22.1.4 课时1 y=ax2+bx+c的图象和性质课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

课时1 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质 九年级上册 数学 人教版 学习目标 新课引入 新知学习 课堂小结 1 2 3 4 目录 CONTENTS 1.会用配方法将二次函数y = ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k.(难点) 2.能熟练求出二次函数y = ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴,说出函数 的性质.(重点) 3.了解二次函数y = ax2+bx+c中a、b、c与图象的关系. 学习目标 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的. 增减性 向上 向下 (h ,k) (h ,k) 直线x=h 直线x=h 当x<h时,y随着x的增大而减小;当x>h时,y随着x的增大而增大. 当x<h时,y随着x的增大而增大;当x>h时,y随着x的增大而减小. x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 新课引入 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 如何研究二次函数的图象和性质呢? 用描点法画出函数图像,再观察函数图像总结其性质 问题1 你能画出函数 的图象吗? 解:列表 … 2 4 6 8 10 ... … ... x 11 5 3 5 11 新知学习 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 观察表格,你可以得到哪些信息? ①当 x < 6 时,y 随 x 的增大而减小;当 x > 6 时,y 随 x 的增大而增大; ②二次函数的顶点坐标为(6,3); ③二次函数的对称轴为直线x=6; ④二次函数的最小值是3. … 2 4 6 8 10 ... … ... x 11 5 3 5 11 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 1 10 x y 5 10 O 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 6 7 8 9 11 (2)描点 (3)连线,用平滑的曲线画出函数图象 由图象可知: ①与y轴的交点坐标为(0,21) ②开口向上 ③顶点坐标为(6,3) ④对称轴:直线x=6 ⑤y最小值=3 ⑥增减性: (6,3) x=6 当 x < 6 时,y 随 x 的增大而减小; 当 x > 6 时,y 随 x 的增大而增大; 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 问题2 联系上节课所学习的二次函数顶点式,有没有更简单的方法画出函数 的图象? 可以利用配方法,将 化成 y=a(x-h)2+k的形式 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 3.“化”:化成顶点式. 1. “提”:提出 二次项系数; 2.“配”:括号内配成完全平方式(一次项系数绝对值一半的平方); = (x-6) 2+3 问题3 怎么利用配方法进行转化? 配 方 = (x2-12x)+21 = (x2-12x+36-36)+21 = (x-6) 2-18+21 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 例1. 将下列二次函数的一般式用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式,并写出它们的对称轴和顶点坐标. (1) y=x2-2x+1; (2) y=2x2-4x+6. 解:原式= ( x - 1 ) 2 对称轴为直线x=1 顶点坐标为(1,0) 解:原式= 2( x2 - 2x ) + 6 = 2( x2 - 2x+1-1 )+6 = 2( x -1 )2- 2 + 6 =2( x -1 )2 + 4 对称轴为直线x=1 顶点坐标为(1,4) 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 解:原式= (3) ∴对称轴为直线x=3 顶点坐标为(3,1) (4) 解:原式= ∴对称轴为直线x=-8 顶点坐标为(-8,29) 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 如何用配方法将一般式 y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 ) 化成 y = a(x-h)2+k的形式? y=ax +bx+c 思考 步骤: 1. “提”:提出二次项系数; 2.“配”:括号内配成完全平方式 (一次项系数绝对值一半的平方); 3.“化”:化成顶点式. 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 归纳 一般地,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式,即 因此,抛物线 y=ax2+bx+c 的 对称轴是直线 顶点坐标是 抛物线与y轴的交点为(0,c) 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 (1) x y O 从二次函数y = ax2+bx+c的图象可以看出: 若a>0, 当x< 时,y 随 x 的增大而减小;当x > 时,y随 x 的增大而增大; y = ax2+bx+c 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 (2) x y O 若a<0, 当 x< 时,y 随 x的增大而增大;当x> 时,y 随 x 的增大而减小; y = ax2+bx+c(a<0) 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 例2 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点: (1)y=3x2+2x; (2)y= -x2-2x; (3)y= -2x2+8x-8; (4)y= x2-4x+3. 开口向下, 对称轴为x= -1, 顶点为( -1 ,1). 开口向上, 对称轴为直线 x =- , 顶点为(- , ). 开口向下, 对称轴为x=2 顶点为(2,0). 开口向上, 对称轴为x=4, 顶点为(4,-5). 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 例3 对于二次函数 y = x2 + x - 4,下列说法正确的是 ( ) A. 当 x > 0 时,y 随 x 的增大而增大 B. 当 x = 2 时,y 有最大值 -3 C. 图象的与y轴的交点坐标为 ( -2 , -7 ) D. 若A(-2,a),B(0, b),C(3,c)三点在此抛物线上,则a>b>c B 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 原式= ∴当x=0时,y=-4,所以与y轴的交点坐标为 (0,-4),所以C错误 ∵开口向下 ∴当 x < 2 时,y 随 x 的增大而增大, ∴A错误 ∴有最大值,最大值为顶点坐标的纵横坐 标值-3,所以B正确 将-2,0,3代入二次函数解析式中可得 a=-7,b=-4,c= ∴c>b>a,所以D错误 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 的图示过程如下: 列表 … -2 0 2 4 6 ... … ... x -7 -4 -3 -4 -7 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 6 (2)描点 (3)连线,用平滑的曲线画出函数图象 也可用图象判断选项 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 二、二次函数y = ax2+bx+c(a≠0) 的图象与系数的关系 a决定抛物线的开口方向 当开口向上时,a >0; 当开口向下时,a<0. x y O x y O 问题1:画二次函数y = ax2+bx+c(a≠0) 的草图第一步要确定开口,那怎么确定呢? 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 对称轴在y轴左侧; b与a决定对称轴的位置 对称轴在y轴右侧; 当b=0 ,即 时, 当b与a异号,即 时, 当b与a同号,即 时, 记忆口诀:左同右异 对称轴是y轴. 问题2:怎么确定二次函数y = ax2+bx+c(a≠0) 的对称轴? x x x x 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 c决定抛物线与y轴的交点位置 c=0 c>0 c<0 x y O x y O x y O 问题3:怎么确定二次函数y = ax2+bx+c(a≠0) 与y轴的交点位置? 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 字母的符号 图象的特征 a b c a>0 开口向上 a<0 开口向下 ab>0( a,b同号 ) 对称轴在 y 轴左侧 ab<0( a,b异号 ) 对称轴在 y 轴右侧 c = 0 图象过原点 c > 0 交于 y 轴正半轴 c < 0 交于 y 轴负半轴 归纳 二次函数y = ax2+bx+c的图象与系数 a、b、c 的关系 b=0 对称轴为 y 轴 左同右异 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,试判断a,b,c的正负 ∵开口向上,所以a > 0. ∵图象与y轴的交点在y轴的正半轴,所以c > 0 由图可得,二次函数的对称轴在y轴的右侧, 所以根据左同右异可得a与b异号,所以b < 0. 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 1. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的 x、y 的部分对应值如下表: A.图象的对称轴为直线 x =1 B.当 x < 2 时,y 随 x 的增大而减小 C. 图象开口向下 D. 函数与y轴的交点为(0,1) 则下列说法正确的是( ) D x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 随堂练习 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论: ① abc>0;② 2a-b<0;③ 4a-2b+c<0;④ (a+c)2<b2. 其中正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 由图象开口向下可得 a<0, 由对称轴在 y 轴左侧可得 b<0, 由图象与 y 轴交于正半轴可得 c>0, 则 abc>0,故①正确; 由对称轴 x = >-1 可得 2a-b<0,故②正确; 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 则 (a+b+c)(a-b+c)<0, 即 (a+c)2-b2<0,所以 (a+c)2<b2, 故④正确.综上所述,①②③④都正确. 故选 D. 由图象上横坐标为-2 的点在第三象限可得 4a-2b+c<0,故③正确; 由图象上横坐标为 1 的点在第四象限得 a+b+c<0, 由图象上横坐标为-1 的点在第二象限得 a-b+c>0, ③ 4a-2b+c<0 ④ (a+c)2<b2 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 3. 已知二次函数 y = x2 − 4x − 1. (1) 将函数 y = x2 − 4x − 1 的解析式化为 y = a(x + m)2 + k 的形式,并指出该函数图象的顶点 的坐标; 解:(1)y = x2 − 4x − 1 = (x − 2)2 − 5, 该函数图象的顶点 B 的坐标为 (2,−5). 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 (2) 在平面直角坐标系 xOy 中,设抛物线 y = x2 − 4x − 1与 y 轴交点为 C,抛物线的对称轴与 x 轴交点为 A,求四边形 OABC 的面积. 解:如图,令 x = 0,则 y = −1, ∴ OC = 1. ∵ B (2,−5), ∴ OA = 2,AB = 5. ∴ S四边形OABC = 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 a a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 向上 向下 当 x< 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x> 时,y 随着x 的增大而增大. 当 x< 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x> 时,y 随着 x 的增大而减小. x = 时,y最小= x = 时,y最大= 课堂小结 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 字母的符号 图象的特征 a b c a>0 开口向上 a<0 开口向下 ab>0( a,b同号 ) 对称轴在 y 轴左侧 ab<0( a,b异号 ) 对称轴在 y 轴右侧 c = 0 图象过原点 c > 0 交于 y 轴正半轴 c < 0 交于 y 轴负半轴 二次函数y = ax2+bx+c的图象与系数 a、b、c 的关系 b=0 对称轴为 y 轴 左同右异 课时1 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 $$