24.4 弧长和扇形面积（新课预习.培优卷）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

24.4 弧长和扇形面积 一、选择题（共10小题） 1．（2025•武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，2．若AB＝6，CD，则⊙O的半径是（　　） A． B． C． D．5 2．（2025•大同模拟）如图，分别以点O1，O2为圆心，O1O2的长为半径作圆，设两圆的一个交点为点P．若O1O2＝3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•临平区二模）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O与BC，AC交于点D，E，连结BE，DE．若∠CED＝45°，AB＝8，则阴影部分的面积为（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 4．（2025•新乡模拟）如图，已知A，B，C为⊙O上的三点，且AB＝AC，BC＝4，∠A＝30°．P是上一动点（不与点A，B重合），连接CP交弦AB于点D．当△BCD为等腰三角形时，的长为（　　） A． B． C．或 D．或 5．（2025•凤阳县三模）如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，弦，则劣弧CD的长为（　　） A． B．π C．2π D．4π 6．（2025•永川区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，以O为圆心，BO长为半径画弧，分别与该菱形四边相交，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8π B．83π C．3π D．16﹣3π 7．（2025春•宝山区校级期末）一个圆柱体侧面展开是一个正方形，那么圆柱的高与底面直径的比是（　　） A．2π：1 B．1：1 C．1：2π D．π：1 8．（2025春•海阳市期末）一个圆被分成三个扇形，其中两个扇形的圆心角度数分别是90°和120°，则第三个扇形占整个圆面积的（　　） A． B． C． D．无法确定 9．（2025春•闵行区期末）如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是120°，则该圆锥的侧面积是底面积的多少倍？（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2025春•长宁区期末）如果扇形的半径不变，圆心角扩大到原来的2倍，那么扇形的弧长（　　） A．不变 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的一半 D．扩大为原来的2倍 二、填空题（共10小题） 11．（2025•定西一模）鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图，是一个半径为3cm的半圆形的鸳鸯玉石，AB是半圆O的直径，C，D是弧上两点，∠ADC＝130°．张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的面积是　 　 ． 12．（2025•印江县三模）某环保机构计划为社区沙坑制作防尘罩，沙坑中的沙子自然堆积成一个圆锥形，经测量底面半径为4米，垂直高度为3米．现需用防尘布完全覆盖沙堆的侧面以防止扬尘，则所需防尘布的最小面积为　 　 （结果保留π）． 13．（2025•东莞市校级二模）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 14．（2025春•高州市月考）若一个扇形的圆心角为90°，半径是4，则它的弧长为　 　 ． 15．（2025春•青浦区校级期末）在手工课上，小明用半径6cm，圆心角120°的扇形纸板制作圆锥形的生日帽．不考虑接缝的情况下，这个生日帽的底面半径为 　 　 cm． 16．（2025春•道里区校级月考）把一个底面直径是4厘米圆柱体的侧面展开后，正好得到一个正方形，圆柱体的高是 　 　 厘米． 17．（2025春•锦江区校级月考）如图，已知点A，B，C依次在⊙O上，∠C＝40°，OA＝4，则的长为 　 　 ． 18．（2025•东莞市校级二模）已知扇形的半径为9cm，弧长为6πcm，则此扇形的面积是　 　 ． 19．（2025春•海安市校级月考）已知圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图面积为12πcm2，则该圆锥的母线长为　 　 cm． 20．（2025•东海县模拟）如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为120°的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料40π厘米，则此圆弧所在圆的半径为　 　 厘米． 三、解答题（共6小题） 21．（2025春•虹口区校级月考）如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米） 22．（2025春•宝山区校级期末）如图，圆心重合的两圆半径分别为4，2，∠AOB＝120°，求阴影部分图形的周长（结果保留π）． 23．（2025春•闵行区校级期末）学生活动节乐乐使用塑料制作了一个水火箭模型（如图），它的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知圆柱的底面积为3.14dm2，母线AD＝6dm，圆锥的高SO＝2dm，母线SD＝2.24dm． （1）制作一个这样的模型（接缝忽略不计）至少需要多少塑料（模型的底部是封闭的，π取3.14，结果精确到0.1dm2）？ （2）模型的最大注水量大约是多少（π取3.14，结果精确到0.1dm3）？ 24．（2025春•金山区期末）一个烧杯的底面直径为12厘米，高为25厘米，烧杯中原有15厘米深的水．将一个底面半径为3厘米的圆锥形金属零件完全浸没在水中后，水面上升至16厘米（水未溢出）．这个圆锥形金属零件的高是多少厘米？ 25．（2025春•嘉定区期末）如图，一把展开的扇子的圆心角是135°，扇子的骨柄长是30cm，扇面宽度20cm．求这把扇子完全展开后扇面所占的面积（π取3.14）． 26．（2025春•黄浦区期末）如图，一个立体图形是从高为20cm，底面直径为20cm的圆柱中挖掉一个圆锥得到的，圆锥的底面积就是圆柱的上底面，圆锥的母线为15cm，求该立体图形的表面积．（结果保留π） 答案与解析 一、选择题（共10小题） 1．【答案】A 【分析】根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可． 【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB，垂足为F，交⊙O于点E，连接OA，AE，则，AF＝BFAB＝3， ∵2， ∴， ∴AE＝CD， 在Rt△AEF中，AE，AF＝3， ∴EF2， 设半径为R， 在Rt△AOF中，OA＝R，OF＝R﹣2，AF＝3，由勾股定理得， OA2＝OF2+AF2， 即R2＝（R﹣2）2+32， 解得R． 故选：A． 2．【答案】A 【分析】如图所示，连接PO1，PO2，过点P作PA⊥O1O2交于点A，得到PO1＝PO2＝O1O2＝3，证明出△PO1O2是等边三角形，求出∠PO1O2＝∠O1PO2＝60°，解直角三角形求出AP，然后根据阴影部分的面积代数求解即可． 【解答】解：如图所示，连接PO1，PO2，过点P作PA⊥O1O2交于点A， 根据题意得，PO1＝PO2＝O1O2＝3， ∴△PO1O2是等边三角形， ∴， ∴S阴影 ． 故选：A． 3．【答案】C 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠BEC＝90°，点E是AC的中点，从而得出OE是△ABC的中位线，于是OE∥BC，阴影部分的面积转化为扇形AOD的面积，进而求解． 【解答】连接OE、OD，如图： ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEC＝90°， ∵BA＝BC， ∴AE＝CE， 即点E是AC的中点， 由条件可知OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AB， ∴S△BOD＝S△BED， ∴S阴影＝S扇形BOD， ∵∠BEC＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∵∠CED＝45°， ∴∠ABD＝45°， ∴∠BOD＝90°， ∴， ∴S阴影＝4π． 故选：C． 4．【答案】C 【分析】先求得圆的半径，再根据△BCD为等腰三角形时，分三种情况讨论：当BD＝BC＝4时，通过圆心角与圆周角关系及弧长公式可求得BP的长为；当CD＝BC＝4时，同理可求得BP的长为．进而可得答案． 【解答】解：连接OB，OC，OP， 由条件可知△BOC是等边三角形， ∴OB＝BC＝4， ∵AB＝AC，∠A＝30°， ∴， 当△BCD为等腰三角形时，有三种情况： 当BD＝BC＝4时，， ∴∠BOP＝2∠BCP＝105°， ∴的长为； 当CD＝BC＝4时，∠BDC＝∠ABC＝75°，则∠BCP＝180°﹣2∠ABC＝30°， ∴∠BOP＝2∠BCP＝60°， ∴的长为； 当CD＝BD＝4时，∠DBC＝∠DCB＝75°，此时点D与点A重合，不符合题意； 综上，的长为或， 故选：C． 5．【答案】C 【分析】连接OC，OD，根据勾股定理逆定理证明∠COD＝90°，再利用弧长公式计算即可． 【解答】解：连接OC，OD， ∵OC＝OD＝4，CD＝4， ∴OC2+OD2＝CD2， ∴∠COD＝90°， ∴劣弧CD的长为2π． 故选：C． 6．【答案】B 【分析】根据菱形的性质和特殊角的三角形函数值求出AC、BD的长，再由菱形和圆的面积公式求出菱形ABCD的面积和圆O的面积，根据阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣圆O的面积计算公式即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABO∠ABC＝30°， ∵BO＝2， ∴AO＝BO•tan∠ABO＝22， ∴AC＝2AO＝4， ∵BD＝2BO＝4， ∴S菱形ABCDAC•BD4×48， ∵S⊙O＝（2）2π＝3π， ∴S阴影＝S菱形ABCD﹣S⊙O＝83π． 故选：B． 7．【答案】D 【分析】设这个圆柱的底面直径为d，根据圆柱的侧面展开图是正方形可知圆柱的底面周长等于高，再根据比的意义求解即可． 【解答】解：设这个圆柱的底面直径为d，则这个圆柱的底面周长为πd， ∵圆柱的侧面展开图是正方形， ∴圆柱的高为πd， ∴πd：d＝π：1， 故选：D． 8．【答案】B 【分析】计算出第三个扇形的圆心角，与360°的比值即为第三个扇形占整个圆面积的百分比． 【解答】解：360°﹣90°﹣120°＝150°， ， 故选：B． 9．【答案】B 【分析】设母线长为l，底面圆半径为r，根据扇形面积计算公式可求出圆锥侧面积，再根据圆锥底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长求出l与r的关系，进而求出底面积即可得到答案． 【解答】解：设母线长为l，底面圆半径为r， 则圆锥的侧面积为πl2， ∵2πr， ∴rl， ∴底面积为πr2πl2， ∴该圆锥的侧面积是底面积的3倍． 故选：B． 10．【答案】D 【分析】根据弧长公式可得弧长，当圆心角扩大为原来的2倍，则弧长扩大为原来的2倍，即可求解． 【解答】解：由弧长公式可知： 如果扇形的半径不变，当圆心角扩大为原来的2倍，则弧长为， ∴扇形的弧长扩大为原来的2倍， 故选：D． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】． 【分析】利用圆内接四边形的性质可得∠B，进而由圆周角定理可得∠AOC，利用扇形面积公式计算即可求解． 【解答】解：连接BC，如图所示： 由圆内接四边形的性质可得，∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°， ∴∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°， ∴这块扇形玉石的面积， 故答案为：． 12．【答案】20π平方米． 【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【解答】解：圆锥的母线长为5（米）， 所以所需防尘布的最小面积为π×4×5＝20π（平方米）． 故答案为：20π平方米． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】连接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可． 【解答】解：连接OE，OC，BC， 由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°， ∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°， ∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°， ∴∠BOE＝2∠BCE＝30°， ∴∠EOC＝90°， 即△EOC为等腰直角三角形， ∵CE＝4， ∴， ∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC， 故答案为：2π﹣4． 14．【答案】2π． 【分析】根据弧长公式计算即可． 【解答】解：它的弧长为2π． 故答案为：2π． 15．【答案】2． 【分析】根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长构建方程求解． 【解答】解：设生日帽的底面半径为r cm． 则有2πr， 解得r＝2． 故答案为：2． 16．【答案】12.56． 【分析】圆柱的高等于圆柱底面圆的周长． 【解答】解：圆柱的高＝2×3.14×2＝12.56（厘米）． 故答案为：12.56． 17．【答案】． 【分析】由圆周角定理求出∠AOB的度数，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：∵∠C＝40°， ∴∠AOB＝2∠C＝80°， ∵OA＝4， ∴2π×4． 故答案为：． 18．【答案】27πcm2． 【分析】根据扇形的面积计算即可得到答案． 【解答】解：根据扇形的面积计算公式可得： S扇形LR27π（cm2）， 故答案为：27πcm2． 19．【答案】6． 【分析】设圆锥的母线长为R cm，根据扇形面积公式计算得到答案． 【解答】解：设圆锥的母线长为R cm， 由题意得：2π×2×R＝12π， 解得：R＝6， 故答案为：6． 20．【答案】见试题解答内容 【分析】利用弧长的计算公式即可求解． 【解答】解：设此圆弧所在圆的半径为R厘米， 由弧长公式得：40π， 解得：R＝60， 即此圆弧所在圆的半径为60厘米． 故答案为：60． 三、解答题（共6小题） 21．【答案】见试题解答内容 【分析】阴影部分的面积＝半径为6厘米的圆的面积﹣左下角空白部分的面积；其中左下角空白部分的面积＝长方形的面积﹣半径为4厘米的圆的面积；根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可． 【解答】解：左下角空白部分的面积：（平方厘米） 阴影部分的面积：（平方厘米）． 22．【答案】8π+4． 【分析】由圆周长的计算公式，即可计算． 【解答】解：， 2×π×22×π×4（4﹣2）×2 ππ+4 ＝8π+4． ∴阴影部分的周长是8π+4． 23．【答案】（1）47.9dm2； （2）20.9dm3． 【分析】（1）求出圆柱的侧面积与圆锥的侧面积即可得出答案； （2）求出圆柱的体积与圆锥的体积和即可． 【解答】解：（1）设圆柱的底面半径为r dm， ∴3.14＝3.14r2， ∴r＝1（dm）， ∴圆锥侧面积＝πrl ＝3.14×1×2.24 ＝7.0336 ≈7.03（dm2）， 圆柱侧面积＝2πr1 ＝2×3.14×1×6 ＝37.68（dm2）， ∴7.03+37.68+3.14＝47.85≈47.9（dm2）， 答：制作一个这样的模型（接缝忽略不计）至少需要47.9dm2塑料； （2）3.14×63.14×2 ＝18.84+2.09 ＝20.93 ≈20.9（dm3）， 答：模型的最大注水量大约是20.9dm3． 24．【答案】这个圆锥形金属零件的高是12厘米． 【分析】根据题意可知：圆柱形容器内放入圆锥后，上升部分水的等于这个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出这个圆锥形金属零件的体积，再根据圆锥的体积公式：，得出，代入数据，即可求解． 【解答】解：根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出这个圆锥形金属零件的体积，再根据圆锥的体积公式：可得： 厘米， 答：这个圆锥形金属零件的高是12厘米． 25．【答案】这把扇子完全展开后扇面所占的面积为942cm2． 【分析】根据题意，用大扇形的面积减去小扇形的面积即可解决问题． 【解答】解：由题知， 大扇形的面积为：（cm2）， 小扇形的面积为：（cm2）， 所以扇面的面积为：1059.75﹣117.75＝942（cm2）． 答：这把扇子完全展开后扇面所占的面积为942cm2． 26．【答案】650πcm2． 【分析】根据扇形面积公式求出圆锥的侧面展开图扇形的面积，再求出圆锥的底面圆的面积、圆柱的侧面积，计算即可． 【解答】解：圆锥的侧面展开图扇形的面积为：20π×15＝150π（cm2）， 圆锥的底面圆的面积为：π×（）2＝100π（cm2）， 圆柱的侧面积为：π×20×20＝400π（cm2）， ∴立体图形的表面积为：150π+100π+400π＝650π（cm2）， 答：立体图形的表面积为650πcm2． 第7页（共19页） 学科网（北京）股份有限公司 $$