21.3 实际问题与一元二次方程（新课预习.培优卷）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

21.3 实际问题与一元二次方程 一、选择题（共8小题） 1．（2025春•岳西县月考）如图所示的是一块长方形花园，其宽（短边）为20m，现打算将花园扩建，要求长边保持不变，将短边扩大到与长边相等，使得扩建后的花园是正方形．若扩大后的花园面积比原来增加了100m2，设长方形的长边为x m，则可列方程为（　　） A．x（x﹣20）＝100 B．x（x+20）＝100 C．20x＝100 D．（x+20）（x﹣20）＝100 2．（2025春•西湖区校级月考）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件36元降到每件25元，设该商品平均每次降价的百分率为x（x＞0），则（　　） A．36（1﹣x）2＝25 B．25（1﹣x）2＝36 C．25（1+x）2＝36 D．36（1+x）2＝25 3．（2025•工农区校级模拟）2024年法国巴黎奥运会，男子篮球比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，一共进行66场比赛，则参加比赛的队伍共有（　　） A．10支 B．11支 C．12支 D．8支 4．（2025春•藤县期末）某足球训练基地组织了一次单循环的足球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛，设该基地这次有x支队伍参加了比赛，依题意可列方程为（　　） A． B． C．x（x+1）＝36 D．x（x﹣1）＝36 5．（2025•鲤城区校级模拟）某款发卡在电商平台上5月24日的销量为5000个，5月25日和5月26日的总销量是30000个．若5月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程正确的是（　　） A．5000（1+x）2＝30000 B．5000（1﹣x）2＝30000 C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000 D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000 6．（2025春•柯桥区期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一．其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”其大意为：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈＝10尺）如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（　　） A．x2+42＝（10﹣x）2 B．（10﹣x）2+42＝x2 C．x2+（10﹣x）2＝42 D．x（10﹣x）＝42 7．（2025春•淮北期末）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为a亿元，5月3日比5月2日的全国旅游收入多b亿元．若全国旅游收入这三天每日平均增长率为x，则可以列出方程（　　） A．a（1+x）2﹣a（1+x）＝b B．a（1+x）2＝b C．a（1+x）2﹣ax＝b D．a（1+x）2+a（1+x）＝b 8．（2025春•利津县期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了66次手，设到会的人数为x人，则根据题意列方程为（　　） A． B．x（x﹣1）＝66 C． D．x（x+1）＝66 二、填空题（共8小题） 9．（2024秋•沙坪坝区期末）为了一座馆，奔赴一座城．某博物馆近两年的接待量逐年递增，该博物馆2022年接待量100万人次，2024年接待量144万人次，该博物馆这两年接待量的年平均增长率是 　 　 ． 10．（2025春•苍南县期末）AI技术的应用越来越广泛，某AI应用软件2025年2月其点击率达到5.25亿次，2025年4月其点击率达到7.56亿次，设点击率从2月到4月的月平均增长率为x，则可列方程为 　 　 ． 11．（2025•永川区模拟）报告显示，2022年我国快递业务完成量为1105亿件，2024年我国快递业务完成量为1701亿件，设我国快递业务量的年平均增长率为x，根据题意，可列出方程为　 　 ． 12．（2025春•大连期末）在中考前，班级每位同学向其他同学赠送1件纪念品，结果共有互赠纪念品1260件，求该班级的学生数，设该班的学生有x人，那么可列出方程 　 　 ． 13．（2025春•岱岳区期末）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件T恤每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为 　 　 ． 14．（2025春•朝阳区校级月考）据国家统计局公布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》，我国原油产量从2021年到2023年增长了5.1%，设这两年的平均增长率为x，依题意可列方程为 　 　 ． 15．（2025春•双城区期末）一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的2倍，面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的3倍，则面积扩大为原来的n（n＞0）倍，它的边长变为原来的 　 　 倍． 16．（2025春•阿城区期末）某村的“智慧春耕”让生产更高效，使A品种玉米亩产量从两年前的1000斤增长到了今年的1210斤，则该玉米亩产量年平均增长率为 　 　 ． 三、解答题（共7小题） 17．（2025•重庆模拟）取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等． （1）每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？ （2）每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器60台．新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元，则每台B型取暖器应降价多少元？ 18．（2025春•金安区校级期末）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件． （1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？ （2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？ 19．（2025春•上城区期末）随着“博物馆热”的持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解历史文化．某博物馆，今年3月份共计接待游客10万人，5月份接待游客增加到了14.4万人． （1）求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率； （2）若6月份继续保持相同的增长率，则该博物馆6月份预计接待游客多少万人？ 20．（2025•庐阳区校级二模）某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为500kW•h，为了响应“十四五计划”国家关于生产总值能源消耗降低的目标，该企业自2022年开始进行技术改革，计划到2025年实现生产一台电冰箱的能耗不超过370kW•h的目标． （1）实际到2024年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到405kW•h，求该企业从2022年到2024年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率； （2）2025年是“十四五计划”的收官之年，按照（1）中的年平均降低率，该企业能否实现原定目标？ 21．（2025春•庐阳区校级期末）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 22．（2025春•重庆校级期末）新能源汽车通过激活产业链、技术革新、消费扩张和绿色转型，是国内大循环的核心驱动力之一，电车成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为120米，宽为80米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形ABCD停车场的长和宽分别减少相等的宽度，减少的这部分区域用于修建充电桩，已知剩余停车场的面积为4500平方米． （1）求减少的宽度是多少米？ （2）为确保安全，停车场充电桩区域须划分独立防火区，停车场物业公司准备在充电桩区域与非充电桩区域之间修建防火隔离墙．若防火隔离墙的高度为1.5米，则需要修建的防火隔离墙的面积是多少平方米？ 23．（2025春•文登区期末）某电器商场从厂家购进了A，B两种型号的洗衣机，已知一台A型洗衣机的进价比一台B型洗衣机的进价多600元，用14400元购进A型洗衣机与用10800元购进B型洗衣机的台数相同． （1）求一台A型洗衣机和一台B型洗衣机的进价各为多少元？ （2）在销售过程中，A型洗衣机因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进B型洗衣机，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当B型洗衣机的售价为2800元时，每天可售出5台，在此基础上，售价每降低100元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售B型洗衣机的利润为5400元，请问该商场应将B型洗衣机的售价定为多少元？ 答案与解析 一、选择题（共8小题） 1．【答案】A 【分析】设原来花圃长为x m，根据“扩大后的花圃变成正方形，且面积比原来增加100m2”列出一元二次方程即可． 【解答】解：设长方形的长边为x m，根据题意可得： x（x﹣20）＝100， 故选：A． 2．【答案】A 【分析】设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，根据售价由原来的每件36元降到每件25元，列出方程即可． 【解答】解：由题意，得36（1﹣x）2＝25， 故选：A． 3．【答案】C 【分析】设参加比赛的队伍共有x支，则每支队伍都要与其他（x﹣1）支队伍比赛一场，且相同两支队伍之间的比赛只算一场，据此建立方程求解即可． 【解答】解；设参加比赛的队伍共有x支， ， 解得x＝12或x＝﹣11（舍去）． 故选：C． 4．【答案】A 【分析】根据每两队之间都赛一场，设邀请x个球队参加比赛，则每一个球队都会比赛（x﹣1）场，剔除重复的一半，即可解题． 【解答】解：设应邀请x个球队参加比赛， 由题可知， 故选：A． 5．【答案】D 【分析】先利用增长率模式，同x表示出出25号和26号的销量，然后利用5月25日和5月26日的总销量是30000个列方程，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：∵5月25日和26日较前一天的增长率均为x． ∵5000（1+x）+6000（1+x）2＝30000． 故选：D． 6．【答案】A 【分析】根据勾股定理列方程即可． 【解答】解：如图所示： 由题意得：∠AOB＝90°， 设折断处离地面的高度OA是x尺， 由勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2． 故选：A． 7．【答案】A 【分析】由每日平均增长率为x，则5月2日的收入为a（1+x）亿元，5月3日的收入为a（1+x）2亿元．根据题意，5月3日比5月2日多b亿元，根据两者的差值为a（1+x）2﹣a（1+x），等于b列出方程即可． 【解答】解：每日平均增长率为x，根据两者的差值为a（1+x）2﹣a（1+x），等于b列出方程可得： a（1+x）2﹣a（1+x）＝b， 故选：A． 8．【答案】A 【分析】利用握手的总次数＝参会人数×（参会人数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得x（x﹣1）＝66． 故选：A． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】20%． 【分析】设该博物馆这两年接待量的年平均增长率是x，根据近两年的接待量逐年递增，该博物馆2022年接待量100万人次，2024年接待量144万人次，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：设该博物馆这两年接待量的年平均增长率是x， 由题意得：100（1+x）2＝144， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 即该博物馆这两年接待量的年平均增长率是20%， 故答案为：20%． 10．【答案】5.25（1+x）2＝7.56． 【分析】根据某AI应用软件2025年2月其点击率达到5.25亿次，2025年4月其点击率达到7.56亿次，列出一元二次方程即可． 【解答】解：由题意得：5.25（1+x）2＝7.56， 故答案为：5.25（1+x）2＝7.56． 11．【答案】1105（1+x）2＝1701． 【分析】根据2022年和2024年全国累计完成快递业务量分别约为1105亿件和1701亿件列出方程即可． 【解答】解：由题意可得， 1105（1+x）2＝1701， 故答案为：1105（1+x）2＝1701． 12．【答案】x（x﹣1）＝1260． 【分析】设该班的学生有x人，则每人送出（x﹣1）件礼物，根据共有互赠纪念品1260件可列出方程． 【解答】解：设该班的学生有x人，则每人送出（x﹣1）件礼物， 由题意得，x（x﹣1）＝1260． 故答案为：x（x﹣1）＝1260． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】当每件降低x元时，每件的销售利润为（20﹣x）元，平均每周可售出（200+8x）件，利用每周销售该款T恤获得的总利润＝每件的销售利润×每周的销售量，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：当每件降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，平均每周可售出（200+8x）件， 根据题意得：（20﹣x）（200+8x）＝8450． 故答案为：（20﹣x）（200+8x）＝8450． 14．【答案】（1+x）2＝105.1%． 【分析】利用2023年原油产量＝2021年原油产量×（1+这两年的平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：（1+x）2＝105.1%． 故答案为：（1+x）2＝105.1%． 15．【答案】． 【分析】设原正方形的边长为x，面积扩大为原来的n（n＞0）倍的正方形的边长为a，根据正方形的面积扩大为原来的n（n＞0）倍，列出一元二次方程，解之取其正值即可． 【解答】解：设原正方形的边长为x，面积扩大为原来的n（n＞0）倍的正方形的边长为a， 由题意得：a2＝nx2， 解得：a1x，a2x（不符合题意，舍去）， 即正方形的边长变为原来的倍， 故答案为：． 16．【答案】10%． 【分析】设该玉米亩产量年平均增长率为x，根据A品种玉米亩产量从两年前的1000斤增长到了今年的1210斤，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设该玉米亩产量年平均增长率为x， 根据题意得：1000（1+x）2＝1210， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， 即该玉米亩产量年平均增长率为10%， 故答案为：10%． 三、解答题（共7小题） 17．【答案】（1）每台A型取暖器的售价为200元，则每台B型取暖器的售价为240元； （2）每台B型取暖器应降价40元． 【分析】（1）设每台A型取暖器的售价为x元，则每台B型取暖器的售价为（x+40）元，根据顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设每台B型取暖器应降价y元，根据“每台B型取暖器的进价为140元，商场每月卖出B型取暖器60台．为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元”，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设每台A型取暖器的售价为x元，则每台B型取暖器的售价为（x+40）元， 由题意得：， 解得：x＝200， 经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意， ∴x+40＝200+40＝240， 答：每台A型取暖器的售价为200元，则每台B型取暖器的售价为240元； （2）设每台B型取暖器应降价y元， 由题意得：（240﹣y﹣140）（6025）＝9600， 整理得：y2﹣76y+1440＝0， 解得：y1＝40，y2＝36， ∵尽快减少库存， ∴y＝40， 答：每台B型取暖器应降价40元． 18．【答案】（1）当每件盈利50元时，每天可销售60件； （2）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到3150元． 【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，计算出每件盈利50元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量； （2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于x的一元二次方程，解之即可． 【解答】解：（1）当每件盈利50元时，每件商品降价：60﹣50＝10（元）， 商场每天可多销售：10×2＝20（件）， 每天销售：40+20＝60（件）， 答：当每件盈利50元时，每天可销售60件； （2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元， 则商场每天多销售2x件， 根据题意得：（60﹣x）（40+2x）＝3150， 整理得：x2﹣40x+375＝0， 解得：x1＝15，x2＝25， ∵为了尽快减少库存， ∴x＝25， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到3150元． 19．【答案】（1）20%； （2）该博物馆6月份预计接待游客17.28万人． 【分析】（1）设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x，根据今年3月份共计接待游客10万人，5月份接待游客增加到了14.4万人，列出一元二次方程，解之其符合题意的值即可； （2）根据6月份继续保持相同的增长率，列式计算即可． 【解答】解：（1）设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x， 依题意，得：10（1+x）2＝14.4， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2 （不符合题意，舍去）； 答：该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为 20%； （2）6月份接待游客人数：14.4×（1+20% ）＝17.28（万人）， 答：该博物馆6月份预计接待游客17.28万人． 20．【答案】（1）10%； （2）该企业能实现原定目标． 【分析】（1）设该企业从2022年到2024年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为x，根据2022年和2024年，该企业生产一台电冰箱的能耗，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）求出2025年生产一台电冰箱的能耗，再比较即可． 【解答】解：（1）设该企业从2022年到2024年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为x， 根据题意得：500（1﹣x）2＝405， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）， 答：该企业从2022年到2024年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为10%； （2）根据题意可知，2025年生产一台电冰箱的能耗为405×（1﹣10%）＝364.5（kW•h）， ∵364.5＜370， ∴该企业能实现原定目标． 21．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设增加m条生产线，根据现该厂要保证每天生产头盔3900个，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意得：2250（1+x）2＝3240， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设增加m条生产线， 由题意得：（900﹣30m）（m+1）＝3900， 整理得：m2﹣29m+100＝0， 解得：m1＝4，m2＝25， 答：增加4条或25条生产线． 22．【答案】（1）减少的长度是30米； （2）需要修建的防火隔离墙的面积是420平方米． 【分析】（1）设减少的长度是x米，根据剩余停车场的面积为4500平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）求出剩余停车场的周长，即可解决问题． 【解答】解：（1）设减少的长度是x米， 根据题意得：（120﹣x）（80﹣x）＝4500， 解得：x1＝170（不合题意，舍去），x2＝30， 答：减少的长度是30米； （2）剩余停车场的长为120﹣30＝90（米），宽为80﹣50＝30（米）， ∴剩余停车场的周长为：2×（90+50）＝280（米）， ∴防火隔离墙的面积＝280×1.5＝420（平方米）， 答：需要修建的防火隔离墙的面积是420平方米． 23．【答案】（1）一台A型洗衣机的进价为2400元，则一台B型洗衣机的进价为1800元； （2）该商场应将B型洗衣机的售价定为2400元． 【分析】（1）设一台A型洗衣机的进价为x元，则一台B型洗衣机的进价为（x﹣600）元，根据题意列分式方程即可解答； （2）设该商场应将B型洗衣机在2800元的基础上降价m元，根据每天该商场销售B型洗衣机的利润为5400元，列放出即可解答． 【解答】解：（1）设一台A型洗衣机的进价为x元，则一台B型洗衣机的进价为（x﹣600）元， 根据题意列方程得，． 解得x＝2400． 经检验，x＝2400是原方程的解． ∴x﹣600＝1800． 答：一台A型洗衣机的进价为2400元，则一台B型洗衣机的进价为1800元； （2）设该商场应将B型洗衣机在2800元的基础上降价m元， 根据题意列方程得，（2800﹣m﹣1800）（5）＝5400， 整理得，5m+400＝0， 解得m1＝400，m2＝100． 因为力求尽快清空库存货品，所以应降价400元． 2800﹣400＝2400（元）． 答：该商场应将B型洗衣机的售价定为2400元． 第5页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $$