第1章 专题拓展 构造三角形全等证明结论-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

数学 八年级上册 19 专题拓展 构造三角形全等证明结论 1.如图,AB=AC,BD=CD,求证:∠B=∠C. 2.如图,四边形 ABCD 中,∠B=∠D=90°, BC=CD,求证:AB=AD. 3.如图,已知 AD=BC,AC=BD,求证:OD =OC. 4.如图,Rt△ABC 中,AC=BC,∠C=90°, DB 平分∠ABC,BC=6,AB=62,求CD 的长. 5.如图,在△ABC 中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂 足分别为点D,E,AD,CE 交于点H,已知EH= EB=3,AE=4,则CH 的长是多少? 例 如图,在△ABC 中,AD 为中线,求证:AB+ AC>2AD. 点拨:(1)要证明两条线段和第三条线段的数 量关系,容易联想到两边之和大于第三边.而这三条 线段不在同一个三角形内,所以可利用BD=CD 来 构造两个三角形全等,从而把三条线段放在同一个 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 20 三角形内; (2)依托相等线段构造全等三角形,可以经过 相等线段的一端作平行线;也可倍长中线,使延长 线段与原中线长相等,构造全等三角形. 变式练习1 如图,△ABC 中,AB=AC,D 在AB 上,E 在AC 的延长线上,连结DE 交BC 于点F, 且DF=EF,求证:BD=CE. 变式练习2 如图,△ABC 中,D 是BC 的中点, DE⊥DF,求证:BE+CF>EF. 变式练习3 如图,在△ABC 中,∠ACB=2∠B, ∠BAD=∠DAC,求证:AB=AC+CD. 变式练习 4 如图,在△ABC 中,∠ABC=60°, AD,CE 分别平分∠BAC,∠ACB,交点为O. (1)∠AOC= ; (2)求证:AC=AE+CD. 1.如图,在四边形ABCD 中,对角线AC 平分 ∠BAD,AB>AD,下列结论正确的是 ( ) A.AB-AD>CB-CD B.AB-AD=CB-CD C.AB-AD<CB-CD D.AB-AD 与CB-CD 的大小关系不确定 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 21 2.如图,AD 是△ABC 的中线,E,F 分别在 AB,AC 上,且DE⊥DF,则 ( ) A.BE+CF>EF B.BE+CF=EF C.BE+CF<EF D.BE+CF 与EF 的大小关系不确定 3.如图,AD 是△ABC 的中线,BE 交AC 于点 E,交AD 于点F,且AE=EF.求证:AC=BF. 4.如 图,在 直 角 △ABC 中,∠ACB =90°, ∠BAC 的平分线交BC 于D,CE⊥AB 于点E,交 AD 于点F,取BG=CD,连结FG,求证:FG∥AB. 5.在△ABC 中,AB>AC. (1)如图1,当AP 是∠BAC 的内角平分线时, AP 交BC 于点P,求证:AB-AC>BP-CP; (2)如图2,当AP 是∠BAC 的外角平分线时, 连结PB 和PC,猜想AB+AC 与BP+CP 的大小 关系,并证明你的猜想. 6.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC, D 为AC 的中点,AE⊥BD 于点E,延长AE 交BC 于点F.求证:∠ADE=∠CDF. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.4 全等三角形 【典型例题】 例1 DE=BD-BE=2cm. 变式练习1 (1)△ABC≌△DBE 对应边: AB 与DB,AC 与DE,BC 与BE;对应角: ∠A 与∠D,∠ABC 与∠DBE,∠ACB 与 ∠E (2)垂直;理由提示:延长AC 交ED 于 点F,证∠CFD=90°. 变式练习2 ∠DFB=90°,∠DGB=65°. 例2 C 变式练习3 7 【巩固练习】 1.C 2.D 3.①②④ 4.2.5 5.20 6.80° 7.略 8.A 9.提示:证∠QAP= 90° 10.∠C= 1 2 (∠1+∠2) 1.5 三角形全等的判定 【典型例题】 例1 ∠A=∠D(或∠ACB=∠DFE 或AB =DE) 变式练习1 答案不唯一,如AB=CD. 例2 △ABF≌△CDE,△ABC≌△CDA. 变式练 习 2 有 4 对,分 别 是 △ADF ≌ △ABF,△CDF ≌ △EBF, △ACD ≌ △AEB,△ACF≌△AEF;证明略. 例3 △BEC≌△CDA(AAS). 变式练习3 略 例4 提示:先证△ABD≌△ACE(SSS). 【巩固练习】 1.D 2.C 3.D 4.A 5.AB=DC 6. n(n+1) 2 7.AG=AD ;AG⊥AD 证明 略 8.a-b 9.(1)提示:先证C1B∥CA, 再 证 △AA1C ≌ △C1CB,得 ∠AA1C = ∠C1CB,而∠AA1C=∠BB1C1,∴∠C1CB =∠BB1C1,在△C1B1E 和△BCE 中,可得 ∠B1C1C= ∠B1BC. (2)相 等.提 示:证 ∠BCC1=∠A. 专题拓展 全等三角形中 三垂直基本模型 【夯实基础】 1.C 2.C 3.D 4.∠E=∠DBC(答 案不唯一) 5.90° 【典型例题】 例1 △ACD≌△CBE(AAS) 变式练习1 略 变式练习2 略 例2 根据三垂直基本模型可得△ACD≌ △CBE;∴AD=CE,CD=BE,∴DE=AD +BE. 变式练习3 提示:先证△ACD≌△CBE (AAS) 例3 特例探究:根据三垂直基本模型易证 △ABD ≌ △CAF (AAS) 归 纳 证 明: △ABE≌△CAF(AAS) 拓展应用:△ACF 与△BDE 的面积之和为5. 变式练习4 (1)①= = ②∠α+∠BCA =180°,证明过程略 (2)EF=BE+AF 【巩固练习】 1.D 2.B 3.A 4.13 5.3 6.10 7.(1)△ACD≌△CBE(AAS),证明过程略 (2)9 8.(1)略 (2)△DEF 为等边三角 形,证明略 9.(1)1,3 (2) OC-BD OA =1 ,证 明过程略 专题拓展 构造三角形全等 证明结论 【夯实基础】 1.提示:连结AD. 2.提示:连结AC. 3.提示:连结AB. 4.62-6,提示:过点D 作DE⊥AB,垂足为E,证△DCB≌△DEB. 5.CH=1,提示:先证△AEH≌△CEB. 【典型例题】 例 提示:过点B 作BE∥AC 交AD 的延长 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·4· 线于点E,先证△ADC≌△EDB(AAS). 变式练习1 提示:过点 D 作DG∥CE 交 BC 于点G,证△DGF≌△ECF. 变式练习2 提示:延长 ED 到点 H,使得 DH = ED,连 结 CH,FH,证 △BED ≌△CHD. 变式练习3 提示:在AB 上取一点E,使得 AE=AC,证△AED≌△ACD. 变式练习4 (1)120° (2)提示:在AC 上取 一点 F,使 得 AE =AF,连 结 OF,先 证 △AEO≌△AFO,再证△AEO≌△AFO. 【巩固练习】 1.A 2.A 3.提示:延长AD 到G,使得DG=AD, 连结BG,证△ADC≌△GDB. 4.提示:过点D 作DH⊥AB,证△BHD ≌△GFC. 5.(1)提示:在AB 上截取AD=AC,证 △APC≌△APD (2)AB+AC<BP+CP 提示:在BA 的延长线上截取AE=AC,证 △APC≌△APE. 6.提示:作∠BAC 的平分线AG 交BD 于点G,先证△ABG≌△CAF,再证△ADG ≌△CDF. 专题拓展 挖掘隐含条件说明全等 【典型例题】 例1 △ABC≌△DCB,理由略. 例2 △ABE≌△DCF,理由略. 例3 110° 【巩固练习】 1.B 2.B 3.D 4.70° 5.120° 6.证明:∵BE=CF,∴BC=EF. ∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF. 在△ABC 与△DEF 中, ∠A=∠D ∠B=∠DEF BC=EF ì î í ïï ïï , ∴△ABC≌△DEF(AAS), ∴AB=DE. 7.证明:∵AB∥CD ∴∠A=∠D,∠B=∠C, 在△AOB 和△DOC 中, ∠A=∠D ∠B=∠C OA=OD ì î í ïï ïï , ∴△AOB≌△DOC(AAS) ∴AB=CD. 8.证 明:∵ 在 等 腰 三 角 形 CDE 中, ∠DCE=90°,∴CD=CE. ∵∠ACB=90°, ∴∠DCE+∠BCD=∠ACB+∠BCD. 即∠BCE=∠ACD. 又AC=BC, ∴△ACD≌△BCE. 9.证明:∵∠1=∠2, ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC, 即∠BAC=∠EAD, 又∵AB=AE,∠C=∠D, ∴△ABC≌△AED. 10.解:△ACD≌△BCE, 证明如下:∵∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB, 即∠ACD=∠BCE. 又∵AC=BC,CD=CE, ∴△ACD≌△BCE(SAS). 11.证明:∵∠BCE=∠DCA, ∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE, 即∠BCA=∠DCE. ∵AC=EC,∠A=∠E, ∴△BCA≌△DCE(ASA). ∴BC=DC. 12.证明:∵∠1=∠2, ∴∠1+∠ECA= ∠2+∠ECA. 即∠BCA=∠ECD. 在△BCA 与△ECD 中, BC=EC ∠BCA=∠ECD CA=CD ì î í ïï ïï , ∴△BCA≌△ECD (SAS). ∴DE=AB. 13.(1)解:因为AD∥BC,所以∠ABC +∠BAF=180°,∠DCB+∠CDE=180°,又 因 为 ∠ABC = ∠DCB,所 以 ∠BAF = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·5·