第2章 微探究 角平分线的性质-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

∴BE=CF,CE=AF, ∴EF=CF-CE=BE-AF. 8.能实现. 理由:∵AB=AC, ∠AEB=∠ADC=90°, ∠BAE=∠CAD, ∴△ABE≌△ACD. ∴AD=AE. ∵AO=AO, ∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL), ∴∠DAO=∠EAO. 专题拓展 勾股定理的实际应用 【夯实基础】 1.B 2.A 3.15 4.13 5.540 【典型例题】 例1 能装进行李箱,理由略 变式练习1 11≤a≤12 例2 15厘米 变式练习2 6 13厘米 变式练习3 A 例3 7200元 变式练习4 OM=15米 MN=2米 【巩固练习】 1.A 2.B 3.B 4.15 5.30 6.30cm 或10 41cm 7.180m2 8.8m 9.10km 10.7米 420元 11.(1)能,办法略 (2) 垂直 微探究 角平分线的性质 【典型例题】 例1 提示:证△CDF≌△EDB(SAS). 变式练习1 提示:过点D 作DG⊥BC,垂足 为G,作 DH⊥AB,垂足为 H,证△DGC≌ △DHA(HL). 变式练习2 提示:过点D 作DF⊥AB,垂足 为F,作DG⊥BC,垂足为G,过点E 作EH ⊥AB,垂足为 H,先证△AEH≌△CDG,再 证△EHK≌△DFK. 例2 提示:过点P 分别作PD⊥BC,PE⊥ AC,PF⊥AB,先说明 PE=PF,进而说明 AP 平分∠BAC. 变式练习3 50° 变式练习4 45° 【巩固练习】 1.D 2.A 3.B 4.B 5.2 6.2 7.(1)4cm (2)略 8.(1)AB=AC+CD,提示:在AB 上截 取AE=AC. (2)CD=AB+AC,提示:在AE 上截取 AG=AC. 9.(1)∠1=90°- 1 2 ∠EDC=90°- 1 2 (180°-∠1-∠2)= 1 2∠1+ 1 2∠2 ,化简 可得∠1=∠2. (2)提示:延长DB 至F,使得BF=BD, 连结 AF.证△ADB≌△AFB,再证△AED ≌△ACF. 10.(1)120° (2)成立,证明略 (3)EF =DF,提示:在 AC 上截取AG=AE,连结 FG,先 证 △AEF ≌ △AGF,再 证 △FGC ≌△FDC. 专题拓展 与角平分线和垂直平 分线相关的问题 【夯实基础】 1.C 2.B 3.45° 4.①③ 【典型例题】 例1 证明:连结BD,CD, ∵点D 是∠BAC 的平分线上的一点, DG⊥AB,DH⊥AC, ∴DG=DH. ∵点D 是BC 的垂直平分线上的一点, ∴DB=DC. ∴Rt△BGD≌Rt△CHD, ∴BG=CH. 变式练习1 提示:延长DB 至E,使得BE= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·81· 数学 八年级上册 55 微探究 角平分线的性质 例1 如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于点E,点F 在AC 上,BE= CF,求证:BD=DF. 点拨:(1)考查了角平分线的性质等知识; (2)通过直观的几何图形可知要证BD=DF, 可证△CDF 与△EDB 全等,但差一个条件CD= DE,正好可由AD 平分∠BAC 得出.运用角平分线 的性质解题时,常见有辅助线的添加方法是从角平 分线上某一点向角的两边作垂线. 变式练习1 如图,已知BF 平分△ABC 的外角 ∠ABE,点D 为BF 上一点,DA=DC. 求证:∠ABC=∠ADC. 变式练习2 如图,在△ABC 中,BD 是∠ABC 的平 分线.在△ABC 外取一点E,使得∠EAB=∠ACB, AE=DC,并且线段ED 与线段AB 相交于点K.求 证:KE=KD. 例 2 如 图,已 知 PB 平 分 ∠CBA,PC 平 分 ∠BCA,求证:AP 平分∠BAC. 点拨:(1)考查了角平分线的性质和判定; (2)欲证AP 平分∠BAC,可考虑证明点P 到 ∠BAC 两边距离相等,故过点P 作PD⊥BC 于点 D,PF⊥AB 于点F,PE⊥AC 于点E,设法证明 PE=PF 即可.运用角平分线的性质可实现从角等 到线等,运用角平分线的判定可实现从线等到角等. 变式练习3 如图,已知△ABC 的外角∠ACD 的 平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P, 若∠BPC=40°,则∠CAP= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 56 变式练习 4 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°, ∠CAB=30°,∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平 分线交于点E,连结AE,则∠AEB 的度数为 . 一、夯实基础 1.如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分 线,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC 于点F.则下列结论 中,错误的是 ( ) A.AD⊥EF B.DE=DF C.AE=AF D.DE⊥DF 2.如 图,△ABC 中,∠ABC 的 平 分 线 与 ∠ACB 的外角平分线相交于点D,连结AD,则下 列结论中正确的是 ( ) A.AD 平分∠BAC 的外角 B.AD 平分∠BAC C.AD⊥DC D.AD=CD 3.如 图,若 AB ∥CD,AP,CP 分 别 平 分 ∠BAC 与∠ACD,PE⊥AC 于点E,PE=3cm,则 AB 与CD 之间的距离为 ( ) A.3cm B.6cm C.9cm D.无法确定 4.如图,AD 是△ABC 的角平分线,DF⊥AB, 垂足为点F,DE=DG,△ADG 和△AED 的面积 分别为50和39,则△EDF 的面积为 ( ) A.11 B.5.5 C.7 D.3.5 5.如图,OP 平分∠MON,PA⊥ON 于点A, 点Q 是射线OM 上的一个动点,若PA=2,则PQ 的最小值为 . 6.如图,BD 是∠ABC 的平分线,DE⊥AB 于 点E,△ABC 的面积是30cm2,AB=18cm,BC= 12cm,则DE= cm. 7.如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分 线,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC 于点F. (1)若△ABC 的面积是40cm2,AB=12cm, AC=8cm,求DE 的长; (2)求证:S△ABD∶S△ACD=AB∶AC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 57 8.在△ABC 中,∠ACB=2∠B,如图1,当∠C =90°,AD 为∠BAC 的平分线时,在 AB 上截取 AE=AC,连结DE,易证AB=AC+CD. (1)如图2,当∠C≠90°,AD 为∠BAC 的平分 线时,线段AB,AC,CD 又有怎样的数量关系? 不 需要证明,请直接写出你的猜想; (2)如图3当AD 为△ABC 的外角平分线时, 线段AB,AC,CD 又有怎样的数量关系? 请写出你 的猜想,并给予证明. 二、拓展提升 9.如图,∠ABC=90°,点D 为BC 上一点,∠E =∠C,∠1=90°- 1 2∠EDC. 求证: (1)∠1=∠2; (2)ED=BC+BD. 10.在 △ABC 中,AD,CE 分 别 是 ∠BAC, ∠BCA 的平分线,AD,CE 相交于点F. (1)当∠B=60°,∠ACB=90°,则∠AFC= ; (2)如图2,如果∠ACB 不是直角,∠B=60° 时,请问在(1)中所得的结论是否仍然成立? 若成 立,请证明;若不成立,请说明理由; (3)如图3,在(2)的条件下,请猜想EF 与DF 的数量关系,并证明你的猜想. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋