22.1二次函数的图象和性质同步练习卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1二次函数的图象和性质同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，关于，，的符号判断正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，按从小到大的顺序排列正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数，且为其图象上两点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．拋物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是（   ） A．B．C． D． 8．已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 二、填空题 9．抛物线的顶点坐标是 ． 10．如果抛物线有最低点，那么a的取值范围是 ． 11．二次函数的图象如图所示，则 0（填“＞”“＜”“＝”） 12．已知点在二次函数的图象上，则的最大值等于 ． 13．如图，抛物线与x轴交于，两点，点P是抛物线的顶点，连接、，则的面积为 ． 14．若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 15．已知点、在二次函数 的图像上，那么m n（用“>”或“<”连接）． 16．已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 三、解答题 17．用配方法把二次函数化成的形式，并写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18．已知二次函数的图象如图所示． (1)写出c的值； (2)求出二次函数的表达式 19．二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求b，c的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，求t的值； (2)若，求的最小值． 20．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上一点，当最小时，求点的坐标． 21．在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； (2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（）个单位，图象恰好经过点，求n的值． 22．如图，已知抛物线经过点，平移抛物线，使其顶点在直线上，得到抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求抛物线的解析式； (3)若点在抛物线上，当时，都有，求抛物线顶点纵坐标的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《22.1二次函数的图象和性质同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A A C A A A 1．B 【分析】本题主要考查二次函数的定义，“一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数”，据此进行分析即可． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、是二次函数，故选项B符合题意； C、不是整式，不是二次函数，故选项C不符合题意； D、不是二次函数，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数的平移规律．根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，可得新抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 得到的抛物线解析式为，即， 故选：A． 3．A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握抛物线的开口向下；对称轴在轴左侧，，同号；抛物线与轴的交点即为的值． 根据开口方向可得，根据对称轴及抛物线与轴的交点可得，，即可得答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在轴左侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于轴正半轴， ∴， 综上所述：，，． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握对称轴的计算，二次函数图象的增减性，对称性的特点是解题的关键．根据二次函数的对称轴及开口方向，比较各点到对称轴的距离，从而确定函数值的大小关系． 【详解】解：二次函数为（），其对称轴为． 因，抛物线开口向上，离对称轴越近的点函数值越小． 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为． 距离由小到大为，对应函数值． 故选：A． 5．C 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质；通过计算点A、B的纵坐标表达式，比较m和n的大小关系，结合二次函数开口方向及参数条件判断正确选项即可． 【详解】解：∵已知二次函数，且为其图象上两点， ∴当时，． 当时，． 比较和，即判断是否成立． 将不等式整理为： ， ， 当：不等式等价于，即．此时若，则． 当：不等式等价于，即．此时若，则． 选项C：若且，则，满足，故选项C正确． 其他选项： 选项A、B中且，但包含和，无法确定与的大小关系． 选项D中且，显然，与结论矛盾． 综上，正确答案为C． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．根据抛物线的顶点式即可求解． 【详解】解：拋物线的顶点坐标是． 故选：A． 7．A 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的综合，解题关键是结合二次函数图像和一次函数图像的性质求解．假设其中一个图像正确，然后根据图像得到系数的取值范围，再根据另一函数图像确定系数的取值范围，是否一致，即可获得答案． 【详解】解：A．根据图像可知两个函数图像与y轴的交点坐标为，同时也可得，故选项正确，符合题意； B．根据一次函数图像可知，而根据二次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意； C．根据二次函数的图像可知，根据一次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意； D．二次函数图像与y轴的交点不是，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A正确；根据二次函数的顶点在第四象限，增减性和对称性即可判断选项B错误、选项C错误；选项D错误． 【详解】解：将点和和代入二次函数 得：， 解得， 则二次函数的解析式为． A、因为，所以函数图象的开口向上，则此项正确，符合题意； B、顶点在第四象限，图象经过第四象限，错误，不符合题意； C、当时随增大而增大，则此项错误，不符合题意； D、图象的对称轴是直线，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 9． 【分析】本题考查了二次函数的顶点，解题的关键是用配方法求顶点坐标；利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标；或者用顶点坐标公式求解． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由于抛物线有最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定a的范围． 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴， 解得． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象的性质成为解题的关键． 根据抛物线的开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，然后判断的正负即可． 【详解】解：由图象知：抛物线的开口向下，与y轴交于负半轴， ∴，， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二次函数的最值，先将点代入二次函数，得出，然后求出，求出最大值即可． 【详解】解∶∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值为， 故答案为∶． 13． 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，将二次函数解析式化为顶点式，三角形面积公式，先求出二次函数的解析式为，再将其化为顶点式得出点的坐标为，最后由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴，， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴点的坐标为， ∴的面积为， 故答案为：． 14．或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 15． 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的对称轴、开口方向及增减性即可求出答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为， 二次函数的图像开口方向向下， ， ， 故答案为：． 16．（答案不唯一） 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 17．，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标 【分析】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．先利用配方法把一般式化成顶点式，再利用二次函数的性质得到图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【详解】解： ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标． 18．(1) (2) 【分析】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，综合利用已知条件求出抛物线的解析式是解题的关键． （1）将点代入即可求出c； （2）把点代入即可求出函数表达式． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点； ∴将点代入得；． （2）解：设函数的表达式为， ∵函数图象经过点， ∴把点代入得； ； ∴函数的表达式为：． 19．(1)①；② (2) 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值． （1）①将，代入，求出b，c的值即可； ②由①得，二次函数为，可知二次函数图象的顶点坐标为，当时，，进而可得当时，，即，求出t的值即可． （2）若，则二次函数解析式为，可得，，则，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：①当，时，，， 将，代入， 得， 解得， ②由①得，二次函数解析式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为10， ∴当时，， 即， 解得，（舍去）， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值为． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，连接交对称轴于点，由点、关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解． 【详解】（1）解：把代入抛物线得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， 把代入得， ∴， 连接交对称轴于点，连接，如图所示： ∵点、关于对称轴对称， ， ， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ． 21．(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． （1）将点代入函数解析式求出，即可得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解； （2）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴． 解得：． ∴二次函数的解析式为． ∴对称轴为直线．顶点的坐标为． （2）解：二次函数的解析式化为． ∵把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位， ∴平移后新二次函数的解析式为． ∵平移后图图象经过点， ∴． 解得：． 22．(1) (2)或 (3)3 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）设的顶点的横坐标为，即的顶点坐标为，再利用配方法和原点对称可得，即可解得． （3）代入点可得，根据，，即可得，利用二次函数增减性可得当时，取得最大值，最大值为． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴， ∴的顶点坐标为； （2）解：设的顶点的横坐标为， ∵的顶点在直线上， ∴的顶点坐标为， ∴的解析式为， 点关于坐标原点的对称点为， 将代入， 得， 整理得， 解得， ∴抛物线的解析式为或； （3）解：由（2）可设抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴ ． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 由（2）知的顶点的纵坐标为，且随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴抛物线顶点纵坐标的最大值为3． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$