22.1 二次函数的图象和性质（新课预习.培优卷）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

22.1 二次函数的图象和性质 一、选择题（共10小题） 1．（2025春•绥化期末）顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数的图象相同的抛物线对应的解析式为（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•绥化期末）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1 C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1 3．（2025春•兰溪市期末）抛物线y＝﹣x2﹣4x+m的对称轴为（　　） A．直线x＝﹣2 B．直线x＝2 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣4 4．（2025•萧山区二模）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣t）（a≠0），且A（0，m），B（2，n）为其图象上两点，则下列说法正确的是（　　） A．若a＜0，t＜4，则m＞n B．若a＜0，t＜4，则m＜n C．若a＞0，t＞4，则m＞n D．若a＞0，t＞4，则m＜n 5．（2025•红花岗区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中b＜0，c＞0，则该函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（2025•岳麓区校级三模）已知一次函数y＝ax﹣b图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+b在平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．（2025•珠海校级三模）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2图象上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 8．（2025春•开福区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（　　） ①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④2a﹣b＞0；⑤a+c＜1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2025•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．若x＝﹣1时，函数y取最大值3，则2b+c的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．6 10．（2025春•西山区校级期末）下列抛物线中，对称轴是直线x＝﹣1的是（　　） A．y＝x2+4x B．y＝（x﹣1）2 C．y＝2x2+4x D．y＝﹣2x2+4x 二、填空题（共10小题） 11．（2025春•虹口区校级期末）直线y＝x+2与抛物线y＝x2+2x的交点坐标是　 　 ，　 　 ． 12．（2024秋•淮北期末）从抛物线y＝2x2﹣3的图象上可以看出，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是　 　 ． 13．（2024秋•洪洞县期末）顶点是（2，0），且与抛物线y＝﹣3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为　 　 ． 14．（2024秋•滑县期末）二次函数y＝﹣2x2﹣1图象的顶点坐标为 　 　 ． 15．（2025•贵州模拟）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 　 　 ． 16．（2025•越秀区校级模拟）已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 　 　 ． 17．（2025•管城区模拟）写出一个经过点（1，﹣1）的函数的表达式　 　 ． 18．（2025•浦东新区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别交于A（3，0）、B（1，0），则该抛物线的对称轴为　 　 ． 19．（2024秋•梁溪区校级月考）一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与开口方向和抛物线y＝﹣2x2相同，这个函数的解析式为　 　 ． 20．（2024秋•静安区校级期中）如果抛物线y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）的顶点在y轴上，那么该抛物线的顶点坐标为　 　 ． 三、解答题（共5小题） 21．（2025春•湘阴县月考）已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8） （1）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上？ （2）求点P（m，﹣6）在此抛物线上，求点P的坐标． 22．（2024秋•密云区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线x＝t． （1）当t＝2时， ①直接写出b与a满足的等量关系； ②若y1＝y2，则x1+x2＝ 　 　 ． （2）已知x1＝t﹣3，x2＝t+1，点C（x3，y3）在抛物线上．当3＜x3＜4时，总有y1＞y3＞y2，求t的取值范围． 23．（2024秋•北京期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … （1）求此抛物线的解析式； （2）画出函数图象，结合图象直接写出当0≤x≤4时，y的范围． 24．（2024秋•太康县期末）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）经过点A（﹣1，0），与y轴交于点B． （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标； （2）若抛物线上有一动点P（x，y），当点P到y轴的距离不大于2时，n≤y≤m，求m﹣n的值； 25．（2024秋•工业园区校级期中）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若y＜﹣4，直接写出x的取值范围． 答案与解析 一、选择题（共10小题） 1．【答案】D 【分析】依据题意，可设抛物线解析式为y＝a（x+6）2，再由条件可求得a的值，可求得答案． 【解答】解：由题意，∵顶点为（﹣6，0）， ∴可设抛物线解析式为y＝a（x+6）2， ∵开口向下，形状与函数yx2的图象相同， ∴a， ∴抛物线解析式为y（x+6）2． 故选：D． 2．【答案】C 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的抛物线解析式为y＝3（x+2）2﹣1． 故选：C． 3．【答案】A 【分析】将抛物线解析式化为顶点式，即可得到抛物线的对称轴． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣4x+m＝﹣（x+2）2+4+m， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， 故选：A． 4．【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质及其图象上点的坐标比较．关键在于利用二次函数的解析式，代入点坐标后，通过代数运算比较m和n的大小关系． 需要结合开口方向a的正负以及参数t的大小，分析不同条件下m与n的大小关系． 【解答】解：将x ＝ 0代入函数得：m＝a（0+1）（0﹣t）＝﹣at； 将x ＝ 2代入函数得：n＝a（2+1）（2﹣t）＝3a（2﹣t）． 计算m﹣n：m﹣n＝﹣at﹣3a（2﹣t）＝﹣at﹣6a+3at＝ 2at﹣6a＝2a（t﹣3）． 因此，m﹣n＝2a（t﹣3），其符号由a和t共同决定． 当a＜0时，m﹣n＝2a（t﹣3）的符号由（t﹣3）决定： 若t＜3：（t﹣3）＜0，则m﹣n＞0，即m＞n（选项A正确） 若t＞3：（t﹣3）＞0，则m﹣n＜0，．即m＜n（选项B正确） 若t＝3：m＝n，此时选项A、B均不成立． 结论：t＜4时，t可能位于3的左侧或右侧，因此选项A和B均不必然成立， 当a＞0时，m﹣n＝2a（t﹣3）的符号由（t﹣3）决定： 若t＞4：（t﹣3）＞0，则m﹣n＞0，即m＞n． 结论：选项C（m＞n）成立，选项D（m＜n）不成立． 故选：C． 5．【答案】C 【分析】依据题意，由当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c＞0，则该函数的图象与y轴交于正半轴，故排除B、D；对于A、D选项，再结合对称轴是直线x0，又b＜0，进而可以判断a＜0，进而可以得解． 【解答】解：由题意，∵当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c＞0， ∴该函数的图象与y轴交于正半轴，故排除B、D． 对于A、D选项，对称轴是直线x0， 又∵b＜0， ∴a＜0， ∴抛物线开口向下，与A选项开口向上矛盾，故A错误，而C正确． 故选：C． 6．【答案】C 【分析】根据所给一次函数的图象，得出a，b的正负，据此判断出二次函数的图象即可． 【解答】解：由一次函数的图象可知， a＞0，b＜0． 因为二次函数解析式为y＝ax2+bx+b， 所以抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴交于负半轴， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 7．【答案】A 【分析】利用二次函数的性质，可得出当x＞0时，y随x的增大而增大，再结合0＜1＜2，即可得出y1＜y2＜y3． 【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝x2， ∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴， ∴当x≥0时，y随x的增大而增大． 又∵点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2图象上，且0＜1＜2， ∴y1＜y2＜y3． 故选：A． 8．【答案】D 【分析】根据图上给的信息，结合二次函数的性质去判断对错即可． 【解答】解：①如图所示，图象开口向上， ∴a＞0， ∵图象与y轴的交点在x轴下方 ∴c＜0， ∵图象的对称轴在y轴的左边，且a＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错误； ②根据图象可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②正确； ③由图可得，当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，故③正确； ④由图可得，1， ∵a＞0， ∴2a＞b， ∴2a﹣b＞0，故④正确； ⑤当x＝1时，a+b+c＝2， ∴a+c＝2﹣b， ∵a﹣b+c＜0， ∴2﹣b﹣b＜0，解得：b＞1， ∴2﹣b＜1， ∴a+c＜1，故⑤正确； 综上所述，共有4个是正确的； 故选：D． 9．【答案】A 【分析】依据题意，由二次函数为y＝﹣x2+bx+c，又当x＝﹣1时，函数y取最大值3，可得对称轴是直线x1，且﹣1﹣b+c＝3，可得b＝﹣2，c＝2，进而代入计算即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝﹣x2+bx+c，又当x＝﹣1时，函数y取最大值3， ∴对称轴是直线x1，且﹣1﹣b+c＝3． ∴b＝﹣2，c＝2． ∴2b+c＝2×（﹣2）+2＝﹣2． 故选：A． 10．【答案】C 【分析】根据对称轴公式以及顶点坐标公式进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵a＝1，b＝4， ∴2， ∴对称轴是直线x＝﹣2， 故A不符合题意； B、对称轴是直线x＝1，故B不符合题意； C、∵a＝2，b＝4， ∴1， ∴对称轴是直线x＝﹣1， 故C符合题意； D、∵a＝﹣2，b＝4， ∴1， ∴对称轴是直线x＝1， 故D不符合题意； 故选：C． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】见试题解答内容 【分析】本题可联立两函数的解析式，所得方程组的解，即为两函数的交点坐标． 【解答】解：联立两函数的解析式有：，解方程组，得，； 则直线y＝x+2与抛物线y＝x2+2x的交点坐标是（1，3），（﹣2，0）． 12．【答案】见试题解答内容 【分析】可先求得二次函数的对称轴为x＝0，在对称轴两侧分别求其最值，可求得答案． 【解答】解： ∵y＝2x2﹣3， ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝0， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＝0时，y有最小值，最小值为﹣3， 当﹣1≤x＜0时，可知当x＝﹣1时，y有最大值，最大值为﹣1， 当0≤x≤2时，可知当x＝2时，y有最大值，最大值为5， ∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是﹣3≤y≤5， 故答案为：﹣3≤y≤5． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：由题意可得抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2． 故答案为：y＝﹣3（x﹣2）2． 14．【答案】（0，﹣1）． 【分析】根据二次函数的性质，直接写出顶点坐标即可． 【解答】解：二次函数y＝﹣2x2﹣1图象的顶点坐标为：（0，﹣1）． 故答案为：（0，﹣1）． 15．【答案】见试题解答内容 【分析】设x＝1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c）， 所以，a＞b＞d＞c． 16．【答案】． 【分析】根据题意，可以得到m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m﹣n的最大值，本题得以解决． 【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝x2+4上， ∴n＝m2+4， ∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m）2， ∴当m时，m﹣n取得最大值，m﹣n． 故答案为：． 17．【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系可知，只要二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），满足a+b+c＝﹣1的关系即可． 【解答】解：依题意有y＝﹣x2等，答案不唯一． 18．【答案】见试题解答内容 【分析】根据A（3，0）、B（1，0）两点的坐标特征，可知称轴为直线x2． 【解答】解：根据A（3，0）、B（1，0）得，对称轴为直线x2． 19．【答案】见试题解答内容 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x+h）2+k，由条件可以得出a＝﹣2，再将顶点坐标代入解析式就可以求出结论． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y＝﹣2x2相同， ∴a＝﹣2， ∴y＝﹣2（x﹣2）2+1， 故答案为：y＝﹣2（x﹣2）2+1． 20．【答案】（0，﹣1）． 【分析】抛物线y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）的顶点在y轴上，而抛物线的图形与y轴只有一个交点，故抛物线与y轴的交点也是顶点，从而得到结果． 【解答】解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）与y轴只有一个交点， ∴当x＝0时，y＝﹣1， 即抛物线y＝（k﹣1）x2+kx﹣1与y轴的交点坐标为（0，﹣1）， ∵抛物线y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）的顶点在y轴上， ∴顶点坐标为（0，﹣1）． 故答案为：（0，﹣1）． 三、解答题（共5小题） 21．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y＝ax2求出a的值，再将x＝﹣1代入抛物线的解析式，求出对应的y值即可判断； （2）将P（m，﹣6）代入抛物线的解析式，求出m的值，即可得到点P的坐标． 【解答】解：（1）将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y＝ax2， 可得4a＝﹣8，即a＝﹣2， 则y＝﹣2x2， 当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）2＝﹣2≠﹣4， 所以点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上； （2）将P（m，﹣6）代入y＝﹣2x2， 得﹣6＝﹣2m2， 解得m＝±， 则点P的坐标为（，﹣6）或（，﹣6）． 22．【答案】（1）①b＝﹣4a；②4； （2）1≤t≤2或5≤t≤6． 【分析】（1）①利用对称轴公式求得即可； ②利用二次函数的对称性即可求解； （2）由题意可知M（x1，y1）在对称轴的左侧，N（x2，y2）在对称轴的右侧，点C到对称轴的距离大于点N到对称轴的距离小于点M到对称轴的距离，据此即可得到关于t的不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：（1）①∵t2， ∴b＝﹣4a； ②∵M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点， ∴M（x1，y1），N（x2，y2）关于对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴， ∴x1+x2＝4． 故答案为：4； （2）由题意可知，M（x1，y1）在对称轴的左侧，N（x2，y2）在对称轴的右侧， ∵点C（x3，y3）在抛物线上，3＜x3＜4， ∴点C（x3，y3）关于对称轴的对称点为（2t﹣x3，y3）， ∴2t﹣4＜2t﹣x3＜2t﹣3， 当点C（x3，y3）在对称轴的左侧时， ∵当3＜x3＜4时，总有y1＞y3＞y2， ∴，解得5≤t≤6； 当点C（x3，y3）在对称轴的右侧时， ∵当3＜x3＜4时，总有y1＞y3＞y2， ∴，解得1≤t≤2； ∴t的取值范围是1≤t≤2或5≤t≤6． 23．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）﹣4≤y≤5． 【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（0，﹣3）代入求出a的值，从而得到抛物线解析式； （2）先利用描点法画出函数图象，然后根据二次函数的性质，结合函数图象写出当0≤x≤4时对应的y的范围． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把（0，﹣3）代入得﹣3a＝﹣3，解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）， 即y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图， 当0≤x≤4时，y的范围为﹣4≤y≤5． 24．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）； （2）9． 【分析】（1）直接把A点坐标代入y＝ax2﹣2ax﹣3中求出a，从而得到抛物线解析式，然后把一般式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标； （2）根据题意得到x的范围为﹣2≤x≤2，再分别计算出x＝2和x＝﹣2所对应的函数值，则根据二次函数的性质得到对应的y的范围，从而得到m、n的值，然后计算m﹣n的值． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣3得a+2a﹣3＝0， 解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3； ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）； （2）∵点P（x，y）到y轴的距离不大于2， ∴﹣2≤x≤2， ∵x＝﹣2时，y＝x2﹣2x﹣3＝5；x＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3；x＝1时，y有最小值﹣4， ∴当﹣2≤x≤2时，﹣4≤y≤5， 即n＝﹣4，m＝5， ∴m﹣n＝5﹣（﹣4）＝9． 25．【答案】（1）yx2﹣x﹣4； （2）0＜x＜2． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）在yx2﹣x﹣4中，令y＝﹣4得：﹣4x2﹣x﹣4，得x＝0或x＝2；由图可知当y＜﹣4时，x的取值范围是0＜x＜2． 【解答】解：（1）由题意设y＝a（x+2）（x﹣4）， 把C（0，﹣4）代入得﹣4＝﹣8a， ∴a， ∴y（x+2）（x﹣4）， ∴二次函数的解析式为yx2﹣x﹣4； （2）在yx2﹣x﹣4中，令y＝﹣4得：﹣4x2﹣x﹣4， 解得x＝0或x＝2； ∴当y＜﹣4时，x的取值范围是0＜x＜2． 第1页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $$