第1章 1 第2课时 验证并应用勾股定理（课件PPT）-【中考123】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程导练（北师大版2024）

勤为径图书 导基础 练能力 验成果 立足教材 巩固新知 夯实基础 击破重难 强化应用 提升能力 查缺补漏 拓展训练 从容备考 基础性 综合性 应用性 创新性 一书多册 互为补充 学习更高效 勤为径图书 数 学 八年级上册（北师版） 【答案 P1】 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第2课时　勾股定理的验证及简单应用 勤为径图书 C 勤为径图书 勤为径图书 a＋b c (a＋b)2 2ab＋c2 (a＋b)2＝2ab＋c2 a2＋b2＝c2 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 8 勤为径图书 5 000 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 D 勤为径图书 675 勤为径图书 4 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 c2－2ab (b－a)2 a2＋b2＝c2 勤为径图书 13 x3－x＝x(x＋1)(x－1) 勤为径图书 勾股定理的验证　　 1．下面各图中，不能验证勾股定理正确性的是( ) eq \o(\s\up18(),\s\do18(A)) 　 eq \o(\s\up18(),\s\do18(B)) 　 eq \o(\s\up18(),\s\do18(C)) 　 eq \o(\s\up18(),\s\do18(D)) 2．(教材母题变式)如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a，b(a<b)，斜边长为c. INCLUDEPICTURE "全程导练·数学·北师版·八上·教用书版/LYST10-16.TIF" \* MERGEFORMAT 2题图① 　2题图② (1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形(如图②). ①大正方形的边长为______，小正方形的边长为__； ②大正方形的面积可以表示为____________，也可以表示为____________； ③观察两种表示方法，可得出__________________，整理得__________，从而验证勾股定理； (2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使BC和CD在一条直线上，连接AE.请你类比(1)中的方法用图③验证勾股定理． 2题图③ 解：(2)因为∠B＝90°，所以∠BAC＋∠ACB＝90°. 因为∠BAC＝∠DCE，所以∠DCE＋∠ACB＝90°， 所以∠ACE＝180°－∠DCE－∠ACB＝90°， 所以S梯形ABDE＝S△ABC＋S△CDE＋S△ACE＝ eq \f(1,2)ab＋ eq \f(1,2)ab＋ eq \f(1,2)c2. 又因为S梯形ABDE＝ eq \f(1,2)BD·(DE＋AB)＝ eq \f(1,2)(a＋b)(a＋b)， 所以 eq \f(1,2)ab＋ eq \f(1,2)ab＋ eq \f(1,2)c2＝ eq \f(1,2)(a＋b)2， 整理得a2＋b2＝c2. 勾股定理的简单应用　　 3．如图，公园内有一块长方形的草坪，已知AB的长为16 m，AC的长为20 m，由于路人沿路线AC抄近道，践踏了绿地，小亮想在A处树立一个标牌“少走□米，踏之何忍”，则小亮应在标牌的□处填入的数是__． 3题图 4．如图，韩彬同学从家(记作A)出发向北偏东30°的方向行走了4 000米到达超市(记作B)，然后再从超市出发向南偏东60°的方向行走3 000米到达卢飞同学家(记作C)，则韩彬家到卢飞家的距离为__________米． 4题图 5．一辆装满货物的卡车，高2.5 m，宽1.6 m，要开进上边是半圆，下边是长方形的隧道，如图所示，已知半圆的直径为2 m，长方形的另一条边长是2.3 m. (1)此卡车是否能通过隧道？试说明你的理由； (2)为了适应车流量的增加，先把隧道改为双行道，要使宽为1.2 m，高为2.8 m的卡车能安全通过，那么此隧道的宽至少增加到多少？ 5题图 解：(1)该卡车能通过隧道．理由如下：如答图①，MN为卡车的宽度，分别过点M，N作AB的垂线交半圆于点C，D，连接CD，过AB的中点O作OE⊥CD，E为垂足，连接OC．易知CD＝MN＝1.6 m，AB＝2 m，所以由对称可得CE＝DE＝0.8 m，OC＝OA＝1 m.在Rt△OCE中，OE2＝OC2－CE2＝0.36，即OE＝0.6 m，所以CM＝2.3＋0.6＝2.9(m)>2.5 m，所以这辆卡车能通过隧道． INCLUDEPICTURE "全程导练·数学·北师版·八上·教用书版/LYST10-21DA.TIF" \* MERGEFORMAT 5题答图① 　5题答图② (2)如答图②，EC为卡车的宽度，过点E作AH的垂线交半圆于点B，垂足为F，连接OB，过点B作BG⊥CO，交CO的延长线于点G.根据题意可知CG＝BE＝2.8 m，BG＝OF＝EC＝1.2 m，EF＝AD＝2.3 m，所以BF＝2.8－2.3＝0.5(m).根据勾股定理，得OA2＝OB2＝BF2＋OF2＝0.52＋1.22＝1.69，即OA＝1.3 m，所以隧道的宽至少增加到1.3×2＝2.6(m). 6．如图，要在高BC为3 m，斜坡长AB为5 m的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少为( ) 6题图 A．4 m B．5 m C．6 m D．7 m 7．(陕西西安期中)如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若S1＋S2＋S3＝2 025，则S2的值是______． 7题图 8．把图①中长和宽分别为6和4的两个全等长方形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图②的正方形，则图②中小正方形ABCD的面积为__． INCLUDEPICTURE "全程导练·数学·北师版·八上·教用书版/LYST10-25.TIF" \* MERGEFORMAT 8题图① 　 8题图② 9．[传统文化]如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6 cm，AC＝5 cm. (1)求图①中小正方形的面积； (2)若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长(图中实线部分). INCLUDEPICTURE "全程导练·数学·北师版·八上·教用书版/LYST10-29.TIF" \* MERGEFORMAT 9题图① 　 9题图② 解：(1)S小正方形＝(BC－AC)2＝(6－5)2＝1(cm2)， 所以题图①中小正方形的面积为1 cm2. (2)由题意可知CD＝6×2＝12(cm). 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2＋CD2＝AD2， 所以52＋122＝AD2＝169， 所以AD＝13 cm， 所以这个风车的外围周长为4×(13＋6)＝4×19＝76(cm). 10．【知识生成】我们知道，通过不同方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式.2002年8月在北京召开的国际数学大会会标如图①所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c. (1)图中阴影部分的面积用两种方法可分别表示为___________、___________； (2)你能得出的a，b，c之间的数量关系是_____________(等号两边需化为最简形式)； 【知识应用】 (3)一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为____； 【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式． (4)如图②③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图②和图③中图形的变化关系，以整式乘法形式写出一个代数恒等式：________________________________. INCLUDEPICTURE "全程导练·数学·北师版·八上·教用书版/LYST10-31.TIF" \* MERGEFORMAT 10题图① 10题图②　 10题图③ 解：(4)[解析]根据题意可知，题图②的图形的体积为x3－x，题图③的图形的体积为x(x＋1)·(x－1)，所以x3－x＝x(x＋1)(x－1).故恒等式为x3－x＝x(x＋1)(x－1). $$