24.3 正多边形和圆（新课预习.培优卷）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

24.3 正多边形和圆 一、选择题（共10小题） 1．（2025•蓬江区校级三模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的面积为12π，则正六边形的边长为（　　） A． B．3 C．2 D． 2．（2025•庐阳区校级二模）如图，在正六边形ABCDEF中，CF＝4，则AB与CF之间的距离为（　　） A．2 B． C． D． 3．（2025•阳谷县二模）正多边形的一部分如图所示，若∠ACB＝18°，则该正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2025•庐阳区校级三模）如图，在正六边形ABCDEF中，P，Q分别是边AB，BC的中点，连接PQ，则的值为（　　） A． B． C．1 D． 5．（2025春•寒亭区期末）如图，正五边形ABCDE的对角线AD与CE相交于点O，则∠COD的度数为（　　） A．36° B．60° C．72° D．75° 6．（2025•和平区校级模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的面积为（　　） A． B． C． D．18 7．（2025•全椒县二模）如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则∠CAD的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 8．（2025•利通区校级二模）如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AC的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为π，则正六边形的边长为（　　） A．2 B． C． D． 9．（2025•雁塔区校级模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E是弧CD的中点，连接DE，AE，交CD于点F，则∠AFD的度数为（　　） A．45° B．60° C．67.5° D．112.5° 10．（2025•泗水县二模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为劣弧上一点，则∠AFB的度数是（　　） A．20° B．24° C．32° D．36° 二、填空题（共10小题） 11．（2025•浦东新区校级三模）边长为2的正六边形的边心距为　 　 ． 12．（2025•翁牛特旗模拟）已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为　 　 ． 13．（2025•格尔木市校级模拟）如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AF，CF，得到一个等腰△ACF，则∠AFC的度数为 　 　 ． 14．（2025•朝阳区校级二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为8，则这个正六边形的边心距OM的长为　 　 ． 15．（2025•石家庄二模）如图，已知正八边形ABCDEFGH，连接AC，AE，CE，HF，点O是△FGH的外心，点I是△ACE的内心，若AC＝2，则线段OI的长等于　 　 ． 16．（2025•内丘县模拟）如图，小正六边形的6个顶点都在⊙O及大正六边形的边上，大正六边形的6条边都和⊙O相切，点A是大正六边形的一个顶点，线段OA与小正六边形的边交于点B，则 　 　 ． 17．（2025•祁阳市模拟）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，直线HG与⊙O相切于点B，则∠CBG＝　 　 °． 18．（2025•临渭区模拟）如图，BE为正六边形ABCDEF的一条对角线，过点F作FH⊥BE于点H，若正六边形的边长为2，则FH的长为　 　 ． 19．（2025春•普陀区月考）内角为150°的正多边形的边数是　 　 ． 20．（2025•雷州市三模）如图，在⊙O的圆内接正五边形ABCDE中，过点D作DF∥OA交AE于点F，则∠EDF的度数为 　 　 ． 三、解答题（共6小题） 21．（2025春•祁东县期末）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍还多180°． （1）求这个多边形的边数； （2）若这个多边形是正多边形，则该正多边形一个内角的度数是多少？ 22．（2023秋•尼木县校级期末）如图，⊙O的半径为，⊙O的内接一个正多边形，边心距为1，求它的中心角、边长、面积． 23．（2024秋•临沭县月考）已知，一个正多边形的每个内角都比相邻外角的3倍还多20°，求这个正多边形的边数． 24．（2024秋•淮安区月考）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OB＝4，OH⊥BC，垂足为H，求这个正六边形的周长和面积． 25．（2024秋•大丰区期中）正六边形ABCDEF的边长为4，求对角线AC的长和正六边形的面积． 26．（2023秋•文水县月考）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径r＝4，求边心距OM的长． 答案与解析 一、选择题（共10小题） 1．【答案】D 【分析】连接OB、OC，根据圆的面积公式求出圆的半径，根据正六边形的性质求出∠BOC，根据等边三角形的性质解答即可． 【解答】解：如图，连接OB、OC， ∵⊙O的面积为12π， ∴⊙O的半径为2， ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴∠BOC60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC为等边三角形， ∴BC＝OB＝2， 故选：D． 2．【答案】C 【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】解：由正六边形的对称性可知，CF所在的直线是它的对称轴，取CF的中点O，则点O是正六边形的中心，连接OA，OB， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOF60°，AB＝BC＝AF，OA＝OB， ∴△AOB是正三角形， ∴∠ABO＝∠BOC＝60°， ∴AB∥CF，且ABCF＝2， ∴AB与CF之间的距离为OA， 故选：C． 3．【答案】D 【分析】根据圆周角定理求出中心角∠AOB＝36°，再根据正多边形中心角的计算方法求出n的值即可． 【解答】解：如图，连接OA，OB， ∵若∠ACB＝18°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝36°，即36°， ∴n＝10， 经检验，n＝10是原方程的解， 即这个正多边形是正十边形， 故选：D． 4．【答案】A 【分析】连接AC，过点B作BH⊥AC，设正六边形的边长为a，求出，由等腰三角形的性质得到，由P，Q分别是边AB，BC的中点得到，即可得到答案． 【解答】解：如图，连接AC，过点B作BH⊥AC，设正六边形的边长为a， 由题意可得： BC＝AB＝a， ∴，，， 在正六边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．【答案】C 【分析】根据正多边形的各边都相等，各角都相等得出AE＝DE＝CD，∠AED＝∠EDC＝108°，再根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出∠EAD＝∠EDA＝∠DEC＝∠DCE＝36°，在△COD中根据三角形内角和定理即可求出∠COD的度数． 【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形， ∴AE＝DE＝CD，∠AED＝∠EDC108°， ∴∠EAD＝∠EDA＝∠DEC＝∠DCE36°， ∴∠CDO＝∠EDC﹣∠EDA＝108°﹣36°＝72°， ∴∠COD＝180°﹣∠CDO﹣∠DCE＝180°﹣72°﹣36°＝72°， 故选：C． 6．【答案】C 【分析】连接OB，OC，由正多边形的性质得△OBC是等边三角形，求出三角形的面积，即可求解． 【解答】解：连接OB，OC， 由条件可知OB＝OC， ， ∴△OBC是等边三角形， ∴2πOB＝6π， 解得：OB＝3， ∴， ∴正六边形的面积为： ； 故选：C． 7．【答案】B 【分析】根据正六边形、正方形的性质以及正三角形，等腰直角三角形的性质进行计算即可． 【解答】解：∵点O是正六边形的中心， ∴△AOC是正三角形， ∴∠OAC＝60°， 又∵点O是正方形的中心， ∴△AOD是等腰直角三角形， ∴∠OAD＝45°， ∴∠CAD＝∠OAC﹣∠OAD＝60°﹣45°＝15°． 故选：B． 8．【答案】D 【分析】设正六边形ABCDEF的边长为x，则AB＝BC＝x，∠ABC＝∠BAF＝120°，进而求出∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH＝CH，，在Rt△ABH中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可． 【解答】解：以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AC的长为半径画弧，设正六边形ABCDEF的边长为x， ∴AB＝BC＝x，， ∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°， ∴， 过B作BH⊥AC于H， ∴AH＝CH，， 在Rt△ABH中，， ∴， 同理可证，∠EAF＝30°， ∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°， ∵的长为， ∴， 解得， 正六边形的边长为． 故选：D． 9．【答案】C 【分析】连接OA、OD、OE、OC，由正方形ABCD内接于⊙O，得∠AOD＝∠COD＝90°，由，得∠COE＝∠DOE∠COD＝45°，所以∠CDE∠COE＝22.5°，而∠AED∠AOD＝45°，求得∠AFD＝∠AED+∠CDE＝67.5°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OA、OD、OE、OC， ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠AOD＝∠COD360°＝90°， ∵点E是的中点， ∴， ∴∠COE＝∠DOE∠COD＝45°， ∴∠CDE∠COE＝22.5°， ∵∠AED∠AOD＝45°， ∴∠AFD＝∠AED+∠CDE＝67.5°， 故选：C． 10．【答案】D 【分析】连接OA，OB．求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：连接OA，OB， 由题意可得：ABCDE是正五边形， ∴， 则∠AFB的度数为： ． 故选：D． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】见试题解答内容 【分析】连接OA、OB，根据正六边形的性质求出∠AOB，得出等边三角形OAB，求出OA、AM的长，根据勾股定理求出即可． 【解答】解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF， ∵正六边形ABCDEF， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠AOF， ∴∠AOB＝360°÷6＝60°，OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∵OM⊥AB， ∴AM＝BM＝1， 在△OAM中，由勾股定理得：OM． 故答案为：． 12．【答案】见试题解答内容 【分析】作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB＝90°，OD＝1，由等边三角形的性质得出BD＝CD，∠OBD∠ABC＝30°，得出OA＝OB＝2OD，求出AD、BC，△ABC的面积BC•AD，即可得出结果． 【解答】解：如图所示： 作AD⊥BC与D，连接OB， 则AD经过圆心O，∠ODB＝90°，OD＝1， ∵△ABC是等边三角形， ∴BD＝CD，∠OBD∠ABC＝30°， ∴OA＝OB＝2OD＝2， ∴AD＝3，BD， ∴AB2， ∴BC＝2， ∴△ABC的面积BC•AD23＝3； 故答案为：3． 13．【答案】45°． 【分析】根据正八边形ABCDEFGH作出它的外接圆，先求出圆心角∠AOC的度数，即可求出∠AFC的度数． 【解答】解：如图，作出正八边形ABCDEFGH的外接圆O，连接OA、OC， ∵八边形ABCDEFGH是正八边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH＝AH， ∴， ∴每条弧所对的圆心角的度数为：360°÷8＝45°， ∴弧AC所对的圆心角∠AOC＝45°×2＝90°， ∵∠AFC所对的弧是弧AC， ∴∠AFC， 故答案为：45°． 14．【答案】4． 【分析】连接OB、OC，因为正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为8，所以OB＝OC＝8，∠BOC＝60°，则△BOC是等边三角形，所以BC＝OC＝8，由OM⊥BC于点M，得∠OMC＝90°，BM＝CM＝4，求得OM4，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OB、OC， ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为8， ∴OB＝OC＝8，∠BOC360°＝60°， ∴△BOC是等边三角形， ∴BC＝OC＝8， ∴OM⊥BC于点M， ∴∠OMC＝90°，BM＝CMBC＝4， ∴OM4， 故答案为：4． 15．【答案】2． 【分析】根据正八边形的性质，三角形外接圆、内切圆的的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】解：如图，过点C作CO⊥AE于点O，此时点O是△FGH的外心，也是正八边形的中心，连接AC， ∵八边形ABCDEFGH是正八边形， ∴∠B＝∠D＝180135°，AB＝BC＝CD＝DE， ∴△ABC≌△EDC（SAS）， ∴AC＝EC， ∴∠DCE＝∠ACB22.5°， ∴∠ACE＝135°﹣22.5°﹣22.5°＝90°， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴△ACE的内心I一定在CO上， 过点I作IM⊥AC，IN⊥CE，则IO＝IN＝IM， 在Rt△ACE中，AC＝CE＝2， ∴OA＝OC＝OEAC， 设IO＝r，则CIr， ∵， 即 ， 解得r＝2， 经检验r＝2 是原方程的解， 所以IO＝2． 16．【答案】． 【分析】设C、D是小正六边形的两个顶点，连接OC、OD，由点A是正六边形的顶点，求得∠CAD＝120°，由切线的性质得AD⊥OD，AC＝AD，∠OAD＝∠OAC∠CAD＝60°，则∠ADO＝90°，AO⊥CD，所以∠DBO＝90°，∠AOD＝30°，由cos30°，求得OAOD，OBOD，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，连接OC、OD， ∵点A是正六边形的顶点， ∴∠CAD（6﹣2）×180°＝120°， ∵AC、AD分别与⊙O相切于点C、D， ∴AD⊥OD，AC＝AD，∠OAD＝∠OAC∠CAD＝60°， ∴∠ADO＝90°，AO⊥CD， ∴∠DBO＝90°，∠AOD＝90°﹣∠OAD＝30°， ∵cos30°， ∴OAOD，OBOD， ∴， 故答案为：． 17．【答案】36°． 【分析】连接OB，OC，多边形是正五边形，可求出∠COB的度数，再根据三角形内角和即可求出∠OCB的度数，利用切线的性质求出∠CBG即可，作出适当的辅助线是解答此题的关键． 【解答】解：连接OB，OC， ∵， ∵OC＝OB， ∴， ∵直线HG与⊙O相切于点B， ∴∠OBG＝90°， ∴∠CBG＝90°﹣54°＝36°． 故答案为：36°． 18．【答案】． 【分析】根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠DEF120°， 由于BE是正六边形的对角线，由对称性可知， ∠FEH∠DEF＝60°， 在Rt△FEH中，∠FEH＝60°，EF＝2， ∴FHEF． 故答案为：． 19．【答案】12． 【分析】先根据内角求出外角，再根据正多边形的边数等于外角和除以外角度数即可求解． 【解答】解：∵正多边形的内角为150°， ∴一个外角为：180°﹣150°＝30°， ∴正多边形的边数为：． 故答案为：12． 20．【答案】18°． 【分析】连接OE，OF，根据圆内接正五边形ABCDE，得到，DE＝AE＝AB，则，得到∠AOE＝∠AOB，根据等腰三角形得到，再由DF∥OA得到∠OAE＝∠EFD＝54°，最后根据三角形内角和求解即可． 【解答】解：在⊙O的圆内接正五边形ABCDE中，DF∥OA交AE于点F，连接OE，OF， ∴，DE＝AE＝AB， ∴， ∴∠AOE＝∠AOB， ∵OA＝OE＝OB， ∴，， ∴∠OAE＝∠OAB＝∠OEA＝∠OBA， ∴， ∵DF∥OA， ∴∠OAE＝∠EFD＝54°， ∴∠EDF＝180°﹣∠EFD﹣∠DEF＝180°﹣108°﹣54°＝18°， 故答案为：18°． 三、解答题（共6小题） 21．【答案】（1）9； （2）140°． 【分析】（1）根据多边形的内角和定理、外角和定理列出（n﹣2）×180°＝360°×3+180°，即可求出多边形的边数； （2）根据正多边形的每个内角都相等以及正多边形的内角和定理即可求出该正多边形一个内角的度数． 【解答】解：（1）设这个多边形的边数是n， 由题意得（n﹣2）×180°＝360°×3+180°， 解得n＝9， 答：这个多边形的边数是9； （2）正九边形的每一个内角为， 答：该正多边形一个内角的度数是140°． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】连接OB，根据勾股定理求出AC的长，故可得出∠AOC＝∠OAC＝45°，再根据OA＝OB，OC⊥AB得出AB＝2AC＝2，∠AOB＝2∠OAC＝2×45°＝90°，由此可知这个内接正多边形是正方形，故可得出结论． 【解答】解：连接OB， ∵在Rt△AOC中，AC1， ∴AC＝OC， ∴∠AOC＝∠OAC＝45°， ∵OA＝OB，OC⊥AB， ∴AB＝2AC＝2，∠AOB＝2∠OAC＝2×45°＝90°， ∴这个内接正多边形是正方形． ∴面积为22＝4 ∴中心角为90°，边长为2，面积为4． 23．【答案】9． 【分析】根据正多边形的每个内角都相等，每个外角都相等，设这个正多边形的每个外角为x°，则这个正多边形的每个内角为3x°+20°，根据正多边形一个内角的度数和外角的度数互补建立方程求出一个外角的度数，再根据外角和为360度求出边数即可． 【解答】解：设这个正多边形的每个外角为x°，则这个正多边形的每个内角为3x°+20°， 根据题意得：x°+3x°+20°＝180°， ∴x＝40， ∴这个正多边形的边数＝360°÷40°＝9． 24．【答案】24，24． 【分析】连接OB，OC，由正六边形的性质可知△OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理可得出OH的长，进而得出结论． 【解答】解：连接OB，OC，如图： ∴OB＝OC， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴BC＝OB＝4， ∴正六边形的周长＝6×4＝24． ∵OH⊥BC， ∴BHBC＝2， ∴OH2， ∴正六边形的面积＝6S△AOB＝64×224． 25．【答案】4；24． 【分析】连接AD，AC，根据正六边形的性质推出∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，再利用直角三角形的性质求得AC，由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的周长和面积． 【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠BCD＝120°， ∴∠ACB＝∠BAC， ∴∠ACD＝90°， ∵∠CDA＝∠EDA＝60°， ∴∠CAD＝30°， ∴AD＝2CD＝8， ∴ACCD＝4； 如图，设圆心为O， 连接AO，BO，作OG⊥AB于点G， ∵AB＝OA＝4； ∴正六边形的周长＝6AB＝24； ∴OG＝OA•sin60°4＝2， ∴正六边形的面积＝6424． 26．【答案】2． 【分析】连接OB、OC，根据正六边形ABCDEF内接于⊙O，可推出三角形OBC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质结合勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，连接OB、OC， ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴∠BOC， 又∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝4， 又∵OM⊥BC， ∴BM＝CM， 在Rt△OBM中，由勾股定理得， OM． 第6页（共23页） 学科网（北京）股份有限公司 $$