第1章 周末拓展 三角形章拓展-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

数学 八年级上册 27 周末拓展 三角形的初步知识章拓展 一、选择题 1.根据下列条件画三角形,不能唯一确定三角 形的是 ( ) A.已知三个角 B.已知三边 C.已知两角和夹边 D.已知两边和夹角 2.下列语句不是命题的是 ( ) A.对顶角相等 B.连结AB 并延长至C 点 C.内错角相等 D.同角的余角相等 3.如图,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,补 充下列条件不能判定△ABM≌△CDN 的是 ( ) A.∠M=∠N B.AB=CD C.AM=CN D.AM∥CN 4.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎也成 了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻 璃,那么最省事的办法是 ( ) A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去 5.如图,要用“SAS”证明△ABC≌△ADE,已 知AB=AD,AC=AE,则还需条件 ( ) A.∠B=∠D B.∠C=∠E C.∠1=∠2 D.∠3= ∠4 6.只用无刻度的直尺就能作出的图形是 ( ) A.延长线段AB 至C,使BC=AB B.过直线L 上一点A 作L 的垂直平分线 C.作已知角的平分线 D.从点O 再经过点P 作射线OP 7.用尺规作已知角的角平分线,其根据是构造 两个三角形全等,它所用到识别全等三角形的方 法是 ( ) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 8.有下列命题:①若a2=b2,则a=b;②一个 角的 余 角 大 于 这 个 角;③若 a,b 是 有 理 数,则 a+b = a + b ;④如果∠A=∠B,那么∠A 与∠B 是对顶角.其中是假命题的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.如图,在▱ABCD 中,AB=5,BC=3,AC 的 垂直平分线交AB 于E,则△CBE 的周长是 ( ) A.10 B.9 C.8 D.6 10.如图是5×5的正方形网格,以点D,E 为 两个顶点作位置不同的格点三角形,使所作的格点 三角形与△ABC 全等,这样的格点三角形最多可以 画出 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.6个 二、填空题 11.命题“矩形的对角线相等”的逆命题是 . 12.为说明“如果a>b,那么 1 a> 1 b ”是假命题, 你举出的反例是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 28 13.如图,已知∠ADB=∠ACB=90°,要使 △ABC≌△BAD,除图中已具备的条件外,还需添 加一个条件 . 14.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=DC, 则图中共有 对全等三角形. 15.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AB 的垂 直平分线DE 交BC 于点D,交AB 于点E,交AC 的延长线于点F,若∠BAD =∠FAD,则∠B= . 16.如图,有一块边长为4的正方形塑料模板 ABCD,将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在 A 点,两条直角边分别与CD 交于点F,与CB 的延 长线交于点E.则四边形AECF 的面积是 . 17.如图,直线 MN 过正方形ABCD 的顶点 C,点B,点D 到直线MN 的距离分别是3和4,则 MN 的长是 . 18.如图,已知△ABC 的周长是21,OB,OC 分 别平分∠ABC 和∠ACB,OD⊥BC 于D,且OD= 2,则△ABC 的面积是 . 三、解答题 19.判断下列命题是真命题,还是假命题;如果 是假命题,举一个反例. (1)若a2>b2,则a>b; (2)同位角相等,两直线平行; (3)一个角的余角小于这个角. 20.“太湖明珠”无锡要建特大城市,有人建议 无锡(A)、江阴(B)、宜兴(C)三市共建一个国际机 场,使飞机场到江阴、宜兴两城市距离相等,且到无 锡市的距离最近.请你设计机场的位置(要保留作图 痕迹哦!). 21.如图,已知在△ABC 中,∠B 与∠C 的平 分线交于点P. (1)当∠A=70°时,求∠BPC 的度数; (2)当∠A=α时,求∠BPC 的度数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 29 22.如图1,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC= BC,直线MN 经过点C,且AD⊥MN 于D,BE⊥ MN 于E. (1)求证:△ADC≌△CEB; (2)当直线 MN 绕点C 旋转到图2的位置时, 求证:DE=AD-BE; (3)当直线 MN 绕点C 旋转到图3的位置时, 试问DE、AD、BE 具有怎样的等量关系? 请写出 这个等量关系,并加以证明. 图1 图2 图3 23.如图所示,已知AB=DC,AE=DF,CE =BF,试说明:AF=DE. 24.如图,已知点C 是AB 上一点,△ACM, △CBN 都是等边三角形. (1)说明AN=MB; (2)将△ACM 绕点C 按逆时针旋转180°,使A 点落在CB 上,请对照原图画出符合要求的图形; (3)在(2)所得到的图形中,结论“AN=BM”是 否成立? 若成立,请说明理由;若不成立,也请说明 理由. 25.在△ABC 中,∠C>∠B,AE 是△ABC 中 ∠BAC 的角平分线. (1)若AD 是△ABC 的高,且∠B=30°,∠C= 70°(如图1),求∠EAD 的度数; (2)若F 是AE 上一点,且FG⊥BC,垂足为G (如图2),求证:∠EFG= ∠C-∠B 2 ; (3)若F 是AE 延长线上一点,且FG⊥BC,G 为垂足(如图3),(2)中结论是否依然成立? 图1 图2 图3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 即∠BAD=∠CAD, 在△ABD 和△ACD 中, AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD ì î í ï ï ïï , ∴△ABD≌△ACD(SAS). 6.解:由“分别以点A 和点B 为圆心,大 于1 2AB 的长为半径作弧,两弧相交于C、D 两点”可知点C,D 到点A,B 的距离相等,所 以点C,D 都在线段的垂直平分线上,所以经 过点C,D 的直线就是线段AB 的垂直平分 线,依据是“到线段两个端点距离相等的点在 线段的垂直平分线上”;作直线CD 的依据是 “两点确定一条直线”,故答案为:到线段两个 端点距离相等的点在线段的垂直平分线上; 两点确定一条直线. 7.(1)SSS (2)解:如图所示. 步骤:①利用刻度尺在OA、OB 上分别 截取OG=OH. ②连结GH,利用刻度尺作出GH 的中 点Q. ③作 射 线 OQ.则 OQ 为 ∠AOB 的 平 分线. 周末拓展 三角形的初步 知识章拓展 1.A 2.B 3.C 4.C 5.C 6.D 7.D 8.D 9.C 10.C 11.对角线相等的四边形是矩形 12.-2 >-3,但是- 1 2<- 1 3 (答案不唯一) 13.如 ∠CAB=∠DBA(答案不唯一) 14.3 15.30° 16.16 17.7 18.21 19.解:(1)假命题,反例不唯一,如当a =-3,b=2时,(-3)2>22,但-3<2 (2) 真命题 (3)假命题,反例不唯一,如30°的余 角是60°,但60°>30°. 20.连结BC,作BC 的垂直平分线EF, 过点A 作EF 的垂线交EF 于点O,点O 即 为机场的位置. 21.解:(1)∵∠A=70°, ∴∠ABC+∠ACB=110°, 即∠1+∠2+∠3+∠4=110°, ∵BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠2+∠4=55°, ∴∠BPC=180°-∠2-∠4=125°. (2)∵∠A=α, ∴∠ABC+∠ACB=180°-α, 即∠1+∠2+∠3+∠4=180°-α. ∵BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠2+∠4=90°- 1 2α , ∴∠BPC=180°-∠2-∠4=90°+ 1 2α. 22.(1)证明:∵∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCE=90°, ∵AD⊥MN,∴∠DAC+∠ACD=90°, ∵BE⊥MN,∴∠BCE+∠CBE=90°, ∴∠BCE=∠DAC,∠ACD=∠CBE, ∵AC=BC,∴△ADC≌△CEB. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·7· (2)由(1)证明易得△ACD≌△CBE, ∴CD=BE,AD=CE, ∴DE=CE-CD=AD-BE. (3)DE=BE-AD 由(1)证明易得△ACD≌△CBE, ∴AD=CE,CD=BE, ∴DE=CD-CE=BE-AD. 23.证明:∵CE=BF,∴BE=CF. 在△ABE 和△DCF 中, AB=DC,AE=DF,BE=CF. ∴△ABE≌△DCF(SSS). ∴∠B=∠C. 在△ABF 和△DCE 中, AB=DC,∠B=∠C,BF=CE. ∴△ABF≌△DCE(SAS).∴AF=DE. 24.(1)只要说明△ACN≌△MCB; (2)画图略; (3)结论“AN=BM”仍成立,理由略. 25.解:(1)由题意得 ∠BAC=180°-∠B-∠C=80°. 又∵AE 是∠BAC 的角平分线, ∴∠EAC=40°. 又∵AD 是△ABC 的高, ∴∠DAC=90°-∠C=20°. ∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°- 20°=20°. (2)证明:∵∠EFG=90°-∠AEC, ∠AEC = ∠B + ∠BAE = ∠B + 1 2∠BAC , 又∵∠BAC=180°-∠B-∠C, ∴∠EFG=90°-(∠B+ 1 2×180°- 1 2∠B- 1 2∠C )= ∠C-∠B 2 . (3)成立.证明:∵∠EFG=90°-∠GEF, ∠GEF=∠AEC=∠B+ 1 2∠BAC , ∴∠EFG=90°-(∠B+ 1 2×180°- 1 2∠B- 1 2∠C ). 即∠EFG= ∠C-∠B 2 . 第2章 特殊三角形 2.1 图形的轴对称 【典型例题】 例1 B 变式练习1 C 变式练习2 A 例2 6 变式 练 习 3 DQ =AQ 或 者 ∠QAD = ∠QDA 等 变式练习4 5cm 【巩固练习】 1.A 2.A 3.C 4.C 5.7 6.5∶4 7.(1)图略 (2)AM=AN,证明过程略 (3)是轴对称图形,对称轴是AG 所在的直线. 8.AC=7cm,BC=11cm. 9.(1)①提示: 作∠ABC 的角平分线BH 交AP 于点H,证 明△BMH≌△CND. ②PA=BD+PD, 证明过程略 (2)AM=BD+DN,画图略 2.2 等腰三角形 2.3 等腰三角形的性质定理 【典型例题】 例1 (1)①②或①③ (2)略 变式练习1 OD=DM+ON.证明过程略. 例2 (1)①先证△CDA≌△CEB, ∴∠CEB=∠CDA=120°, ∴∠AEB=120°-60°=60°; ②∵△CDA≌△CEB,∴AD=BE. (2)先证△ACD≌△BCE, ∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°. ∴∠AEB=135°-45°=90°. 在等腰直角三角形DCE 中, CM 为斜边DE 上的高, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·8·