精品解析：辽宁省大连市第七十九中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期阶段检测试题 九年级数学 注意事项： 1．请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间80分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 直径是弦，弦是直径 B. 半圆是弧 C. 无论过圆内哪一点，只能作一条直径 D. 长度相等两条弧是等弧 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，根据圆的基本概念逐一分析选项． 【详解】解：A．直径是弦，但弦不一定是直径（只有过圆心的弦才是直径），故A错误． B． 半圆是圆周的一部分，属于弧，且为的弧，故B正确． C． 过圆心可以作无数条直径，过圆内非圆心的点不能作直径，故C错误． D．等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定为等弧，故D错误． 故选：B 2. 抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是（ ） A. （1，0） B. （﹣1，0） C. （﹣2，1） D. （2，﹣1） 【答案】A 【解析】 【分析】把原二次函数通过配方法，化为顶点式，即可得到答案． 【详解】由原二次函数，得y=（x﹣1）2， ∴该抛物线的顶点坐标是：（1，0）． 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的顶点坐标，掌握配方法，把二次函数化为顶点式，是解题的关键． 3. 下列说法正确的是（ ） A. “三角形任意两边之差小于第三边”是必然事件 B. 在连续5次的测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学成绩更稳定 C. 某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，6次正面向上，因此正面向上的概率是60% D. 检测某品牌笔芯的使用寿命，适宜用普查 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用概率的意义以及抽样调查的意义以及方差的意义分别分析得出答案． 【详解】解：、三角形任意两边之差小于第三边，是必然事件，正确； 、在连续5次的测试中，两名同学的平均分相同，方差较小的同学成绩更稳定，故本选项错误； 、某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，6次正面向上，并不能说明正面向上的概率是，而是正面朝上的概率是，故本选项错误； 、检测某品牌笔芯的使用寿命，适宜用抽样调查，故本选项错误； 故选：． 【点睛】此题主要考查了随机事件、概率的意义、抽样调查以及方差的意义，正确把握相关定义是解题关键． 4. 下列四组图形中，一定相似的是( ) A. 正方形与矩形 B. 正方形与菱形 C. 菱形与菱形 D. 正五边形与正五边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似多边形的定义对各选项进行判定. 【详解】A中，正方形的四条边都相等，而矩形的四条边不一定相等，∴不一定相似； B中，正方形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角，∴不一定相似； C中，菱形的四条边都相等，即两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，∴不一定相似； D中，正五边形的五条边都相等，五个角都相等，故两个正五边形的对应边的比相等，对应角也相等，∴一定相似． 故选D． 5. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形中，根据角的余弦值与三角形边的关系，可求出，即可得出结果． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握好边角之间的关系是解题关键． 6. 掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，则点数为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，根据骰子共有6个等可能的点数（1至6），其中奇数为1、3、5，共3种情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：骰子共有6个等可能的点数（1至6），其中奇数为1、3、5，共3种情况， 因此，点数为奇数的概率为， 故选：B． 7. 有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162个人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染x人．初始有2人患病，第一轮传染后总人数为，第二轮传染后总人数为，根据题意，两轮后总患者数为162，由此建立方程． 【详解】解：第一轮传染：初始2人，每人传染x人，新增人．总患者数为． 第二轮传染：此时有人，每人再传染x人，新增人．总患者数为． 根据题意，两轮后总患者数为162，因此方程为：． 故选：C． 8. 双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 0.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即． 如果设直线与x轴交于点C，那么的面积的面积的面积．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，知的面积为2，的面积为1，从而求出结果． 【详解】解：设直线与轴交于点． ∵轴， ∴轴，轴． ∵点在双曲线的图象上， ∴的面积． 点在双曲线的图象上， ∴的面积． ∴的面积的面积的面积． 故选：A． 9. 如图，内接于，，，则的半径为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 根据圆周角定理求出，在中，利用勾股定理计算结果． 【详解】连接，， ， ， 内接于， ， ， ∵在中，，， ， ， ， 即的半径为． 故选：A 10. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作，垂足为D，在中可求出AD，CD的长，在中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出的值． 【详解】解：过点A作，垂足为D，如图所示． 在中，， ； 在中，， ， ． 故选D． 【点睛】考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的长是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 把一副普通扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于5的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】抽出的牌的点数小于5的有1， 2， 3，4共4个，总的样本数目是13，即可推出事件抽出的拍点数小于5的概率. 【详解】解：抽出的牌的点数小于5的有1， 2， 3，4共4个，总的样本数目是13 从中任意抽取一张，抽出的牌的点数的概率为： 故答案为： 【点睛】本题考查的是概率的求法，解题的关键在于是否鞥熟练掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比. 12. 一元二次方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程，即可求出答案． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法进行解题． 13. 如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O． 则点C的坐标________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，求关于原点对称的点的坐标，掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可知点A和点C关于原点对称，结合题意即可求出结果． 【详解】解：四边形为菱形， ， 点O为坐标原点， 点A和点C关于原点对称， 点A的坐标为， 点坐标为， 故答案为：． 14. 如图，中，，则 __________． 【答案】17 【解析】 【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanA= ， ∵，∴AC＝8， ∴AB= =17, 故答案为17. 15. 如图，点B，A，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC=__． 【答案】25° 【解析】 【详解】解：∵OA⊥BC， ∴， ∴∠ADC=∠AOB= ×50°=25° 三．解答题（本题共5小题，共43分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2） ，． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择恰当解法是解题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解． 【小问1详解】 解：， 因式分解，得． 或， ，． 【小问2详解】 ，，． ． 方程有两个不等的实数根 ， 即，． 17. 为了保护视力，某人购买了可升降夹书架，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图②）测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．构造直角三角形将题目条件和所求结论集中在一起是解决本题的关键．通过构造直角，利用三角函数得到的长，从而得到结果． 【详解】解：如图，作于点G，作于点M， ， 在中，， ， ， ∴支点C离桌面l的高度． 18. 抛物线平移后得到新抛物线的顶点横坐标为2，纵坐标为，并且开口方向与相反，开口大小与相同． （1）求新抛物线解析式； （2）求出该抛物线与坐标轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）抛物线与x轴的交点坐标是和，与y轴的交点坐标是． 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移、抛物线与坐标轴的交点坐标的求法等知识点，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． （1）抛物线的开口方向相反、开口大小不变可以得到．然后根据平移规律求得新抛物线的解析式即可； （2）根据抛物线的解析式求出该抛物线与坐标轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵平移后的抛物线的开口方向与相反，开口大小与相同， ∴． ∴原抛物线的解析式为， ∵平移后得到新抛物线的顶点横坐标为2，纵坐标为， ∴平移后抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）得到平移后抛物线的解析式为， 当时，，解得：或， ∴抛物线与x轴的交点坐标是和， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标是． 19. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：kg/）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系 （1）求密度与体积V的函数解析式； （2）当时，求二氧化碳密度的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （1）设密度ρ的关于体积V的函数解析式为，将代入，即可解答； （2）将代入（1）中求得的函数解析式，再结合反比例函数的性质，即可解答． 【小问1详解】 解：设密度ρ的关于体积V的函数解析式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 当时，代入，可得， 解得：． ∴当时，密度ρ的变化范围为． 20. 如图所示，AB是ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC=∠D． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若点E是OA的中点，CF平分∠ACB，设BD=18，求DE的长． 【答案】（1） 证明：如图1， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵DGBC， ∴∠AGE=∠ACB=90°， ∴∠A+∠AEG=90°， 又∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB， ∴∠D+∠DEB=90°， ∴∠DBE=90°， ∴AB⊥BD，且AB为直径 ∴BD与⊙O相切； （2） 【解析】 【分析】（1）根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，再根据DGBC，证出∠DBE=90°，即可得答案； （2）由CF平分∠ACB，得，证出AB⊥BD，OFBD，得△EOF∽△EDB，由相似三角形的性质，求出BE的长，最后根据勾股定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，连接OF， ∵CF平分∠ACB， ∴∠ACF=∠BCF， ∴， ∴∠AOF＝∠BOF＝90°， ∴OF⊥AB， 又∵AB⊥BD， ∴OFBD， ∴△EOF∽△EDB， ∴， ∵点E是OA的中点， ∴OE=AO ∴， ∴， ∴OF=6 ∴OA=OB=OF=6 ∴BE=OE+OB=3+6=9 ∴． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，解题的关键是证三角形相似． 四．解答题（本题共3小题，共32分） 21. 我们称（）为绝对值函数，若是函数的绝对值函数， （1）当抛物线与一次函数有两个交点，求b的取值范围； （2）若抛物线与一次函数有两个交点，求k的取值范围； 【答案】（1）b的取值范围是 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数与一次函数的综合题，掌握二次函数性质是解题关键， （1）结合题意得出当时， ，时， ，结合图象求出直线过点时及直线过点时，分别求出即可； （2）结合图象得出当时，抛物线与一次函数有一个交点，不满足题意；当时，求出当直线与抛物线有唯一公共点时k的值进而得出范围． 【小问1详解】 解：是函数的绝对值函数的绝对值函数，如图， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当直线过点时，把代入，则， 当直线过点时，把代入，则， 抛物线与一次函数有两个交点， 则b的取值范围是； 【小问2详解】 解：如图，一次函数，当时，， 由图可知，当时，抛物线与一次函数有一个交点，不满足题意； 当时，时，当直线与抛物线有唯一公共点时， ， ， 解得：或（不合题意舍去）， 抛物线与一次函数有两个交点， ． 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，二次函数图象的顶点为D． （1）若，求顶点D的坐标及线段的长； （2）当时，二次函数的最小值为，求m的值； （3）连接，，，若，求点C的坐标． 【答案】（1），6 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形、一次函数的图象和性质、二次函数的图象与性质： （1）当时，抛物线的表达式为：，则抛物线的顶点坐标为：，令，则或5，即可求解； （2）当时，函数在时取得最小值，即；当时，同理可解． （3）过C作x轴平行线l，过D作于点M，求出，，，得，证明，根据正切的定义即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ， 顶点， 令， 则 解得：或 ，， ； 【小问2详解】 解：二次函数对称轴为直线， ①当时，当时，时函数值最小， ， ， ，所以舍去； ②当时，时函数值最小， ， ， ， ； ③当时，时函数值最小， ， ， ，舍去； 综上所述，； 【小问3详解】 解：由整理得：， ，， ， ， ， 过C作x轴平行线l，过D作于点M， 则， ， ， ， ， ， ，，， ∴ ，解得：（负值舍）， 23. 【课前引入】 【问题背景】如图1 ，在和中，，且，连接，易证明；小刚同学尝试改变条件，继续探究．如图2，在中，，将旋转一定的角度，如图3 ，连接和，求证： ； 【尝试运用】 如图4，，且，点D在上， ① 的值为 ； ②若 ，求的值； ③若在②的基础上，与的交点为M，直接写出的值 【答案】 问题背景：证明：如图2，在中，， ， ， ， 将旋转一定的角度，如图3 ， ， ； 尝试运用：①1；②；③ 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用， 问题背景：先证明，得出，再根据得出结论； 尝试运用：①证明即可证明结论； ②先证明，设，则，根据勾股定理求出，进而求出结论； ③证明，根据相似三角形性质求出结论． 【详解】解：问题背景：略 尝试运用：①， ， ， ， ， ， ， 故答案为：1； ②，且， ， ， ， ， 设， ， ， 在中，， 在中，， 则， ， ； ③如下图： ， ， ， 由②知：，， ， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期阶段检测试题 九年级数学 注意事项： 1．请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间80分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 直径是弦，弦是直径 B. 半圆是弧 C. 无论过圆内哪一点，只能作一条直径 D. 长度相等两条弧是等弧 2. 抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是（ ） A. （1，0） B. （﹣1，0） C. （﹣2，1） D. （2，﹣1） 3. 下列说法正确的是（ ） A. “三角形任意两边之差小于第三边”是必然事件 B. 在连续5次的测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学成绩更稳定 C. 某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，6次正面向上，因此正面向上的概率是60% D. 检测某品牌笔芯的使用寿命，适宜用普查 4. 下列四组图形中，一定相似的是( ) A. 正方形与矩形 B. 正方形与菱形 C. 菱形与菱形 D. 正五边形与正五边形 5. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，则点数为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162个人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 0.5 9. 如图，内接于，，，则的半径为（ ） A. B. 4 C. D. 5 10. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 把一副普通扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于5的概率是_________． 12. 一元二次方程的解是________． 13. 如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O． 则点C的坐标________． 14. 如图，中，，则 __________． 15. 如图，点B，A，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC=__． 三．解答题（本题共5小题，共43分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 为了保护视力，某人购买了可升降夹书架，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图②）测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） 18. 抛物线平移后得到新抛物线的顶点横坐标为2，纵坐标为，并且开口方向与相反，开口大小与相同． （1）求新抛物线解析式； （2）求出该抛物线与坐标轴的交点坐标． 19. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：kg/）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系 （1）求密度与体积V的函数解析式； （2）当时，求二氧化碳密度的范围． 20. 如图所示，AB是ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC=∠D． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若点E是OA的中点，CF平分∠ACB，设BD=18，求DE的长． 四．解答题（本题共3小题，共32分） 21. 我们称（）为绝对值函数，若是函数的绝对值函数， （1）当抛物线与一次函数有两个交点，求b的取值范围； （2）若抛物线与一次函数有两个交点，求k的取值范围； 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，二次函数图象的顶点为D． （1）若，求顶点D的坐标及线段的长； （2）当时，二次函数的最小值为，求m的值； （3）连接，，，若，求点C的坐标． 23. 【课前引入】 【问题背景】如图1 ，在和中，，且，连接，易证明；小刚同学尝试改变条件，继续探究．如图2，在中，，将旋转一定的角度，如图3 ，连接和，求证： ； 【尝试运用】 如图4，，且，点D在上， ① 的值为 ； ②若 ，求的值； ③若在②的基础上，与的交点为M，直接写出的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $