2.4 等腰三角形的判定定理-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

∴CM=DM=ME, ∴DE=2CM. ∴AE=DE+AD=2CM+BE. 变式练习2 (1)1 1 2 (2) BE AB= 3 4 ,证明过 程略 (3)n= 5 2 例3 【探究二】2 1 2 2 【问题解决】k k-1 k k 【问题应用】2016÷4=504,504 -1=503,当三角形是等边三角形时,面积最 大,2016÷3=672,∴用2016根相同的木棒 搭一个三角形,能搭成503种不同的等腰三 角形,其中面积最大的等腰三角形每腰用672 根木棒. 变式练习3 (1)(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3), (2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4), (4,4,4) (2)由(1)可知,只有(2,3,4),即a= 2,b=3,c=4个单位长度时满足a<b<c,作 图略. 【巩固练习】 1.B 2.B 3.4 4.①② 5.52 6.B 7.8 8.(1)30 (2)略 (3)∠AOB 是定 值,∠AOB=60°.(提示:①当点 D 在线段 AM 上时;②当点 D 在线段AM 的延长线 上时.) 2.4 等腰三角形的判定定理 【典型例题】 例1 解:∵BD,CE 是△ABC 的高, ∴ ∠BEC=∠CDB=90°. 又∵∠EOB=∠DOC, ∴ ∠EBO=∠DCO. 由OB=OC 得∠OBC=∠OCB. ∴∠EBO+∠OBC =∠DCO+∠OCB, 即∠ABC=∠ACB. ∴AC=AB.即△ABC 是等腰三角形. 例2 解:连 结 PA,∵点 P 是 等 腰 直 角 △ABC 边BC 的中点,即 PA 是底边上的 中线, ∴PA⊥PC,∠BAP=∠CAP=45°(三 线合一). ∵△ABC 是等腰直角三角形, 即∠B=∠C=45°, ∴BP=AP=CP. ∵∠EPF 是直角, ∴∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPC =90°,即∠EPA=∠FPC. 在△PAE 和△PCF 中, ∵ ∠EAP=∠C, PA=PC, ∠EPA=∠FPC, ì î í ï ï ïï ∴△PAE≌△PCF. ∴PE=PF. ∴△PEF 是等腰三角形. 小结:要说明一个三角形是等腰三角形 的方法一般有两种:一是直接说明它的两腰 相等,二是先说明它的两个角相等,而后利用 “等角对等边”来说明三角形是等腰三角形. 针对不同的题目,同学们要灵活选择不同的 方法. 变式练习 由条件不难得出判断结论:用① ②作为条件能判定△BEC 是等腰三角形. 理由如下: ∵AB=DC,∠ABE=∠DCE,∠AEB =∠DEC, ∴△ABE≌△DCE. ∴BE=CE, ∴△BEC 是等腰三角形. 【巩固练习】 1.D 2.C 3.A 4.C 5.A 6.12 7.等腰三角形 8.本题答案不唯一,如AB=AC 9.本题答案不唯一,如 BD=CD,∠1 =∠2 10.25 11.解:本题答案不唯一,如图. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·9· 12.(1)①③,①④,②③,②④ (2)本题答案不唯一,如选①③. 证明:在△BOE 和△COD 中, ∵∠EBO=∠DCO, ∠BOE =∠COD,BE=CD, ∴△BOE≌△COD. ∴BO=CO,∴∠OBC =∠OCB. ∴∠EBO +∠OBC =∠DCO +∠OCB, 即∠ABC =∠ACB,∴AB=AC. 13.△CEF 是等腰直角三角形. 证明:连结AF,由题意知△ABD 是等腰 直角三角形, ∵DF=BF, ∴AF=DF=BF,AF⊥BD. ∴∠EDF=∠CAF=105°. 在△ACF 和△DEF 中, ∵AC=DE, ∠EDF=∠CAF,AF=DF, ∴△ACF≌△DEF. ∴CF=EF,∠CFA=∠EFD. ∵AF⊥BD, ∴∠DFE+∠EFA =90°, ∴∠EFA+∠CFA=90°, ∴△CEF 是等腰直角三角形. 微探究 运用角平分线 构造等腰三角形 【典型例题】 例1 猜想:AD+CE=DE.理由略. 例2 略 例3 ∠A=90°,理由略. 变式练习 解:(1)证明:∵∠ACB=90°,CG 平分∠ACB,AC=BC. ∴∠BCG=∠CAB=45°, 又∵∠ACF=∠CBG,AC=BC, ∴△ACF≌△CBG(ASA), ∴AF=CG,CF=BG. (2)连结AG. ∵AC=BC,CG 平分∠ACB, ∴CG⊥AB. ∵AD⊥AB,∴AD∥CG. ∴∠DAC=∠ACG,∠D=∠CGD. ∵AC =BC,∠ACG = ∠BCG,CG =CG, ∴△ACG≌△BCG, ∴AG=BG. ∵∠DAG=∠DAC+∠CAG=∠ACG + ∠CBG = ∠BCG + ∠CBG = ∠DGC =∠D, ∴DG=AG,∴DG=BG. ∵E 为AC 中点,∴AE=EC, 又∵∠AED=∠CEG, ∴△AED≌△CEG, ∴DE=EG,∴DG=2DE, ∴BG=DG=2DE, 由(1)得CF=BG, ∴CF=2DE. 【巩固练习】 1.C 2.D 3.40°或70° 4.【探究发现】 证明: 过点E 作ED∥AC 交AB 于点D, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·01· 数学 八年级上册 35 2.4 等腰三角形的判定定理 例1 如图,BD,CE 是△ABC 的高,且OB=OC. 试说明△ABC 是等腰三角形. 点拨:在同一个三角形中,要说明AB=AC,根 据“等角对等边”,需说明∠ABC=∠ACB,结合已 知条件可得△BEO 与△CDO 全等,进一步即可说 明∠ABC=∠ACB. 例2 如图,在等腰直角△ABC 中,点P 是斜边BC 的中点,以点P 为顶点的直角的两边分别与边AB, AC 交于点E,F,连结EF.试说明△PEF 是等腰三 角形. 点拨:若通过说明∠PEF=∠PFE,思路显然 行不通,那怎么办呢? 把PE 和PF 放在两个三角 形中,通 过 说 明 这 两 个 三 角 形 全 等 来 得 到 PE= PF,按照此思路连结PA,如图所示,说明△PAE≌ △PCF,显然可行. 变式练习 在一次数学活动中,黑板上画着如图所 示的图形,活动前老师在准备的四张纸片上分别写 有如 下 四 个 等 式 中 的 一 个 等 式:①AB =DC; ②∠ABE=∠DCE;③AE=DE;④∠A=∠D.小 明同学从四张纸片中随机抽取一张,再从剩下的纸 片中随机抽取另一张.请结合图形解答问题:当抽得 ①和②时,用①②作为条件能判定△BEC 是等腰三 角形吗? 说说你的理由. 一、夯实基础 1.等腰三角形的底角是50°,则顶角的度数是 ( ) A.50° B.65° C.50°或65° D.80° 2.等边三角形对称轴的条数共有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 3.锐角∠AOB 内有一点C,它关于OA,OB 的 对称点分别为点M,N,那么△MON 一定是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 4.如图,在△ABC 中,AB=AC,BC=BD, AD=DE=BE,则∠A 的度数是 ( ) A.30° B.36° C.45° D.54° 5.如图,在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平 分线交于点O,过点O 作DE∥BC 交AB 于点D, 交AC 于点E,那么下列结论:①△BDO 和△CEO 都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE 的 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 36 周长等于AB 与AC 的和;④BO=CO.其中正确的有 ( ) A.①②③ B.①②③④ C.①② D.① 6.如果等腰三角形有两边长为2和5,那么周 长为 . 7.把一张长方形纸片如图折叠,则△ACE 的 形状是 . 8.△ABC 中,∠A=60°,要使△ABC 为等边 三角形,你可以添加的条件是 . 9.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,点 D 为垂足.由以上两个条件可得 (写出一个 结论即可). (第9题) (第10题) 10.如图,在△ABC 中,点 D 是BC 上一点, ∠BAD=80°,AB=AD=DC,则∠C= °. 二、拓展提升 11.仿照图①,请你再设计一种不同的分法,将 等腰三角形ABC 分割成3个三角形,使得每个三 角形都是等腰三角形(图②、图③供画图用,作图工 具不限,不要求写出画法,不要求证明,要求标出所 分得的每个等腰三角形三个内角的度数). ① ② ③ 12.如图所示,在△ABC 中,点 D,E 分别是 AC 和AB 上的一点,BD 与CE 交于点O,给出下列 四 个 条 件:① ∠EBO = ∠DCO;② ∠BEO = ∠CDO;③BE=CD;④OB=OC. (1)上述四个条件中,哪两个条件可以判定 △ABC 是等腰三角形(用序号写出所有的情形); (2)选择(1)小题中的一种情形,试说明△ABC 是等腰三角形. 13.将 两 块 完 全 相 同 的 含 30°角 的 三 角 板 ADE,ABC 按如图方式放置,点E,A,C 在同一条 直线上,连结BD,取BD 的中点F,连结EF,CF.试 判断△CEF 的形状,并证明你得到的结论. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋