1.3 证明-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

数学 八年级上册 5 1.3 证明 例1 已知:如图,直线AB,CD 被直线EF 所截,点 H 为CD 与EF 的交点,GH⊥CD 于点H,∠1= 60°,∠2=30°. 求证:AB∥CD. 点拨:题 目 中 给 出 的 已 知 条 件 是 三 个 角 的 度 数:∠GHC=90°,∠1=60°,∠2=30°,由图中可得 的条件是∠3=∠4,∠2+∠3=90°.由此可得∠3= 90°-∠2=90°-30°=60°=∠4=∠1,最终我们得 到∠4=∠1,由同位角相等,两直线平行,即得 AB ∥CD. 例2 求证:垂直于同一条直线的两条直线互相 平行. 点拨:(1)确定命题的条件和结论. (2)抓住关键词“垂直”“同一直线”“两条直线” “平行”. (3)“两条直线垂直于同一条直线”显然几何图 形是平行线的“三线八角”形,只是属于垂直相交形. (4)将 条 件 作 为 已 知,结 论 作 为 求 证,结 合 图 形,可写出符合题意的已知和求证. 变式练习 证明:等角的补角相等. 一、夯实基础 1.已知,如图,DG⊥BC,AC⊥BC,EF⊥AB, ∠1=∠2,求证:CD⊥AB. 2.已知,如图,∠1=∠ACB,∠2=∠3,求证: ∠BDC+∠DGF=180°. 3.求证:两个连续自然数(0除外)的积是偶数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 6 4.求证:若n 为整数,则(2n+1)2-(2n-1)2 一定是8的倍数. 5.(1)如图,有一块直角三角板 XYZ 放置在 △ABC 上,恰好三角板 XYZ 的两条直角边XY、 XZ 分别经过点B、C.△ABC 中,∠A=30°,则 ∠ABC+∠ACB= ,∠XBC+∠XCB= . (2)如图,改变直角三角板 XYZ 的位置,使三 角板XYZ 的两条直角边XY、XZ 仍然分别经过B、 C,那么∠ABX+∠ACX 的大小是否变化? 若变 化,请 举 例 说 明;若 不 变 化,请 求 出 ∠ABX + ∠ACX 的大小. 二、拓展提升 6.(1)如图①,在△ABC 中,∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O,∠A=40°,求∠BOC 的度数; (2)如图②,△A'B'C'的外角平分线相交于点 O',∠A'=40°,求∠B'O'C'的度数; (3)上面(1)、(2)两题中的∠BOC 与∠B'O'C' 有怎样的数量关系? 若∠A=∠A'=n°,∠BOC 与 ∠B'O'C'是否还具有这样的关系? 这个结论你是 怎样得到的? ① ② 7.如图1,有一个五角星 ABCDE,你能说明 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°吗? 如图2、图 3,如果点B 向右移到AC 上,或AC 的另一侧时,上 述结论仍然成立吗? 请分别说明理由. 图1 图2 图3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 数学 八年级上册 浙江教育教材适用 参考答案 第1章 三角形 1.1 认识三角形 【典型例题】 例1 图中共有7个三角形,分别为△AEF, △ADE,△BDE,△BCF,△ABE,△ABF, △ABC;以 E 为 顶 点 的 三 角 形 有△AEF, △ADE,△BDE,△ABE. 变式练习1 (1)①图中三角形有3个;②图 中三角形有6个;③图中三角形有8个; (2)①图中以B 为顶点的角所对的边是AC 和AD;②图中以B 为顶点的角所对的边是 AC,AD,AE;③图中以B 为顶点的角所对的 边是AE,AD,AC,CE,CD. 例2 (1)两边长分别为7和9,设第三边是 x,则9-7<x<7+9,即2<x<16.第三边长 是4(答案不唯一); (2)∵2<x<16,∴x 的值为4,6,8,10,12,14共六个,∴a=6. 变式练习2 第一根木棒的长度5<m≤7. 例3 AD,AF 分别是△ABC,△ABE 的角 平分线.BE,DE 分别是△ABC,△ADC 的中 线.AG 是△ABC,△ABD,△ACD,△ABG, △ACG,△ADG 的高. 变式练习3 B 例4 如图所示: 变式练习4 B 【巩固练习】 1.B 2.D 3.D 4.稳定 5.1<x<6 6.钝角 7.②③ 8.(1)3cm (2)3cm 9.2b-2c 10.(1)= (2) x=10 y=10{ 20 (3)13,理由略. 1.2 定义与命题 【典型例题】 例1 条件是“a=b,b=c”.结论是“a=c”. 变式练习1 条件是“两条直线都与第三条直 线相交,内错角相等”.结论是“这两条直线 平行.” 例2 条件是“两个三角形全等”.结论是“这 两个三角形的面积相等.” 变式练习2 条件是“两个角是对顶角”.结论 是“这两个角相等”. 【巩固练习】 1.C 2.A 3.C 4.D 5.假 6.真 7.乙的说法正确. 1.3 证明 【典型例题】 例1 证明:∵GH⊥CD,∠2=30°(已知), ∴∠2+∠3=90°(垂直的定义), ∴∠3=90°-∠2=90°-30°=60°(等式 的性质), ∵∠3=∠4(对顶角相等), ∴∠4=60°(等量代换). ∵∠1=60°(已知), ∴∠1=∠4(等量代换), ∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·1· 点评:上述分析问题的过程就是从已知 条件入手,推出“可知”,最后运用公理“同位 角相等,两直线平行”推导出结论的过程;证 明过程中,括号中的理由都是已知、有关的概 念、性质和公理,每一步推理都有理有据. 例2 证明:如图,∵AB⊥l,CD⊥l(已知), ∴∠AEF=∠CFE=90°(垂直的定义), ∴∠AEF+∠CFE=180°(等式性质), ∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平 行). 变式练习 已 知:∠1=∠2,∠1+∠3= 180°,∠2+∠4=180°. 求证:∠3=∠4. 证明:∵∠1=∠2,∠1+∠3=180°(已 知), ∴∠2+∠3=180°(等量代换), ∴∠3=180°-∠2(等式的性质). ∵∠2+∠4=180°(已知), ∴∠4=180°-∠2(等式的性质), ∴∠3=∠4(等量代换). 【巩固练习】 1.证明:∵DG⊥BC,AC⊥BC(已知) ∴∠DGB=∠ACB=90°(垂直定义). ∴DG∥AC(同位角相等,两直线平行). ∴∠2=∠ACD(两直线平行,内错角相 等). ∵∠1=∠2(已知), ∴∠1=∠ACD(等量代换). ∴EF∥CD(同位角相等,两直线平行). ∴∠AEF=∠ADC(两直线平行,同位 角相等). ∵EF⊥AB(已知), ∴∠AEF=90°(垂直定义), ∴∠ADC=90°(等量代换). ∴CD⊥AB(垂直定义). 2.证明:∵∠1=∠ACB(已知), ∴DE∥BC (同位角相等,两直线平行), ∴∠2=∠DCF (两直线平行,内错角相 等). ∵∠2=∠3(已知), ∴∠3=∠DCF(等量代换), ∴CD∥FG(同位角相等,两直线平行), ∴∠BDC+∠DGF=180°(两直线平行, 同旁内角互补). 3.解:已知:n,n+1是两个连续的自 然数. 求证:n(n+1)是偶数. 证明:当n 是奇数时,n+1就是偶数,所 以n(n+1)是偶数. 当n 是偶数时,n(n+1)是偶数. 综上所述,n(n+1)是偶数. 即两个连续自然数的积是偶数. 4.证明:∵(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+ 1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n, ∵n 为整数, ∴8n 是8的倍数. 即(2n+1)2-(2n-1)2一定是8的倍数. 5.解:(1)∵∠A=30°, ∴∠ABC+∠ACB=150°. ∵∠X=90°, ∴∠XBC+∠XCB=90°. 即∠ABC+∠ACB=150°, ∠XBC+∠XCB=90°. (2)不变化. ∵∠A=30°,∴∠ABC+∠ACB=150°. ∵∠X=90°,∴∠XBC+∠XCB=90°. ∴∠ABX+∠ACX =(∠ABC - ∠XBC)+ (∠ACB - ∠XCB) =(∠ABC + ∠ACB)- (∠XBC + ∠XCB) =150°-90°=60°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·2· 6.解:(1)在△ABC 中,∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O. 则∠1+∠2= 1 2∠ABC+ 1 2∠ACB= 1 2 (∠ABC+∠ACB)= 1 2 (180°-∠A)= 1 2 ×(180°-40°)=70°. 故∠BOC=180°-70°=110°; (2)因为∠A'的外角等于180°-40°= 140°,△A'B'C'另外的两外角平分线相交于 点O',根据三角形的外角和等于360°,所以 ∠1+∠2= 1 2× (360°-140°)=110°,∠B'O'C' =180°-110°=70°; (3)∵(1)(2)中∠BOC+∠B'O'C'= 110°+70°=180°, ∴∠BOC 与∠B'O'C'互补; 证明:当∠A=n°时, ∠BOC=180°-[(180°-n°)÷2]=90° + n° 2 , ∵∠A'=n°,∠B'O'C'=180°-[360°- (180°-n°)]÷2=90°- n° 2 , ∴∠BOC+∠B'O'C'=90°+ n° 2+90°- n° 2=180° , ∴∠BOC 与∠B'O'C'互补, 所以当∠A=∠A'=n°,∠BOC 与∠B'O'C' 还具有互补的关系. 7.解:① 如 图 1,∵ ∠1 是 △BDF 的 外角, ∴∠B+∠D=∠1. 同理∠A+∠C=∠2. 由三角形内角和定理可知∠1+∠2+ ∠E=180°, 即∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°; 图1 图2 图3 ②如图2,∵∠1是△ABD 的外角, ∴∠A+∠D=∠1. 同理∠E+∠EBD=∠2. 由三角形内角和定理可知∠1+∠2+ ∠C=180°, 即∠EBD + ∠D + ∠A + ∠C+ ∠E =180°; ③如图3,∵∠2是△ACN 的外角, ∴∠C+∠A=∠2. 同理∠D+∠B=∠1. 由三角形内角和定理可知∠1+∠2+ ∠E=180°, 即∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°. 故结论都成立. 微探究 与三角形有关的角 【典型例题】 例1 ∠2=2∠3=44° 变式练习1 ∠3=148° 例2 ∠3=∠B+∠2=35°+20°=55° 变式练习2 ∠1=114°,∠DBE=29° 例3 (1)∠ACD = ∠B,理 由 略 (2) △ADE 是直角三角形,理由略 (3)∠A+ ∠D=90°,理由略 变式练习3 (1)∠BCE=∠BAD,理由略 (2)结论还成立 【巩固练习】 1.C 2.A 3.A 4.60 5.70 6.(1) = (2)220 7.90° 8.(1)45° (2)13° 9.(1)∠ABD=∠ACE (2)∠BCE=30°,∠EOD=110° 10.(1)30° (2)不存在“特征角”为120° 的三角形,理由略 (3)60°<α<90° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·3·