24.3正多边形和圆同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版

24.3正多边形和圆同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数为（   ） A．七 B．八 C．九 D．十 2．已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为（   ） A．1 B． C．2 D．4 3．正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．圆半径长为，对于圆的内接正六边形，下列说法错误的是（   ） A．中心角是 B．内角是 C．边心距为 D．边长为 6．如图，正六边形的边长是，连接，是上的动点，连接，．若的值是整数，则点的位置有（    ） A．3处 B．5处 C．7处 D．9处 7．青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知某正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距为 ． 10．已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ． 11．如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为 ． 12．如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是 ． 13．如图，在边长为 2 的正六边形中，G为的中点，点Q为正六边形边上任意一点，以为半径的与以为半径的相交时，那么的半径 r 的取值范围是 ． 14．如图，正六边形 的边、分别与相切于点C、F，连接、，则 的度数是 ． 15．如图，已知正方形与正五边形都内接于，则的度数为 ． 16．如图，是内接正五边形的一条边，是优弧上的两点，且点在点的右侧．若，则的度数为 ． 三、解答题 17．如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 18．如图，已知和上的一点A． 【实践与操作】 （1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【应用与证明】 （2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明． 19．如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长．    20．（1）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上，画出绕点O逆时针旋转得到的，并写出点，，的坐标； （2）尺规作图：如图，作的内接正方形，不写作法，保留作图痕迹． 21．综合与实践 某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．      【探究发现】 当周长为时，计算回答下列问题： （1）正方形的面积为________． （2）如图，正，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程． （3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下，、、、的大小关系．（参考数据：，）    【应用结论】 张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的的母羊单独喂食．爷爷买了的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到，若能，该如何围？若不能，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《24.3正多边形和圆同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B B D A C C 1．B 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，掌握正多边形的中心角相等以及计算公式成为解题的关键． 根据正多边形的中心角计算公式为：中心角边数，求解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为． 由题意可得：，解得：． 故选B． 2．C 【分析】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接、，过点作，垂足为，证明为等边三角形，得出，设，则，求出，，再由正六边形的面积为，得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，过点作，垂足为， ， ∵正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∵正六边形的面积为， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴正六边形的边长为， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．根据正多边形的性质得出点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，设正多边形的中心为， ∵、、为正多边形的顶点， ∴点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∵， ∴该正多边形的边数为． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，切线的性质，连接．求出，再利用圆周角定理求出，连接，可得，由得，求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵M，N，F分别是与的切点， ∴，， ∴， ∵正五边形中，， ∴， ∴， 连接，由对称性可得三点在同一条直线上， 在和中， , ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．D 【分析】根据正六边形的性质，计算它的中心角、内角、边心距以及边长即可． 【详解】解：如图，正六边形内接于，连接，，过点作于点， ∴，， 即中心角是，故选项A不符合题意； ∵正六边形内接于， ∴， 即正六边形的内角为，故选项B不符合题意； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形的边长为，故选项D符合题意； ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为，故选项C不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形和圆，考查了正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理等知识点．掌握正六边形的性质是解题的关键． 6．A 【分析】本题考查了正多边形，轴对称的性质，勾股定理等知识的综合，掌握正多边形，勾股定理的运用是关键． 根据正多边形的性质，轴对称的性质得到点从运动时 ，的取值范围为，由此即可求解． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，点关于的对称点为点，每个内角的度数为， 如图所示，连接，交于点，连接，设交于点， ∴，，， ∴，， ∴，，， ∴，， 当点三点共线时，的值最小，最小值为， 点从运动时 ，的取值范围为， ∵， ∴整数值为，共3个， 故选：A ． 7．C 【分析】本题考查求正多边形中心角度数，掌握正n边形中心角的计算公式是解题的关键． 用除以正多边形的边数，计算即可． 【详解】解： 故选：C． 8．C 【分析】本题主要考查正多边形与圆的综合，熟练掌握正多边形的性质及圆的性质是解题的关键；连接，过点O作于点H，由题意易得是等边三角形，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点H， ∵六边形是正六边形， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的直径为， ∴， ∴； 故选C． 9． 【分析】本题考查了正多边形的性质，勾股定理的运用，掌握正多边形与圆的综合是关键． 根据题意得到，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，正六边形，中心为点，连接，作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 10．或 【分析】本题考查正多边形与圆，如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如，弦为时，此时恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在圆外部时，即交的两边，截取的两条弦为时，进行求解即可． 【详解】解：如图，当角的顶点在圆上时，如交的两边，截取的两条弦为，此时恰好是正五边形的一个内角， ∴； 当角的顶点在圆外部，即交的两边，截取的两条弦为时， 则：， ∴， ∴； 综上：这个角的大小是或； 故答案为：或． 11． 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质， 先求出中心角的度数，即可求出，再根据切线的性质可求，然后根据正多边形的外角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是正五边形的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 12．3 【分析】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长． 【详解】解：连接、，如图： 的周长等于， 的半径， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 即正六边形的边长为3， 故答案为：3． 13． 【分析】本题考查了正多边形与圆的问题，正多边形的性质，熟练掌握了正多边形与圆的问题是解题的关键．作正六边形的外接圆，连结，，，设与相交于点P，求出、、的长，即可求得的半径 r 的取值范围，即得答案． 【详解】解：作正六边形的外接圆，连结，，，设与相交于点P， 则，是的直径， ， ， 是等边三角形， ， ， 以为半径的与以为半径的相交， ， 即； 是的直径， ， ， ， 以为半径的与以为半径的相交， ， 即； 的半径 r满足． 故答案为： 14． 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案． 【详解】解：∵正六边形的边，与相切于点C，F， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， 在五边形中， ， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正五边形和正方形的性质是解题的关键．根据题意得到，求得，得到，即可得到结论． 【详解】解：正方形与正五边形都内接于， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 16．24 【分析】本题考查的是正多边和圆，圆周角定理，三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解题的关键． 连接，，由是内接正五边形的一条边可得出的度数，由圆周角定理即可得出的度数，进而可由三角形内角和定理求解． 【详解】解：连接，， 是内接正五边形的一条边， ， ， ， ， 故答案为：24． 17． 【分析】本题考查了圆内接六边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到．，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ．， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长． 18．（1）见解析；（2）矩形，见解析 【分析】本题考查了作图——画正多边形，矩形的判定以及圆的相关性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）由题意可知，因此，故，进而求得四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，因此可得，再由，得，因此，故可证得四边形是矩形． 【详解】解：（1）如图，首先作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）四边形是矩形．理由如下： 如图，连接， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 19．这个正六边形的周长为． 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质．连接，如图，根据正六边形的性质得到，则为等边三角形，所以，进而可求出正六边形的周长． 【详解】解：如图，连接， ． ∵六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ∴这个正六边形的周长为．    20．（1）画图见解析；，，；（2）画图见解析 【分析】本题考查的是画旋转图形，画圆的内接正方形，熟练的画图是解本题的关键. （1）分别确定绕点O逆时针旋转的对应点，再顺次连接即可，再根据的位置可得其坐标. （2）如图，作直径，再过圆心作直径的垂线交于两点，则四边形即为所求； 【详解】解：（1）如图，即为所求； 由图可得：，，； （2）如图，作直径，再过圆心作直径的垂线交于两点，则四边形即为所求； 理由：由作图可得： ，， ∴四边形为菱形，， ∴， ∴四边形为正方形. 21．[探究发现]（1）；（2）或（3）；[应用结论]能，理由见解析 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理的应用； 【探究发现】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据等边三角形的性质，勾股定理求得高，进而根据面积公式，即可求解; （3）根据圆的面积公式，以及正六边形的性质分别求解，进而比较大小，即可求解； 【应用结论】根据【探究发现】可得圆面积最大，进而计算周长为的圆的面积，即可求解． 【详解】解：（1）∵正方形的周长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故答案为：． （2）解：作于点， 是等边三角形，周长为，则， ， 在中，由勾股定理得：， ；    （3）∵的周长为， ∴半径为， ∴面积为； ∵正六边形的周长为，则边长为， ∴正六边形的面积为；    ∵、、、， ∴， 【应用结论】解：能，护栏网围成圆时，面积能达到； 根据【探究发现】可知，围成圆时，面积最大， ∵的周长为， ∴半径为， ∴面积为； ∴尽量围成圆时，简易羊圈场地面积能达到． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$