第1章 专题拓展 挖掘隐含条件说明全等-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

线于点E,先证△ADC≌△EDB(AAS). 变式练习1 提示:过点 D 作DG∥CE 交 BC 于点G,证△DGF≌△ECF. 变式练习2 提示:延长 ED 到点 H,使得 DH = ED,连 结 CH,FH,证 △BED ≌△CHD. 变式练习3 提示:在AB 上取一点E,使得 AE=AC,证△AED≌△ACD. 变式练习4 (1)120° (2)提示:在AC 上取 一点 F,使 得 AE =AF,连 结 OF,先 证 △AEO≌△AFO,再证△AEO≌△AFO. 【巩固练习】 1.A 2.A 3.提示:延长AD 到G,使得DG=AD, 连结BG,证△ADC≌△GDB. 4.提示:过点D 作DH⊥AB,证△BHD ≌△GFC. 5.(1)提示:在AB 上截取AD=AC,证 △APC≌△APD (2)AB+AC<BP+CP 提示:在BA 的延长线上截取AE=AC,证 △APC≌△APE. 6.提示:作∠BAC 的平分线AG 交BD 于点G,先证△ABG≌△CAF,再证△ADG ≌△CDF. 专题拓展 挖掘隐含条件说明全等 【典型例题】 例1 △ABC≌△DCB,理由略. 例2 △ABE≌△DCF,理由略. 例3 110° 【巩固练习】 1.B 2.B 3.D 4.70° 5.120° 6.证明:∵BE=CF,∴BC=EF. ∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF. 在△ABC 与△DEF 中, ∠A=∠D ∠B=∠DEF BC=EF ì î í ïï ïï , ∴△ABC≌△DEF(AAS), ∴AB=DE. 7.证明:∵AB∥CD ∴∠A=∠D,∠B=∠C, 在△AOB 和△DOC 中, ∠A=∠D ∠B=∠C OA=OD ì î í ïï ïï , ∴△AOB≌△DOC(AAS) ∴AB=CD. 8.证 明:∵ 在 等 腰 三 角 形 CDE 中, ∠DCE=90°,∴CD=CE. ∵∠ACB=90°, ∴∠DCE+∠BCD=∠ACB+∠BCD. 即∠BCE=∠ACD. 又AC=BC, ∴△ACD≌△BCE. 9.证明:∵∠1=∠2, ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC, 即∠BAC=∠EAD, 又∵AB=AE,∠C=∠D, ∴△ABC≌△AED. 10.解:△ACD≌△BCE, 证明如下:∵∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB, 即∠ACD=∠BCE. 又∵AC=BC,CD=CE, ∴△ACD≌△BCE(SAS). 11.证明:∵∠BCE=∠DCA, ∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE, 即∠BCA=∠DCE. ∵AC=EC,∠A=∠E, ∴△BCA≌△DCE(ASA). ∴BC=DC. 12.证明:∵∠1=∠2, ∴∠1+∠ECA= ∠2+∠ECA. 即∠BCA=∠ECD. 在△BCA 与△ECD 中, BC=EC ∠BCA=∠ECD CA=CD ì î í ïï ïï , ∴△BCA≌△ECD (SAS). ∴DE=AB. 13.(1)解:因为AD∥BC,所以∠ABC +∠BAF=180°,∠DCB+∠CDE=180°,又 因 为 ∠ABC = ∠DCB,所 以 ∠BAF = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·5· ∠CDE.因为AE=DF,所以AE+AD=DF +AD,即ED=FA.在△ABF 和△DCE 中, AB=DC,∠BAF=∠CDE,FA=ED,所以 △ABF≌△DCE(SAS),所以BF=CE. (2)成立.理由略. (3)相等.理由:因为AD∥BC, 所以∠FAB=∠ABC,∠EDC=∠DCB, 又∠ABC=∠DCB, 所以∠FAB=∠EDC. 因为AE=DF, 所以AE-AD=DF-AD, 即DE=AF. 在 △ABF 和 △DCE 中,AB =DC, ∠FAB=∠EDC,AF=DE, 所以△ABF≌△DCE(SAS), 所以BF=CE. 14.解:BN=CM 且BN⊥CM. 理由:因为AM⊥AB,AN⊥AC, 所以∠MAB=∠NAC=90°, 所 以 ∠MAB + ∠BAC = ∠NAC +∠BAC, 即∠MAC=∠BAN. 在△ABN 和△AMC 中, AB=AM,∠BAN=∠MAC,AN=AC, 所以△ABN≌△AMC(SAS), 所以BN=MC,∠ABN=∠M. 在△AME 中, ∠M+∠MEA+∠MAE=180°, 在△BED 中, ∠EBD+∠BED+∠BDE=180°, 因为∠EBD=∠ABN=∠M, ∠MEA=∠BED(对顶角相等), 所以∠BDE=∠MAE=90°, 所以BD⊥ED,即BN⊥CM. 1.6 线段垂直平分线的性质 1.7 角平分线的性质 【典型例题】 例1 D 例2 10 例3 作法略 【巩固练习】 1.B 2.(1)解:如图所示,DE 就是要求作的 AB 边上的中垂线; (2)证明:∵DE 是AB 边上的中垂线, ∠A=30°,∴AD=BD, ∴∠ABD=∠A=30°, ∵∠C=90°, ∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°, ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°- 30°=30°, ∴∠ABD=∠CBD,∴BD 平分∠CBA. 3.解:如图,直线AD 即为所求直线. 4.解:OM 是∠AOB 的角平分线. 证明:连结CM、DM,∵OC=OD,CM= DM,OM =OM,∴ △OCM ≌ △ODM,∴ ∠BOM=∠AOM,∴OM 是∠AOB 的角平 分线. 5.解:作出BC 的垂直平分线,交BC 于 点D, ∵AB=AC,∴AD 平分∠BAC, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·6· 拓展与培优 22 专题拓展 挖掘隐含条件说明全等 例1 如 图,AB =DC,AC =DB,△ABC ≌ △DCB 全等吗? 为什么? 点拨:在△ABC 与△DCB 中,已经给出了两边 相等:AB=DC,AC=DB,要说明三角形全等还缺 少一个条件.已知两边相等,通常考虑应用“SAS”或 “SSS”,找AB 与AC 的夹角∠A,DC 与DB 的夹 角∠D 是否相等,或第三条边BC 与CB 是否相等. 而由于BC 与CB 是公共边,故BC=CB,由“SSS” 问题得解. 例2 如图,AB=DC,BF=CE,AE=DF,你能找 到一对全等的三角形吗? 说明你的理由. 点拨:要说明△ABE≌△DCF,已给出的条件 为AB=DC,AE=DF.要判定两三角形全等,已知 两边对应相等,通常考虑应用“SAS”或“SSS”.因为 BF=CE,所以BF-EF=CE-EF,即BE=CF, 由“SSS”问题得解. 例3 如 图,AB∥CD,∠A = ∠D,BF=CE, ∠AEB=110°,求∠DFC 的度数. 点拨:要求∠DCF 的度数,只需说明△ABE ≌ △DCF,本题直接给出的直接条件为∠A =∠D.因 为BF =CE,所以BF -EF=CE -EF,即BE =CF;另由AB ∥CD,可得∠B = ∠C.由“AAS” 问题得解. 1.如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘 两端M、N 的距离,如果△PQO≌△NMO,则只需 测出其长度的线段是 ( ) A.PO B.PQ C.MO D.MQ 2.如图是一个风筝设计图,其主体部分(四边 形ABCD)关于BD 所在的直线对称,AC 与BD 相 交于点O,且AB≠AD,则下列判断不正确 的是 ( ) A.△ABD≌△CBD B.△ABC≌△ADC C.△AOB≌△COB D.△AOD≌△COD 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 23 3.(新疆中考题)如图,在△ABC 和△DEF 中, ∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍 然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件是 ( ) A.∠A=∠D B.BC=EF C.∠ACB=∠F D.AC=DF 4.如图,将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转 20°,B 点落在B'点的位置,A 点落在A'点位置,若 AC⊥A'B',则∠BAC= . 5.(四川成都中考题)如图,△ABC≌△A'B'C',其 中∠A=36°,∠C'=24°,则∠B= . 6.(云南普洱中考题)如图,已知点B、E、C、F 在同一条直线上,BE=CF,AB∥DE,∠A=∠D. 求证:AB=DE. 7.已知:如图,AD,BC 相交于点O,OA=OD, AB∥CD.求证:AB=CD. 8.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC. 延长AB 至点D,使DB=AB,连结CD,以CD 为 直角边作等腰三角形CDE,其中∠DCE=90°,连结 BE.求证:△ACD≌△BCE. 9.如图,AB=AE,∠1=∠2,∠C=∠D.求 证:△ABC≌△AED. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 24 10.如图,△ABC 与△CDE 均是等腰直角三角 形,∠ACB=∠DCE=90°,D 在AB 上,连结BE. 请找出一对全等三角形,并说明理由. 11.如图,已知,EC=AC,∠BCE=∠DCA, ∠A=∠E,求证:BC=DC. 12.(呼和浩特中考题)如图,CD=CA,∠1= ∠2,EC=BC.求证:DE=AB. 13.(1)如图①所示,已知在四边形ABCD 中, AD∥BC,∠ABC=∠DCB,AB=DC,AE=DF, 试说明BF=CE. ① ② ③ (2)若将图①中的点E,F 在AD 所在的直线上 做相向运动,得到图②,其他条件不变,BF=CE 还 成立吗? 为什么? (3)若将图②中的点E,F 继续运动,得到图③, 其他条件不变,BF 和CE 还相等吗? 为什么? 14.如图所示,AM⊥AB,AN⊥AC,且AM= AB,AN=AC,试问 BN 与CM 有什么关系? 为 什么? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋