22.3 实际问题与二次函数（新课预习.培优卷）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

22.3 实际问题与二次函数 一、选择题（共8小题） 1．（2024秋•和平区校级期末）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝1m，则门高OE为（　　） A．9m B．m C．8.7m D．9.3m 2．（2024秋•淮阴区期中）一小球从20米的高处落下，小球离地面的高度h（m）和下落时间t（s）大致有如下关系：h＝﹣5t2+20，那么小球经过（　　）秒落到地面． A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 3．（2024秋•襄都区校级期末）把一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝﹣x2+50x B．y＝x2﹣50x C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣2x2+25 4．（2024秋•渑池县期末）一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元． A．60 B．65 C．70 D．75 5．（2024秋•平城区月考）某人乘雪橇沿如图所示的斜坡滑下，滑下的距离y（m）与时间t（s）之间的函数表达式为y＝10t+t2，已知滑到坡底的时间为2s，则此人下滑的高度为（　　） A．24m B．12m C．12m D．6m 6．（2024秋•西湖区期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜1）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝x2 B．y＝1﹣x2 C．y＝x2﹣1 D．y＝1﹣2x 7．（2024秋•海珠区校级期中）如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP＝3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 8．（2024秋•高邑县期末）如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（　　） A．2m B．3m C．4m D．5m 二、填空题（共8小题） 9．（2025•罗湖区校级模拟）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝30t﹣6t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 　 　 s． 10．（2024秋•枣强县期末）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 　 　 ． 11．（2024秋•肇源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为 　 　 cm2． 12．（2024春•滕州市校级期中）有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm和6 cm，现在长宽上分别剪去宽为x cm（x＜6）的纸条（如图），则剩余部分（图中阴影部分）的面积y＝　 　 ，其中　 　 是自变量，　 　 是因变量． 13．（2024•沂南县二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出 　 　 秒时，两个小球在空中的高度相同． 14．（2024秋•宣化区期末）如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2m时，测得拱桥内水面宽为12m．当水面升高1m后，拱桥内水面的宽度为 　 　 m． 15．（2024秋•伊州区校级期中）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为　 　 ． 16．（2024秋•陇西县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积为最大时，运动时间t为　 　 s． 三、解答题（共6小题） 17．（2025•威远县校级模拟）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． （1）设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． （2）该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 18．（2025•威远县校级一模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB＝x米． （1）求花园的面积S与x的函数关系式． （2）在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内．（含边界，不考虑树的粗细） ①若花园的面积为192m2，求x的值． ②求花园面积S的最大值． 19．（2024秋•安定区期末）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m＝162﹣3x． （1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式； （2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为什么最合适？最大销售利润是多少？ 20．（2024秋•宁津县期末）如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园的一面靠墙MN，墙MN可利用的长度为39m．（篱笆的宽度忽略不计） （1）菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能，说明理由． （2）因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值． 21．（2024秋•鲤城区校级月考）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图1，在一个废弃高楼距地面15m的点A和19.2m的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流从点C射出恰好到达点A处，且水流的最大高度为20m，水流的最高点到高楼的水平距离为5m，建立如图1所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二次函数关系． （1）求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； （2）待A处火熄灭后，消防员前进3m到点D（水流从点D射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点B处，并说明理由； （3）若消防员从点C前进t米到点T（水流从点T射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点A处，直接写出的t值，t＝ 　 　 ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 22．（2024秋•西湖区校级月考）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝a（x﹣4）2+h．已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m． （1）当a时．①求h的值； ②通过计算判断此球能否过网． （2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值． 答案与解析 一、选择题（共8小题） 1．【答案】B 【分析】根据所建坐标系，易求A、B、D的坐标，因它们都在抛物线上，所以代入解析式得方程组求解，再求顶点坐标得高度OE长． 【解答】解：由题意得，抛物线过点A（﹣4，0）、B（4，0）、D（﹣3，4）， 设y＝a（x+4）（x﹣4）， 把D（﹣3，4）代入y＝a（x+4）（x﹣4）， 得4＝a（﹣3+4）（﹣3﹣4）， 解得a， ∴y（x+4）（x﹣4）． 令x＝0得y，即（0，）， ∴OE ∴门的高度约为m． 故选：B． 2．【答案】B 【分析】小球落到地面，即h的值为0，代入函数解析式求得t的值即可解决问题． 【解答】解：把h＝0代入函数解析式h＝﹣5t2+20得， ﹣5t2+20＝0， 解得t1＝2，t2＝﹣2（不合题意，舍去）； 故2秒钟后小球落到地面． 故选：B． 3．【答案】C 【分析】由长方形的面积＝长×宽可求解． 【解答】解：设这个长方形的一边长为xcm，则另一边长为（25﹣x）cm， 所以面积y＝x（25﹣x）＝﹣x2+25x． 故选：C． 4．【答案】C 【分析】根据题意，可以先设出每顶头盔降价x元，利润为w元，然后根据题意可以得到w与x的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到降价多少元时，w取得最大值，从而可以得到该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价． 【解答】解：每顶头盔降价x元，利润为w元， 由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000， ∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70， 即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元， 故选：C． 5．【答案】B 【分析】根据题中自变量的值先求出函数值s，然后根据直角三角形的性质进行解答即可． 【解答】解：把t＝2代入s＝10t+t2中得： s＝24， ∵滑下的距离s是直角三角形中30°角的斜边，下降的高度是直角三角形中30°角的对边． ∴下滑的高度为：24÷2＝12（米）． 故选：B． 6．【答案】B 【分析】根据剩下部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可． 【解答】解：设剩下部分的面积为y，则：y＝1﹣x2（0＜x＜1）， 故选：B． 7．【答案】D 【分析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令y＝0，即可求解． 【解答】解：如图建立坐标系． 抛物线的顶点坐标是（1，4）， 设抛物线的解析式是y＝a（x﹣1）2+4， 把（0，3）代入解析式得：a+4＝3， 解得：a＝﹣1． 则抛物线的解析式是：y＝﹣（x﹣1）2+4． 当y＝0时，﹣（x﹣1）2+4＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）． 则水池的最小半径是3米． 故选：D． 8．【答案】B 【分析】由题意可以知道M（1，），A（0，10）用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y＝0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2，由题意，得 10＝a， a． ∴抛物线的解析式为：y（x﹣1）2． 当y＝0时， 0（x﹣1）2， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝3． OB＝3m． 故选：B． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】5． 【分析】根据关系式，令h＝0即可求得t的值为飞行的时间． 【解答】解：依题意，令h＝0得：0＝30t﹣6t2， 即t（30﹣6t）＝0， 解得：t＝0（舍去）或t＝5， 即小球从飞出到落地所用的时间为5s． 故答案为：5． 10．【答案】见试题解答内容 【分析】以抛物线的顶点为原点，y轴为对称轴建立平面直角坐标系，根据抛物线的顶点为原点设出抛物线解析式，易得抛物线上点Q的坐标，代入抛物线解析式可得a的值，进而可得抛物线的解析式，取y＝4，求得x的两个值，取较大的x的值减去较小的x的值，结果即为汤面的直径PQ长． 【解答】解：以抛物线的顶点为原点，y轴为对称轴建立平面直角坐标系． 设抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0）， 由题意得：抛物线上点C的坐标为（6，8）， ∴8＝a×62， 解得：a， ∴抛物线的解析式为：yx2， 当y＝4时，4x2， 解得：x1＝3，x2＝﹣3， ∴汤面的直径PQ长为3（﹣3）＝6（cm）， 故答案为：6． 11．【答案】见试题解答内容 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC＝6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ＝t2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm， ∴AC6cm． 设运动时间为t s（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2t cm， ∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQAC•BCPC•CQ6×8（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15， ∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15cm2． 故答案为15． 12．【答案】见试题解答内容 【分析】由于剩余部分是一个长方形，根据长方形的面积公式即可得到y与x的函数关系式，然后即可确定自变量和因变量． 【解答】解：∵剩余部分是一个长方形， 而长方形面积＝长×宽， ∴y＝（6﹣x）（8﹣x）＝x2﹣14x+48， y因x的变化而变化， ∴x是自变量，y是因变量． 故答案为：x2﹣14x+48，x，y． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到第二个小球抛出多少秒时，两个小球在空中的高度相同． 【解答】解：∵h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45， ∴该函数的对称轴是直线t＝3， ∵抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球，两个小球在空中的高度相同， ∴第二个小球抛出3﹣0.5＝2.5秒时，两个小球在空中的高度相同， 故答案为：2.5． 14．【答案】． 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点， 可得：A（﹣6，0），B（6，0），C（0，2）， 设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣6，0）， 得：， 所以抛物线解析式为， 当水面升高1m后，令y＝1， 则， 解得：， ∴拱桥内水面的宽度为， 故答案为：． 15．【答案】见试题解答内容 【分析】由原价为a可以得到第一次降价后的价格是a×（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a（1﹣x）（1﹣x），由此即可得到函数关系式． 【解答】解：∵原价为a， ∴第一次降价后的价格是a×（1﹣x）， 第二次降价为a×（1﹣x）×（1﹣x）＝a（1﹣x）2 ∴y＝a（1﹣x）2． 故填空答案：y＝a（1﹣x）2． 16．【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法．先用含t的代数式表示出PB、QB再根据三角形的面积公式计算． 【解答】解：根据题意得三角形面积为： S（8﹣2t）t＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4， ∵由以上函数图象知 ∴当t＝2时，△PBQ的面积最大为4cm2． 三、解答题（共6小题） 17．【答案】（1）y＝﹣10x2+60x+400； （2）应将价格定为24元/千克． 【分析】（1）利用利润＝（售价﹣成本）×销售量可得出结论； （2）令y＝480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可． 【解答】解：（1）根据题意可知降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克， ∴y＝（40+10x）（28﹣18﹣x）， 整理得y＝﹣10x2+60x+400； （2）令y＝480，代入函数得﹣10x2+60x+400＝480， 解方程，得x1＝4，x2＝2， ∵要尽可能地清空库存， ∴x＝4， 此时荔枝定价为28﹣4＝24（元/千克）． 答：应将价格定为24元/千克． 18．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据长方形的面积公式可得S关于x的函数解析式； （2）①根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案后取舍即可； ②由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值． 【解答】解：（1）∵AB＝x m， ∴BC＝（28﹣x）m． 则S＝AB•BC＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x． 即S＝﹣x2+28x（0＜x＜28）． （2）①∵AB＝x m，则BC＝（28﹣x）m， ∴x（28﹣x）＝192， 解得：x1＝12，x2＝16（不合题意，舍去）， 答：x的值为12m； ②∵AB＝x m， ∴BC＝28﹣x， ∴S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196， ∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m， ∵28﹣x≥15， ∴x≤13， ∴当x＝13时，S取到最大值为：S＝﹣（13﹣14）2+196＝195， 答：花园面积S的最大值为195平方米． 19．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润＝（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围． （2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m（x﹣30）， 又∵m＝162﹣3x， ∴y＝（x﹣30）（162﹣3x）， 即y＝﹣3x2+252x﹣4860， ∵x﹣30≥0， ∴x≥30． 又∵m≥0， ∴162﹣3x≥0，即x≤54． ∴30≤x≤54． ∴所求关系式为y＝﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）． （2）由（1）得y＝﹣3x2+252x﹣4860＝﹣3（x﹣42）2+432， 所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元． 20．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设AB的长为x m，则BC的长为（60﹣3x）m，根据矩形的面积＝252列出方程，解方程取符合题意的值即可； （2）设AB的长为x m，菜园面积为y m2，根据矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值． 【解答】解：（1）设AB的长为x m，则BC的长为（60﹣3x）m， 根据题意得：x（60﹣3x）＝252， 解得x＝6或x＝14， 当x＝6时，BC＝60﹣18＝42＞39，舍去； 当x＝14时，BC＝60﹣42＝18＜39，满足题意， ∴花园面积可能是252m2，此时边AB长为14m； （2）设AB的长为x m，菜园面积为y m2， 由题意得：y＝x（60﹣3x）＝﹣3x2+60x＝﹣3（x﹣10）2+300， ∵﹣3＜0， ∴当x＜10时，y随x的增大而增大， ∵x≤8， ∴当x＝8时，y最大，最大值为288． 答：该菜园面积的最大值为288平方米． 21．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据函数项点坐标（5，20）且过A（0，15），可设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+20，再用待定系数法解答即可求解； （2）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令x＝0，求出y的值即可判断求解； （3）利用平移求出消防员到点T处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点A（0，15），即可求解． 【解答】解：（1）水流从点C射出恰好到达点A处，且水流的最大高度为20m，水流的最高点到高楼的水平距离为5m， ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为（5，20）， ∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+20，将点A（0，15）代入得： 15＝a（0﹣5）2+20， 解得， ∴， 故消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； （2）水流到达点B处；理由如下： 消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移3个单位得到， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式： ， 令x＝0，得， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线经过（0，19.2）， ∴水流到达点B处； （3）消防员从点C前进tm到点T（水流从T点射出）处，可以看成把第一次抛物线向左平移t个单位得到， ∴消防员到点T处时水流所在抛物线的解析式为， ∵水流未达到最高点且恰好到达点A处， ∴过点A（0，15），且对称轴x＝5﹣t＜0， ∴t＞5， 将点A（0，15）代入得：， 解得t＝10或t＝0＜5（不合题意，舍去）， ∴t＝10， 故答案为：10． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①将点P（0，1）代入y（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x＝5时，y的值，与1.55比较即可得出判断； （2）将（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h． 【解答】解：（1）①当a时，y（x﹣4）2+h， 将点P（0，1）代入，得：16+h＝1， 解得：h； ②把x＝5代入y（x﹣4）2，得：y（5﹣4）21.625， ∵1.625＞1.55， ∴此球能过网； （2）把（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h，得： 解得， ∴a． 第1页（共19页） 学科网（北京）股份有限公司 $$