07讲基本不等式（思维导图+知识梳理+常考题型）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 思维导图 知识梳理 01 重要不等式与基本不等式 1.重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立. （2）常见变形：、、. 2.基本不等式 （1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立. 其中叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. 因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （2） 常见变形：； （3）常用结论： ① （同号），当且仅当时取等号；（异号），当且仅当时取等号. ② （），当且仅当时取等号；（），当且仅当时取等号. 02 基本不等式的变式与拓展 1． 基本不等式链 或. 当且仅当时等号成立. 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2．基本不等式的拓展 三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立. 03 最值定理 1．最值定理：已知都是正数， （1）若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2. 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大. 2．在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三相等. ① 一正：各项均为正数； ② 二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三相等：含变数的各项均相等，取得最值. 3.利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 典例分析 题型一：基本不等式概念的理解 例1.若，为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是(    ) ；；；． A.4 B. C. D. 例2.已知，是实数，且，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 例3.（多选）已知实数、，判断下列不等式中哪些一定是正确的(    ) A. B. C. D. 【变式1】（多选）有下面四个不等式，其中恒成立的有(    ) A. B. C. D. 【变式2】（多选）设，，则(    ) A. B. C. D. 【变式3】（多选）下列命题为真命题的是(    ) A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 题型二：利用基本不等式求和的最小值 例1.已知，且的最小值为(    ) A.   B. C. D. 例2.若，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【变式1】已知，则函数的最小值是(    ) A. B. C. D. 【变式2】若，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【变式3】.若，则的最小值为          ． 【变式4】若，则的最小值为          ． 题型三：利用基本不等式求积的最大值 例1.已知，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 例2.已知，，且，则的最大值为 A. B. C. D. 【变式1】若，则的最大值是          ． 【变式2】已知正数满足，则的最小值是______． 【变式3】已知，且，则的最大值为____． 题型四：基本不等式“1”的妙用 例1.已知，求的最小值； 已知是正实数，且，求的最小值．   例2.已知正数 满足 ，则的最小值是__________． 【变式1】若，则的最小值为          ． 【变式2】（多选）已知实数满足，且，则的值可以为(    ) A. B. C. D. 【变式3】若实数，，满足，以下选项中正确的有(    ) A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 题型五：利用基本不等式求分式型最值 例1.已知，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 例2.已知，则函数有(    ) A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 【变式1】若对任意恒成立，则的取值范围为_________。 【变式2】已知，则的最小值为_________． 【变式3】函数的最小值为          ． 题型六：利用基本不等式证明不等式 例1.若正数满足． （1）求的最大值； （2）求证：．   【变式1】设． 证明：； 证明：．   【变式2】已知，，均为正数，且，证明： ； 若，则． 【变式3】设，，且求证： ； 与不可能同时成立． 【变式4】选用恰当的证明方法，证明下列不等式． 已知均为正数，且，求证：； 已知，求证：．   题型七：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题 例1.已知，，若不等式恒成立，则的最大值等于(    ) A. B. C. D. 例2.若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【变式1】.已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为 ． A. B. C. D. 【变式2】.已知正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【变式3】.若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【变式4】若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是(    ) A. ，或 B. C. ，或 D. 【变式5】若存在正实数，满足于，且使不等式有解，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 基本不等式 思维导图 知识梳理 01 重要不等式与基本不等式 1.重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立. （2）常见变形：、、. 2.基本不等式 （1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立. 其中叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. 因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （2） 常见变形：； （3）常用结论： ① （同号），当且仅当时取等号；（异号），当且仅当时取等号. ② （），当且仅当时取等号；（），当且仅当时取等号. 02 基本不等式的变式与拓展 1． 基本不等式链 或. 当且仅当时等号成立. 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2．基本不等式的拓展 三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立. 03 最值定理 1．最值定理：已知都是正数， （1）若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2. 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大. 2．在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三相等. ① 一正：各项均为正数； ② 二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三相等：含变数的各项均相等，取得最值. 3.利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 典例分析 题型一：基本不等式概念的理解 例1.若，为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是(    ) ；；；． A.4 B. C. D. 【答案】C  【解析】 本题主要考查了基本不等式的应用．  【解答】 解：，，故正确；  ，故正确；  中，的符号不能确定，故错误． 故选C  例2.已知，是实数，且，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B  【解析】 取特殊值进行充分性的判断，结合基本不等式的性质对必要性进行判断即可． 【解答】 解：当时，取，，则无意义，充分性不成立 反之，当时，由有意义，得，结合，可得 故有成立 故“”是“”的必要不充分条件． 故选B． 例3.（多选）已知实数、，判断下列不等式中哪些一定是正确的(    ) A. B. C. D. 【答案】CD  【解析】 本题主要考查了基本不等式的应用条件的判断，属于中档题． 利用特殊值和基本不等式的性质逐一判断即可． 【解答】 解：当，时，不成立； 当时，不成立； ，当且仅当时，取等号； ，当且仅当时，取等号； 故， 故选：． 【变式1】（多选）有下面四个不等式，其中恒成立的有(    ) A. B. C. D. 【答案】BC  【解析】 本题考查了不等式性质，基本不等式和二次函数，属于基础题． 【解答】 解：对于、当时，不等式不成立，因此不恒成立； 对于、因为，当且仅当时，等号成立，因此恒成立； 对于、因为，，， 三式两边同时相加得 ， 当且仅当时，等号成立，因此恒成立； 对于、当异号，不等式不成立，因此不恒成立； 故选BC． 【变式2】（多选）设，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】ACD  【解析】 此题考查基本不等式的应用，考查不等式性质的应用，属于基础题 对于，化简后利用基本不等式判断即可对于，举反例可判断对于，利用作差法判断即可对于，利用基本不等式化简即可判断． 【解答】 解：对于，因为， 当且仅当，即时取等号，所以A正确 对于，令，则，，此时，所以B错误 对于，因为，， 所以， 所以，所以C正确 对于，， 当且仅当时取等号，所以，所以D正确 故选：． 【变式3】（多选）下列命题为真命题的是(    ) A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ABD  【解析】 结合基本不等式及其相关结论分别检验各选项即可判断． 本题主要考查了基本不等式及相关结论的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于基础题． 【解答】 解：对于选项A：，A正确； ：有得，， 当且仅当，即时取等号，B正确； ：，，，当且仅当时取等号，C错误； ：因为， 所以，即则成立，D正确． 故选：． 题型二：利用基本不等式求和的最小值 例1.已知，且的最小值为(    ) A.   B. C. D. 【答案】D  【解析】 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 由于，则，利用基本不等式求的最小值即可． 解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 故选D． 例2.若，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于中档题． 利用换元法，结合基本不等式即可得解． 【解答】 解：因为，所以， 又，所以， 令，，则，， 所以， 当且仅当，即，即 时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：． 【变式1】已知，则函数的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】 本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 因为，，构造积为定值，利用基本不等式即可求解． 【解答】 解：已知，则， 函数， 当且仅当时“”成立， 故函数的最小值是， 故选：． 【变式2】若，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了利用基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 由题意，可得，则根据，利用基本不等式求解即可． 【解答】 解：， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故 的最小值为． 故选A． 【变式3】.若，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查由基本不等式求最值，属于中档题． 利用配凑法，两次利用基本不等式即可得解． 【解答】 解：因为，所以，， 又， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：． 【变式4】若，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了基本不等式的性质，考查了灵活解决问题的能力，属于基础题． 由题意化简，从而利用基本不等式求最值． 【解答】 解：，， ， 当且仅当，即时，等号成立 故答案为：． 题型三：利用基本不等式求积的最大值 例1.已知，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】 本题考查由基本不等式求最值，属于基础题． 将所求变形为，进而由基本不等式求解即可． 【解答】 解：由当且仅当时取等号， 可得的最大值为． 故选C． 例2.已知，，且，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】B  【解析】 本题主要考查基本不等式在最值中的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题． 展开已知条件，利用基本不等式可得的最大值． 【解答】 解：，，且， ， 当且仅当时，取等号， 的最大值为． 故本题选B． 【变式1】若，则的最大值是          ． 【答案】  【解析】 本题主要考查了由基本不等式求最值，属于基础题． 由已知结合基本不等式即可直接求解． 【解答】 解：当时，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 故答案为：． 【变式2】已知正数满足，则的最小值是______． 【答案】  【解析】 本题考查了运用基本不等式求最值，属于基础题． 根据，求出的取值范围即可得到答案． 【解答】 解：由题意，， 所以，即， 解得舍去或， 所以，当且仅当，即，时取等号． 所以的最小值是． 故答案为． 【变式3】已知，且，则的最大值为____． 【答案】  【解析】 本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 使用基本不等式，构造关于的不等式求解即可． 【解答】 解：，且， ， 当且仅当，即时取等号， ， ， 故答案为． 题型四：基本不等式“1”的妙用 例1.已知，求的最小值； 已知是正实数，且，求的最小值． 【解析】本题考查基本不等式求最值，属于中档题． 由题可知，，利用基本不等式即可求解； 利用基本不等式“”的妙用，即可求解． 【答案】解：，即， ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值为 是正实数，且，， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为．   例2.已知正数 满足 ，则的最小值是__________． 【答案】  【解析】 本题主要考查了基本不等式求最值，属于中档题． 把要求的式子变形为，利用基本不等式即可得到最小值． 【解答】 解：正数 满足， ， ． 当且仅当，即时等号成立．  的最小值为． 故答案为：． 【变式1】若，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】 解：由题意得， 当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：． 【变式2】（多选）已知实数满足，且，则的值可以为(    ) A. B. C. D. 【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查基本不等式，属于中档题． 利用“”的代换变形后，再利用基本不等式求出最小值，排除项，验证项可得． 【解答】 解：令， 由题意，且， 得，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 由，解得，此时，故 A正确； 由，故 CD错误； 项，由方程组，又， 解得，故 B正确． 故选：． 【变式3】若实数，，满足，以下选项中正确的有(    ) A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】CD  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题． 直接利用均值不等式判断；根据“”的代换的方法判断；整理为，利用“”的代换的方法判断；对作平方处理，结合均值不等式判断． 【解答】 解：实数，，满足， ， 整理得，当且仅当，即时取等号，故选项A错误； ， 当且仅当，即时取等号，故选项B错误； ，， ， 当且仅当时取等号，故选项C正确； ， ， ，当且仅当时取等号，故选项D正确． 故选CD． 题型五：利用基本不等式求分式型最值 例1.已知，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 对原式进行化简，利用基本不等式求最值即可，注意等号取得的条件． 【解答】 解：，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为． 故选A． 例2.已知，则函数有(    ) A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于中档题． 先把化成，再结合基本不等式求和的最大值，过程中要注意的取值范围． 【解答】 解：因为． 因为，所以，． 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以，则函数有最大值． 故选：． 【变式1】若对任意恒成立，则的取值范围为_________。 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．属基础题．根据，代入中求得的最大值为，进而的范围可得． 【解答】 解：， 当且仅当时取等号， ， 即的最大值为． 故答案为． 【变式2】已知，则的最小值为_________． 【答案】   【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，由得，，利用基本不等式求最值即可，注意等号成立的条件，属于基础题． 【解答】 解：由得， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为． 【变式3】函数的最小值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题． 将函数配凑整理为，利用基本不等式可求得结果． 【解答】 解： ， ，， ， 当且仅当 ，即时取等号， ． 故答案为：． 题型六：利用基本不等式证明不等式 例1.若正数满足． （1）求的最大值； （2）求证：． 【解析】 本题考查利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力． （1） 将等式两边平方，结合基本不等式，即可得到所求最大值； （2） 根据题意可得 ，三个式子相加即可证得结论． 【答案】 Ⅰ解：，，， 当且仅当时，取 综上所述，的最大值是：； Ⅱ证明：，，， ， 三个式子相加得， 当且仅当时，取．   【变式1】设． 证明：； 证明：． 【解析】本题主要考查了基本不等式的应用把展开化简，利用基本不等式即可得证；结合已知条件，利用两数和的立方公式展开，再用基本不等式即可得证． 【答案】 解：证明：因为，，． ． 且当且仅当时取等号， 故． 所以 证明： 当且仅当时取等号， 又，故．   【变式2】已知，，均为正数，且，证明： ； 若，则． 【解析】本题考查了利用综合法证明不等式，考查基本不等式的应用，属于中档题． 将展开，结合已知条件，利用基本不等式求解即可； 由，将，化简可得，再利用基本不等式求解即可． 【答案】 证明：因为 ， 当且仅当时取等号，所以， 又因为，，均为正数，所以； 因为，由条件可得，即， 所以 ， 当且仅当时取等号，此时，解得， 把和，代入，求得， 所以当且仅当时，取得等号．  【变式3】设，，且求证： ； 与不可能同时成立． 【解析】 本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和反证法证明，考查推理能力，属于基础题． 由已知等式可得，再由基本不等式即可得证； 运用反证法证明，结合不等式的性质，即可得到矛盾，进而得到证明． 【答案】 证明：由，得， 由基本不等式及，有， 即，当且仅当时取等号． 假设与同时成立，则， 即：， 由知，因此，即， 而，因此， 因此矛盾， 因此假设不成立，原结论成立．  【变式4】选用恰当的证明方法，证明下列不等式． 已知均为正数，且，求证：； 已知，求证：． 【解析】 本题主要考查基本不等式的证明，利用作差法比较大小，属于中档题． 利用的妙用，结合基本不等式证明即可； 利用作差法证明即可． 【答案】 证明：因为， 所以， 又因为，所以， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以． 证明： ， 因为，所以，所以， 所以，即．   题型七：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题 例1.已知，，若不等式恒成立，则的最大值等于(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式研究恒成立问题，属中档题． 先把不等式变形为恒成立，然后求出的最值即可． 【解答】 解：因为，， 所以， 所以要使恒成立， 只需恒成立， 而， 当且仅当时，等号成立，所以 例2.若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式解决存在性或恒成立问题，属于中档题． 利用基本不等式得到，由不等式有解，得，即可求出的取值范围． 【解答】 解：由两个正实数，满足，得 ， 则， 当且仅当时等号成立， 因为不等式有解，故， 解得或，则实数的取值范围是． 故选D． 【变式1】.已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为 ． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式解决存在性或恒成立问题，属于中档题． 由基本不等式求出的最小值即可． 【解答】 解： ， 当且仅当， 即，时，等号成立， 因不等式恒成立， 只需，因此， 故实数的最大值为． 故选：． 【变式2】.已知正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查恒成立问题，考查利用基本不等式求最值，属于较难题． 利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为对任意实数恒成立，再利用配方法求出的最大值得答案． 【解答】 解：，，且， ． 当且仅当，即，时，等号成立，则． 若不等式对任意实数恒成立， 则，即对任意实数恒成立， ， ． 实数的取值范围是． 故选：． 【变式3】.若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式解决存在性或恒成立问题，不含参的一元二次不等式，属于较难题． 首先将不等式恒成立转化为求的最小值，利用“”的变换，展开后利用基本不等求最小值． 【解答】 解：因为能成立， 所以， 又因为， 所以， 所以 ， 当且仅当， 即时等号成立， 所以，即， 解得或． 故实数的取值范围是． 故选：． 【变式4】若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是(    ) A. ，或 B. C. ，或 D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式解决存在性或恒成立问题，解不含参的一元二次不等式，属于基础题． 由，利用基本不等式可求其最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求得答案． 【解答】 解：正实数，满足， ， 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ， 解得或， 故选：． 【变式5】若存在正实数，满足于，且使不等式有解，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式解决存在性问题，属于中档题． 利用乘“”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可． 【解答】 解：因为，且， 所以． 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得或， 所以的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$