3.1 方程与列方程（3大知识点+9大题型+真题检验） 2024-2025学年 沪教版（五四制）六年级上册暑假班预修提升课程

2025年新六年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题13 方程与列方程 知识点一、方程的有关概念 1、定义：含有未知数的等式叫做方程. 要点：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 2、列方程 知识点二、方程的解 如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解 要点：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 知识点三、等式的性质 1、等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2、等式的性质： 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 如果，那么 (c为一个数或一个式子) . 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果，那么；如果，那么. 要点： （1） 根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2） 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 3、利用等式的性质解方程 题型01：方程的概念辨析 【例1】下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（    ）． A．①②④⑤ B．①②⑤ C．①④⑤ D．6个都不是 【答案】C 【分析】根据方程的定义对各小题进行逐一分析即可． 【解析】解：①2x-1=5符合方程的定义，故本小题正确； ②4+8=12不含有未知数，不是方程，故本小题错误； ③5y+8不是等式，故本小题错误； ④2x+3y=0符合方程的定义，故本小题正确； ⑤2x2+x=1符合方程的定义，故本小题正确； ⑥2x2-5x-1不是等式，故本小题错误． 综上，是方程的是①④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解答此题的关键． 【跟踪训练】 1. 判断下列各式哪些是方程？那些不是方程？ （1） （2） （3） （4） （5） 【参考答案】（1）（2）（4）是方程，（3）（5）不是方程 2.在①2x+1；②1+7＝15﹣8+1；③；④x+2y＝3中，方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】方程是含有未知数的等式，是等式但不含未知数不是方程，含未知数不是等式也不是方程． 【解答】解：（1）2x+1，含未知数但不是等式，所以不是方程． （2）1+7＝15﹣8+1，是等式但不含未知数，所以不是方程． （3），是含有未知数的等式，所以是方程． （4）x+2y＝3，是含有未知数的等式，所以是方程． 故有所有式子中有2个是方程． 故选：B． 【知识点】方程的定义 3．判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)；(2)；(3)； (4)；(5)；(6)． 【答案】(1)不是方程，见解析 (2)是方程 (3)不是方程，见解析 (4)不是方程，见解析 (5)是方程 (6)不是方程，见解析 【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得． 【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数． （2）解：是方程． （3）解：不是方程，理由是：不是等式． （4）解：不是方程，理由是：不是等式． （5）解：是方程． （6）解：不是方程，理由是：不含未知数． 【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键． 题型02：列方程 【例2】根据下列条件，列出方程． （1）x的倒数减去-5的差为9； （2）5与x的差的绝对值等于4的平方； （3）长方形的长与宽分别为16、x，周长为40； （4）y减去13的差的一半为x的． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）表示出x的倒数，再表示出这个倒数与-5差等于9，即可得方程； （2）表示出5与x差，根据差的绝对值等于4的平方，即可得方程； （3）根据长方形周长公式即可得方程； （4）表示出y与13差，再表示出这个差的一半，以及x的，即可得方程． 【解析】（1）根据题意，得：， 故答案为：； （2）根据题意，得：， 故答案为：； （3）根据题意，得：， 故答案为：； （4）根据题意，得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出方程，建立方程要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的相等关系关系． 【例3】把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图书的数量不变，列出等量关系式，即可求解， 本题考查了列一元一次方程，解题的关系式：根据图书数量不变，列出等量关系式． 【详解】解：根据题意得：， 故选：． 【跟踪训练】 1.只列方程，不解方程 (1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？ (2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设这个班女生有人，根据有男生25人，比女生的2倍少15人列出方程即可； （2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，再根据苹果和梨的价格、以及用去21元列出方程即可得． 【详解】（1）解：设这个班女生有人， 由题意列方程为． （2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克， 由题意列方程为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键． 2.如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列方程，解题关键是弄清题意，把这周产生的可回收垃圾的质量设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，得到最终的结果． 根据题目中的数量关系：这周产生的可回收垃圾的质量上一周产生的可回收垃圾的质量，假设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克，上一周产生的可回收垃圾的质量是20千克，代入列出方程即可． 【详解】解：设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克． 根据题意得，，即 方程可变换成：和，不能变换为． 故选：C． 3.“的3倍与7的差等于12”可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据该数的3倍与7的差等于12，即可得出关于x的一元一次方程，此问得解 【详解】解：根据题意得，3x﹣7＝12 故答案为：3x﹣7＝12． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4、x的3倍与4的和等于x的5倍与2的差，方程可列为 ． 【答案】 【分析】根据题意列出方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． 5、如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题： (1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）； (2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据拼图，用代数式表示出拼成的长方形的长，即可求得答案． （2）用代数式表示变化后长方形的长与宽，再根据面积间的关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 剪拼后所得的长方形的长为：，宽为：， 因此周长为：， 面积为：． （2）由题意得， ， 解得， a的值为． 【点睛】本题考查了列代数式、根据等量关系列一元一次方程，用代数式正确表示图形的边长、周长和面积是解题的关键． 题型03：检验是不是方程的解 【例4】 检验下列各数是不是方程的解？ （1）； （2） 【参考答案】（1）不是方程的解，（2）是方程的解 【跟踪训练】 1.x＝3是下列方程的解的有（　　） ①﹣2x﹣6＝0；②|x+2|＝5；③（x﹣3）（x﹣1）＝0；④x＝x﹣2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】分别求出四个方程的解各是多少，判断出x＝3是所给方程的解的有多少个即可． 【解答】解：①∵﹣2x﹣6＝0， ∴x＝﹣3． ②∵|x+2|＝5， ∴x+2＝±5， 解得x＝﹣7或3． ③∵（x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x＝3或1． ④∵x＝x﹣2， ∴x＝3， ∴x＝3是所给方程的解的有3个：②、③、④． 故选：C． 2.下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值即为一元一次方程的解，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、当时，则，因为，则不是的解，故该选项不符合题意； B、当时，则，因为，则是的解，故该选项符合题意； C、当时，则，因为，则不是的解，故该选项不符合题意； D、当时，则，因为，则不是的解，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型04：根据方程的解求字母的值 【例5】若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是（　　） A．2 B．3 C．7 D．9 【答案】C 【分析】把代入方程可得，再利用整体代入的方法计算即可． 【解析】解：把代入方程可得， ． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【例6】整式的值随x取值的不同而不同，下表是当x取不同值时所对应的整式的值，则关于x的一元一次方程的解为 ． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax+b ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程得解，正确得出一元一次方程是解题的关键．一元一次方程为，根据图表求得即可得解． 【详解】 由表可知：， 故答案为： 【跟踪训练】 1．已知是方程的解，则的值是（    ） A．5 B． C． D．10 【答案】B 【分析】先将代入已知方程中得出等式，最后再化简后面的整式即可计算出结果． 【解析】是方程的解， ， 整理得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查整式的运算，属于基础题，难度一般，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 2．如果关于的方程的解是，那么的值是多少？ 【参考答案】1．2； 3.方程＝x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解x＝2，那么▲处的数字是　　． 【答案】4 【分析】把x＝2代入已知方程，可以列出关于▲的方程，通过解该方程可以求得▲的值． 【解答】解：由题意，得＝2， 解得▲＝4． 故答案为：4． 【知识点】方程的解 4.如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】本题考查根据方程的解的情况，求参数的值，根据方程无解，得到未知数的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选：C． 5.整式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x 1 9 6 3 0 则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质把变形为；再根据表格中的数据求解即可． 【详解】解：关于x的方程变形为， 由表格中的数据可知，当时，； 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是恰当地进行等式变形，根据表格求解． 题型05：等式的性质 【例7】若，则下列式子正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质：①等式两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍然成立；②等式的两边同时乘以或同时除以同一个不为0的数或字母，等式仍然成立，逐一判断即可． 【解析】解：①根据等式的基本性质1，等式两边都减2，等式仍成立，故①正确； ②等式的两边乘的是不同的数，故②错误； ③根据等式的基本性质2，等式的两边同时乘，等式仍成立，故③正确； ④根据等式的基本性质2，等式的两边都乘5，得到，然后再根据等式的基本性质1，等式的两边都减1，得到，故④正确； ⑤当时，等式无意义，故⑤错误． 故正确的式子有①③④共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查等式的性质，需利用等式的性质对根据已知得到的等式进行变形，从而找到最后答案． 【跟踪训练】 1．下列变形错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式的性质逐个判断即可． 【解析】解：A项､，则，等式左右两边同时得：，故本选项正确. B项､，所以，，则等式左右两边同时除以得：，故本选项正确. C项、，等式两边同时乘以x得：，故本选项正确. D项、，当时，m、n为任意实数，当时，m=n，故本选项错误. 故选：D. 【点睛】本题考查了等式的性质，注意：等式的性质是：①等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；②等式的两边都乘以同一个数，等式仍成立；等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立． 2.下列判断错误的是（    ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．根据等式的性质进行求解即可． 【详解】解：A、若，则，正确，不符合题意； B、若，那么，正确，不符合题意； C、若，当时，不一定有，错误，符合题意； D、若，则，正确，不符合题意； 故选C． 3.下列各式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原式变形正确，不符合题意； B、若，则，原式变形正确，不符合题意； C、若，则，原式变形正确，不符合题意； D、若，则，原式变形错误，符合题意； 故选：D． 4.若，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了等式的性质，直接利用等式的基本性质分别判断得出答案． 【详解】：A、，∴，故本选项错误，不符合题意； B、，，故本选项错误，不符合题意； C、，，故本选项错误，不符合题意； D、，，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 5.用“”“△”“○”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c（a，b，c均为正数），现用天平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键：①等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即：如果，那么；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：如果，那么；如果，那么． 根据题意以及左右两图的含义即可直接得出答案． 【详解】解：由题意可知： 左图的含义为：， 右图的含义为：， 能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为： 如果，那么， 故选：C． 题型06：利用等式的性质解方程 【例8】利用等式的性质，在横线上填上适当的数或式子，并说明变形的根据． （1）如果，则 ，根据 ； ，根据 ； （2）如果，则 ，，根据 ； ，根据 ． 【答案】 -2 等式的基本性质1 -1 等式的基本性质2 -5 等式的基本性质1 15 等式的基本性质2 【分析】（1）先由等式的性质1得出，再由等式的性质2即可得出结论； （2）先由等式的性质1得出，再由等式的性质2即可得出结论． 【解析】解：（1）方程两边同时加， 得：， 方程两边同时除以， 得：， 故答案为：；等式的基本性质；；等式的基本性质； （2）方程两边同时减， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 故答案为：；等式的基本性质；；等式的基本性质． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟记等式的两个基本性质是解答此题的关键． 【例9】用等式性质解下列方程： （1）4x﹣7＝13 （2）3x+2＝x+1． 【分析】（1）利用等式的基本性质分别化简得出即可； （2）利用等式的基本性质分别化简得出即可． 【详解】解：（1）4x﹣7＝13 移项得：4x＝20， 方程两边同时除以4得： x＝5； （2）3x+2＝x+1 移项得：3x﹣x＝﹣2+1， 合并同类项得： 2x＝﹣1， 解得：x． 【点睛】此题主要考查了等式的性质，熟练利用等式的性质得出是解题关键． 【跟踪训练】 1.利用等式的性质解方程： （1）5+x＝﹣2 （2）3x+6＝31﹣2x． 【分析】（1）在等式的两边同时减去5； （2）在等式的两边同时加上（2x﹣6），然后再除以5． 【详解】（1）5+x＝﹣2 5+x﹣5＝﹣2﹣5 x＝﹣7； （2）3x+6＝31﹣2x 3x+6+2x﹣6＝31﹣2x+2x﹣6 5x＝25 x＝5． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质． 等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立； 2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 2.利用等式的性质解方程： （1）5﹣x＝﹣2 （2）3x﹣6＝﹣31﹣2x． 【分析】（1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （2）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案． 【详解】解：（1）两边都减5，得﹣x＝﹣7， 两边都除以﹣1，得 x＝7； （2）两边都加（2x+6），得 5x＝﹣25， 两边都除以5，得 x＝﹣5． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 题型07：根据等式的性质判断方程变形是否正确 【例10】下列等式的变形正确吗？为什么？ （1） 由得； （2） 由得； （3） 由得； （4） 由得 【参考答案】（4）正确，（1）（2）（3）不正确。 【跟踪训练】 1.下列解方程的变形过程正确的是（    ） A．由移项得： B．由移项得： C．由去分母得： D．由去括号得： 【答案】D 【分析】对于本题，我们可以根据解方程式的变形过程逐项去检查，必须符合变形规则，移项要变号． 【解析】解析：A．由移项得：，故A错误； B．由移项得：，故B错误； C.由去分母得：，故C错误； D.由去括号得： 故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程变形化简求值，解题关键是：必须熟练运用移项法则． 2．下列方程的变形是否正确？为什么？ (1)由，得． (2)由，得． (3)由，得． (4)由，得． 【答案】(1)不正确，理由见解析 (2)不正确，理由见解析 (3)不正确，理由见解析 (4)不正确，理由见解析 【分析】（1）根据左边减3，右边加3，可得变形不正确； （2）根据左边除以7，右边乘，可得变形不正确； （3）根据左边乘2，右边加2，可得变形不正确； （4）根据左边加x减3，右边减x减3，可得变形不正确． 【解析】（1）解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵方程左边减3，右边加3， ∴变形不正确； （2）解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵左边除以7，右边乘， ∴变形不正确； （3）解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵左边乘2，右边加2， ∴变形不正确； （4）解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵左边加x减3，右边减x减3， ∴变形不正确． 【点睛】本题考查了等式的性质，等式的两边不是都加或都减同一个数，左右大小关系发生了变化，等式的两边不是都乘或都除同一个数（不为0），左右大小关系发生了变化． 题型08：有规律的方程的解 【例11】已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 【答案】(1)11， (2)， 【分析】（1）根据规律可直接得到答案； （2）将原方程进行变形，变成即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个解是， ∴方程的两个解是，， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解． 【例12】已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据换元法得出y+1=3，进而解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为x=3， ∴关于y的一元一次方程，y+1=3， 解得：y=2． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，关键是根据换元法解答． 【跟踪训练】 1.一列方程如下排列： ＝1的解是x＝2， ＝1的解是x＝3， ＝1的解是x＝4， … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2017的方程：　　　　　　　　　　　　． 【分析】根据观察，可发现规律：第一个的分子是x分母是解的二倍，第二个分子是x减比解小1的数，分母是2，可得答案． 【解答】解：由一列方程如下排列： ＝1的解是x＝2， ＝1的解是x＝3， ＝1的解是x＝4， 得第一个的分子是x分母是解的二倍，第二个分子是x减比解小1的数，分母是2， 解是x＝2017的方程：+＝1， 故答案为：+＝1． 【知识点】方程的解 2.一列方程如下排列： ＝1的解是x＝2； ＝1的解是x＝3； ＝1的解是x＝4； … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ． 【答案】 【分析】先根据已知方程得出规律，再根据得出的规律写出方程即可． 【详解】解：∵一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； ∴一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …， 由此可得：解为x=20的方程为： ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出规律，是解题的关键． 3.有一系列方程，第1个方程是（x﹣2）＝1，解为x；第2个方程是（x﹣3）＝1，解为x；第3个方程是（x﹣4）＝1，解为x，…，根据规律第7个方程（x﹣8）＝1，解为 　x　． 【分析】根据已知三个方程的特点及解的特点得到一般性规律，即可确定出第7个方程的解． 【详解】解：根据题意得到第n个方程为，解为：x（n为正整数）， ∴第7个方程（x﹣8）＝1，解为． 故答案为：x． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 题型09：新定义问题 【例13】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于y的方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解． 【详解】（1）方程与方程是互为“美好方程”，理由： 解方程得： ， 方程的解为： ． ∵， ∴方程与方程是互为“美好方程”； （2）关于x的方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴； （3）方程的解为：， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴关于x的方程的解为：． ∵关于y的方程就是：, ∴， ∴． ∴关于y的方程的解为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 【跟踪训练】 1.对于有理数a，b，规定一种新运算：a*b=ab+b．例如，2*3=2×3+3=9有下列结论：①（﹣3）*4=﹣8；②a*b=b*a；③方程（x﹣4）*3=6的解为x=5； ④（4*3）*2=32．其中，正确的是　　　　　．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】原式各项利用已知的新定义计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：①根据题中的新定义得：（﹣3）*4=﹣12+4=﹣8，正确； ②a*b=ab+b；b*a=ab+a，不一定相等，错误； ③方程整理得：3（x﹣4）+3=6， 去括号得：3x﹣12+3=6， 移项合并得：3x=15， 解得：x=5，正确； ④（4*3）*2=（12+3）⊕2=15*2=30+2=32，正确． 故答案为：①③④． 【知识点】方程的解、有理数的混合运算 2.定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为______． 【答案】(1)方程与方程是互为“毓德方程” (2) (3) 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．掌握“毓德方程”的定义，是解题的关键． （1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可； （3）先求出的解，根据“毓德方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得：； 解方程，得：， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； （2）解：解方程得， 解方程得 ∴， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴； （3）解：解方程得， ∵关于的方程与互为“毓德方程”，， ∴的解为， ∵， ∴ ∴， ∴． 一、选择题 1.下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2+x﹣2＝0；④+2＝0；⑤3x﹣2；⑥x＝x﹣1；⑦x﹣y＝0；⑧xy＝4，是方程的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】方程就是含有未知数的等式，据次定义可得出正确答案． 【解答】解：（1）根据方程的定义可得①③④⑥⑦⑧是方程； （2）②2x＞3是不等式，不是方程； （3）⑤3x﹣2不是等式，就不是方程． 故有6个式子是方程． 故选：D． 【知识点】方程的定义 2.（24-25六年级上·上海金山·期中）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的解的定义，熟练掌握使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解是解题的关键． 把分别代入各方程左右两边，判断是否相等，即可得出答案． 【详解】解：A、把代入方程，左边，右边，左边右边，∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B、把代入方程，左边，右边，左边右边，∴不是方程的解，故此选项不符合题意； C、把代入方程，左边，右边，左边右边，∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D、把代入方程，左边，右边，左边右边，∴是方程的解，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24六年级上·河北·阶段练习）“的4倍与3的差比的2倍多5”可列等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据文字描述，直接列出等式即可． 【详解】解：由题意，得 故选：B． 【点睛】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到等量关系． 4．若，则下列式子正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质：①等式两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍然成立；②等式的两边同时乘以或同时除以同一个不为0的数或字母，等式仍然成立，逐一判断即可． 【解析】解：①根据等式的基本性质1，等式两边都减2，等式仍成立，故①正确； ②等式的两边乘的是不同的数，故②错误； ③根据等式的基本性质2，等式的两边同时乘，等式仍成立，故③正确； ④根据等式的基本性质2，等式的两边都乘5，得到，然后再根据等式的基本性质1，等式的两边都减1，得到，故④正确； ⑤当时，等式无意义，故⑤错误． 故正确的式子有①③④共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查等式的性质，需利用等式的性质对根据已知得到的等式进行变形，从而找到最后答案． 5．（23-24六年级下·上海普陀·期末）下面的变形正确的是（　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】根据等式的性质逐项判断即可求解． 【详解】A.由，得，该选项错误，不符合题意； B.由，得，该选项错误，不符合题意； C.由，得，该选项错误，不符合题意； D.由，得，该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，1、等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立；等式的两边同时除以或乘以同一个不为0的数或字母，等式仍然成立，熟练掌握知识点是解题的关键． 6.（24-25六年级上·上海徐汇·期末）用“”、“”、“”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设，，分别表示“”、“”、“”的质量，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键：①等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即：如果，那么；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：如果，那么；如果，那么． 根据题意以及左右两图的含义即可直接得出答案． 【详解】解：由题意可知： 左图的含义为：， 右图的含义为：， 能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为： 如果，那么， 故选：． 7．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）关于x的方程有无穷多个解，则________（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是明确一元一次方程有无数个解的情况． 利用方程有无数多个解，可得，的值，即可求出的值． 【详解】解： ， 方程有无数多个解， ∴，，解得，， ∴， 故选：C． 二、填空题 8 列方程：“x的3倍比y的大7”　　　　　　　　． 【分析】根据x的3倍＝x的+7，直接列方程． 【解答】解：由题意，得3x＝y+7． 故答案为：3x＝y+7． 【知识点】方程的定义 9．（23-24六年级下·上海·期末）若是的解，则 ． 【答案】-2 【分析】将代入方程得即可求解． 【详解】解：将代入方程得， 解得：． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程解的意义是解题关键． 10．（23-24六年级下·上海普陀·期末）已知x＝2是关于x的方程﹣a＝2的解，那么a的值等于 ． 【答案】-4 【分析】根据一元一次方程的解的定义把x=2代入方程得到关于a的方程，然后解关于a的一元一次方程．　　　　． 【详解】把x=2代入-a=2， 得-a=2， 解得a=-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边成立的未知数的值叫一元一次方程的解． 11．（23-24六年级下·上海静安·期末）已知是关于的方程的解，那么的值等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了方程的解，直接将代入方程计算即可得出答案． 【详解】将代入方程，得 故答案为：． 12．（23-24六年级下·上海普陀·期末）如果关于的方程的解是，那么的值是 ． 【答案】 【分析】把代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】∵关于的方程的解是， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 13．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）方程的解是 ． 【答案】 【分析】系数化1，求解即可． 【详解】解：， 两边同除，得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握等式的性质，是解题的关键． 14.小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x＝1﹣，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝1，于是他判断●应该是　　． 【答案】1 【分析】●用a表示，把x＝1代入方程得到一个关于a的方程，解方程求得a的值． 【解答】解：●用a表示，把x＝1代入方程得1＝1﹣， 解得：a＝1． 故答案是：1． 【知识点】方程的解 15．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解，理解方程的解是方程成立的未知数的值是解题的关键． 把代入得到关于a的一元一次方程求解即可． 【详解】解：把代入可得：， 解得：． 故答案为：． 16． （24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出的方程是_______ 【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可． 【详解】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为，面积为6， 则， 17．（24-25六年级上·上海闵行·期末）已知，是关于的整式，它们的值随的变化而变化，部分对应数值如下表．根据表中信息，可得关于的方程的解为 ． … 0 1 2 ．．． … 4 10 ．．． … 5 4 3 2 ．．． 【答案】 【分析】本题考查根据代数式的值求方程的解，解题的关键是观察表格中两个代数式的值，找到使的值等于的值时对应的的值．先分析与的关系，再结合表格找和值相等时的值． 【详解】因为， 从表格中可知当时，，此时， 即当时，， 所以关于的方程的解为． 故答案为：． 18.（24-25六年级上·上海松江·课后作业）在方程中，已知，则 ． 【答案】4 【分析】此题考查方程解的定义．所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值． 将已知的x、y的值代入方程中，即可求出z的值． 【详解】解：将，代入方程中， 得， ∴， 即z的值为4． 故答案为：4． 3、 解答题 19.检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 （1）2x＝x+3，（x＝3，x＝2）； （2）4y＝8﹣2y，（y＝4，y＝） 【分析】（1）、（2）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．所以把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证． 【解答】解：（1）把x＝3代入方程，左边＝2×3＝6，右边3+3＝6，左边＝右边，即x＝3是该方程的解； 把x＝2代入方程，左边＝2×2＝4，右边2+3＝5，左边≠右边，即x＝2不是该方程的解； （2）把y＝4代入方程，左边＝4×4＝16，右边8﹣2×4＝0，左边≠右边，即y＝4不是该方程的解； 把y＝代入方程，左边＝4×＝，右边8﹣2×＝，左边＝右边，即y＝是该方程的解． 【知识点】方程的解 20．将等式变形，过程如下：因为， 所以，（第一步） 所以.（第二步） 上述过程中，第一步的依据是什么？第二步得出的结论是错误的，其原因是什么？ 【答案】一步依据是：等式的性质1；第二步错误的原因是：等式的两边同除以了一个可能等于零的 【分析】根据等式的性质解答即可． 【解析】解：一步依据是：等式的性质1； 第二步错误的原因是：等式的两边同除以了一个可能等于零的． 【点睛】本题主要考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 21．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）当为何值时，关于的方程的解与方程的解相同． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得出方程的解，再根据两个方程的解相同，把方程的解代入方程中计算m的值即可． 【详解】解：解方程得， ∵关于的方程的解与方程的解相同， ∴是关于的方程的解， ∴， ∴． 22．（24-25六年级上·上海虹口·期中）小马虎在解关于x的方程时，出现了一个失误：“在将移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为，求a的值和原方程的解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据题意可得是方程的解，据此把代入到中，可求出a的值，再求出原方程的解即可． 【详解】解：由题意，得， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得， ∴a的值为3，原方程的解为． 23．（24-25六年级上·全国·课后作业）已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解的定义以及代数式求值，掌握解的定义是解答本题的关键． 将代入，解出，再将代入计算即可求解． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ． 24.解方程： （1） (2)； 【解析】解：（1） 移项合并得：3x=12， 解得：x=4； （2） ． 25．（23-24六年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）等式的两边同时加5即可得出结论； （2）先把等式的两边同时加4， 再把两边同时除以2即可得出结论； （3）先把等式的两边同时加，再把两边同时除以3即可得出结论； （4）先把等式的两边同时加2，再把两边同时乘以，即可得出结论． 【详解】（1）解：两边同时加5，得． （2）解：两边同时加4，得，两边同时除以2，得． （3）解：两边同时加，得，两边同时除以3，得． （4）解：两边同时加2，得，两边同时乘，得． 【点睛】本题考查的是等式的基本性质，熟知等式的2个基本性质是解答此题的关键，等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式两边依然相等；等式两边同时乘或除同一个数或整式，等式两边依然相等． 26．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：的解为，则该方程是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)判断方程___________（回答“是”或“不是”）“奇异方程”； (2)若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)不是 (2)有； 【分析】（1）解方程，并计算对应的值与方程的解不相等，所以不是奇异方程； （2）根据奇异方程的定义即可得出关于的方程，解方程即可 【详解】（1）解：， ， ， ， 不是奇异方程； 故答案为：不是； （2）解：有，理由如下： ， ， ， ， 即时有符合要求的“奇异方程” 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，读懂题意，理解奇异方程的概念并根据概念列出方程是解题的关键． 27.阅读下面材料并回答问题 观察：有理数﹣2和﹣4在数轴上对应的两点之间的距离是2＝|﹣2﹣（﹣4）| 有理数1和﹣3在数轴上对应的两点之间的距离是4＝|1﹣（﹣3）| 归纳：有理数a、b在数轴上对应的两点A、B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a、b在数轴上对应点A、B之间的距离，称之为绝对值的几何意义 应用： （1）如果表示﹣1的点A和表示x点B之间的距离是2，那么x为　﹣　　　； （2）方程|x+3|＝4的解为　　﹣　； （3）小松同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左边表示在数轴上x对应点到1和﹣2对应点的距离之和，而当﹣2≤x≤1时，取到它的最小值3，即为1和﹣2对应的点的距离． 由方程右边的值为5可知，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以看出x＝2； 同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3； 故原方程的解是x＝2或x＝﹣3 参考小松的解答过程，求方程|x﹣3|+|x+4|＝15的解． 【答案】【第1空】-3或1 【第2空】1或-7 【分析】（1）（2）根据绝对值的几何意义可以将绝对值去掉，转化为一元一次方程求解； （3）利用阅读材料的结论把x的范围分为x＜﹣4和x＞3，两种情况讨论． 【解答】解：（1）由题意可得|x﹣（﹣1）|＝2 所以x﹣（﹣1）＝±2 解得x1＝1，x2＝﹣3 故答案为1或﹣3 （2）由题意可得x+3＝±4 解得x1＝1，x2＝﹣7 故答案为1或﹣7 （3）|x﹣3|+|x+4|表示x到3和﹣4的距离之和，由阅读材料可知它大于等于7 当x在﹣4左边，即x＜﹣4 得3﹣x﹣x﹣4＝15 解得x＝﹣8 当x在3右边，即x＞3 得x﹣3+x+4＝15 解得x＝7 所以原方程的解为x＝﹣8或x＝7 【知识点】绝对值、数轴、方程的解 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新六年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题13 方程与列方程 知识点一、方程的概念 1、定义：含有未知数的等式叫做方程. 要点：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 2、列方程 知识点二、方程的解 如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解 要点：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 知识点三、等式的性质 1、等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2、等式的性质： 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 如果，那么 (c为一个数或一个式子) . 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果，那么；如果，那么. 要点：根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （1） 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 3、利用等式的性质解方程 题型01：方程的概念辨析 【例1】下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（    ）． A．①②④⑤ B．①②⑤ C．①④⑤ D．6个都不是 【跟踪训练】 1. 判断下列各式哪些是方程？那些不是方程？ （1） （2） （3） （4） （5） 2.在①2x+1；②1+7＝15﹣8+1；③；④x+2y＝3中，方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)；(2)；(3)； (4)；(5)；(6)． 题型02：列方程 【例2】根据下列条件，列出方程． （1）x的倒数减去-5的差为9； （2）5与x的差的绝对值等于4的平方； （3）长方形的长与宽分别为16、x，周长为40； （4）y减去13的差的一半为x的． 【例3】把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.只列方程，不解方程 (1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？ (2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？ 2.如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（　　） A． B． C． D． 3.“的3倍与7的差等于12”可列方程为 ． 4、x的3倍与4的和等于x的5倍与2的差，方程可列为 ． 5、如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题： (1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）； (2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值． 题型03：检验是不是方程的解 【例4】 检验下列各数是不是方程的解？ （1）； （2） 【跟踪训练】 1.x＝3是下列方程的解的有（　　） ①﹣2x﹣6＝0；②|x+2|＝5；③（x﹣3）（x﹣1）＝0；④x＝x﹣2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 题型04：根据方程的解求字母的值 【例5】若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是（　　） A．2 B．3 C．7 D．9 【例6】整式的值随x取值的不同而不同，下表是当x取不同值时所对应的整式的值，则关于x的一元一次方程的解为 ． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax+b ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 【跟踪训练】 1．已知是方程的解，则的值是（    ） A．5 B． C． D．10 2．如果关于的方程的解是，那么的值是多少？ 3.方程＝x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解x＝2，那么▲处的数字是　　． 4.如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 5.整式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x 1 9 6 3 0 则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 题型05：等式的性质 【例7】若，则下列式子正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练】 1．下列变形错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.下列判断错误的是（    ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 3.下列各式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4.若，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5.用“”“△”“○”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c（a，b，c均为正数），现用天平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 题型06：利用等式的性质解方程 【例8】利用等式的性质，在横线上填上适当的数或式子，并说明变形的根据． （1）如果，则 ，根据 ； ，根据 ； （2）如果，则 ，，根据 ； ，根据 ． 【例9】用等式性质解下列方程： （1）4x﹣7＝13 （2）3x+2＝x+1． 【跟踪训练】 1.利用等式的性质解方程： （1）5+x＝﹣2 （2）3x+6＝31﹣2x． 2.利用等式的性质解方程： （1）5﹣x＝﹣2 （2）3x﹣6＝﹣31﹣2x． 题型07：根据等式的性质判断方程变形是否正确 【例10】下列等式的变形正确吗？为什么？ （1） 由得； （2） 由得； （3） 由得； （4） 由得 【跟踪训练】 1.下列解方程的变形过程正确的是（    ） A．由移项得： B．由移项得： C．由去分母得： D．由去括号得： 2．下列方程的变形是否正确？为什么？ (1)由，得． (2)由，得． (3)由，得． (4)由，得． 题型08：有规律的方程的解 【例11】已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 【例12】已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.一列方程如下排列： ＝1的解是x＝2， ＝1的解是x＝3， ＝1的解是x＝4， … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2017的方程：　　　　　　　　　　　　． 2.一列方程如下排列： ＝1的解是x＝2； ＝1的解是x＝3； ＝1的解是x＝4； … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ． 3.有一系列方程，第1个方程是（x﹣2）＝1，解为x；第2个方程是（x﹣3）＝1，解为x；第3个方程是（x﹣4）＝1，解为x，…，根据规律第7个方程（x﹣8）＝1，解为 　x　． 题型09：新定义问题 【例13】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 【跟踪训练】 1.对于有理数a，b，规定一种新运算：a*b=ab+b．例如，2*3=2×3+3=9有下列结论：①（﹣3）*4=﹣8；②a*b=b*a；③方程（x﹣4）*3=6的解为x=5； ④（4*3）*2=32．其中，正确的是　　　　　．（填序号） 2.定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为______． 一、选择题 1.下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2+x﹣2＝0；④+2＝0；⑤3x﹣2；⑥x＝x﹣1；⑦x﹣y＝0；⑧xy＝4，是方程的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2.（24-25六年级上·上海金山·期中）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级上·河北·阶段练习）“的4倍与3的差比的2倍多5”可列等式表示为（    ） A． B． C． D． 4．若，则下列式子正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24六年级下·上海普陀·期末）下面的变形正确的是（　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 6.（24-25六年级上·上海徐汇·期末）用“”、“”、“”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设，，分别表示“”、“”、“”的质量，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 7．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）关于x的方程有无穷多个解，则________（    ） A． B．5 C． D．1 二、填空题 8 列方程：“x的3倍比y的大7”　　　　　　　　． 9．（23-24六年级下·上海·期末）若是的解，则 ． 10．（23-24六年级下·上海普陀·期末）已知x＝2是关于x的方程﹣a＝2的解，那么a的值等于 ． 11．（23-24六年级下·上海静安·期末）已知是关于的方程的解，那么的值等于 ． 12．（23-24六年级下·上海普陀·期末）如果关于的方程的解是，那么的值是 ． 13．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）方程的解是 ． 14.小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x＝1﹣，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝1，于是他判断●应该是　　． 15．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）已知是关于的方程的解，则的值为 ． 16． （24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出的方程是_______ 17．（24-25六年级上·上海闵行·期末）已知，是关于的整式，它们的值随的变化而变化，部分对应数值如下表．根据表中信息，可得关于的方程的解为 ． … 0 1 2 ．．． … 4 10 ．．． … 5 4 3 2 ．．． 18.（24-25六年级上·上海松江·课后作业）在方程中，已知，则 ． 3、 解答题 19.检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 （1）2x＝x+3，（x＝3，x＝2）； （2）4y＝8﹣2y，（y＝4，y＝） 20．将等式变形，过程如下：因为， 所以，（第一步） 所以.（第二步） 上述过程中，第一步的依据是什么？第二步得出的结论是错误的，其原因是什么？ 21．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）当为何值时，关于的方程的解与方程的解相同． 22．（24-25六年级上·上海虹口·期中）小马虎在解关于x的方程时，出现了一个失误：“在将移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为，求a的值和原方程的解． 23．（24-25六年级上·全国·课后作业）已知关于的方程的解是，求的值． 24.解方程： （1） (2)； 25．（23-24六年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 26．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：的解为，则该方程是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)判断方程___________（回答“是”或“不是”）“奇异方程”； (2)若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由． 27.阅读下面材料并回答问题 观察：有理数﹣2和﹣4在数轴上对应的两点之间的距离是2＝|﹣2﹣（﹣4）| 有理数1和﹣3在数轴上对应的两点之间的距离是4＝|1﹣（﹣3）| 归纳：有理数a、b在数轴上对应的两点A、B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a、b在数轴上对应点A、B之间的距离，称之为绝对值的几何意义 应用： （1）如果表示﹣1的点A和表示x点B之间的距离是2，那么x为　﹣　　　； （2）方程|x+3|＝4的解为　　﹣　； （3）小松同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左边表示在数轴上x对应点到1和﹣2对应点的距离之和，而当﹣2≤x≤1时，取到它的最小值3，即为1和﹣2对应的点的距离． 由方程右边的值为5可知，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以看出x＝2； 同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3； 故原方程的解是x＝2或x＝﹣3 参考小松的解答过程，求方程|x﹣3|+|x+4|＝15的解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$