1.4 全等三角形-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拓展与培优 10 1.4 全等三角形 例1 如图,△ABD≌△EBC,AB=3cm,BC= 5cm,求DE 的长. 点拨:(1)本 题 考 查 了 全 等 三 角 形 的 性 质 等 知识; (2)平移、翻折、旋转是常见的3种全等变换.根 据全等三角形的性质得出BE=AB=3cm,BC= DB=5cm,从而得出 DE=DB-BE=2cm.全等 三角形的性质的用途:说明两个角相等或两条线段 相等,进而再推出其他结论. 变式练习1 如图,△ABC 绕着点B 旋转(顺时针) 90°到△DBE,且∠ABC=90°. (1)△ABC 和△DBE 是否全等? 如果全等,请 指出对应边和对应角. (2)直线 AC 与直线DE 有怎样的位置关系? 请说明理由. 变式 练 习 2 如 图,已 知 △ABC≌ △ADE,且 ∠CAD=10°,∠D=25°,∠EAB=120°,求∠DFB 和∠DGB 的度数. 例2 如图,在方格纸中,以AB 为一边作△ABP, 使之与△ABC 全等,从P1,P2,P3,P4 四个点中找 出符合条件的点P,则点P 有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 点拨:(1)本题考查了全等三角形的定义; (2)可从平移、翻折、旋转等全等变换的角度进 行思考. 变式练习3 已知△ABC 中,AB=BC≠AC,在 △ABC 所在的平面内作与△ABC 只有一条公共 边,且与△ABC 全等的三角形,这样的三角形一共 能作出 个. 一、夯实基础 1.如图,△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,则 DE 的长是 ( ) A.1 B.4 C.5 D.不能确定 2.如图,Rt△ABC 沿直角边BC 所在的直线向 右平移得到△DEF,下列结论中错误的是 ( ) A.△ABC≌△DEF 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 11 B.∠DEF=90° C.AC=DF D.EC=CF 3.如图,△ABC≌△A1BC1,A1B 交AC 于点 E,A1C1 分别交 AC,BC 于点 D,F,下 列 结 论: ①AB=A1B;②∠ABA1=∠CBC1;③A1B=CB; ④∠CDF=∠ABA1 其中正确的是 .(写出 正确的序号) 4.如图,将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转 至△OCD,使点B 恰好落在边CD 上,已知AB= 4cm,BD=1.5cm,则CB 的长是 cm. 5.如图,已知点 D 在AC 上,点B 在AE 上, △ABC≌△DBE,且∠BDA=∠A,若∠A∶∠C =5∶3,则∠DBC= °. 6.如图,△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着 AB,AC 边翻折180°形成的,若∠1∶∠2∶∠3= 28∶5∶3,则∠α的度数为 . 7.如 图,A,D,E 三 点 在 一 条 直 线 上,且 △BAD≌△ACE,试说明:BD=DE+CE. 二、拓展提升 8.如图,已知矩形ABCD,E 为线段CD 上一 点(如图甲),现将其沿BE 折叠,F 为C 点关于BE 的对称点,线段BF,EF 分别交AD 于G,H(如图 乙),再沿GH 折叠,F 点关于GH 的对称点Q 恰好 落在线段BE 上,若∠EBC=α度,则用含α的代数 式表示∠HQE 的度数为 ( ) A.90-3α B.180-2α C.3α D.90-2α 9.如图,已知BD,CE 是△ABC 的高,点P 在 BD 延长线上,点 Q 在CE 上,△AQC≌△PAB, AC 和BP 是对应边,试证明:AP⊥AQ. 10.把四边形ABCD 纸片沿EF 折叠,使点C 落在四边形ABCD 内部的点C'处,如图所示,试探 究∠C 与∠1+∠2之间的数量关系. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.4 全等三角形 【典型例题】 例1 DE=BD-BE=2cm. 变式练习1 (1)△ABC≌△DBE 对应边: AB 与DB,AC 与DE,BC 与BE;对应角: ∠A 与∠D,∠ABC 与∠DBE,∠ACB 与 ∠E (2)垂直;理由提示:延长AC 交ED 于 点F,证∠CFD=90°. 变式练习2 ∠DFB=90°,∠DGB=65°. 例2 C 变式练习3 7 【巩固练习】 1.C 2.D 3.①②④ 4.2.5 5.20 6.80° 7.略 8.A 9.提示:证∠QAP= 90° 10.∠C= 1 2 (∠1+∠2) 1.5 三角形全等的判定 【典型例题】 例1 ∠A=∠D(或∠ACB=∠DFE 或AB =DE) 变式练习1 答案不唯一,如AB=CD. 例2 △ABF≌△CDE,△ABC≌△CDA. 变式练 习 2 有 4 对,分 别 是 △ADF ≌ △ABF,△CDF ≌ △EBF, △ACD ≌ △AEB,△ACF≌△AEF;证明略. 例3 △BEC≌△CDA(AAS). 变式练习3 略 例4 提示:先证△ABD≌△ACE(SSS). 【巩固练习】 1.D 2.C 3.D 4.A 5.AB=DC 6. n(n+1) 2 7.AG=AD ;AG⊥AD 证明 略 8.a-b 9.(1)提示:先证C1B∥CA, 再 证 △AA1C ≌ △C1CB,得 ∠AA1C = ∠C1CB,而∠AA1C=∠BB1C1,∴∠C1CB =∠BB1C1,在△C1B1E 和△BCE 中,可得 ∠B1C1C= ∠B1BC. (2)相 等.提 示:证 ∠BCC1=∠A. 专题拓展 全等三角形中 三垂直基本模型 【夯实基础】 1.C 2.C 3.D 4.∠E=∠DBC(答 案不唯一) 5.90° 【典型例题】 例1 △ACD≌△CBE(AAS) 变式练习1 略 变式练习2 略 例2 根据三垂直基本模型可得△ACD≌ △CBE;∴AD=CE,CD=BE,∴DE=AD +BE. 变式练习3 提示:先证△ACD≌△CBE (AAS) 例3 特例探究:根据三垂直基本模型易证 △ABD ≌ △CAF (AAS) 归 纳 证 明: △ABE≌△CAF(AAS) 拓展应用:△ACF 与△BDE 的面积之和为5. 变式练习4 (1)①= = ②∠α+∠BCA =180°,证明过程略 (2)EF=BE+AF 【巩固练习】 1.D 2.B 3.A 4.13 5.3 6.10 7.(1)△ACD≌△CBE(AAS),证明过程略 (2)9 8.(1)略 (2)△DEF 为等边三角 形,证明略 9.(1)1,3 (2) OC-BD OA =1 ,证 明过程略 专题拓展 构造三角形全等 证明结论 【夯实基础】 1.提示:连结AD. 2.提示:连结AC. 3.提示:连结AB. 4.62-6,提示:过点D 作DE⊥AB,垂足为E,证△DCB≌△DEB. 5.CH=1,提示:先证△AEH≌△CEB. 【典型例题】 例 提示:过点B 作BE∥AC 交AD 的延长 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·4·