21.1一元二次方程 同步练习卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.1一元二次方程同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若m是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．2024 B． C．2025 D．4050 3．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 4．方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 5．如果是一元二次方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．已知 是方程 的根，则代数式 的值为（   ） A． B．2 021 C． D．2 022 7．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．0 8．已知m是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．4 C．1 D． 二、填空题 9．若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 10．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ． 11．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 12．若a是方程的一个根，则的值为 ． 13．如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ． 14．若t是方程的一个根，则的值为 ． 15．若是关于x的方程的解，则的值为 16．已知为一元二次方程的一个根，且为有理数，则 ， ，此时若，且，则的最小值为 ． 三、解答题 17．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 18．先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 19．已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 20．已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 21．已知：下图是用两个全等的和拼成的四边形（说明：点E在边上，点A与点E对应），其中，设，，， (1)请利用此图形证明勾股定理：； (2)定义：利用满足（1）中的a、b、c，得到关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若关于x的方程为“勾系一元二次方程”，求m的值； (3)在（2）的定义中，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是24，连接交于点F，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《21.1一元二次方程同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B D A C A C 1．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2）逐一分析选项． 【详解】解：选项A：， 当时，方程为一元二次方程，但题目未明确，因此不能确定，不符合题意； 选项B：， 方程中含项，属于分式方程，不符合整式方程的要求，不符合题意； 选项C：， 方程中含两个未知数和，不是关于的一元方程，不符合题意； 选项D：， 整理为标准形式，满足整式方程、只含且的最高次数为2，符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题考查一元二次方程的解的概念，将方程的根代入方程，得到关于m的等式，从而求出代数式的值. 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，将代入方程得： ， 移项可得： 因此，的值为2025， 故选：C 3．B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程整理成一元二次方程的一般形式，即可确定、、的值，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴，，， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（形如，等号两边都是整式，只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程）是解题的关键．根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，由此建立不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得：． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把的值代入方程即可得到一个关于的方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 故选：A． 6．C 【分析】本题考查一元二次方程的根，由题意可知，m是方程的根，因此．将代数式中的用该等式替换，即可化简求值． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴． ∴ 故选C． 7．A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零，直接求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故选：A． 8．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，多项式乘以多项式化解求值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ∴ ∴ ． 故选：C． 9． 【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 10．2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程，得， 所以， 所以． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据表格数据解答即可求解，看懂表格数据是解题的关键． 【详解】解：由表可知，时，；当时，， ∴当时，必有一个解， ∴的取值范围是， 故答案为：． 12．2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入计算，即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：2024． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，正确计算是解题的关键．对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为． 【详解】解∶对于一元二次方程，设， ∴， 而关于的一元二次方程有一根为， ∴有一个根为， 则， 解得， ∴一元二次方程有一根为． 故答案为∶ 14．8 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，先根据题意得，整理得，再运算，最后代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵t是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：8 15． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义及求代数式的值．一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把代入方程得出，然后将原式化简，整体代入求解即可． 【详解】解：把代入方程得，， ∴， ∴ 故答案为：． 16． 【分析】求出，进一步得到，则，，得到，，的最小值即为点到点和的距离之和的最小值，利用轴对称和勾股定理进一步求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，为有理数， ∴，也为有理数， 故当时候，只有，， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的最小值即为点到点和的距离之和的最小值， ∵点关于轴的对称点为， ∴当、、三点共线时，点到点和的距离之和取得最小值， 最小值为 故答案为：，， 【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念、勾股定理、轴对称的理解，熟悉相关性质是解题的关键． 17．(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 18．， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：                      ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 19．(1) (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键： （1）把m代入方程，得到，进而得到，整体代入法求出代数式的值； （2）把m代入方程，得到，两边同时除以即可得出结果． 【详解】（1）解：把m代入方程，得：， ∴， ∴； 故答案为：； （2）是方程的一个根， ，且． 将等式两边同时除以m，得 ． 20．(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 21．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，，从而得出，再根据，即可证明； （2）根据“勾系一元二次方程”的定义得到，，，再结合求解即可； （3）根据“勾系一元二次方程”的定义，得出，过点作作，，证明四边形为矩形，求出，根据角平分线的性质，，根据求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵为“勾系一元二次方程” ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，（舍）； （3）解：∵是“勾系一元二次方程”的一个根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 如图，连接交于点F，过点作作，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即平分 ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元二次方程的解，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，掌握相关知识点是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$