专题02 圆中切线的证明（专项训练）数学苏科版九年级上册

专题02 圆中切线的证明 目录 A题型建模・专项突破 题型一、有切点，连半径，证垂直 1 题型二、无切点，作垂直，证半径 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、有切点，连半径，证垂直 已知直线与圆有公共点，需连接该公共点与圆心得半径，证明该半径垂直于这条直线，即“连半径，证垂直”. 1.如图所示，已知是圆O的直径，圆O过的中点D，且．   (1)求证：是圆O的切线； (2)若，，求圆O的半径． 2.如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 3.如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 4.如图，是的直径，点，在上，，交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若点为的中点，的半径为，求的长． 题型二、无切点，作垂直，证半径 当题目中没有指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于圆的半径，简称“作垂直，证半径”. 5.如图，是等腰直角三角形，，O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 6.如图，在中，，，点O为边中点，以点O为圆心的圆与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)判断圆心O与点C及两切点为顶点的四边形的形状并证明． 7.如图，为正方形对角线上一点，与以为圆心，长为半径的相切于点． (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 8.如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 一、解答题 1．如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 2．如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，交于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 3．如图，为等腰三角形，，是底边的中点，与腰相切于点，为半径． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 4．如图，在中，，，，为上一点，以为圆心，为半径作交于另一点，为上一点，且． (1)判断与的位置关系，说明理由； (2)若的半径为3，求的长． 5．如图，在中，，，点在上，过点和点． (1)求证：是的切线； (2)点是下方圆上一点，，延长交于点，求的长． 6．如图，是的直径，，分别切于点、，分别交，于点、，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 7．如图，四边形内接于，对角线为的直径，对角线是的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 8．如图，在四边形中，，，于点，以为直径的分别交，于点，，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求的度数． 9．如图，是的外接圆的直径，D是线段上（不与点A重合），连接，是由沿翻折得到，交于点F，连接． (1)如图1，若，求证：是的切线； (2)若，， ①如图2，当时，求的值； ②如图3，当点D与点O重合时，连接，求的长． 10．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，一次函数的图象分别交轴于点． (1)如图1，当时，求证：直线与相切； (2)如图2，直线与相交，交点分别为，，若，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆中切线的证明 目录 A题型建模・专项突破 题型一、有切点，连半径，证垂直 1 题型二、无切点，作垂直，证半径 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、有切点，连半径，证垂直 已知直线与圆有公共点，需连接该公共点与圆心得半径，证明该半径垂直于这条直线，即“连半径，证垂直”. 1.如图所示，已知是圆O的直径，圆O过的中点D，且．   (1)求证：是圆O的切线； (2)若，，求圆O的半径． 【答案】(1)见解析 (2)圆O的半径为 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理可得出，再利用平行线的性质就可证明是圆O的切线． （2）利用特殊角度，根据直角三角形的性质和勾股定理可求出的长，由两直线平行同位角相等，可得出，从而求得，得到是等边三角形，即可求圆O的半径． 【详解】（1）证明：连接，   ∵D是的中点，O为的中点， ∴． 又∵， ∴ ∴ ∴， ∵为圆O的半径， ∴是圆O的切线． （2）解：连接， ∵是圆O的直径， ∴ ∴是直角三角形． ∵，， ∴ ∴ ． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， 即圆O的半径为 ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，熟练掌握证明某线是圆的切线的常用方法：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 2.如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键． （1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得； （2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到． 【详解】（1）证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3.如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理即可得证； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如答图，连接， ∵为直径， ∴， 即． 又∵，， ∴， ∴， 即． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴． ∵，，， ∴ ∴， ∴． ∵，是的直径， ∴是的切线． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 解得． 4.如图，是的直径，点，在上，，交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若点为的中点，的半径为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握相关的知识． （1）连接，则，得到，结合平分可推出，根据平行线的性质并结合，交的延长线于点，即可证明； （2）连接，则，由圆周角定理和角平分线的定义可推出是等边三角形，得到，，推出，得到，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，则，   ， 平分， ， ， ，                ， ，交AE的延长线于点， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接，则，    由（1）知， ， ， 点为的中点， ， ，         是等边三角形， ，，            由（1）知是的切线， ， ，       ， ， ． 题型二、无切点，作垂直，证半径 当题目中没有指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于圆的半径，简称“作垂直，证半径”. 5.如图，是等腰直角三角形，，O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了判定直线是圆的切线的判定、切线的性质定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可证明结论； （2）根据等腰直角三角形的性质求出的长，勾股定理求出，如图：连接，过点O作于点H，根据等面积法可得，勾股定理求出，最后根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接，过点O作于点P， ∵与相切于点D， ∴， ∵是等腰直角三角形，，O为的中点， ∴， ∴，即是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， 如图：连接，过点O作于点H， ∴， ∴， ∵， ∴. 6.如图，在中，，，点O为边中点，以点O为圆心的圆与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)判断圆心O与点C及两切点为顶点的四边形的形状并证明． 【答案】(1)详见解析 (2)四边形的形状是正方形，证明见解析 【分析】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）连接，，过点O作于E，根据，点O为边中点，可得平分，根据角平分线的性质，得到，即证明为的半径，点在圆上，结合，根据切线的判定定理即可得证； （2）由，，可得，，得到四边形是矩形，又，即证明四边形是正方形． 【详解】（1）证明：如图，连接，，过点O作于E． ，，点O为边中点， 平分， 与相切于点D， 为的半径，且， 平分，，， ， 为的半径，点在圆上， 又， 是的切线． （2）四边形的形状是正方形． 证明：，， ， 又， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 7.如图，为正方形对角线上一点，与以为圆心，长为半径的相切于点． (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为． 【分析】此题综合了正方形的性质和圆的切线的性质和判定． （1）根据正方形的性质得到是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明； （2）根据正方形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质得到是圆的半径的倍，从而根据对角线的长列方程求解． 【详解】（1）证明：连接，过作于； 与相切， ， 四边形是正方形， 平分， ， 与相切； （2）解：四边形为正方形， ，，， ，， ， ； 又， ， ． 8.如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）如图，连接，过点作于，证明，得到，即可求证； （）连接，并反向延长交于，连接，可得，得到，，进而得为等腰直角三角形，得到，设的半径为，则，，可得，即得，得到，即可得，得到，，再由可得，得到，最后利用勾股定理得到，进而利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）证明：如图，连接，过点作于， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：连接，并反向延长交于，连接， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设的半径为，则，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 一、解答题 1．如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)3 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定与性质，角平分线的性质定理，圆的切线的定义 ，过圆心作直线的垂线是解决此类问题常添加的辅助线． （1）过点作于点，，利用圆的切线的性质定理和角平分线的性质得到，再利用圆的切线的定义解答即可； （2）利用切线长定理和勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作于点，如图， ，为半径作． 是的切线， 平分，，， ， 是的半径， 为的半径， 圆心到直线的距离等于的半径， 是的切线； （2）解：是的切线，， ， ， ， 中，， 中，， 即， ，即的半径为3． 2．如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，交于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】（1）由等边对等角，角平分线的定义可证，则，进而结论得证； （2）设的半径为r，则，，，由勾股定理，得，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：设的半径为r，则，，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴的长为16． 【点睛】本题考查了等边对等角、角平分线、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识.熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．如图，为等腰三角形，，是底边的中点，与腰相切于点，为半径． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)与相切 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、切线的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． （1）过点O作于E点，根据全等三角形的判定和性质得出，，即是的半径，即可证明； （2）根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 过点O作于E点，如图所示：   ∵与腰相切于点， ∴， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即是的半径， ∴与相切； （2）∵为等腰三角形，， ∴， ∵与腰相切于点， ∴， ∴． 4．如图，在中，，，，为上一点，以为圆心，为半径作交于另一点，为上一点，且． (1)判断与的位置关系，说明理由； (2)若的半径为3，求的长． 【答案】(1)是的切线；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解此题的关键． （1）连接，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质证得，则可得出结论； （2）连接，，设，则，由勾股定理求出的值，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的切线；理由如下： 连接，如图， ， ， ， ， 又， ， ， ， 是圆的半径， 是的切线； （2）解：连接，，如图， ，， ， 设，则， ， 由勾股定理得：，， ， ， ． 5．如图，在中，，，点在上，过点和点． (1)求证：是的切线； (2)点是下方圆上一点，，延长交于点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质． （1）连接，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质得到，进而得到，再根据切线判定求解． （2）连接，易证是的直径，设，利用含角的直角三角形的性质得到，由勾股定理求出的半径，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：连接． ， ． ， ， ， 即， 为的半径， 是的切线． （2）解：连接． ∵， ∴， ∴是的直径， 设， ，，， 则， ， 解得，（不符合题意舍去）， ， ， ∴． 6．如图，是的直径，，分别切于点、，分别交，于点、，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)的半径是6． 【分析】本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解题关键是在证切线的问题中，一般先连接切点和圆心，再证明垂直；同时熟记切线垂直于经过切点的半径． （1）过点作于点，先根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质可得，由是的半径，且，即可作出判断； （2）过点D作于点F，先根据切线的性质得到从而可证得四边形是矩形，根据矩形的性质可得从而可得的长，再根据切线的性质求得的长，在中，根据勾股定理即可求得的长，进而即可得解． 【详解】（1）解：证明：过点作于点， 切于点A， ， 又平分， ， 为的半径， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：过点D作于点F， ，分别切于点A，B， ， 四边形是矩形， ， 又， ， ，，分别切于点A，B，E， ， ， 在中， ， ， ， 即的半径是6． 7．如图，四边形内接于，对角线为的直径，对角线是的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，由角平分线和同弧或等弧所对的圆周角相等可推出，再由等腰三角形的性质得，由平行线的性质即可得证； （2）过作交于，由平行线的性质及直径所对的圆周角为直角得到，由直角三角形的特征得，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，进而得到，最后由勾股定理得， ，即可求解； 【详解】（1）证明：连接， 是的平分线， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：过作交于， 则， ， ， 是的直径，， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 的长为． 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，等腰三角形判定及性质，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的特征，勾股定理等；掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，能熟练利用直角三角形的特征，勾股定理进行求解是解题的关键． 8．如图，在四边形中，，，于点，以为直径的分别交，于点，，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理等知识点． （1）根据和证明得出，根据，可得，进而即可得证； （2）连接，由已知进而求出，再根据直径所对圆周角等于，得出，，根据同弧所对圆周角相等可得． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，即． ∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴． ∵为的直径， ∴， ∴， ∵． ∴． 9．如图，是的外接圆的直径，D是线段上（不与点A重合），连接，是由沿翻折得到，交于点F，连接． (1)如图1，若，求证：是的切线； (2)若，， ①如图2，当时，求的值； ②如图3，当点D与点O重合时，连接，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)①；②． 【分析】（1）由等边对等角得到，由折叠得到，进而得到，即可求证； （2）①如图，过点作于点，设，，根据勾股定理得，根据，得，根据折叠的性质得，，，推出，求出，再根据，可求得，即可得出结论； ②如图，过点作于点，连接交于点，根据题意得，根据折叠的性质得，，推出垂直平分，，，由推出，则，最后根据三角形中位线定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是由沿翻折得到， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）①如图，过点C作于点G，设，， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是由沿翻折得到，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴； ②如图，过点C作于点G，连接交于点H， 由①知：，， ∵是由沿翻折得到， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角，切线的判定，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，等积变换等知识点．掌握直径所对的圆周角是直角，切线的性质，折叠的性质是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，一次函数的图象分别交轴于点． (1)如图1，当时，求证：直线与相切； (2)如图2，直线与相交，交点分别为，，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）先根据坐标可得：的半径为1，如图1，过点O作于M，根据勾股定理和面积法可得，即可得结论； （2）如图2，连接，，过点D作轴于G，过点E作轴于F，证明，得，，可得，并结合勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵点， ∴，即的半径为1， 如图1，过点O作于M， 当时，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 当时，， ∴， ∴点B的坐标为， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴直线与相切； （2）解：如图2，连接，，过点D作轴于G，过点E作轴于F， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵点D，E在直线上， ∴， 把①代入②得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了一次函数的性质，圆周角定理，切线的判定，三角形的面积，勾股定理，三角形全等的性质和判定，坐标与图形的性质等知识，与方程相结合即可解决问题． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$