专项巩固训练试卷（1）一元二次方程的四种解法-2025-2026学年苏科版数学九年级上册（章节测试卷+专项训练卷+期中期末卷）

专项巩固训练试卷（1）一元二次方程的四种解法 解法一 直接开平方法 1．用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣1）2﹣9＝0； （2）3x2﹣9＝0； （3）（x﹣1）2﹣36＝0； （4）4（x+3）2﹣25＝0． 解法二 配方法 2．（2025春•江都区月考）解方程： （1）x2+4x﹣1＝0（用配方法）； （2）3x2﹣2x﹣6＝0（用配方法）． 3．（2024秋•灌云县月考）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程2x2﹣8x+3＝0的过程如下： 解：移项，得2x2﹣8x＝﹣3．第一步 二次项系数化为1，得x2﹣4x＝﹣3．第二步 配方，得x2﹣4x+4＝﹣3+4．第三步 因此（x﹣2）2＝1．第四步 由此得x﹣2＝1或x﹣2＝﹣1．第五步 解得x1＝3，x2＝1．第六步 （1）王明的解题过程从第 　 　 步开始出现了错误； （2）请利用配方法正确地解方程2x2﹣8x+3＝0． 4．（2024秋•江北区期末）下面是小明同学解一元二次方程3x2+8x﹣3＝0的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得．……第一步 配方，得，……第二步 ，……第三步 .……第四步 由此可得.……第五步 解得.……第六步 任务一：填空： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是　 　 ，依据的数学公式是　 　 ； ②第　 步开始出现错误，错误的原因是　 　 ． 任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 解法三 公式法 5．用公式法解下列方程： （1）3x2﹣2x﹣1＝0； （2）； （3）2x2﹣7x+5＝0； （4） 2x2﹣7x﹣18＝0． 解法四 因式分解法 6．（2022春•崇川区期末）解下列方程： （1）x2﹣3x＝0 （2）x2+4x﹣5＝0 7．（2023秋•东海县月考）解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 8．（2025春•涟水县期末）解下列方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）x（x+1）＝2x+2． 9．（2023秋•兴化市月考）嘉嘉与淇淇两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下： 嘉嘉： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 淇淇： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0． （1）嘉嘉的解法 　 ；淇淇的解法 　 　 ；（填“正确”或“不正确”） （2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程4x（2x+1）＝3（2x+1）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项巩固训练试卷（1）一元二次方程的四种解法 解法一 直接开平方法 1．用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣1）2﹣9＝0； （2）3x2﹣9＝0； （3）（x﹣1）2﹣36＝0； （4）4（x+3）2﹣25＝0． 【分析】（1）先移项，再利用直接开方法求解即可； （2）先移项，再把x的系数化为1，利用直接开方法求解即可； （3）先移项，再利用直接开方法求解即可； （4）先移项，再把（x+3）的系数化为1，利用直接开方法求解即可． 【详解】解：（1）（x﹣1）2﹣9＝0， （x﹣1）2＝9， x﹣1＝±3， x1＝4，x2＝﹣2； （2）3x2﹣9＝0， 3x2＝9， x2＝3， x1，x2； （3）（x﹣1）2﹣36＝0， （x﹣1）2＝36， x﹣1＝±6， x1＝7，x2＝﹣5； （4）4（x+3）2﹣25＝0， 4（x+3）2＝25， （x+3）2， x+3＝±， x1，x2． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知直接开平方法的一般步骤是解题的关键． 解法二 配方法 2．（2025春•江都区月考）解方程： （1）x2+4x﹣1＝0（用配方法）； （2）3x2﹣2x﹣6＝0（用配方法）． 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）先化系数为1，再根据配方法解方程即可． 【详解】解：（1）原方程配方得：x2+4x+4＝5， ∴（x+2）2＝5， ∴， 解得； （2）原方程整理得：， ， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知配方法解一元二次方程是解题的关键． 3．（2024秋•灌云县月考）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程2x2﹣8x+3＝0的过程如下： 解：移项，得2x2﹣8x＝﹣3．第一步 二次项系数化为1，得x2﹣4x＝﹣3．第二步 配方，得x2﹣4x+4＝﹣3+4．第三步 因此（x﹣2）2＝1．第四步 由此得x﹣2＝1或x﹣2＝﹣1．第五步 解得x1＝3，x2＝1．第六步 （1）王明的解题过程从第 　二　 步开始出现了错误； （2）请利用配方法正确地解方程2x2﹣8x+3＝0． 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：（1）解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的﹣3未除以2， 故答案为：二； （2）2x2﹣8x+3＝0． 移项，得：2x2﹣8x＝﹣3， 二次项系数化为1，得：x2﹣4x， 配方，得：x2﹣4x+44， 因此（x﹣2）2， 由此得：x﹣2或x﹣2， 解得：x1＝2． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 4．（2024秋•江北区期末）下面是小明同学解一元二次方程3x2+8x﹣3＝0的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得．……第一步 配方，得，……第二步 ，……第三步 .……第四步 由此可得.……第五步 解得.……第六步 任务一：填空： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是　配方法　 ，依据的数学公式是　完全平方公式　 ； ②第　二　 步开始出现错误，错误的原因是　等式的右边没有加上（）2　 ． 任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 【分析】任务一：①根据转化思想，完全平方公式解答； ②根据移项的依据是等式的性质解答； ③由完全平方公式判断即可解答； 任务二：根据配方法的基本步骤，由完全平方公式进行计算． 【详解】解：任务一：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：配方法；完全平方公式； ②第二步开始出现错误，错误的原因是等式的右边没有加上（）2； 故答案为：二，等式的右边没有加上（）2； 任务二：移项，得3x2+8x＝3， 二次项系数化为1，得x2x＝1， 配方，得x2x+（）2＝1+（）2， （x）2， 由此可得x±， 所以，x1，x2＝﹣3． 【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 解法三 公式法 5．用公式法解下列方程： （1）3x2﹣2x﹣1＝0； （2）； （3）2x2﹣7x+5＝0； （4） 2x2﹣7x﹣18＝0． 【分析】（1）把a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1代入求根公式计算即可； （2）把a＝2，b＝﹣1，c代入求根公式计算即可； （3）把a＝2，b＝﹣7，c＝5代入求根公式计算即可； （4）把a＝2，b＝﹣7，c＝﹣18代入求根公式计算即可； 【详解】解：（1）∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣1）＝16， ∴x， ∴x1＝1，x2． （2）∵a＝2，b＝﹣1，c， ∴b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（）＝5， ∴x， ∴x1，x2． （3）∵a＝2，b＝﹣7，c＝5， ∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×5＝9， ∴x， ∴x1，x2＝1． （4）∵a＝2，b＝﹣7，c＝﹣18， ∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣18）＝193， ∴x， ∴x1，x2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的求根公式：x（b2﹣4ac≥0）． 解法四 因式分解法 6．（2022春•崇川区期末）解下列方程： （1）x2﹣3x＝0 （2）x2+4x﹣5＝0 【分析】（1）利用因式分解法把原方程化为x＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可； （2）利用因式分解法把原方程化为x+5＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：（1）x（x﹣3）＝0， x＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝0，x2＝3； （2）（x+5）（x﹣1）＝0， x+5＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝﹣5，x2＝1.. 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 7．（2023秋•东海县月考）解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 【分析】（1）利用因式分解法（十字相乘）求解比较简便； （2）把2x+1看成一个整体，运用因式分解法（提公因式）求解比较简便． 【详解】解：（1）x2+6x﹣7＝0， （x+7）（x﹣1）＝0， ∴x+7＝0或x﹣1＝0． ∴x1＝﹣7，x2＝1； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）， 移项，得4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0， ∴（2x+1）（4x﹣3）＝0． ∴2x+1＝0或4x﹣3＝0． ∴x1，x2． 【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的因式分解法是解决本题的关键． 8．（2025春•涟水县期末）解下列方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）x（x+1）＝2x+2． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， ∴x﹣5＝0或x+1＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣1； （2）x（x+1）＝2x+2， x（x+1）﹣2（x+1）＝0， （x+1）（x﹣2）＝0， ∴x+1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 9．（2023秋•兴化市月考）嘉嘉与淇淇两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下： 嘉嘉： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 淇淇： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0． （1）嘉嘉的解法 　不正确　 ；淇淇的解法 　不正确　 ；（填“正确”或“不正确”） （2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程4x（2x+1）＝3（2x+1）． 【分析】（1）根据等式的性质即可得出答案； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：（1）嘉嘉的解法不正确，琪琪的解法不正确， 正确的解法是：3（x﹣3）＝（x﹣3）2， 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0， 则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0， 解得：x1＝3，x2＝6， 故答案为：不正确，不正确； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）， 4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0， （2x+1）（4x﹣3）＝0， 2x+1＝0或4x﹣3＝0， 解得：x1，x2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$