15.3.1 等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

人教版（2024） 八年级上册 15.3.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 第十五章·轴对称 等腰三角形的性质 知识目标 1.理解等腰三角形的定义及其基本性质。 2.掌握等腰三角形的“三线合一”性质。 3.学会利用等腰三角形的性质进行几何证明和计算。 能力目标 1.能够通过折叠等腰三角形，直观理解其对称性和性质。 2.能够运用等腰三角形的性质进行几何推理和证明。 3.能够解决与等腰三角形相关的实际问题，如计算角度和边长。 素质目标 1.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。 2.通过几何图形的对称性，增强学生对数学美的感受。 3.培养学生严谨的科学态度和细致的观察能力。 教学难点 教学重点 等腰三角形的定义及其基本性质、等腰三角形的“三线合一”性质及其证明 等腰三角形“三线合一”性质的直观理解和证明、计算角度和边长 情景导入 1 合作探究 2 抽象概括 3 示范讲解 4 课堂练习 5 课堂小结 6 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 生活中的等腰三角形 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 回顾：等腰三角形 等腰三角形 顶角 底角 腰 底边 有两边相等的三角形是等腰三角形 相等的两边叫做腰，另一边叫做底边 两腰的夹角叫做顶角 腰与底边的的夹角叫做底角 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 思考：为什么是水平的？ 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗？ 分析问题，寻找对应 如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A C B 分析问题，寻找对应 如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A B C AB=AC 等腰三角形 分析问题，寻找对应 如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A B C D △ABC是轴对称图形吗，对称轴在哪儿？ AD 分析问题，寻找对应 观察重合的线段和角，猜想等腰三角形的性质 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A B C D 相等的线段 相等的角 AB=AC BD=CD AD=AD ∠B=∠C ∠BAD=∠CAD ∠ADB=∠ADC 等腰三角形的性质 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 怎么证明呢？ 性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) 先变成符号形式 已知：△ABC中，AB=AC． 求证：∠B=∠C． 作底边BC的中线AD，则BD=CD 在△ABD和△ACD中， A B C D AB=AC， ∵ BD=CD， AD=AD， ∴△BAD≌△CAD（SSS）． ∴∠B=∠C． 这样就证明了“等边对等角” 等腰三角形的性质 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A B C D ∵△BAD≌△CAD ∴∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA． ∵∠BDA+∠CDA=180°， ∴∠ADB=90°． ∴AD⊥BC． 说明中线AD是底边BC的高 ∵△BAD≌△CAD ∴∠BAD=∠CAD． ∴AD平方∠BAC． 说明中线AD也是∠BAC的角平分线 AD同时是底边BC上的中线，高和角平分线． 等腰三角形的性质 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A B C D 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成：等边对等角）. 性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（简写成：三线合一）. 等腰三角形的性质 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成：等边对等角）. A B C 符号语言： ∵AB=AC ∴∠B=∠C（等边对等角） 等腰三角形的性质 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A B C 性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（简写成：三线合一）. D 符号语言： ①∵AB=AC，AD⊥BC ∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②∵AB=AC，AD⊥BC ∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ③∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度数． 例1 A B C D 找出图中所有相等的角； 找一找，图中有几个等腰三角形？ ∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC. △ABC,△ABD，△BCD. 技巧：看到等腰，就把等角标出来． 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度数． 例1 A B C D x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 解 ∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等边对等角）. 设∠A=x°,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x°, 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x°, 于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180， 解得x=36°， 在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗？ 例2 解 由“三线合一”可知绳子一定会垂直房梁，而绳子肯定是竖直的，所以房梁是水平的． 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100º,，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC．求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数． 例3 解 ∵AD平分∠BAC（三线合一），而∠BAC=100°， ∴∠BAD=∠CAD=100°÷2=50° ∵∠ADB=90°（因为AD⊥BC） ∴∠B=40°（已求得） ∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-90°-40°=50° 同理 ∠C = 40°，∠CAD = 50° ⌒ 50° ⌒ 50° ⌒ 40° ⌒ 40° 等腰三角形的性质 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A B C D 公式：在等腰三角形中： ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数. 72° 30° 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A B C D 2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B 和∠C的度数. ⌒ 26° 找一找，图中有几个等腰三角形？ △ADC,△ABD. 解：由AB = AD，得△ABD为等腰三角形， 因此，∠ABD = ∠ADB（等边对等角）。 由AD = DC，得△ADC为等腰三角形， 因此，∠DAC = ∠C（等边对等角）。 ∠DAC +∠C=77°，得∠C=38.5°。 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 3.求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. A B C D 符号语言： 已知在△ABC中，DA是BC边上的中线，且AD= BC 求证AB⊥AC 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 3.求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 证明：∵AD是BC边上的中线，DC=BD 又∵AD= BC=DC=BD, ∴∠B = ∠BAD，∠CAD = ∠C（等边对等角）, 根据三角形内角和定理： △ABD 中，∠B+∠BAD+∠ADB=180° 即2∠BAD+∠ADB=180°①， 在 △ACD 中，∠C+∠CAD+∠ADC=180 °即2∠CAD+∠ADC=180°②， ①＋②得：2∠BAD+2∠CAD+∠ADB+∠ADC=360°， 2（∠BAD+∠CAD）+180°=360°得2∠BAC=180°, ∴∠BAC =90° ∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形. 法二：延长AD至E，使得AD=DE，连接BE、CE，证明四边形EBAC是矩形，即可作答 A B C D E 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 4.（1）等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 ； （2）等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 ； （3）等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 . 75°, 30° 72°,72°或36°,108° 30°，30° 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.（2025·陕西·中考真题） 如图, 在△ABC中, ∠ACB =90°, ∠A=20°, CD为AB边上的中线, DE⊥AC, 则图中与∠A 互余的角共有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 互余的两个角的和为90° 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出∠B =70°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD= AD = BD, 根据等边对等角得出∠DCA =∠A =20°,∠DCB=∠B =70°,再结合DE⊥AC 根据三角形内角和定理求出∠CDE =70°,∠ADE=70°,最后根据余角的性质求解即可. 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.（2025·陕西·中考真题） 如图, 在△ABC中, ∠ACB =90°, ∠A=20°, CD为AB边上的中线, DE⊥AC, 则图中与∠A 互余的角共有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 互余的两个角的和为90° 【详解】解:在△ABC中, ∠ACB =90°, ∠A =20°, ∴∠B =180°-∠A-∠ACB = 180°-90°-20°= 70°, ∵CD为AB边上的中线， ∴CD=AD=BD, ∴∠DCA =∠A =20°,∠DCB =∠B = 70°,∠CDB = 2∠A =40°, ∵DE⊥AC, ∴∠CDE =180°-90°-∠DCA = 70°,∠ADE = 180°-90°-∠A = 70°, ∴图中与∠A 互余的角是∠B,∠DCB,∠CDE,∠ADE, 共有4个, 故选: C. 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.（2025·四川凉山·中考真题） 如图, AB=AC,AE = AD, 点 E在 BD 上, ∠EAD =∠BAC,∠BDC =56°, 则∠ABC 的度数为( ) A. 56° B. 60° C. 62° D.64° 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明∠BAE=∠CAD, 再利用SAS可证明△BAE≌△CAD 得到∠ABE =∠ACD, 利用三角形内角和定理可证明∠BAO=∠CDO =56°，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案. O 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.（2025·四川凉山·中考真题） 如图, AB=AC,AE = AD, 点 E在 BD 上, ∠EAD =∠BAC,∠BDC =56°, 则∠ABC 的度数为( ) A. 56° B. 60° C. 62° D.64° 【详解】解: ∵∠EAD =∠BAC, ∴∠EAD-∠CAE=∠BAC-∠CAE, 即∠BAE =∠CAD, 在△BAE和△CAD中, ∴△BAE≌△CAD(SAS), ∴∠ABE =∠ACD; 如图所示, 设AC, BD 交于O, ∵∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°, ∠COD+∠DCO+∠COD =180°,∠AOB =∠COD, ∴∠BAO=∠CDO =56°, ∵AB =AC, ∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°, O 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.（2025·四川凉山·中考真题） 如图, AB=AC,AE = AD, 点 E在 BD 上, ∠EAD =∠BAC,∠BDC =56°, 则∠ABC 的度数为( ) A. 56° B. 60° C. 62° D.64° 故选: C. O 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 我亲历了什么 我知道了什么 我会什么 理解等腰三角形的2个性质 等腰三角形的3个公式 证明等边对等角、三线合一 ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 等腰三角形的性质 A B C D 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成：等边对等角）. 性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（简写成：三线合一）. 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 公式：在等腰三角形中： ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 课后作业 A层：P84.15.3习题：1、3、4. B层：P84.15.3习题：7、8、10. 下课 $$