22.2二次函数与一元二次方程同步练习卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.2二次函数与一元二次方程同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．二次函数的图象与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．下表中有二次函数的自变量与函数值的几组对应值，据此判断方程的正数根的范围是（   ） 0 3 1 A． B． C． D． 3．若抛物线与x轴有交点，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 4．如图，二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴是直线，则一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 5．二次函数的图象与轴的交点坐标为和，则一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 7．已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于，两点，且对称轴在y轴右侧，则下列四个结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象与轴的交点的纵坐标是 C．当时，函数值 D．当时，随的增大而增大 二、填空题 9．若抛物线与x轴只有一个公共点，则 ． 10．已知抛物线的对称轴为直线，则的最大值为 ． 11．已知二次函数的图象与x轴交点都位于左侧，则k的取值范围是 ． 12．已知关于的一元二次方程的一个根是，且二次函数的对称轴是直线，则此方程的另一个根为 ． 13．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到新的抛物线与轴的交点坐标为 ． 14．已知抛物线 的对称轴为直线． （1）的值为 ． （2）若抛物线 向下平移个单位长度后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是 ． 15．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，，是线段上的动点（在上方）．若，则的最小值为 ． 16．二次函数是常数，的图象与轴交于点，则下列说法：一元二次方程的根为，；对于的每一个确定的值，若一元二次方程为常数，的根为整数，则的值只有两个；若点，在该二次函数的图象上，则；正确结论的序号是 ． 三、解答题 17．已知二次函数． (1)求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； (2)若该函数图象的对称轴是直线，将该函数的图象向下平移1个单位长度后新的函数解析式是：__________． 18．已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标： (2)填空：要使该二次函数的图象与x轴有交点，应把图象沿y轴至少向下平移 个单位， 19．已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的解析式； (2)根据图象回答：当时，直接写出的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)将原抛物线向上平移个单位长度，当平移后的抛物线与轴有且只有一个交点时，求的值； (3)点，在原抛物线上，若，，求的取值范围． 21．已知抛物线． (1)当时，求的值； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线，设抛物线与轴的一个交点的坐标为，且，则的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《22.2二次函数与一元二次方程同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D A D C A D 1．C 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，只需将代入二次函数解析式，计算对应的值即可得出答案． 【详解】解：将代入中，得： ， 因此，二次函数的图象与轴的交点坐标为， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．由表可知，二次函数的对称轴为，进而得出也经过点，再结合图象得出二次函数与轴正半轴的交点横坐标的范围，再根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：由表可知，经过点和， ∴二次函数的对称轴为， ∵经过点， ∴由对称性可得，也经过点， ∵当时，；当时，， ∴二次函数与轴正半轴的交点横坐标的范围为， ∴方程的正数根的范围是． 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了抛物线与轴交点问题，解题的关键是根据抛物线与轴有交点得出判别式的取值范围，并考虑二次项系数不为0（抛物线的定义）． 先根据抛物线与轴有交点，得出对应的一元二次方程（当时）的判别式，同时考虑时函数为一次函数的情况井而求解的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与轴有交点， ∴关于的方程有实数根，且， ∴，且， 解得：且， 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的对称性，先根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴另一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的解即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的解为． 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的解．题目中已给出交点坐标为和，因此方程的解可直接得出． 【详解】解：二次函数的图象与x轴的交点坐标为和，说明当时，对应的值为2和． 因此，方程的解为和． 故选D． 6．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 7．A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、根与系数的关系、根的判别式等知识点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据二次函数的对称轴位置及交点坐标逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵对称轴为直线，位于y轴右侧， ∴，得，即与符号相反，． 将点代入函数得，即，故D正确． ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴方程的判别式，故B正确． ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴对称轴为两交点中点， ∵对称轴在y轴右侧， ∴，解得：，故C正确； ∵二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于，两点， ∴，即． ∵， ∴当时，，此时，则； 当时，，此时，则． ∴的符号不确定，选项A不一定成立，错误，符合题意． 故选A． 8．D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从函数图象中获取信息，求出函数解析式，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线， ∴；故A选项错误； ∴， 把代入，得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∴该函数图象与轴的交点的纵坐标是，当时，，故B，C选项错误； 由图象可知，当时，随的增大而增大；故D选项错误； 故选D． 9． 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，结合抛物线与x轴只有一个交点，得出，解出，即可作答． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴令，则， ∴， 解得． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式．分情况讨论，当抛物线与轴有交点时，设一个交点坐标为，由对称轴为直线，求得另一个交点坐标为，利用根与系数的关系求得，利用二次函数的性质求解即可；当抛物线与轴没有交点时，根据一元二次方程的根的判别式求解即可． 【详解】解：当抛物线与轴有交点时， 设抛物线与轴的一个交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 即方程的两个根为和， 由根与系数的关系得， ∴， ∵， ∴当时， ∴有最大值为； 当抛物线与轴没有交点时， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 此时， 整理得， ∴和同号， ①若，时， ∵， ∴， 此时无最大值，不符合题意，舍去； ②若，时， ∵， ∴， 此时无最大值，不符合题意，舍去； 综上，有最大值为； 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，由于无论k取任何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点，根据题意时，，对称轴，解不等式即可得答案． 【详解】解：∵， ∴无论k取任何值，二次函数的图象与轴都有两个交点， ∵二次函数的图象开口向下，且与x轴交点都位于左侧， ∴时，，且对称轴， 解得：， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键． 根据抛物线的对称性，可知的图像与x轴的两个交点关于直线对称，两交点的横坐标即为方程的两根，根据对称性建立关系式即可求解． 【详解】解：设方程的另一根为， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，即， 解得，， ∴另一根为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”即可得到平移后的解析式，在根据抛物线与坐标轴的交点的计算即可求解． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后的解析式为， 当时，， ∴平移后的解析式与轴的交点坐标为， 故答案为： ． 14． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意可知，求出的值即可； （）由题意可知平移后函数解析式为，然后通过二次函数的平移，二次函数的性质即可求解． 【详解】（）由题意可知， 解得， 故答案为：； （）由题意可知平移后函数解析式为， 当顶点在轴上时，， 解得，即需向上平移个单位长度，不符合条件； 由于抛物线关于对称， ∴抛物线在内对称， 若存在交点，始终有两个交点，若只有一个交点，则抛物线与轴交点只能在， 故当时，，解得， 当时，，解得， ∴的取值范围是， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，勾股定理，二次函数的性质，将线段和进行转化是解题的关键；根据抛物线的解析式得出坐标，进而可得是等腰直角三角形，作点关于的对称点，以为邻边构造平行四边形，得出的坐标，根据，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵对于抛物线，令， 则，即， 解得或，所以．则， 令，则，所以．则， ∵ ∴是等腰直角三角形， 如图，作点关于的对称点，以为邻边构造平行四边形 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴到为向左平移1个单位，向上平移1个单位， ∴到为向左平移1个单位，向上平移1个单位，则 ∴ ∴当在上时，取得最小值 ∴ 即的最小值为． 16．②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．由二次函数是常数，的图象与轴交于点，，可知一元二次方程有两个不相等的实数根，即，，且，即，对称轴为直线，进而可判断的正误；由对称轴为直线，可知当，时，函数值相等，且函数值为负数，当时，函数值有最小值，进而可得对于的每一个确定的值，若一元二次方程为常数，的根为整数，则的值只有两个，进而可判断的正误；由，可知当时，随着的增大而增大，点关于对称轴对称的点坐标为，由，可得进而可判断的正误． 【详解】解：如图， 二次函数是常数，的图象与轴交于点，， 一元二次方程有两个不相等的实数根，即，， ∴，即对称轴为直线， 错误，正确； ∵与轴交于点，， ∴对称轴为直线， 当和时，函数值相等，且函数值为负数， 当时，函数值有最小值， 结合函数图象，在x轴下方，当自变量值为整数时，函数值只有2个， ∴对于的每一个确定的值，一元二次方程为常数，的根为整数，则的值只有两个， 正确； ， 当时，随着的增大而增大， 由题意知，点关于对称轴对称的点坐标为， ， ， 正确，故符合要求； 故答案为：． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与x轴的交点和判别式的关系是关键． （1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）根据函数图象的对称轴是直线，求出，代入抛物线解析式，求出抛物线的顶点式，然后根据二次函数的平移规律求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）解：∵该函数图象的对称轴是直线， ∴对称轴为直线， ∴， ∴ ， ∴抛物线向下平移1个单位后，新的函数解析式为， 故答案为：． 18．(1)， (2)2 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的顶点式、二次函数图象的平移变换等知识点，灵活运用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）分别将点A、B的坐标代入解析式得到关于a、c的方程组求解可得到a、c的值，即可得到二次函数的解析式；再将解析式化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）设把图象沿y轴向下平移m个单位表示出平移后的解析式，根据写出的解析式，找出顶点坐标，然后根据二次函数的图象与x轴有交点，得到关于m的不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴把分别代入， 得：，解得： ∴该二次函数的解析式为：； ∵。 ∴该二次函数的顶点坐标。 （2）解：设把图象沿y轴向下平移m个单位，则平移后的解析式为：， 此时二次函数的顶点坐标为 ∵该二次函数的图象与x轴有交点， ∴抛物线的顶点在x轴上或x轴下方， ∴，即， ∴应把图象沿y轴至少向下平移2个单位． 故答案为：2. 19．(1)二次函数的解析式为； (2)； (3)的取值范围为． 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）根据图象可设二次函数的解析式为，且过点，然后利用待定系数法即可求解； （）根据图象即可求出的取值范围； （）由二次函数的解析式为，当时，时，有最小值，然后分别求出当时和当时，的值，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据图象可设二次函数的解析式为，且过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：根据图象可知，当时，； （3）解：由二次函数的解析式为， 当时，时，有最小值， 当时，，当时，， ∴的取值范围为． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移性质求解即可； （3）点，在原抛物线上，可得，，结合，即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线上， ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）， 平移后抛物线与轴有且只有一个交点， ； （3）点，在原抛物线上， ，， ， ， ，即， 当，时， 解得：， 当，时，无解， 综上的取值范围是． 21．(1)或 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质． （1）依据题意，由，结合，从而可以判断得解； （2）依据题意，，故可以得解； （3）依据题意，当时，抛物线G为，从而表示出H为，抛物线H与x轴的一个交点的坐标为，且，从而若当时，，结合二次函数的性质，，又抛物线H与x轴有交点，故，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，， 又∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：由题意，， ∴顶点坐标为：； （3）解：由题意，当时，抛物线G为， ∴把抛物线G向下平移个单位长度得到新抛物线H为， ∵抛物线H与x轴的一个交点的坐标为，且， 又当时，， ∴， ∵开口向下， ∴， 又∵抛物线H与x轴有交点， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$