24.1 圆的有关性质（新课预习.培优卷）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

24.1 圆的有关性质 一、选择题（共10小题） 1．（2025•碧江区 校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，连接AC，AD，若∠BAC＝35°，则∠D的度数为（　　） A．35° B．55° C．60° D．70° 2．（2025•东莞市校级三模）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠OCB＝40°，则∠ADB的度数为（　　） A．20° B．25° C．40° D．50° 3．（2025春•农安县校级月考）如图，∠A是⊙O的圆周角．∠A＝40°，则∠OBC大小是（　　） A．50° B．60° C．40° D．80° 4．（2025•静宁县校级三模）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD＝60°，则∠CAD的度数为（　　） A．15° B．30° C．60° D．90° 5．（2025•白山模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，CA＝CD．若∠ACD＝30°，则∠BEC的度数是（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 6．（2025•万山区三模）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，连接BC、BD和CD．若∠BCD＝36°，则∠ABD的大小为（　　） A．36° B．44° C．52° D．54° 7．（2025•峨眉山市模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若AO＝AB＝BC，则∠D的度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 8．（2025•朝阳区校级三模）如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为点D．若∠A＝35°，则∠C的大小是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 9．（2025•岳麓区校级模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”其意思为：现有圆柱状的木材，埋在墙壁里．不知道其宽度的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度为一寸的时候；锯开的宽度为一尺（一尺等于十寸），问木材的直径是多少？如图所示，用数学语言可表示为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为线段OC上的一点E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”那么直径CD的长为（　　） A．5 B．12 C．13 D．26 10．（2025•福州模拟）如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，若∠B＝25°，则∠AOB的度数为（　　） A．25° B．40° C．50° D．65° 二、填空题（共10小题） 11．（2025•永寿县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，连接AC，若，CD＝4，则∠A的度数为 　 　 ． 12．（2025•兴庆区校级四模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ADC＝116°，点E在⊙O上，则∠BEC＝　 　 ． 13．（2025•永寿县校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝110°，∠CAB＝50°，则∠ABO的度数为　 　 ． 14．（2025•郫都区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径．C是弧AB的三等分点，D是弧AB的中点，且位于直径AB的两侧，连接OC，BC，AD，CD，则∠OCD的度数为 　 　 ． 15．（2025•金台区模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD，若∠CBD＝25°，则∠BCD＝　 　 °． 16．（2025•盐城校级一模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BOD＝110°，则∠BCD的度数是　 　 ． 17．（2025•海淀区校级模拟）如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝65°，则∠BOC的度数为　 　 ． 18．（2025•顺义区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上．若∠ACE＝25°，则∠BDE＝　 　 ． 19．（2025•深圳校级模拟）如图，这是用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器，其底部是圆球形．球的半径为10cm，瓶内液体的最大深度CD＝4cm，则截面圆中弦AB的长为 　 　 cm． 20．（2025•东莞市三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B＝82°，则∠D＝ 　 　 °． 三、解答题（共6小题） 21．（2025•洪山区模拟）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD． （1）求证：AD＝AN； （2）若AE，ON＝1，求⊙O的半径． 22．（2025•东莞市校级二模）如图，点A，B，C在⊙O上，CO⊥AB于点G，交⊙O于点E，连接AC．BD⊥AC于点D，BD与CE相交于点F． （1）求证：BF＝BE； （2）若AB＝8，BF＝5，求⊙O的半径． 23．（2025•芜湖模拟）如图，⊙O的直径AB平分非直径弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接CF交AB于点G，连接BC． （1）求证：GC＝BC； （2）若AG＝4，BG＝6，求CF的长． 24．（2025春•东城区校级期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为 　 　 米． 25．（2025•项城市三模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于F，连接BC，以BC，CD为邻边作平行四边形BCDE，连接CE，AB与CE的交点为G，BF＝6，CD＝4． （1）求⊙O的半径； （2）求CE的长． 26．（2025•兴庆区校级一模）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE． （1）求证：． （2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长． 答案与解析 一、选择题（共10小题） 1．【答案】B 【分析】如图所示，连接BC，首先由直径得到∠ACB＝90°，然后求出∠ABC＝90°﹣∠BAC＝55°，最后根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【解答】解：如图所示，连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝35°（已知）， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°， ∵， ∴∠D＝∠ABC＝55°， 即∠D的度数为55°． 故选：B． 2．【答案】B 【分析】连接OB，由垂径定理可得∠AOB＝50°，再利用圆周角定理即可得到答案． 【解答】解：连接OB， ∵OA⊥BC，∠OCB＝40°， ∴∠AOC＝90°﹣40°＝50°， ∴∠AOB＝50°， ∴∠ADB∠AOB50°＝25°， 即∠ADB的度数为25°， 故选：B． 3．【答案】A 【分析】由圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝80°，由等腰三角形的性质推出∠OBC＝∠OCB＝50°． 【解答】解：∵∠A＝40°， ∴∠BOC＝2∠A＝80°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB（180°﹣80°）＝50°． 故选：A． 4．【答案】B 【分析】由圆周角定理可得：∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ABD＝60°，则答案可解． 【解答】解：∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ACD＝∠ABD，∠ABD＝60°， ∴∠ACD＝60°， ∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°， 故选：B． 5．【答案】C 【分析】连接BC，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠CAD＝∠CDA＝75°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ADC＝∠ABC＝75°，然后根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ACB＝90°，从而可得∠CAB＝15°，最后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答． 【解答】解：连接BC， ∵CA＝CD，∠ACD＝30°， ∴∠CAD＝∠CDA75°， ∴∠ADC＝∠ABC＝75°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝15°， ∵∠BEC是△ACE的一个外角， ∴∠BEC＝∠CAB+∠ACD＝45°， 故选：C． 6．【答案】D 【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，然后利用同弧所对的圆周角相等可得∠BCD＝∠BAD＝36°，再利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答． 【解答】解：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BCD＝36°， ∴∠BCD＝∠BAD＝36°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝54°， 故选：D． 7．【答案】D 【分析】先证明△OAB和△OBC都是等边三角形，求得∠AOB＝∠BCO＝60°，再利用圆周角定理求解即可． 【解答】解：连接OB， ∵AO＝AB＝BC，OA＝OB＝OC， ∴OA＝AB＝OB，BC＝OB＝OC， ∴△OAB和△OBC都是等边三角形， ∴∠AOB＝∠BCO＝60°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°， ∴60°， 故选：D． 8．【答案】B 【分析】由圆周角定理得到∠A∠BOC，求出∠BOC＝70°，由直角三角形的性质求出∠C＝90°﹣70°＝20°． 【解答】解：∵∠A∠BOC，∠A＝35°， ∴∠BOC＝70°， ∵AC⊥OB， ∴∠CDO＝90°， ∴∠C＝90°﹣70°＝20°． 故选：B． 9．【答案】D 【分析】根据垂径定理和勾股定理求解． 【解答】解：连接OA，如图所示， 设直径CD的长为2x寸，则半径OC＝x寸， ∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸， ∴AE＝BEAB10＝5寸， 连接OA，则OA＝x寸， 根据勾股定理得，OA2＝AE2+OE2， x2＝52+（x﹣1）2， 解得x＝13， CD＝2x＝2×13＝26（寸）． 故选：D． 10．【答案】C 【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝25°，然后利用圆周角定理进行计算，即可解答． 【解答】解：∵OC＝OB， ∴∠B＝∠C＝25°， ∴∠AOB＝2∠C＝50°， 故选：C． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】22.5°． 【分析】连接OC，由垂径定理得到CECD＝2，由勾股定理求出OE＝2，判定△OCE是等腰直角三角形，得到∠COE＝45°，由圆周角定理得到∠A∠COE＝22.5°． 【解答】解：连接OC， ∵直径AB⊥CD， ∴CECD4＝2， ∵， ∴OCAB＝2， ∴OE2， ∴CE＝OE， ∴△OCE是等腰直角三角形， ∴∠COE＝45°， ∴∠A∠COE＝22.5°． 故答案为：22.5°． 12．【答案】26°． 【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠BAC，再根据圆周角定理求出∠BEC． 【解答】解：如图，连接AC， ∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝116°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣116°＝64°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣64°＝26°， 由圆周角定理得：∠BEC＝∠BAC＝26°， 故答案为：26°． 13．【答案】30°． 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据圆周角定理求出∠BOC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠OBC，进而求出∠ABO． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠D+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠D＝180°﹣110°＝70°， 由圆周角定理得：∠BOC＝2∠CAB＝2×50°＝100°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB（180°﹣100°）＝40°， ∴∠ABO＝∠ABC﹣∠OBC＝70°﹣40°＝30°， 故答案为：30°． 14．【答案】15°． 【分析】由圆周角定理得到∠ABC60°＝30°，∠BCD90°＝45°，即可求出∠OCD的度数． 【解答】解：∵C是弧AB的三等分点， ∴的度数180°＝60°， ∴∠ABC60°＝30°， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠ABC＝30°， ∵D是弧AB的中点， ∴的度数180°＝90°， ∴∠BCD90°＝45°， ∴∠OCD＝∠BCD﹣∠BCO＝15°． 故答案为：15°． 15．【答案】105． 【分析】根据圆周角定理求出∠COD，根据题意求出∠BOC，进而求出∠BOD，根据圆周角定理求出∠A，再根据圆内接四边形的性质求出∠BCD． 【解答】解：由圆周角定理得：∠COD＝2∠CBD＝2×25°＝50°， ∴∠BOC＝2∠COD＝2×50°＝100°， ∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝50°+100°＝150°， 由圆周角定理得：∠A∠BOD＝75°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣75°＝105°， 故答案为：105． 16．【答案】125°． 【分析】根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案． 【解答】解：由圆周角定理得，∠A∠BOD110°＝55°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣55°＝125°， 故答案为：125°． 17．【答案】100°． 【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝65°，然后利用三角形内角和定理可得：∠BAC＝50°，再利用圆周角定理进行计算，即可解答． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝100°， 故答案为：100°． 18．【答案】65°． 【分析】先根据AB是⊙O的直径得出∠ADB＝90°，再由∠ACE＝25°得出∠ADE＝25°，据此可得出结论． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ACE＝25°， ∴∠ADE＝25°， ∴∠BDE＝90°﹣25°＝65°． 故答案为：65°． 19．【答案】16． 【分析】根据勾股定理、垂径定理进行计算即可． 【解答】解：球的半径为10cm，瓶内液体的最大深度CD＝4cm， ∴OA＝10cm，则OC＝10﹣4＝6（cm）， 由勾股定理得，AC8（cm）， ∴AB＝2AC＝16cm， 故答案为：16． 20．【答案】98． 【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠B＝82°， ∴∠D＝180°﹣82°＝98°， 故答案为：98． 三、解答题（共6小题） 21．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠BAD＝∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE＝∠CNM，故可得出∠BCD＝∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论； （2）先根据AE的长，设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1，连接AO，则AO＝OD＝2x﹣1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论； 【解答】（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD＝∠BCD， ∵AE⊥CD，AM⊥BC， ∴∠AMC＝∠AEN＝90°， ∵∠ANE＝∠CNM， ∴∠BCD＝∠BAM， ∴∠BAM＝BAD， 在△ANE与△ADE中， ， ∴△ANE≌△ADE， ∴AD＝AN； （2）∵AE＝2，AE⊥CD， 又∵ON＝1， ∴设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x， r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1 连接AO，则AO＝OD＝2x﹣1， ∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1， ∴（2）2+（x﹣1）2＝（2x﹣1）2， 解得x＝2， ∴r＝2x﹣1＝3； 22．【答案】． 【分析】（1）由余角的性质推出∠CFD＝∠A，由对顶角的性质得到∠BFG＝∠CFD，因此∠BFG＝∠A，由圆周角定理得到∠E＝∠A，推出∠E＝∠BFG，即可证明BF＝BE； （2）连接OB，由垂径定理得到BGAB＝4，由勾股定理求出EG3，设圆的半径是r，由勾股定理得到r2＝（r﹣3）2+42，求出r，即可得到圆的半径长． 【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，CG⊥AB， ∴∠CDF＝∠AGC＝90°， ∴∠CFD+∠C＝∠A+∠C＝90°， ∴∠CFD＝∠A， ∵∠BFG＝∠CFD， ∴∠BFG＝∠A， ∵∠E＝∠A， ∴∠E＝∠BFG， ∴BF＝BE； （2）解：连接OB， ∵直径CE⊥AB， ∴BGAB8＝4， ∵BE＝BF＝5， ∴EG3， 设圆的半径是r， ∴OB＝r，OG＝r﹣3， ∵OB2＝OG2+BG2， ∴r2＝（r﹣3）2+42， ∴r． ∴⊙O的半径长是． 23．【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【分析】（1）根据D是弧BF的中点得∠DCF＝∠DCB，再根据垂径定理得AB⊥CD，由此可依据“ASA”判定△CEG和△CEB全等，然后根据全等三角形的判定即可得出结论 （2）连接OC，依题意得AB＝10，则OA＝OB＝OC＝5，进而得OG＝1，再根据GC＝BC，AB⊥CD得BE＝GEBG＝3，则OE＝2，由勾股定理可求出CE，则CG，然后根据相交弦定理得CF•FG＝AG•BG，则FG，由此即可得出CF的长． 【解答】（1）证明：∵D是弧BF的中点， ∴弧FD＝弧BD， ∴∠DCF＝∠DCB， 即∠ECG＝∠ECB， ∵⊙O的直径AB平分非直径弦CD于点E， 根据垂径定理得：AB⊥CD， ∴∠CEG＝∠CEB＝90°， 在△CEG和△CEB中， ， ∴△CEG≌△CEB（ASA）， ∴GC＝BC； （2）解：连接OC，如图所示： ∵AG＝4，BG＝6， ∴AB＝AG+BG＝10， ∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O非直径的弦， ∴OA＝OB＝OCAB＝5， ∴OG＝BG﹣OB＝6﹣5＝1， ∵GC＝BC，AB⊥CD， ∴BE＝GEBG＝3， ∴OE＝GE﹣OG＝3﹣1＝2， 在Rt△COE中，由勾股定理得：CE， 在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG√， 由相交弦定理得：CG•FG＝AG•BG， ∴FG， ∴CF＝CG+FG． 24．【答案】（1）5米；（2）2． 【分析】（1）作OD⊥AB于点E，根据垂径定理得AE＝3米，设圆的半径为r米，根据勾股定理得AE2+OE2＝OA2，即可求出答案； （2）当AB＝8米时，AE＝4米，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）如图，作OD⊥AB于点E，交圆于点D， 则AEAB＝3米，DE＝1米， 设圆的半径为r米， 在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2， ∴32+（r﹣1）2＝r2， 解得r＝5， ∴该圆的半径为5米； （2）如图，当AB＝8米时，AEAB＝4米， 在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2， ∴42+OE2＝52， ∴OE＝3米， ∴EF＝5﹣3＝2（米）， 故答案为：2． 25．【答案】（1）5； （2）6． 【分析】（1）设圆的半径是r，由垂径定理求出DFCD＝2，由勾股定理得到r2＝（6﹣r）2，求出r＝5，即可得到⊙O的半径长； （2）由平行四边形的性质推出BE＝CD＝4，BE∥CD，由垂径定理得到CF：BE＝1：2，判定△CFG∽△EBG，推出FG：BG＝CF：BE＝CG：EG＝1：2，得到FGBF＝2，CE＝3CG，由勾股定理求出CG＝2，得到CE＝6． 【解答】解：（1）设圆的半径是r， ∴OF＝BF﹣OB﹣6﹣r， ∵直径BA⊥CD， ∴DFCD42， ∵OD2＝OF2+FD2， ∴r2＝（6﹣r）2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径是5； （2）∵四边形BCDE是平行四边形， ∴BE＝CD＝4，BE∥CD， ∵直径AB⊥CD， ∴CFCD， ∴CF：BE＝1：2， ∵BE∥CF， ∴△CFG∽△EBG， ∴FG：BG＝CF：BE＝CG：EG＝1：2， ∴FGBF6＝2，CE＝3CG， ∴BG＝6﹣2＝4， ∴CG2， ∴CE＝3CG＝6． 26．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到CD＝BD，根据弦、弧、圆心角的关系定理证明结论； （2）连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F，根据勾股定理求出AD，根据三角形中位线定理求出OF，根据三角形的面积公式求出BH，根据垂径定理解答． 【解答】（1）证明方法一：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴CD＝BD， ∵A、E、D、B四点共圆， ∴∠CED＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴∠ACB＝∠CED， ∴DE＝DC， ∴DE＝BD， ∴； 方法二：如图②，连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴∠EAD＝∠BAD， ∴； （2）解：连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F， BDBC＝3，AB＝5， 又勾股定理得，AD4， ∵AD⊥BC，OF⊥BD， ∴OF∥AD，又OA＝OB， ∴OFAD＝2， 则BH3×2， 解得，BH， ∵， ∴BE＝2BH． 第1页（共25页） 学科网（北京）股份有限公司 $$