22.2 二次函数与一元二次方程（新课预习.培优卷）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

22.2 二次函数与一元二次方程 一、选择题（共10小题） 1．（2025•中牟县模拟）若方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝1 2．（2025春•万州区月考）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（　　） A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n 3．（2024秋•武都区期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 4．（2024秋•天河区校级月考）抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，当y＞0时，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣3 B．x＞1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1 5．（2024秋•文昌校级期末）根据下面表格中的取值，方程x2+x﹣3＝0的一个根的近似值（精确到0.1）是（　　） x 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+x﹣3 ﹣0.36 ﹣0.01 0.36 0.75 A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 6．（2024秋•夷陵区月考）若对任意实数x，二次函数y＝（a+1）x2的值总是非负数，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣1 B．a≤﹣1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1 7．（2024秋•拱墅区校级月考）抛物线y＝x2﹣3x+5与坐标轴的交点个数为（　　） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 8．（2024秋•江岸区校级月考）已知函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值为（　　） A．﹣1或2 B．0或2 C．、0或2 D．﹣1、或2 9．（2024秋•游仙区期末）已知抛物线y＝﹣x2+2mx+m﹣5与x轴的两个交点在（1，0）两旁，则关于x的方程x2+（m+1）x+m2+5＝0的根的情况是（　　） A．有两个正数根 B．有两个负数根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 10．（2024秋•东宝区校级期中）抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）过点（3，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的解是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝﹣3，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝3 二、填空题（共10小题） 11．（2025•兴庆区校级四模）若二次函数y＝x2+2x﹣2m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为 　 　 ． 12．（2025•中宁县二模）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围　 　 ． 13．（2024秋•邗江区校级期末）二次函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是　 　 ． 14．（2024秋•白云区期中）已知抛物线y＝x2﹣5x+k与x轴只有一个交点，则k＝ 　 　 ． 15．（2024秋•鼓楼区校级月考）已知抛物线y＝3x2﹣mx+2与x轴有且只有一个交点，则m＝ 　 　 ． 16．（2024秋•北辰区期中）已知二次函数y＝x2+3x+m（m为常数）的图象与x轴有两个交点，其中一个交点为（﹣1，0），则另一个交点是 　 　 ． 17．（2023•大石桥市模拟）已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是 　 　 ． 18．（2023•沭阳县二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为4，则该方程的另一个根为　 　 ． 19．（2024秋•湖里区校级期中）已知抛物线y＝x2+2x+a与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），则此抛物线与x轴的另一个交点坐标为 　 　 ． 20．（2024秋•喀左县校级期中）抛物线与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），则AB的长为　 　 ． 三、解答题（共5小题） 21．（2025•建邺区校级四模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+3（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿y轴向下平移 　 　 个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？ 22．（2024秋•从江县校级期中）已知二次函数y＝x2+mx+m﹣2，说明：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点． 23．（2024秋•工业园区校级期中）已知二次函数y＝2x2﹣3x+m﹣2： （1）若二次函数图象与x轴有交点，求m的取值范围． （2）当二次函数的图象经过点（﹣1，6）时，确定m的值，并求出此二次函数与坐标轴的交点坐标． 24．（2024秋•平谷区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3． （1）画出它的图象； （2）该二次函数图象的对称轴为 　 　 ，顶点坐标为 　 　 ； （3）当x 　 　 时，y的值随x值的增大而减小； （4）当y＞0时，x的取值范围是 　 　 ； （5）当0≤x≤4时，y的取值范围是 　 　 ． 25．（2024秋•临淄区期中）已知二次函数y＝x2+2x﹣3． （1）画出函数的图象． ①把如表补充完整： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 … ②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象． （2）根据所画的图象直接写出当y＜0时，x的取值范围． 答案与解析 一、选择题（共10小题） 1．【答案】C 【分析】先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论． 【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）． ∵此两点关于对称轴对称， ∴对称轴是直线x1． 故选：C． 2．【答案】A 【分析】设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，即函数y′向上平移1个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解． 【解答】解：设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标， 而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1， 即函数y′向上平移1个单位得到函数y， 则两个函数的图象如图所示（省略了y轴）， 从图象看，x1＜m＜n＜x2， 故选：A． 3．【答案】B 【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线与x轴的交点个数可判断方程ax2+bx+c＝0的根的情况． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点， ∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数解． 故选：B． 4．【答案】D 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）， 由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1． 故选：D． 5．【答案】C 【分析】根据函数y＝x2+x﹣3的图象与x轴的交点的横坐标就是方程x2+x﹣3＝0的根来解决此题． 【解答】解：方程x2+x﹣3＝0的一个根就是函数y＝x2+x﹣3c的图象与x轴的一个交点， 即关于函数y＝x2+x﹣3，y＝0时x的值， 由表格可得：当x的值是1.3时，函数值y与0最接近．因而方程的解是1.3． 故选：C． 6．【答案】C 【分析】要使二次函数y＝（a+1）x2的值总是非负数，必使a+1＞0，可解． 【解答】解：∵对任意实数x，二次函数y＝（a+1）x2的值总是非负数；∴a+1＞0，即a＞﹣1，即可．故选C． 7．【答案】B 【分析】只需要判断Δ与0的大小关系即可． 【解答】解：△＝（﹣3）2﹣4×5＝9﹣20＝﹣11＜0， ∴抛物线与x轴没有交点， 令x＝0代入y＝x2﹣3x+5， ∴y＝5， 即抛物线与x轴无交点，与y轴有一个交点， 故选：B． 8．【答案】C 【分析】分a﹣2＝0和a﹣2≠0两种情况解答即可求解． 【解答】解：当a﹣2＝0，即a＝2时，函数y＝3x为一次函数，其图象与坐标轴有两个公共点； 当a﹣2≠0时，分两种情况解答： ①函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象经过原点，把（0，0）代入得，b＝0， ∴a＝0， 此时函数y＝﹣2x2+x与坐标轴有两个公共点； ②函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象分别与x轴、y轴各有一个交点， 把y＝0代入y＝﹣2x2+x得，（a﹣2）x2+（a+1）x+b＝0， 则Δ＝（a+1）2﹣4（a﹣2）×b＝0， ∵a＝4b， ∴b， ∴（a+1）2﹣a（a﹣2）＝0， 解得a； 综上，a的值为2或0或． 故选：C． 9．【答案】B 【分析】由抛物线y＝﹣x2+2mx+m﹣5与x轴的两个交点在（1，0）两旁，可得出当x＝1时y＞0，解之可得出m＞2，利用根的判别式可得出关于x的方程x2+（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，设关于x的方程x2+（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根分别为x1，x2，利用根与系数的关系结合m＞2，可得出x1+x2＜0，x1•x2＞0，进而可得出关于x的方程x2+（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的负实数根． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2mx+m﹣5与x轴的两个交点在（1，0）两旁， ∴当x＝1时，y＞0， 即﹣1+2m+m﹣5＞0， ∴m＞2， ∴关于x的方程x2+（m+1）x+m2+5＝0的根的判别式Δ＝（m+1）2﹣4（m2+5）＝m2+2m+1﹣m2﹣5＝2m﹣4＞0， ∴关于x的方程x2+（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根． 设关于x的方程x2+（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根分别为x1，x2， 则x1+x2＝﹣4（m+1）＜0，x1•x2＝4（m2+5）＞0， ∴关于x的方程x2+（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的负实数根． 故选：B． 10．【答案】A 【分析】首先求出二次函数图象与x轴的另一个交点坐标，进而求出方程ax2﹣2ax+c＝0的解． 【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a， ∴二次函数的图象的对称轴方程为直线x＝1， ∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（3，0）， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴方程ax2﹣2ax+c＝0解为x1＝﹣1，x2＝3． 故选：A． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】． 【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值． 【解答】解：∵函数y＝x2+2x﹣2m的图象与x轴有且只有一个交点， ∴Δ＝22﹣4×1×（﹣2m）＝0， 解得：m． 故答案为：． 12．【答案】见试题解答内容 【分析】由于二次函数与x轴有交点，故二次函数对应的一元二次方程kx2﹣7x﹣7＝0中，△≥0，解不等式即可求出k的取值范围，由二次函数定义可知，k≠0． 【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点， ∴， ∴k且k≠0． 故答案为k且k≠0． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到Δ＝（﹣4）2﹣4k×2≥0，然后解不等式即可得到k的值． 【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4k×2≥0，解得k≤2， 又∵y＝kx2﹣4x+2是二次函数， ∴k≠0， ∴k的取值范围是k≤2且k≠0． 故答案为：k≤2且k≠0． 14．【答案】． 【分析】根据根的判别式的意义得到（﹣5）2﹣4k＝0，然后解关于k的方程即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣5x+k与x轴只有一个交点， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4k＝0， 解得k． 故答案为：． 15．【答案】． 【分析】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0；与x轴有一个交点，则Δ＝b2﹣4ac＝0；与x轴没有交点，则Δ＝b2﹣4ac＜0．据此即可求解． 【解答】解：由题意得：Δ＝（﹣m）2﹣4×3×2＝0， 解得：， 故答案为： 16．【答案】（﹣2，0）． 【分析】首先求出二次函数y＝x2+3x+m（m为常数）的图象的对称轴，然后根据图象与x轴的两个交点关于对称轴对称即可得到答案． 【解答】解：设另一个交点坐标为（a，0）， ∵y＝x2+3x+m， ∴y＝（x）2+m， ∴二次函数图象的对称轴为x， ∵， ∴a＝﹣2， ∴另一个交点是（﹣2，0）， 故答案为：（﹣2，0）． 17．【答案】见试题解答内容 【分析】关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根就是二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标． 【解答】解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣3x+m（m为常数）， ∴该抛物线的对称轴是：x． 又∵二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0）， ∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0）， ∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别是：x1＝1，x2＝2． 故答案为：x1＝1，x2＝2． 18．【答案】见试题解答内容 【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点两个点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解； 【解答】解：由题意抛物线的对称轴x＝﹣1，与x轴的交点为（4，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标（﹣6，0）， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一个根为﹣6． 故答案为﹣6 19．【答案】见试题解答内容 【分析】先把点（﹣3，0）代入抛物线y＝x2+2x+a求出a的值，再令y＝0求出x的值即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+a与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0）， ∴9﹣6+a＝0，解得a＝﹣3， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3， ∴令x2+2x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0）． 故答案为：（1，0）． 20．【答案】见试题解答内容 【分析】根据抛物线的解析式求得点A、B的坐标，然后根据点A、B的坐标来求线段AB的长度． 【解答】解：由已知抛物线解析式得到y（x﹣1）（x﹣3）．所以该抛物线与x轴交点的坐标是A（1，0），B（3，0），则AB的长为：|3﹣1|＝2． 故答案为：2． 三、解答题（共5小题） 21．【答案】（1）证明见解答； （2）3． 【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案； （2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）＝4m2﹣4m2﹣12＝﹣12＜0， ∴方程x2﹣2mx+m2+3＝0没有实数解， ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点； （2）解：∵y＝x2﹣2mx+m2+3＝（x﹣m）2+3， 把函数y＝（x﹣m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝（x﹣m）2 的图象，它的顶点坐标是（m，0）， 因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点， 故答案为：3． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】先计算判别式得到△＝（m﹣2）2+4，再根据非负数的性质得Δ＞0，然后根据抛物线与x轴的交点问题即可得到结论． 【解答】证明：△＝m2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4， ∵（m﹣2）2≥0， ∴（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0， ∴无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点． 23．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（m﹣2）≥0，然后解不等式即可； （2）先把（﹣1，6）代入y＝2x2﹣3x+m﹣2中可求得m＝3，则抛物线解析式为y＝2x2﹣3x+1，则计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，然后解方程2x2﹣3x+1＝0得抛物线与x轴的交点坐标． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（m﹣2）≥0， 解得m， 所以m的取值范围为m； （2）把（﹣1，6）代入y＝2x2﹣3x+m﹣2得2+3+m﹣2＝6， 解得m＝3， 此时抛物线解析式为y＝2x2﹣3x+1 当x＝0时，y＝2x2﹣3x+1＝1 ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）， 当y＝0时，2x2﹣3x+1＝0，解得x1，x2＝1， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（，0），（1，0）． 24．【答案】（1）图象见解答； （2）x＝1，（1，﹣4）； （3）x＞3或x＜﹣1； （4）﹣4≤y≤5． 【分析】（1）根据函数解析式求出抛物线的对称轴，顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，然后根据函数的性质用五点法作出函数图象； （2）根据函数图象即可得出结论； （3）根据函数图象即可得出结论； （4）根据函数图象即可得出结论； 【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）； 令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）； 令x＝0，则y＝﹣3， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）， 图象如图所示： （2）二次函数图象的对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）， 故答案为：x＝1，（1，﹣4）； （3）由图象得，当x＜1时，y的值随x值的增大而减小， 故答案为：＜1； （3）当y＞0时，x的取值范围是x＞3或x＜﹣1， 故答案为：x＞3或x＜﹣1； （4）当x＝0时，y＝﹣3；当x＝4时，y＝5， ∴当0≤x≤4时，y的取值范围是﹣4≤y≤5， 故答案为：﹣4≤y≤5． 25．【答案】（1）①见解析②见解析； （2）﹣3＜x＜1． 【分析】（1）将x＝1、﹣1、﹣2、﹣3分别代入二次函数y＝x2+2x﹣3即可求解， （2）由函数图象即可得出结论． 【解答】解：（1）①将x＝1、﹣1、﹣2、﹣3分别代入二次函数y＝x2+2x﹣3， 解得y＝0、﹣4、﹣3、0， 表格补充如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 画出图象如图： （2）由图象可知： 当y＜0时，则﹣3＜x＜1， 故答案为：﹣3＜x＜1． 第5页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $$