第1章 微探究 与三角形有关的角-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

数学 八年级上册 7 微探究 与三角形有关的角 例1 如图,在△ABC 中,点D 在BC 上,∠BAC= 70°,∠2=2∠3,∠1=∠C,求∠2的度数. 点拨:(1)本题考查三角形的内角和定理和三 角形外角的性质; (2)利用三角形外角的性质,得出∠1=3∠3, 根据三角形的内角和,通过等量代换解决问题. 变式练习1 如图,∠B=42°,∠1=∠2+10°,AB ∥CD,∠ACD 的平分线与BA 的延长线相交于点 E.求∠3的度数. 例2 如图,已知∠B=∠ADB,∠1=15°,∠2= 20°,求∠3的度数. 点拨:(1)本题考查三角形一个外角等于和它 不相邻的两个内角和; (2)求∠3的度数,应先求∠ADB 的度数,再求 出∠B 的度数,根据三角形一个外角等于和它不相 邻的两个内角和即可解决问题. 变式练习2 如图,在△ABC 中,BE,CD 相交于点 E,设∠A=2∠ACD=76°,∠2=143°,求∠1和 ∠DBE 的度数. 例3 (1)如图①,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°, CD⊥AB,垂足为 D,∠ACD 与∠B 有什么关系? 为什么? (2)如图②,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别在AC,AB 上,且∠ADE=∠B,判断△ADE 的形状是什么? 为什么? (3)如图③,在Rt△ABC 和Rt△DBE 中,∠C =90°,∠E=90°,AB⊥BD,点C,B,E 在同一直线 上,∠A 与∠D 有什么关系? 为什么? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 8 点拨:(1)本题考查直角三角形的性质; (2)关键是根据直角三角形的性质得出两锐角 互余. 变式练习3 如图①,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,CE⊥AB 于点E. (1)猜 测∠BCE 与∠BAD 的 关 系,并 说 明 理由; (2)如果∠ABC 是钝角,如图②,(1)中的结论 是否还成立? 一、夯实基础 1.在△ABC 中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5, 则∠C 等于 ( ) A.45° B.60° C.75° D.90° 2.如图,平面上直线a,b 分别过线段AB 两端 点(数据如图),则a,b相交所成的锐角是 ( ) A.20° B.30° C.80° D.100° 3.如图,在直角三角形ABC 中,AC≠AB,AD 是斜边上的高,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为 E,F,则图中与∠C(∠C 除外)相等的角的个数是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图,有一个与地面成30°角的斜坡,现要在 斜坡上竖一电线杆,当电线杆与地面垂直时,它与 斜坡所成的角α= °. 5.如图,∠ABD=20°,∠DCE=45°,∠BEC= 135°,∠A= °. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 9 6.把图①的△ABC 沿着DE 折叠,得到图②. (1)填空:∠1+∠2 ∠B+∠C(填 “>”“<”或“=”); (2)当∠A=40°时,∠B+∠C+∠3+∠4= °. 7.如图,∠ABO=20°,∠ACO=25°,∠A= 45°,求∠BOC 的度数. 8.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BD 平分 ∠ABC 交AC 于点D,AP 平分∠BAC 交BD 于 点P. (1)求∠APD 的度数; (2)若∠BDC=58°,求∠BAP 的度数. 二、拓展提升 9.如图,BD,CE 是△ABC 的两条高,且交于 点O. (1)求∠ABD 和∠ACE 大小关系; (2)若∠A=70°,∠ABC=60°,求∠BCE 和 ∠EOD 的度数. 10.当三角形中一个内角α 是另一个内角β的 两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称 为“特征角”. (1)已 知 一 个“特 征 三 角 形”的“特 征 角”为 100°,求这个“特征三角形”的最小内角的度数; (2)是否存在“特征角”为120°的三角形,若存 在,请举例说明;若不存在,请说明理由. (3)若有一个“特征三角形”是锐角三角形,试 求出它的“特征角”α的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6.解:(1)在△ABC 中,∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O. 则∠1+∠2= 1 2∠ABC+ 1 2∠ACB= 1 2 (∠ABC+∠ACB)= 1 2 (180°-∠A)= 1 2 ×(180°-40°)=70°. 故∠BOC=180°-70°=110°; (2)因为∠A'的外角等于180°-40°= 140°,△A'B'C'另外的两外角平分线相交于 点O',根据三角形的外角和等于360°,所以 ∠1+∠2= 1 2× (360°-140°)=110°,∠B'O'C' =180°-110°=70°; (3)∵(1)(2)中∠BOC+∠B'O'C'= 110°+70°=180°, ∴∠BOC 与∠B'O'C'互补; 证明:当∠A=n°时, ∠BOC=180°-[(180°-n°)÷2]=90° + n° 2 , ∵∠A'=n°,∠B'O'C'=180°-[360°- (180°-n°)]÷2=90°- n° 2 , ∴∠BOC+∠B'O'C'=90°+ n° 2+90°- n° 2=180° , ∴∠BOC 与∠B'O'C'互补, 所以当∠A=∠A'=n°,∠BOC 与∠B'O'C' 还具有互补的关系. 7.解:① 如 图 1,∵ ∠1 是 △BDF 的 外角, ∴∠B+∠D=∠1. 同理∠A+∠C=∠2. 由三角形内角和定理可知∠1+∠2+ ∠E=180°, 即∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°; 图1 图2 图3 ②如图2,∵∠1是△ABD 的外角, ∴∠A+∠D=∠1. 同理∠E+∠EBD=∠2. 由三角形内角和定理可知∠1+∠2+ ∠C=180°, 即∠EBD + ∠D + ∠A + ∠C+ ∠E =180°; ③如图3,∵∠2是△ACN 的外角, ∴∠C+∠A=∠2. 同理∠D+∠B=∠1. 由三角形内角和定理可知∠1+∠2+ ∠E=180°, 即∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°. 故结论都成立. 微探究 与三角形有关的角 【典型例题】 例1 ∠2=2∠3=44° 变式练习1 ∠3=148° 例2 ∠3=∠B+∠2=35°+20°=55° 变式练习2 ∠1=114°,∠DBE=29° 例3 (1)∠ACD = ∠B,理 由 略 (2) △ADE 是直角三角形,理由略 (3)∠A+ ∠D=90°,理由略 变式练习3 (1)∠BCE=∠BAD,理由略 (2)结论还成立 【巩固练习】 1.C 2.A 3.A 4.60 5.70 6.(1) = (2)220 7.90° 8.(1)45° (2)13° 9.(1)∠ABD=∠ACE (2)∠BCE=30°,∠EOD=110° 10.(1)30° (2)不存在“特征角”为120° 的三角形,理由略 (3)60°<α<90° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·3·