3.3 一元一次方程的应用（二）（2大知识点+8大题型+真题检验） 2025-2026学年沪教版（五四制）六年级上册暑假班预修提升课程

2025年新六年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题16 一元一次方程的应用（二） 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 题型01：分配问题 【例1】在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本．求该班学生多少人？设该班有学生x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程．设这个班有学生人，根据“每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本”，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生人， 由题意得，， 故选：B． 【跟踪训练】 1.把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设这个班有学生人，图书本，根据每人分3本，则剩余20本可知图书数为本，班级人数为人；根据每人分4本，则缺25本可知图书数为本，班级人数为人，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生人，图书本， 由题意得，， ， 故选：B． 2.某年级团员到“东方绿舟”社会实践．校团委王老师分配学生住宿，如果8人住一间，则有3人无宿舍可住；如果9人住一间，则有一间只住4人．试问该年级共有多少名团员？ 解：设该年级共有x名团员，根据题意，得 解方程，得 答：该年级共有67名团员 ． 题型02：配套问题 【例2】某车间有30名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片240片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，特别是配套问题．熟练掌握根据配套关系找出等量关系并列出方程是解题的关键．在配套问题中，要明确各部分之间的数量比例关系，以此来建立方程求解．根据生产镜片和镜架的工人数量表示出镜片和镜架的数量，再结合配套关系列出方程．已知安排名工人生产镜片，那么生产镜架的工人数量为名，然后分别计算出镜片和镜架的数量，根据两个镜片和一个镜架配套这一条件列出方程． 【详解】解：∵安排名工人生产镜片，名工人每天可生产镜片片， ∴每天生产镜片的数量为片； ∵生产镜架的工人数量为名，名工人每天可生产镜架个， ∴每天生产镜架的数量为个； ∵两个镜片和一个镜架配套，即镜片数量是镜架数量的倍， ∴可列方程为, 故选：A． 【跟踪训练】 1.建水某紫陶坊有7名工人，每人每天可以制作茶壶8个或茶杯24个，1个茶壶和4个茶杯配成一套．为使每天制作的茶壶和茶杯刚好配套，设有名工人制作茶壶，余下工人制作茶杯，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设有名工人制作茶壶，则制作茶杯的工人为名．每天制作的茶壶数量为个，茶杯数量为个．根据配套要求，1个茶壶需配4个茶杯，故茶杯数量应为茶壶数量的4倍，可得出关于x的一元一次方程，即可得出结论． 【详解】解：设有名工人制作茶壶，则制作茶杯的工人为名． 每天制作的茶壶数量为个，茶杯数量为个． 根据配套要求，1个茶壶需配4个茶杯，故茶杯数量应为茶壶数量的4倍，即： 解得：． 故选D． 2.某车间有27名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天可生产甲零件16个或生产乙零件22个．某种仪器每套需甲种零件1个，乙种零件2个．若分配x名工人生产甲零件，其他工人生产乙零件，恰好使每天生产的零件配套．根据题意，可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找出等量关系是解题关键．根据题意可直接列出方程． 【详解】解：根据题意可知生产乙零件的工人有名， 根据题意有：． 故答案为：． 3.某工厂需要生产一批设备，每套设备由一个部件和3个部件组装而成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产部件的个数比部件的个数少6个，且每天6个工人生产部件的数量与5个工人生产部件的数量相同． (1)工厂每人每天平均生产部件和部件各多少个？ (2)现共有21名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的部件和部件配套？ 【答案】(1)工厂每人每天平均生产部件30个，部件36个 (2)每天应分配6名工人生产部件，分配15名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； （1）设工厂每人每天平均生产B部件x个，则每人每天平均生产A部件个，根据每天6个工人生产A部件的数量与5个工人生产B部件的数量相同，即可列出方程，解方程即可； （2）设每天应分配y名工人生产部件，名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套，根据B部件的数量=A部件数量的3倍，即可列出方程，解方程即可得. 【详解】（1）解：设工厂每人每天平均生产B部件x个，则每人每天平均生产A部件个， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：工厂每人每天平均生产部件30个，部件36个. （2）解：设每天应分配y名工人生产部件，名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：每天应分配6名工人生产部件，15名工人生产部件时，可使每天的生产的部件和部件配套. 题型03：销售盈亏 【例3】疫情期间，为满足市场需求，某厂家每天定量生产医用口罩和口罩共77万个，当该厂家生产的两种口罩当日全部售出时，则可获得利润35万元．两种口罩的成本和售价如下表所示： 成本（元/个） 售价（元/个） 医用口罩 0.8 1.2 口罩 2.5 5 设该厂家每天定量生产医用口罩x万个，根据题意可列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题，从实际问题抽象出一元一次方程是解题的关键． 若设该厂家每天定量生产医用口罩x万个，则每天定量生产口罩万个，根据当日全部售出时，则可获得利润35万元，列出方程即可． 【详解】解：若设该厂家每天定量生产医用口罩x万个，则每天定量生产口罩万个， 根据题意，得 ， 故选：C． 【跟踪训练】 1.某汽车企业第一季度销售x万辆新能源汽车，第二季度销售的新能源汽车比第一季度的倍少1万辆，第三季度销售的新能源汽车比第一季度的2倍多6万辆． (1)求该汽车企业前三季度一共销售的新能源汽车的数量（用含有x的代数式表示）； (2)如果该汽车企业第三季度比第二季度多销售万辆新能源汽车，求该企业前三季度销售的新能源汽车数量． 【答案】(1)万辆 (2)万辆 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意得出第二、第三季度销售的新能源汽车数量，再将前三季度的数量相加即可； （2）根据第三季度比第二季度多销售万辆新能源汽车，列出方程求出的值，再代入（1）中的代数式即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，第二季度销售的新能源汽车数量为万辆，第三季度销售的新能源汽车数量为万辆， 前三季度一共销售的新能源汽车的数量为万辆． 答：该汽车企业前三季度一共销售的新能源汽车的数量为万辆． （2）解：由题意得，， 解得：， 代入，则， 答：该企业前三季度销售的新能源汽车数量为万辆． 2.某校六年级甲、乙两个班共82人去植物园春游，其中甲班比乙班人多，且甲班不到80人，下面是植物园提供的价格表： …………………………………………密○…………………………………………封○………………………………………○线………………………………………… 购票张数 1～40张 41～80张 80张以上 每张票的价格 60元 55元 50元 如果两班单独给每位同学购买一张门票，那么一共应付4700元，问： （1）若甲、乙两班联合起来购票，比单独购买可以节省多少钱？ （2）甲、乙两班各有多少名同学？ （3）如果甲班有8人因事不能参加春游，请你通过计算为两班设计一个最省钱的购票方案. 【答案】（1）600元；（2）44人、38人；（3）选择买81张团体票最省. 【解析】解：(1) .答：联合起来购票比单独购买可以节省600元. (2)设甲班有人，则乙班有人，由题意得： 解得： ，，答：甲班有44人，则乙班有38人。 (3)现在甲班：36人，乙班：38人，单独购票：，联合购票：，团体票：，因为：，所以选择购买81张的团体票最省钱。 题型04：相遇问题 【例4】甲、乙两车从相距的两地相向而行，经过3小时后相遇，甲的速度：乙的速度，甲的速度是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用——行程问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系，相遇问题中路程的关系，是解题的关键． 设乙的速度为，则甲的速度为．根据两车相向而行，总路程为，相遇时间为，列方程解答． 【详解】设乙的速度为，则甲的速度为． 两车相向而行，总路程为，相遇时间为， 故有：． 解得：． ∴． ∴甲的速度是． 【跟踪训练】 1.《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）随着全民健身的理念逐渐深入人心，跑步作为一项简单易行，老少皆宜的运动，成为许多人日常锻炼的首选．周末，小聪和小明准备去迎泽大街进行跑步活动．已知迎泽大桥与五一广场之间的距离为千米．小聪从迎泽大桥出发，以10千米/时的速度向五一广场方向跑步；小明从五一广场出发，以8千米/时的速度向迎泽大桥方向跑步．两人同时出发，相向而行． (1)两人出发后多长时间相遇？ (2)若小聪在出发后5分钟发现忘记带水壶，于是停下来休息2分钟后以原速度返回迎泽大桥取水壶，随后再次以原速度向五一广场方向跑步，求两人出发后多长时间相遇？ 【答案】(1)12分钟 (2)分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程进行求解； （1）设两人出发后分钟相遇，根据两人的速度及距离为千米列出等式求解即可； （2）先判断出两人应在小聪拿到水壶后，再次以原速度向五一广场跑步的途中相遇，设两人在出发后分钟相遇，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：设两人出发后分钟相遇． 由题意得，， 解得． 答：两人出发后12分钟相遇． （2）解：设两人在出发后分钟相遇． 当时，，且小聪跑步速度大于小明跑步速度， 两人应在小聪拿到水壶后，再次以原速度向五一广场跑步的途中相遇． 由题意得，． 解得． 两人在出发后分钟相遇． 题型05：追击问题 【例5】甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7m，乙每秒跑6.5m，甲让乙先跑5m，设xs后甲可追上乙，则下列四个方程中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据路程、时间、速度的关系，结合甲比乙多跑5米，即可得出关于x的一元一次方程． 【详解】解：设后甲可追上乙， 根据题意，得， 还可列方程为，或， 不能列出， 故选项B中方程不正确，符合题意， 故选：B． 【例6】数量间的相等关系是列方程的根据，请先填写数量关系式，再列出方程．两艘轮船同时从南京出发，沿长江航道开往武汉．“振兴”号的速度是千米/时，“丰春”号的速度更快，是32千米/时，7.5小时后两船相距30千米． = 根据上面的数量关系式列出方程： ． 【答案】 “丰春”号的速度×时间 - “振兴”号的速度×时间 两船相距的路程 【分析】根据“路程=速度×时间”可得出：“丰春”号7.5小时行驶了千米，“振兴”号7.5小时行驶了千米，再用“丰春”号行驶的路程减去“振兴”号行驶的路程，即是7.5小时后两船相距30千米，据此先写出数量关系式，再根据数量关系式列出方程． 本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：依题意，数量关系式：“丰春”号的速度×时间-“振兴”号的速度×时间=两船相距的路程 根据上面的数量关系式列出方程：． 故答案为：“丰春”号的速度×时间，-，“振兴”号的速度×时间，两船相距的路程， 【跟踪训练】 1.【问题背景】借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题． 下面是智慧小组同学的学习报告： 项目主题 借助示意图列一元一次方程解决行程问题 问题 A，B两地相距，甲从A地骑车出发，每小时行驶，乙从B地骑车出发，每小时行驶．如果甲、乙同时出发，相向而行，经过多长时间相遇？ 示意图 等量关系 相遇时，甲走的路程+乙走的路程 解决问题 设经过两人相遇， 根据题意得， 解得， 答：如果甲、乙同时出发，相向而行，经过相遇． 请根据以上内容，继续完成任务： (1)任务1：如果甲、乙同时出发，相向而行，那么经几小时后，甲、乙相距？ (2)任务2：如果甲、乙同时出发，按由B向A的方向同向而行，那么经过多长时间乙追上甲？ (3)任务3：如果甲、乙同时出发，按由B向A的方向同向而行，那么经过多长时间甲、乙相距？ 【答案】(1)经过或甲、乙相距 (2)经过乙追上甲 (3)经过或甲、乙相距 【分析】（1）设经过甲、乙相距，分相遇前相距及相遇后相距两种情况考虑，利用路程速度时间，结合甲、乙的路程之和为或，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设经过乙追上甲，利用路程速度时间，结合乙、甲的路程之差为，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设经过甲、乙相距，分相遇前相距及相遇后相距两种情况考虑，利用路程速度时间，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设经过甲、乙相距， 当相遇前相距时，， 解得：； 当相遇后相距时，， 解得：． 答：经过或甲、乙相距； （2）解：设经过乙追上甲， 根据题意得：， 解得：． 答：经过乙追上甲； （3）解：设经过甲、乙相距， 当相遇前相距时，， 解得：； 当相遇后相距时，， 解得：． 答：经过或甲、乙相距． 2．A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，每小时走40千米，一列快车从B地开出，每小时60千米 ． （1）两车同时开出，相背而行，多少小时后，两车相距620千米？ （2）慢车先开出两小时，两车相向而行，问慢车再开多少小时两车相遇？ （3）两车同时同向开出，慢车在前，快车在后，多少小时后快车追上慢车？ 解：（1）设x小时后，两车相距620千米，根据题意，得 解方程，得 答：1.4小时后，两车相距620千米。 （2）慢车再开x小时两车相遇，根据题意，得 解方程，得 答：慢车再开4小时两车相遇。 （3）x小时后快车追上慢车，根据题意，得 解方程，得 答：24小时后快车追上慢车慢车。 题型06：环形跑道 【例7】如右图：小杰、小丽分别在400米环形跑道上练习跑步与竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟跑120米。（1）两人同时由同一点同向出发，问几分钟后，小丽与小杰第一次相遇？ （2）两人同时由同一点反向出发， 问几分钟后，小丽与小杰第一次相遇？ 解：（1）设分钟后，小丽与小杰第一次相遇， 根据题意，得 解方程，得 答：2分钟后，小丽与小杰第一次相遇 ． （2）设分钟后，小丽与小杰第一次相遇． 根据题意，得 解方程，得 答：分钟后，小丽与小杰第一次相遇 ． 【跟踪训练】 1.小明、小杰在400米环形跑道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑280米，两人说好小明比小杰先跑30秒后，小杰再从小明起跑位置与小明同向起跑，问几分钟后，小明和小杰第一次相遇。 解：设分钟后两人第一次相遇， 根据题意，得 解方程，得 答：两人12.5分钟后第一次相遇 ． 2.甲、乙两辆火车，长分别为144米和180米，甲车比乙车每秒钟多行4米，两列火车相向而行，从相遇到错开需要9秒钟，问两车的速度各是多少？ 解：设甲车的速度为x米/秒，则乙车的速度为（x-4）米/秒， 根据题意，得 解方程，得 答：甲、乙两车的速度分别是20米/秒和16米/秒 ． 3.一通讯员骑自行车要在规定时间内将文件送到某地。若每小时行15千米，则可早到25分钟；若每小时行12千米，则将迟到12分钟。问原来规定的时间是多少小时，到某地路程有多远？ 解：设某地路程有千米，根据题意，得 解方程得 规定时间为： 答：原来规定的时间是小时，到某地路程有37千米 ． 题型07：动点问题 【例8】如图，点A、B为数轴上的两点，点A表示，点B表示4，点P为数轴上一动点． (1)若点P在A、B之间，满足时，求点P表示的数； (2)若点P以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍时，求点P运动的时间． 【答案】(1) (2)点P运动的时间为1秒或10秒 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、数轴上点的坐标、距离表示方法等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）设点P表示的数为x，先表示出和，再根据建立方程求解即可解答； （2）设点P运动的时间为t秒，分当点P在点B左侧时，当点P在点B右侧时，两种情况结合“点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍时”建立方程求解即可解答． 【详解】（1）解：设点P表示的数为x， ∵点A表示，点B表示4，点P在A、B之间， ， ∵， ，解得： 点P表示的数为； （2）解：设点P运动的时间为t秒， 当点P在点B左侧时，，， ∵， ∴，解得：； 当点P在点B右侧时，，， ∵， ∴，解得：． 综上，点P运动的时间为1秒或10秒． 【跟踪训练】 1．如图，在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为4，原点为0，有两个电动玩具甲、乙分别从点A沿数轴同时相向匀速运动，在4秒后相遇继续运动，玩具甲的速度为每秒3个单位长度． (1)A、B两点之间的距离为__________； (2)求玩具乙的运动速度； (3)若玩具甲，乙开始运动的同时，玩具丙从点O出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度运动，求运动时间为多少时，玩具甲、乙之间的距离等于玩具丙运动的距离？ 【答案】(1)16 (2)每秒1个单位长度 (3)秒或8秒 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用； （1）根据数轴上两点间的距离等于两点表示的数字之差的绝对值求解即可； （2）设玩具乙的运动速度为每秒a个单位长度，根据题中等量关系列出方程求解即可； （3）设运动时间为t秒时，玩具甲、乙之间的距离等于玩具丙运动的距离，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为4， ∴A、B两点之间的距离为； （2）解：设玩具乙的运动速度为每秒a个单位长度， 则，解得：， ∴玩具乙的运动速度为每秒1个单位长度． （3）解：设运动时间为t秒时，玩具甲、乙之间的距离等于玩具丙运动的距离， 则或． 解得：或8． 答：运动时间为或8秒时，玩具甲、乙之间的距离等于玩具丙运动的距离． 2．背景知识 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离． 问题情境 如图，数轴上有三点A，B，C所对应的数分别是a，b，c，且满足是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，点C在点A的左侧，到点A的距离是2个单位长度．若M，N为数轴上的两个动点，点M从点A出发以每秒2个单位长度的速度向左移动，同时，点N从点B出发以每秒3个单位长度的速度向右移动，设运动时间为t秒． 综合运用 (1)________，________，________； (2)当t为何值时，点M与点N之间的距离是4个单位长度？ (3)在点M，N运动的过程中，且点N在线段上，当t为何值时，使得点N到点A，点B，点C的距离之和为18？并求出此时点M在数轴上所表示的数． 【答案】(1) (2)当t为秒或秒时，点M与点N之间的距离是4个单位长度 (3)；点M在数轴上表示的数为 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，解一元一次方程． （1）根据题意即可求解； （2）由点M、N运动速度可得到两点t秒后表示的数，根据两点为距离为4即可求解； （3）点N在线段上时，则；而，则点N在点C的左侧，且，，由此可求得点N表示的数，从而求得时间t，最后求得点M表示的数． 【详解】（1）解：因为是最大的负整数，是绝对值最小的有理数， 所以，， 故； 因为点C在点A的左侧，到点A的距离是2个单位长度， 所以； 故答案为：； （2）解：点M运动t秒后的数为、点N运动t秒后的数为， 由题意得：， 解得：或； 故当t为秒或秒时，点M与点N之间的距离是4个单位长度； （3）解：因为点N在线段上， 则； 因为，， 所以点N在点C的左侧，且，， 所以点N运动时间为，即， 所以M点运动距离为， 故点M表示的数为． 所以当时，得点N到点A，点B，点C的距离之和为18；此时点M在数轴上所表示的数为． 题型08：其他问题 【例9】某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是先判断出小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度，设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据12月份用电量为500度，电费为319元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵（元），（元）， 又∵， ∴小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度， 设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据题意得： ， 解得：， （度）， 答：小聪家去年全年用电量为4900度． 故选：C． 【跟踪训练】 1.水是生命之源．为鼓励居民节约用水，2020年昆明市自来水公司试行阶梯水费，每两个月结算一次，具体执行方案如下： 用水量（吨） 水费（元/吨） 不超过10吨的部分 超过10吨且不超过15吨的部分 超出15吨的部分 另：每吨用水加收1元的城市污水处理费 小明家2020年7、8两月共缴纳水费元，则7、8两月小明家共用水（   ） A．12吨 B．18吨 C．23吨 D．25吨 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出一元一次方程成为解题的关键． 设7、8两月小明家共用水吨，然后根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设7、8两月小明家共用水吨， ，解得：， 经检验，是原方程的解， 答：7、8两月小明家共用水23吨． 故答案为：C． 一、选择题 1.（24-25六年级上·上海长宁区期中）某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有名工人生产茶壶．为求，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是建立等量关系．设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，由一个茶壶与4只茶杯配套可知茶杯的个数是茶壶个数的4倍从而得出等量关系，就可以列出方程． 【详解】解：设x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，根据题意得： ， 故选：B． 2.（24-25六年级上·上海松江区期中）甲，乙两名同学从同一地点出发，甲同学每分钟行走70米，乙同学每分钟行走90米，甲先出发，行走了一段路程后乙才出发去追，锲而不舍地追了500米才追上．求甲同学先走了多少米？若设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程—行程问题，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，根据题意乙走了500米花的时间等于甲走米的时间，然后列方程即可． 【详解】解：设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，那么有 故选：A． 二、填空题 3. （24-25六年级上·上海闵行区期中）已知今年小红的岁数与爸爸的岁数之比是4:15，三年后爸爸的岁数正好是小红岁数的3倍，求今年小红和爸爸分别是_______岁 【答案】8，30； 【解析】解：设今年小红与爸爸的岁数分别是4x和15x岁.， ，则. 答：今年小红与爸爸的岁数分别是8岁和30岁. 4.（24-25格致中学六年级月考）有一所寄宿学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位. 如果设学校宿舍有x间，则根据题意，可列出的方程为： . 【答案】； 【解析】如果每间宿舍住4人，则一共有住宿学生：人；如果每间宿舍住3人，则一共有住宿学生：人，因此列出方程为：. 5.（24-25六年级上·上海青浦·期末）若学校一共购买了台电脑分配给学生，每组一台电脑．若每6名学生为一组，那么恰好空出5台电脑；如果每4名学生为一组，那么电脑恰好分完．根据题意，可列方程为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，根据每6名学生为一组，一共分组，可表示总学生数，再根据每4名学生为一组，可表示总学生数，最后根据总学生数相等可得答案． 【详解】解：根据题意，得 ． 故答案为：． 3、 解答题 6.　（24-25大同中学六年级月考）一种正方体模具框架是由金属棒和卡扣组装而成（一条棱用一根金属棒，一个顶点用一个卡扣）．某车间18名工人负责加工材料，一个工人每天可加工金属棒300根或卡扣100个．请问如何分配工作，可使一天生产的金属棒和卡扣配套? 【答案】分配6名工人加工金属棒，12名工人加工卡扣 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设分配名工人加工金属棒，则分配名工人加工卡扣，由每个正方体有12条棱及8个顶点，且生产的塑料棒和金属球正好配套，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出答案． 【详解】解：设分配名工人加工金属棒，则分配名工人加工卡扣， 由题意得： 解得： 答：应分配6名工人加工金属棒，12名工人加工卡扣． 7．（24-25延安中学六年级月考）劳动教育课程已经成为中小学生的必修课，被纳入人才培养的全过程．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处种植园，需要采购A，B两种菜苗开展种植活动．经调研，A种菜苗每捆的价格比B种菜苗每捆的价格多10元，购买22捆A种菜苗和20捆B种菜苗共需430元．问：A，B两种菜苗每捆的价格各是多少元？ 【答案】A种菜苗每捆的价格是15元，B种菜苗每捆的价格是5元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程． 设A种菜苗每捆的价格是x元，则B种菜苗每捆的价格是元，根据“购买22捆A种菜苗和20捆B种菜苗共需430元．”，可得出一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】解：设A种菜苗每捆的价格是x元，则B种菜苗每捆的价格是元． 由题意，得． 解得， 则． 答：A种菜苗每捆的价格是元，B种菜苗每捆的价格是元． 8．（24-25格致中学六年级月考）小明同学到某商店购买商品，了解到甲、乙两种商品的信息如下： 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和20元； 信息2：甲商品的零售单价比进货单价多3元，乙商品的零售单价比进货单价多； 信息3：按零售价买8件甲商品和10件乙商品，共付240元． 请根据以上信息，求： (1)甲、乙两种商品的销售单价； (2)商店在这次销售中获得的总利润． 【答案】(1)甲、乙两种商品的销售单价分别为15元和12元 (2)商店在这次销售中获得的总利润为64元 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意，表示出甲乙商品的零售价是解本题的关键． （1）设出甲商品的进货单价为x元，根据信息1得出乙商品的进货单价为元，进而根据信息2得出甲乙商品的零售单价，最后用信息3的相等关系建立方程求解即可得出结论； （2）利用甲商品每件的利润乘以销售量加乙商品的利润乘以销售量，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲商品的进货单价为x元， ∵甲、乙两种商品的进货单价之和20元， ∴乙商品的进货单价为元， ∵甲商品的零售单价比进货单价多3元， ∴甲商品的零售单价为元， ∵乙商品的零售单价比进货单价多50%， ∴乙商品的零售单价为 ∵按零售价买8件甲商品和10件乙商品，共付240元， ∴ 解得， 经检验：符合题意， ∴甲商品的零售单价为元，乙商品的零售单价为元， 答：甲、乙两种商品的销售单价分别为15元和12元； （2）解：∵甲商品的零售单价比进货单价多3元，乙商品的零售单价比进货单价多50%，且甲、乙两种商品的进货单价之和20元， ∴甲商品的每件利润为3元，乙商品的每件利润为元， ∴商店在这次销售中获得的总利润为元， 答：商店在这次销售中获得的总利润为64元 9．（24-25六年级上·上海普陀区期中）我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 【答案】(1)卡套30个，小挂件20个 (2)①，，②打折后卖出的卡套10个，小挂件15个 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题，正确理解题意，找出等量关系是解题的关键； （1）根据批发了卡套和小挂件共50个，设出未知数，然后根据卡套个数卡套批发价小挂件个数小挂件批发价，列出一元一次方程，计算即可； （2）设打折的商品中有个卡套，根据一共有50个，共卖出25个，则打折出售的小挂件有个，表示出打折前卖出卡套和小挂件获得的利润，然后加上打折后的即为捐出的总钱数，列方程解答； 【详解】（1）解：设批发卡套m个，则批发小挂件个， 根据题意得：， 解得：， 则（个） 答：批发卡套30个、小挂件20个； （2）解：①设打折的商品中有个卡套，则打折卖出的小挂件有个， 原价售出的小挂件有个，即个； ②根据题意得： ， 解得：， 则（个）， 答：打折后卖出的卡套10个，小挂件15个． 10．（24-25六年级上·上海黄浦区期中）甲、乙两车分别从，两地出发同向而行，乙车在甲车前面．甲车每小时行驶，乙车每小时行驶，已知，两地相距． (1)若两车同时开出，则甲车经过多少小时追上乙车？ (2)若两车同时开出，经过多少小时两车相距？ 【答案】(1)甲列车经过5小时追上乙列车 (2)经过2小时或8小时两车相距72千米 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系列出方程求解，需要注意进行分类讨论． （1）设甲列车经过小时追上乙列车，根据甲列车行驶的路程等于乙列车行驶的路程加上120千米，列出方程求解； （2）设经过小时两车相距72千米，分情况讨论，甲追上乙之前和甲追上乙之后，列出方程求解． 【详解】（1）解：设甲列车经过小时追上乙列车，根据题意得， ， 解得， 答：甲列车经过5小时追上乙列车； （2）设经过小时两车相距72千米， 甲追上乙之前， ，解得； 甲追上乙之后， ，解得， 答：经过2小时或8小时两车相距72千米． 11.（24-25六年级上·上海宝山区期中）小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸即以180米/分钟的速度去追赶小明． (1)若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？ (2)若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？ 【答案】(1)4分钟；(2)分钟 【分析】本题主要考查了一元一次方程实际问题中的行程问题，熟练掌握行程问题的基本等量关系是解决本题的关键． （1）设小明爸爸追上小明用了x分钟，小明分钟走的路程分钟走的路程爸爸追上小明所走路程，列出方程求解即可求解． （2）设爸爸出发y分钟追上小明，爸爸与小明相遇时爸爸的路程小明分钟的路程，列出方程求解即可求解． 【详解】（1）解：设爸爸追上小明用了x分钟，依题意得 ， 解得． 答：爸爸追上小明用了4分钟； （2）设爸爸出发y分钟追上小明，由题意得∶ ， 解得， 答： 爸爸出发分钟追上小明． 12.（24-25六年级上·上海奉贤区期中）A、B两地间的距离为310千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米．一列快车从B地出发，每小时行驶80千米．问： (1)若慢车从A地开出30分钟后，快车从B地出发与慢车相向而行，慢车出发后多少小时两车相遇？ (2)若两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？ 【答案】(1)小时；(2)小时 【分析】考查了一元一次方程的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键． （1）慢车从A地开出30分钟后，快车从B地出发与慢车相向而行，设慢车出发小时后两车相遇，根据等量关系：路程和为310千米列出方程求解即可； （2）设出发后y小时快车追上慢车，根据等量关系：路程差为310千米列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设慢车出发小时后两车相遇，根据题意可得： ， 解得：， 答：慢车出发小时后两车相遇； （2）解：设出发后y小时快车追上慢车，根据题意可得： ， 解得：， 答：出发后小时快车追上慢车． 13.（2023六年级上·上海闵行区期中）如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？ 分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上。 解：设追上甲时乙走了x分。依题意，甲在乙前方 3×90=270（米）， 故有 72x＝65x+270。 由于正方形边长为90米，共四条边，故由 可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上。 答：当乙第一次追上甲时在正方形的DA边上。 14.某体育场的环形跑道长400米，甲、乙二人在跑道上练习，甲平均每分钟跑250米，乙平均每分钟跑290米，现在两人同时从同地同向出发，经过多长时间两从才能再次相遇？ 解：设经过分钟后相遇， 解得 15.（24-25六年级上·上海闵行区期中）如图，数轴上A、B两点所对应的数分别为，A、B两点各自以一定的速度同时运动，且点A运动的速度为2单位长度/秒． (1)若A、B两点相向而行，在原点O处相遇，求点B的速度； (2)若A、B两点从开始位置上同时按照（1）中的速度向数轴正方向运动，多少秒后，点A、B与原点距离相等． 【答案】(1)1单位长度秒； (2)或12 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，难度较大，做题时要认真分析各个点的运动方向，找出等量关系． （1）设B点的运动速度为，A、B两点同时出发相向而行，则他们的时间相等，列出等量关系∶ （2）此问分两种情况讨论∶设经过时间为t后，分两种情况讨论；列出方程解出t即可； 【详解】（1）解：设B点的运动速度为，A、B两点同时出发相向而行，则他们的时间相等， A、B两点运动的路程分别是8、4个单位长度， 列方程得， 解得， 所以点B的速度为1单位长度秒； （2）解：设经过时间为，则在原点左侧时，两点表示的数互为相反数， 得， 解得，； 两点重合时，两点表示的数相等， 得， 解得，； 综上所述，或12秒时，点A、B与原点距离相等． 16．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，O是原点，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数_____，当A、P表示的数为互为相反数时，P运动时间_____秒． (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点运动多少秒时追上点？ 【答案】(1)，3.2 (2)P点运动7秒时追上点 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）先计算出线段，则可得到出点B表示的数；根据相反数的定义可得P点表示的数，然后求出，最后根据时间=路程÷速度即可求解； （2）根据点P与点Q的运动路程相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为8， ∴， ∵， ∴， ∴点B表示的数为， ∵A、P表示的数为互为相反数， ∴P点表示的数为， ∴， ∴P运动时间秒， 故答案为：，3.2； （2）解：设P点运动x秒时追上点， 列方程得， 解得， 答：P点运动7秒时追上点． 17．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动．设运动的时间为t秒．问： (1)用含t的代数式表示A、P两点在数轴上相距的长度为______； C、Q两点在数轴上相距的长度为______； (2)、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？ (3)是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请计算t的取值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或， t (2)点M所对应的数是 (3)存在，或，见解析 【分析】（1）分①当时，②当时，两种情况进行讨论； （2）设经过a秒，P、Q两点相遇，根据题意列出方程，求出a的值，即可得到点M所对应的数； （3）分三种情况进行讨论即可． 本题考查了一元一次方程，数轴，掌握一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：①当时，A、P两点在数轴上相距的长度为； ②当时，A、P两点在数轴上相距的长度为； C、Q两点在数轴上相距的长度为t； 故答案为：或；t； （2）解：设经过a秒，P、Q两点相遇， ， 解得：， 则点M所对应的数是：， 即点M所对应的数是； （3）解：存在，或，理由如下： ①当时， ， 解得：； ②当时， ， 解得：； ③当时， ， 该方程无解； 综上所述：或 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新六年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题16 一元一次方程的应用（二） 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 题型01：分配问题 【例1】在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本．求该班学生多少人？设该班有学生x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 2.某年级团员到“东方绿舟”社会实践．校团委王老师分配学生住宿，如果8人住一间，则有3人无宿舍可住；如果9人住一间，则有一间只住4人．试问该年级共有多少名团员？ 题型02：配套问题 【例2】某车间有30名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片240片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.建水某紫陶坊有7名工人，每人每天可以制作茶壶8个或茶杯24个，1个茶壶和4个茶杯配成一套．为使每天制作的茶壶和茶杯刚好配套，设有名工人制作茶壶，余下工人制作茶杯，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2.某车间有27名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天可生产甲零件16个或生产乙零件22个．某种仪器每套需甲种零件1个，乙种零件2个．若分配x名工人生产甲零件，其他工人生产乙零件，恰好使每天生产的零件配套．根据题意，可列出方程为 ． 3.某工厂需要生产一批设备，每套设备由一个部件和3个部件组装而成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产部件的个数比部件的个数少6个，且每天6个工人生产部件的数量与5个工人生产部件的数量相同． (1)工厂每人每天平均生产部件和部件各多少个？ (2)现共有21名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的部件和部件配套？ 题型03：销售盈亏 【例3】疫情期间，为满足市场需求，某厂家每天定量生产医用口罩和口罩共77万个，当该厂家生产的两种口罩当日全部售出时，则可获得利润35万元．两种口罩的成本和售价如下表所示： 成本（元/个） 售价（元/个） 医用口罩 0.8 1.2 口罩 2.5 5 设该厂家每天定量生产医用口罩x万个，根据题意可列方程得（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.某汽车企业第一季度销售x万辆新能源汽车，第二季度销售的新能源汽车比第一季度的倍少1万辆，第三季度销售的新能源汽车比第一季度的2倍多6万辆． (1)求该汽车企业前三季度一共销售的新能源汽车的数量（用含有x的代数式表示）； (2)如果该汽车企业第三季度比第二季度多销售万辆新能源汽车，求该企业前三季度销售的新能源汽车数量． 2.某校六年级甲、乙两个班共82人去植物园春游，其中甲班比乙班人多，且甲班不到80人，下面是植物园提供的价格表： …………………………………………密○…………………………………………封○………………………………………○线………………………………………… 购票张数 1～40张 41～80张 80张以上 每张票的价格 60元 55元 50元 如果两班单独给每位同学购买一张门票，那么一共应付4700元，问： （1）若甲、乙两班联合起来购票，比单独购买可以节省多少钱？ （2）甲、乙两班各有多少名同学？ （3）如果甲班有8人因事不能参加春游，请你通过计算为两班设计一个最省钱的购票方案. 题型04：相遇问题 【例4】甲、乙两车从相距的两地相向而行，经过3小时后相遇，甲的速度：乙的速度，甲的速度是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）随着全民健身的理念逐渐深入人心，跑步作为一项简单易行，老少皆宜的运动，成为许多人日常锻炼的首选．周末，小聪和小明准备去迎泽大街进行跑步活动．已知迎泽大桥与五一广场之间的距离为千米．小聪从迎泽大桥出发，以10千米/时的速度向五一广场方向跑步；小明从五一广场出发，以8千米/时的速度向迎泽大桥方向跑步．两人同时出发，相向而行． (1)两人出发后多长时间相遇？ (2)若小聪在出发后5分钟发现忘记带水壶，于是停下来休息2分钟后以原速度返回迎泽大桥取水壶，随后再次以原速度向五一广场方向跑步，求两人出发后多长时间相遇？ 题型05：追击问题 【例5】甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7m，乙每秒跑6.5m，甲让乙先跑5m，设xs后甲可追上乙，则下列四个方程中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【例6】数量间的相等关系是列方程的根据，请先填写数量关系式，再列出方程．两艘轮船同时从南京出发，沿长江航道开往武汉．“振兴”号的速度是千米/时，“丰春”号的速度更快，是32千米/时，7.5小时后两船相距30千米．根据上面的数量关系式列出方程： ． 【跟踪训练】 1.【问题背景】借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题． 下面是智慧小组同学的学习报告： 项目主题 借助示意图列一元一次方程解决行程问题 问题 A，B两地相距，甲从A地骑车出发，每小时行驶，乙从B地骑车出发，每小时行驶．如果甲、乙同时出发，相向而行，经过多长时间相遇？ 示意图 等量关系 相遇时，甲走的路程+乙走的路程 解决问题 设经过两人相遇， 根据题意得， 解得， 答：如果甲、乙同时出发，相向而行，经过相遇． 请根据以上内容，继续完成任务： (1)任务1：如果甲、乙同时出发，相向而行，那么经几小时后，甲、乙相距？ (2)任务2：如果甲、乙同时出发，按由B向A的方向同向而行，那么经过多长时间乙追上甲？ (3)任务3：如果甲、乙同时出发，按由B向A的方向同向而行，那么经过多长时间甲、乙相距？ 2．A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，每小时走40千米，一列快车从B地开出，每小时60千米 ． （1）两车同时开出，相背而行，多少小时后，两车相距620千米？ （2）慢车先开出两小时，两车相向而行，问慢车再开多少小时两车相遇？ （3）两车同时同向开出，慢车在前，快车在后，多少小时后快车追上慢车？ 题型06：环形跑道 【例7】：小杰、小丽分别在400米环形跑道上练习跑步与竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟跑120米。（1）两人同时由同一点同向出发，问几分钟后，小丽与小杰第一次相遇？ （2）两人同时由同一点反向出发， 问几分钟后，小丽与小杰第一次相遇？ 【跟踪训练】 1.小明、小杰在400米环形跑道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑280米，两人说好小明比小杰先跑30秒后，小杰再从小明起跑位置与小明同向起跑，问几分钟后，小明和小杰第一次相遇。 2.甲、乙两辆火车，长分别为144米和180米，甲车比乙车每秒钟多行4米，两列火车相向而行，从相遇到错开需要9秒钟，问两车的速度各是多少？ 3.一通讯员骑自行车要在规定时间内将文件送到某地。若每小时行15千米，则可早到25分钟；若每小时行12千米，则将迟到12分钟。问原来规定的时间是多少小时，到某地路程有多远？ 题型07：动点问题 【例8】如图，点A、B为数轴上的两点，点A表示，点B表示4，点P为数轴上一动点． (1)若点P在A、B之间，满足时，求点P表示的数； (2)若点P以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍时，求点P运动的时间． 【跟踪训练】 1．如图，在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为4，原点为0，有两个电动玩具甲、乙分别从点A沿数轴同时相向匀速运动，在4秒后相遇继续运动，玩具甲的速度为每秒3个单位长度． (1)A、B两点之间的距离为__________； (2)求玩具乙的运动速度； (3)若玩具甲，乙开始运动的同时，玩具丙从点O出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度运动，求运动时间为多少时，玩具甲、乙之间的距离等于玩具丙运动的距离？ 2．背景知识 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离． 问题情境 如图，数轴上有三点A，B，C所对应的数分别是a，b，c，且满足是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，点C在点A的左侧，到点A的距离是2个单位长度．若M，N为数轴上的两个动点，点M从点A出发以每秒2个单位长度的速度向左移动，同时，点N从点B出发以每秒3个单位长度的速度向右移动，设运动时间为t秒． 综合运用 (1)________，________，________； (2)当t为何值时，点M与点N之间的距离是4个单位长度？ (3)在点M，N运动的过程中，且点N在线段上，当t为何值时，使得点N到点A，点B，点C的距离之和为18？并求出此时点M在数轴上所表示的数． 题型08：其他问题 【例9】某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【跟踪训练】 1.水是生命之源．为鼓励居民节约用水，2020年昆明市自来水公司试行阶梯水费，每两个月结算一次，具体执行方案如下： 用水量（吨） 水费（元/吨） 不超过10吨的部分 超过10吨且不超过15吨的部分 超出15吨的部分 另：每吨用水加收1元的城市污水处理费 小明家2020年7、8两月共缴纳水费元，则7、8两月小明家共用水（   ） A．12吨 B．18吨 C．23吨 D．25吨 一、选择题 1.（24-25六年级上·上海长宁区期中）某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有名工人生产茶壶．为求，可列方程（    ） A． B． C． D． 2.（24-25六年级上·上海松江区期中）甲，乙两名同学从同一地点出发，甲同学每分钟行走70米，乙同学每分钟行走90米，甲先出发，行走了一段路程后乙才出发去追，锲而不舍地追了500米才追上．求甲同学先走了多少米？若设甲同学先出发行走了米后乙同学才开始追，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3. （24-25六年级上·上海闵行区期中）已知今年小红的岁数与爸爸的岁数之比是4:15，三年后爸爸的岁数正好是小红岁数的3倍，求今年小红和爸爸分别是_______岁 4.（24-25格致中学六年级月考）有一所寄宿学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位. 如果设学校宿舍有x间，则根据题意，可列出的方程为： . 5.（24-25六年级上·上海青浦·期末）若学校一共购买了台电脑分配给学生，每组一台电脑．若每6名学生为一组，那么恰好空出5台电脑；如果每4名学生为一组，那么电脑恰好分完．根据题意，可列方程为： ． 3、 解答题 6.　（24-25大同中学六年级月考）一种正方体模具框架是由金属棒和卡扣组装而成（一条棱用一根金属棒，一个顶点用一个卡扣）．某车间18名工人负责加工材料，一个工人每天可加工金属棒300根或卡扣100个．请问如何分配工作，可使一天生产的金属棒和卡扣配套? 7．（24-25延安中学六年级月考）劳动教育课程已经成为中小学生的必修课，被纳入人才培养的全过程．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处种植园，需要采购A，B两种菜苗开展种植活动．经调研，A种菜苗每捆的价格比B种菜苗每捆的价格多10元，购买22捆A种菜苗和20捆B种菜苗共需430元．问：A，B两种菜苗每捆的价格各是多少元？ 8．（24-25格致中学六年级月考）小明同学到某商店购买商品，了解到甲、乙两种商品的信息如下： 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和20元； 信息2：甲商品的零售单价比进货单价多3元，乙商品的零售单价比进货单价多； 信息3：按零售价买8件甲商品和10件乙商品，共付240元． 请根据以上信息，求： (1)甲、乙两种商品的销售单价； (2)商店在这次销售中获得的总利润． 9．（24-25六年级上·上海普陀区期中）我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 10．（24-25六年级上·上海黄浦区期中）甲、乙两车分别从，两地出发同向而行，乙车在甲车前面．甲车每小时行驶，乙车每小时行驶，已知，两地相距． (1)若两车同时开出，则甲车经过多少小时追上乙车？ (2)若两车同时开出，经过多少小时两车相距？ 11.（24-25六年级上·上海宝山区期中）小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸即以180米/分钟的速度去追赶小明． (1)若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？ (2)若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？ 12.（24-25六年级上·上海奉贤区期中）A、B两地间的距离为310千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米．一列快车从B地出发，每小时行驶80千米．问： (1)若慢车从A地开出30分钟后，快车从B地出发与慢车相向而行，慢车出发后多少小时两车相遇？ (2)若两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？ 13.（2023六年级上·上海闵行区期中）如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？ 14.某体育场的环形跑道长400米，甲、乙二人在跑道上练习，甲平均每分钟跑250米，乙平均每分钟跑290米，现在两人同时从同地同向出发，经过多长时间两从才能再次相遇？ 15.（24-25六年级上·上海闵行区期中）如图，数轴上A、B两点所对应的数分别为，A、B两点各自以一定的速度同时运动，且点A运动的速度为2单位长度/秒． (1)若A、B两点相向而行，在原点O处相遇，求点B的速度； (2)若A、B两点从开始位置上同时按照（1）中的速度向数轴正方向运动，多少秒后，点A、B与原点距离相等． 16．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，O是原点，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数_____，当A、P表示的数为互为相反数时，P运动时间_____秒． (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点运动多少秒时追上点？ 17．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动．设运动的时间为t秒．问： (1)用含t的代数式表示A、P两点在数轴上相距的长度为______； C、Q两点在数轴上相距的长度为______； (2)、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？ (3)是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请计算t的取值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$