3）如图，分别作，的垂直平分线，，直线与交点为的外心， ∴的外心的坐标为． 23．（1）；（2）30米． 【分析】（1）当延长线交于中点且在优弧上时，最大，利用勾股定理求出，再求的最大值； （2）先说明当最小时，面积最小，再最小值，然后含有30度角的直角三角形的性质求出当三角形花园的面积取最小值时道路的长度． 【详解】解：（1）已知外接圆半径，． 设到的距离为， 当延长线交于中点且在优弧上时，最大， 此时． ∵，， ∴的最大值为； （2）由题意，在以为直径的半圆上，设点为圆心， 如图，连接，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴当最小时，面积最小． ∵， ∴， ∴当，，三点在一条直线上时，取得最小值， 此时， ∵米，， ∴是等边三角形， ∴米 ∴米，米， ，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴的最小值为米． ∴面积的最小值为：平方米， 此时点为半圆弧的中点， ∴， 又， ∴， 又是的中点， ∴即 ∴是的中位线， ∴米． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外接圆，勾股定理，求三角形的面积等知识点，解题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出相关线段的长度． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$