专题08 动量（知识清单）（全国通用）2026年高考物理一轮复习讲练测

专题08 动量 目录 01知识脑图·学科框架速建 02考点精析·知识能力全解 【知能解读01】动量和动量定理 一、动量 二、冲量 三、动量变化量 四、动量定理 五、动量定理的应用 【知能解读02】动量守恒定律及其应用 一、动量守恒定律 二、动量守恒定律的推导及应用 三、反冲 四、爆炸 【核心考点】碰撞的分类以及应用 03 攻坚指南·高频考点突破 【重难点突破01】滑块-弹簧模型 【重难点突破02】子弹打木块模型 04 避坑锦囊·易混易错诊疗 【易混易错01】滑块-木板模型的临界问题 【易混易错02】动量定理的应用——流体类模型 05 通法提炼·高频思维拆解 【方法技巧01】人船模型——微积分思想在动量中的应用 【方法技巧02】滑块-斜面（曲面）模型——相对运动与临界问题 01 动量和动量定理 一、动量 1. 定义：物体的质量和速度的乘积，用字母p表示。其定义式为p=mv，单位是千克·米每秒，符号是kg·m/s。 2. 性质： 瞬时性 通常说物体的动量是物体在某一时刻或某一位置的动量，所以说动量具有瞬时性，是状态量。 矢量性 动量具有方向，其方向与速度的方向相同，其运算遵循平行四边形定则。 相对性 动量具有相对性，选取不同的参考系，同一物体的速度可能不同，物体的动量也就不同。通常在不说明参考系的情况下，物体的动量是指相对地面的动量。 注意：动量与动能的关系 区别 动量是矢量，从运动物体的作用效果方面描述物体的状态，动量的变化因素是合外力的冲量； 动能是标量，从能量的角度描述物体的状态，动能的变化因素是合外力所做的功。 联系 动量和动能都是描述物体运动状态的物理量，且p＝或Ek＝ 都是相对量，与参考系的选取有关，通常选取地面为参考系 若物体的动能发生变化，则动量一定也发生变化；但动量发生变化时动能不一定发生变化。 【跟踪训练】（2025·广东广州·三模）所谓“双星”就是两颗相距较近的恒星，这两颗星在彼此之间万有引力作用下，各自以一定的速率始终绕它们连线上的某点转动，则（　　） A．两颗星做圆周运动的半径之比等于它们质量之比 B．两颗星速度大小之比等于它们质量的反比 C．两颗星的动能之比等于它们做圆周运动的半径的反比 D．两颗星的动量始终相同 二、冲量 1. 定义：力和力的作用时间的乘积。用字母I表示冲量，其定义式为I=Ft，在国际单位制中，冲量的单位是牛·秒，符号为 N·s。 【注意】I＝Ft适用于求恒力的冲量。 2. 性质：冲量是矢量，方向与力的方向相同，计算满足平行四边形法则。反映力的作用对时间的累积效应。 3. 对冲量的理解 （1）冲量是力在一段时间内的积累，是过程量，其大小取决于力和时间这两个因素，求解时一定要明确是哪一个力在那一段时间内的冲量。 （2）由于力与时间均与参考系无关，则冲量与参考系无关，具有绝对性。 （3）物理意义：反映力的作用对时间的累积效应。 4. 冲量的计算方法 （1）求恒力的冲量（公式法）：该力的冲量的数值等于力与力的作用时间的乘积，冲量的方向与恒力的方向一致。I＝FΔt，无需考虑物体的运动状态。 （2）求变力的冲量： ①若该力的方向不变、大小随时间均匀变化，即力为时间的一次函数，该力的冲量可以用该力在作用时间内的平均值计算，即用力的平均值代替F，公式： ②利用F-t图像的面积求解。F-t图线与t轴所围图形的面积表示力的冲量。 注意：动量定理法：物体所受合力的冲量等于物体动量的变化量，即I＝p′－p。适用于一切情况。 （3）求合力的冲量 ①可分别求每一个力的冲量，再求各冲量的矢量和。 ②如果各个力的作用时间相同，也可以先求合力，再用公式I合=F合Δt求解。 注意：冲量和功的比较 物理量 冲量 功 定义 作用在物体上的力和力作用时间的乘积 作用在物体上的力和物体在力的方向上的位移的乘积 单位 N·s J 公式 (F为恒力) (F为恒力) 性质 矢量 标量 意义 表示力对时间的累积；是动量变化的量度 表示力对空间的累积；是能量变化的量度 作用效果 改变物体的动量 改变物体的动能 联系 都是过程量，都与力的作用过程相联系 【跟踪训练】（2025·陕西汉中·三模）一物体竖直向上抛出，从开始抛出到落回抛出点所经历的时间是t，上升的最大高度是H，所受空气阻力大小恒为F，则在时间t内 （　　） A．物体受重力的冲量为零 B．物体动量的增量大于抛出时的动量 C．在上升过程中空气阻力对物体的冲量比下降过程中的冲量大 D．物体机械能的减小量等于FH 三、动量变化量 1. 定义：动量的变化量是指物体在某段时间内末动量与初动量的矢量差，是矢量，其方向与速度的改变量Δv相同。表达式：Δp=p2-p1为矢量式，运算遵循平行四边形定则。 【注意】因为 p＝mv 是矢量，只要 m 的大小、v 的大小和 v 的方向三者中任何一个发生了变化，动量 p 就发生变化。 2.动量变化量的理解和计算 当物体做直线运动时，只需选定正方向，与正方向相同的动量取正，反之取负。若Δp 是正值，就说明Δp 的方向与所选正方向相同；若Δp 是负值，则说明Δp 的方向与所选正方向相反。 当初、末状态动量不在一条直线上时，可按平行四边形定则求Δp 的大小和方向   【跟踪训练】（2025·甘肃庆阳·三模）质量为m的列车以额定功率P0在平直轨道上做加速运动，经时间t达到该功率下的最大速度，设列车受到的阻力恒为Ff，则在时间t内（　　） A．列车做匀加速直线运动 B．牵引力做的功为P0t C．列车的位移小于- D．列车的动量变化量为m 四、动量定理 1. 定义：物体在一个过程中所受合外力的冲量等于该物体在这个过程中动量的变化量。 说明：这里说的“合外力的冲量”指的是各外力的合力的冲量，或者是各外力的冲量的矢量和。 2. 表达式：I=p2-p1或Ft=mv2-mv1。 表达式是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的意思。公式中的F是物体所受的合外力，若合外力是变力，则F应是合外力在作用时间内的平均值。 3. 关于I=Δp=p2-p1的几点说明 a. 合外力的冲量I是原因，动量的变化量Δp是结果。 b. 物体动量的变化量Δp的大小和方向与合外力的冲量I的大小和方向均相同。 c. 合外力的冲量I与初动量p1、末动量p2的大小和方向均无必然联系。 【跟踪训练】（2025·宁夏银川·模拟预测）我国新能源汽车技术处于世界领先水平，2025年某企业有一款新上市的新能源汽车，在粗糙路面的启动阶段可看做初速度为零的匀加速直线运动。在启动阶段，则下列说法中正确的是（　　） A．该车牵引力的冲量等于它动量的变化 B．开车时系好安全带能减小刹车时人的动量变化 C．该车的动量与它的加速度成正比 D．该车的动量与它经历的时间成正比 五、动量定理的应用 1. 定性分析有关现象： ①物体的动量变化量一定时，力的作用时间越短，力就越大；力的作用时间越长，力就越小。 ②作用力一定时，力的作用时间越长，动量变化量越大；力的作用时间越短，动量变化量越小。 2. 定量计算某过程中合外力的冲量或动量变化量： 根据动量定理，一个物体的动量变化量与合外力的冲量大小相等，方向相同，据此有，。 3. 求流体问题或粒子流问题：解决这类问题等的持续作用时，需以“流体”、“粒子流”等为研究对象，方法为：选取“柱状”模型，利用微元法来求解（分析方法为：选取一小段时间内（Δt）的连续体为研究对象；确定Δt内连续体的质量Δm与Δt的关系式，若连续体密度为ρ，则Δm＝ρΔV＝ρSvΔt；分析连续体的受力情况和动量的变化情况；应用动量定理列出数学表达式；求解并分析和讨论结果。） 注意：应用动量定理的解题思路 【跟踪训练】（2025·山西临汾·三模）一物块静止在粗糙水平地面上，0~4s内所受水平拉力随时间的变化关系图像如图甲所示，0~2s内速度—时间图像如图乙所示，取重力加速度g=10m/s²，关于物块的运动。下列说法正确的是（　　） A．前2s内拉力做的功为12J B．前4s内拉力的冲量为 C．前4s内物块一直在运动 D．物块在4s末减速为零 02 动量守恒定律及其应用 1. 系统、内力和外力 (1)系统：由两个(或多个)相互作用的物体构成的整体叫作一个力学系统，简称系统。 (2)内力：系统中物体间的相互作用力。 (3)外力：系统以外的物体施加给系统内物体的力。 【注意】在研究多个物体的相互作用（复杂过程）时，有时分析每一个物体的受力情况比较难，也容易出错，这时可以把若干个物体看成一个系统，这样复杂的问题就会变简单，因此在解决复杂的问题时，要根据实际需要和求解问题的方便程度，合理选择系统。 2. 动量守恒定律 (1)内容：一个系统不受外力或者所受合外力为0时，这个系统的总动量保持不变。 (2)表达式：对两个物体组成的系统，m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'。 (3)守恒条件 a. 系统不受外力或者所受外力的矢量和为零。 b. 系统所受合外力远小于系统内力时，外力的作用可忽略，近似认为系统动量守恒。 c. 系统所受合外力不为0，但在某一方向上受到的合外力为0，则系统在这一方向上动量守恒。 补充：动量守恒定律的四种表达式 m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2 选定正方向，将式中各矢量转化为代数量，用正、负符号表示各自的方向，式中的速度均为瞬时速度，均以地球为参考系。 p＝p′ 系统相互作用前的总动量p和相互作用后的总动量p′大小相等、方向相同。系统总动量的求法遵循平行四边形法则。 Δp＝p′－p＝0 系统总动量的增量为零。 Δp1＝－Δp2 相互作用的系统内中的一部分动量的增加量等于另一部分动量的减少量。 补充：对动量守恒条件的理解 理想条件 系统不受外力作用时，系统动量守恒。系统不受外力的条件可放宽至系统所受外力之和为零。 近似条件 系统所受合外力不为零时，但系统的内力远大于外力，系统的动量可看成近似守恒。比如碰撞、爆炸等现象。 实际条件 系统所受合外力为0。 单方向的守恒条件 系统在某一方向上符合以上两条中的某一条，则系统在该方向上动量守恒。 某阶段守恒条件 全过程的某一阶段系统受的合外力为零，则该阶段系统动量守恒。 补充：单方向动量守恒常见模型(地面均光滑)：     【跟踪训练】（2025·河南·高考真题）两小车P、Q的质量分别为和，将它们分别与小车N沿直线做碰撞实验，碰撞前后的速度v随时间t的变化分别如图1和图2所示。小车N的质量为，碰撞时间极短，则（　　） A． B． C． D． 二、动量守恒定律的推导及应用 1. 动量守恒定律的推导 水平桌面上有两个小球，它们的质量分别为m1和m2，沿着水平向右的方向做匀速直线运动，它们的速度分别是v1和v2，且v2＞v1。当质量为m2的小球追上质量为m1的小球时两球发生碰撞，碰后两球的速度分别为v1′和v2′，如下图所示： 设碰撞过程中质量为m1的小球受到质量为m2的小球对它的作用力是F1，质量为m2的小球受到质量为m1的小球对它的作用力是F2。 相互作用时间为t，根据动量定理，有：F1t＝m1(v1′－v1)；F2t＝m2(v2′－v2) 因为F1与F2是两球间的相互作用力，根据牛顿第三定律有：F1＝－F2，则m1v1′－m1v1＝m2v2－m2v2′，即m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′。 注意：对动量守恒定律应用问题的分析 1. 动量守恒中的速度 在应用动量守恒定律时，关于速度，需注意以下几个问题。(以两个物体组成的系统的动量守恒为例，有m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2') (1)速度的矢量性：需先规定正方向，根据规定的正方向把各速度的正负代入； (2)速度的同时性：式中的v1、v2为作用前两物体同一时刻的速度，v1'、v2'为作用后两物体同一时刻的速度； (3)速度的同一性：各速度均以地面为参考系，若题目中给出的是两物体之间的相对速度，可利用下式把相对速度转化为对地速度，vA对地=vA对B+vB对地。 2. 碰撞中的“时间极短”的含义 “时间极短”是一种特定的物理语言，是碰撞问题中的一个隐含条件，正确理解和利用碰撞中“时间极短”这个隐含条件，往往是解决问题的关键。由于某些物理量在极短时间内的变化可以忽略，因此，“时间极短”时可近似处理一些问题。 3. 多物体、多过程问题中动量守恒定律的应用 (1)物理过程的多变性，往往使问题复杂化，解题时我们可以通过对物理过程的正确分析，把一个复杂的过程分解为几个简单的子过程，对每一个子过程，选择合适的物理规律求解，通常要结合机械能守恒定律、能量守恒定律。 (2)在某些情况下，我们不但要研究若干物体组成的大系统，还要根据题目的要求以及守恒条件选择某个子系统进行研究，这就需要把复杂的大系统恰当地划分为简单的子系统。 【跟踪训练】（2014·福建·高考真题）一枚火箭搭载着卫星以速率v0进入太空预定位置，由控制系统使箭体与卫星分离．已知前部分的卫星质量为m1，后部分的箭体质量为m2，分离后箭体以速率v2沿火箭原方向飞行，若忽略空气阻力及分离前后系统质量的变化，则分离后卫星的速率v1为（ ） A．v0-v2 B．v0+v2 C． D． 三、反冲 1. 定义：一个静止的物体在内力的作用下分裂为两部分，一部分向某个方向运动，另一部分必然向相反的方向运动的现象。 2. 规律 （1）相互作用：反冲运动是系统内两物体之间的作用力和反作用力产生的效果。 （2）动量守恒：反冲运动中，相互作用力一般较大，通常可以用动量守恒定律来处理。 （3）机械能增加：反冲运动中，由于有其他形式的能转化为机械能，所以系统的总机械能增加。 【注意】速度的反向性：若系统原来静止，抛出部分具有速度时，剩余部分的反冲是相对于抛出部分而言的，两者速度方向相反，可任意规定某一部分的运动方向为正方向，列出动量守恒方程。 速度的相对性：在反冲运动中，若已知条件是物体间的相对速度，利用动量守恒定律列方程时，应将相对速度转化为绝对速度(一般设为对地速度)。 3. 火箭 （1）原理：利用反冲运动，火箭燃料燃烧产生的高温、高压燃气从尾部喷管迅速喷出，使火箭获得巨大速度。 （2）影响因素：①喷气速度；②质量比（火箭起飞时的质量与火箭除燃料外的箭体质量之比．喷气速度越大，质量比越大，火箭获得的速度越大）。 【注意】变质量问题：在反冲运动中还常遇到变质量物体的运动，如在火箭的运动过程中，随着燃料的消耗，火箭本身的质量不断减小，此时必须取火箭本身和在相互作用的短时间内喷出的所有气体为研究对象，取相互作用的这个过程为研究过程来进行研究。 火箭问题：①火箭在运动过程中，随着燃料的燃烧，火箭本身的质量不断减小，故在应用动量守恒定律时，必须取在同一相互作用时间内的火箭和喷出的气体为研究对象；②注意反冲前、后各物体质量的变化；③明确两部分物体初、末状态的速度的参考系是否为同一参考系，如果不是同一参考系要设法予以转换，一般情况要转换成对地的速度。列方程时要注意初、末状态动量的方向。 【跟踪训练】（2025·四川达州·模拟预测）2024年10月30日11时，神舟十九号飞船与中国空间站完成自主交会对接，在交会对接前的最后阶段，神舟十九号与空间站在同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆形轨道。要使神舟十九号在同一轨道上追上空间站实现对接，下列神舟十九号喷射燃气的方向可能正确的是（　　） A． B． C． D． 四、爆炸 1.特点：物体间的相互作用突然发生，作用时间很短，系统内部作用力很大，且远大于系统受的外力，故可用动量守恒定律来处理。 2、规律 动量守恒：系统的内力远远大于外力，外力可忽略不计，系统的总动量守恒。 动能增加：在爆炸过程中，有其他形式的能量（如化学能）转化为动能。 位置不变：由于爆炸问题作用时间很短，作用过程中物体的位移很小，一般可忽略不计，可以把作用过程作为一个理想化过程简化处理，认为爆炸后还从作用前瞬间的位置以新的动量开始运动。 【跟踪训练】（2022·江苏·高考真题）利用云室可以知道带电粒子的性质，如图所示，云室中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，一个质量为m、速度为v的电中性粒子在A点分裂成带等量异号电荷的粒子a和b，a、b在磁场中的径迹是两条相切的圆弧，相同时间内的径迹长度之比，半径之比，不计重力及粒子间的相互作用力，求： （1）粒子a、b的质量之比； （2）粒子a的动量大小。 碰撞的分类以及应用 一、碰撞 1. 定义：碰撞指的是两个物体在很短的时间内发生相互作用。 【注意】碰撞前指的是即将发生碰撞那一时刻，而不是发生碰撞前的某一时刻；碰撞后指的是碰撞刚刚结束的那一时刻， 而不是发生碰撞后的某一时刻。 2. 特点 时间特点：在碰撞现象中，相互作用时间很短。 相互作用力的特点：在碰撞过程中物体间的相互作用力先是急剧增大，然后再急剧减小，即相互作用力为变力，作用时间短，作用力很大，且远远大于系统的外力。 动量守恒的特点：碰撞过程即使系统所受外力之和不为零，但是系统内力远大于外力，所以外力可以忽略，满足动量近似守恒的条件，故均可用动量守恒定律来处理。 位移特点：由于碰撞过程是在一瞬间发生的，时间极短，所以，在物体发生碰撞瞬间，可忽略物体的位移，即认为物体在碰撞、爆炸前后仍在同一位置，但速度发生了突变。 能量特点：在碰撞过程中，没有其他形式的能转化为机械能，则系统碰撞后的总机械能不可能大于碰撞前系统的总机械能。 3. 遵循原则 (1)动量守恒：即p1＋p2＝p1′＋p2′。 (2)动能不增加：即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋. (3)速度要合理 ①若碰前两物体同向运动，则应有v后>v前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v前′≥v后′。 ②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变 二、对心碰撞和非对心碰撞 1. 对心碰撞 如图所示，一个运动的球与一个静止的球碰撞，碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在同一条直线上，碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线。这种碰撞称为正碰，也叫对心碰撞。 2. 非对心碰撞 如图所示，一个运动的球与一个静止的球碰撞，如果碰撞之前球的运动速度与两球心的连线不在同一条直线上，碰撞之后两球的速度都会偏离原来两球心的连线。这种碰撞称为非对心碰撞。 三、弹性碰撞和非弹性碰撞 1. 弹性碰撞 （1） “动碰动”弹性碰撞 发生弹性碰撞的两个物体碰撞前后动量守恒，动能守恒，若两物体质量分别为m1和m2，碰前速度为v1，v2，碰后速度分别为v1ˊ，v2ˊ，则有： (1) (2) 联立（1）、（2）解得： v1’=，v2’=. 特殊情况： 若m1=m2 ，v1ˊ= v2 ，v2ˊ= v1 . （2） “动碰静”弹性碰撞的结论 两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生正面弹性碰撞为例，则有 m1v1＝m1v1′＋m2v2′ （1） m1v＝m1v1′2＋m2v2′2 （2） 解得：v1′＝，v2′＝ 结论：(1)当m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1(质量相等，速度交换) (2)当m1＞m2时，v1′＞0，v2′＞0，且v2′＞v1′(大碰小，一起跑) (3)当m1＜m2时，v1′＜0，v2′＞0(小碰大，要反弹) (4)当m1≫m2时，v1′＝v0，v2′＝2v1(极大碰极小，大不变，小加倍) (5)当m1≪m2时，v1′＝－v1，v2′＝0(极小碰极大，小等速率反弹，大不变) 2. 非弹性碰撞和完全非弹性碰撞 （1）非弹性碰撞：介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的碰撞。动量守恒，碰撞系统动能损失。 根据动量守恒定律可得：m1v1+m2v2=m1v1ˊ+m2v2ˊ (1) 损失动能ΔEk，根据机械能守恒定律可得： m1v12+ m2v22=m1v1ˊ2+m2v2ˊ 2 + ΔEk. (2) （2）完全非弹性碰撞 碰后物体的速度相同， 根据动量守恒定律可得： m1v1+m2v2=(m1+m2)v共 （1） 完全非弹性碰撞系统损失的动能最多，损失动能： ΔEk= ½m1v12+ ½ m2v22- ½(m1+m2)v共2 （2） 联立（1）、（2）解得：v共 =；ΔEk= 注意：碰撞的类型及遵从的规律 类型 遵从的规律 弹性碰撞 动量守恒，机械能守恒 非弹性碰撞 动量守恒，机械能有损失 完全非弹性碰撞 动量守恒，机械能损失最大，碰后速度相同 注意：爆炸模型与碰撞模型的比较 情形 碰撞 爆炸 不同点 碰撞过程中没有其他形式的能转化为机械能，系统的动能不会增加 爆炸过程中往往有化学能转化为动能，系统的动能增加 相同点 时间特点 相互作用时间很短 相互作用力特点 物体间的相互作用力先是急剧增大，然后再急剧减小，平均作用力很大 系统动量的特点 系统的内力远远大于外力，外力可忽略不计，系统的总动量守恒 位移特点 由于碰撞、爆炸过程是在一瞬间发生的，时间极短，所以，在物体发生碰撞、爆炸的瞬间，可认为物体在碰撞、爆炸后仍在同一位置 【跟踪训练】（2025·江苏·高考真题）如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有n个。在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。 (1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小； (2)若钢球质量为，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小； (3)若钢球质量为，求玻璃球经历次碰撞后的动能。 01 滑块（小球）—弹簧模型 模型 速度—时间图像 规律 情况一：从原长到最短（或最长）时 ①；② 情况二：从原长先到最短（或最长）再恢复原长时 ①；② (1)对于光滑水平面上的弹簧类问题，在作用过程中，系统所受的合外力为零，满足动量守恒的条件。 (2)整个过程涉及弹性势能、动能，还可能涉及内能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题。 (3)弹簧压缩至最短时，弹簧连接的两物体速度相同，此时弹簧的弹性势能最大。 【注意】临界思想：A、B 两物体相距最近时，两物体速度必定相等，此时弹簧最短，其压缩量最大。 【跟踪训练】（2022·全国乙卷·高考真题）如图（a），一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上：物块B向A运动，时与弹簧接触，到时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的图像如图（b）所示。已知从到时间内，物块A运动的距离为。A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为，与水平面光滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求 （1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值； （2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值； （3）物块A与斜面间的动摩擦因数。 02 子弹打木块模型 1. 模型图例 2. 模型特点 (1)子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，系统动量守恒． (2)在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化 3.情景分析： 子弹以水平速度射向原来静止的木块，并留在木块中跟木块共同运动。这是一种完全非弹性碰撞。 设平均阻力大小为，设子弹、木块的位移大小分别为、，如图所示，显然有， 对子弹用动能定理： 对木块用动能定理： 则有：，这个式子的物理意义是：恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积。 4. 结果讨论 (1)子弹留在木块中(未穿出) 若d=L（木块的长度）时，说明子弹刚好穿过木块，子弹和木块具有共同速度v。 若d＜L（木块的长度）时，说明子弹未能穿过木块，最终子弹留在木块中，子弹和木块具有共同速度v。 ①动量守恒：mv0＝(m＋M)v ②机械能损失(摩擦生热) Q热＝Ff·d＝mv02－(m＋M)v2 其中d为子弹射入木块的深度． (2)子弹穿出木块 若d＞L（木块的长度）时，说明子弹能穿过木块，子弹射穿木块时的速度大于木块的速度。设穿过木块后子弹的速度为v1，木块的速度为v2，则有： ①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2 ②机械能的损失(摩擦生热) Q热＝Ff·L＝mv02－mv12－Mv22 【注意】由上式不难求得平均阻力的大小：， 木块前进的距离：。从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比： ，一般情况下，所以s2<<d。这说明，在子弹射入木块过程中，木块的位移很小，可以忽略不计。 该模型的临界问题为：子弹在木块内部，两者速度相等。 【跟踪训练】（2024·湖北·高考真题）如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L的木块，质量为m的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小f与射入初速度大小成正比，即（k为已知常数）。改变子弹的初速度大小，若木块获得的速度最大，则（　　） A．子弹的初速度大小为 B．子弹在木块中运动的时间为 C．木块和子弹损失的总动能为 D．木块在加速过程中运动的距离为 01 滑块-木板模型的临界问题 模型图例 x1 v0 x2 x相对 m1 m2 v共 v共 速度-时间图像 动力学常用关系 功能常用关系 或 动量常用关系 模型特点： 把滑块、木板看成一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒。 由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，ΔE＝Ff·s相对，其中s相对为滑块和木板相对滑动的路程。 【注意】若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，机械能损失最多。滑块—木板模型与子弹打木块模型类似，都是通过系统内的滑动摩擦力相互作用，系统所受的外力为零或内力远大于外力，动量守恒.当滑块不滑离木板或子弹不穿出木块时，两物体最后有共同速度，相当于完全非弹性碰撞，机械能损失最多。 临界思想：当滑块与木板相对静止时，两者的速度必相等。 【跟踪训练】（2023·辽宁·高考真题）如图，质量m1= 1kg的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数k = 20N/m的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m2= 4kg的小物块以水平向右的速度滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数μ = 0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为。取重力加速度g = 10m/s2，结果可用根式表示。 （1）求木板刚接触弹簧时速度的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1； （2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时木板速度v2的大小； （3）已知木板向右运动的速度从v2减小到0所用时间为t0。求木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能U（用t0表示）。    02 动量定理的应用——流体类模型 所谓的“流体”类问题是指研究对象是连续不断的无数个微粒，如风、水流等，解决此类问题的关键是找到相互作用的研究对象，进而对其列出相应的动量定理方程即可。 1. 流体模型 对于流体运动，可沿流速v的方向选取一段柱形流体，设在极短的时间Δt内通过某一横截面积为S的柱形流体的长度为Δl，如图所示。设流体的密度为ρ，则在Δt的时间内流过该截面的流体的质量为Δm=ρSΔl=ρSvΔt，根据动量定理，流体微元所受的合外力的冲量等于该流体微元动量的增量，即FΔt=ΔmΔv。 然后根据发生相互作用前后流体的速度情况进行分析， 如：若作用后流体微元静止，有Δv=-v，代入上式有F=-ρSv2； 若作用后流体微元以速率v反弹，有Δv=-2v，代入上式有F=-2ρSv2。 2. 微粒类问题分析步骤 通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子数n。 分析步骤： a. 建立“柱体”模型，沿运动的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S； b. 微元研究，作用时间Δt内一段柱形“流体”的长度为Δl=v0Δt，对应的体积为ΔV=Sv0Δt，则微元内的粒子数N=nv0SΔt(n代表单位体积内的粒子数)； c. 先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N得出所选取的柱形“流体”微元的动量定理表达式，进而求解粒子流与物体相互作用时的作用力的大小。 【跟踪训练】（2022·福建·高考真题）我国霍尔推进器技术世界领先，其简化的工作原理如图所示。放电通道两端电极间存在一加速电场，该区域内有一与电场近似垂直的约束磁场（未画出）用于提高工作物质被电离的比例。工作时，工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，再经电场加速喷出，形成推力。某次测试中，氙气被电离的比例为95%，氙离子喷射速度为，推进器产生的推力为。已知氙离子的比荷为；计算时，取氙离子的初速度为零，忽略磁场对离子的作用力及粒子之间的相互作用，则（　　） A．氙离子的加速电压约为 B．氙离子的加速电压约为 C．氙离子向外喷射形成的电流约为 D．每秒进入放电通道的氙气质量约为 01 人船模型——微积分思想在动量中的应用 1. “人船模型” 原来静止的两物体发生相互作用时，若所受外力的矢量和(或某方向上外力的矢量和)为零，则系统动量守恒(或某方向上动量守恒)。相互作用过程中,任一时刻两物体的速度(或在某方向上的速度)大小之比都等于质量的反比，此类问题归为“人船模型”问题。 （1）模型特征（适用条件）： ①系统由两个物体组成且相互作用前静止，系统总动量为零； ②动量守恒或某方向动量守恒． （2）特点： 人动则船动，人静则船静，人快船快，人慢船慢，人左船右；人船位移比等于它们质量的反比；人船平均速度(瞬时速度)比等于它们质量的反比，即。 （3）处理思想： 设人走动时船的速度大小为v船,人的速度大小为v人,以船运动的方向为正方向,则m船v船-m人v人=0,可得m船v船=m人v人；因人和船组成的系统在水平方向动量始终守恒，故有m船v船t=m人v人t, 即：m船x船=m人x人，由图可看出x船+x人=L， 可解得：； 补充：人船模型拓展： （1）气球和人 载人气球原来静止在空中，离地高度为h，人的质量为m，气球的质量为M(不含人的质量)。若气球下悬吊一轻绳，人沿轻绳返回地面，取人和气球为一个系统，系统初始静止且同时开始运动，人到达地面时，人对地的位移大小为h，设气球对地的位移大小为L，则根据“人船模型”有ML=mh，解得L=h，则轻绳的长度至少为L+h=。 (2)物块和劈 一个质量为M、底面边长为b的劈静止在光滑的水平面上，有一质量为m的物块由劈顶部无初速度滑至底部时，劈和物块组成的系统在水平方向不受外力，水平方向动量守恒，且初始时两物体均静止，根据“人船模型”有mx1=Mx2，其中x1、x2是物块和劈在水平方向上对地的位移大小，且有x1+x2=b，则劈移动的距离为x2=b。 (3)圆环和滑块 质量为M、半径为R的光滑圆环静止在光滑水平面上，有一质量为m的小滑块从环内与圆心O等高处开始无初速度下滑到最低点时，由于水平面光滑，滑块和圆环组成的系统在水平方向动量守恒。设圆环的位移大小为x,则小滑块在水平方向上对地的位移大小为R-x，根据“人船模型”有Mx=m(R-x)，故此过程中圆环发生的位移为x=R 【跟踪训练】（2025·河南开封·三模）如图，质量为m、长为L的长木板静止在光滑的水平地面上，质量为3m的智能机器人（忽略大小）从长木板的左端起跳，恰好落在长木板的右端，重力加速度为g。 (1)机器人从起跳到落在长木板右端的过程中，求机器人的位移大小； (2)若机器人与水平方向成角度起跳（），求起跳过程机器人对长木板做的功。 02 滑块-斜面（曲面）模型——相对运动与临界问题 1. 模型图例 2. 模型解读： (1)在光滑水平面上，把滑块、光滑弧面(斜面)看作一个整体，它们之间的作用力为内力，滑块和弧面(斜面)组成的系统在水平方向动量守恒。 (2)由于只有动能和重力势能之间的转化，所以系统机械能守恒，应用机械能守恒定律或能量守恒定律求解问题。 (3)滑块到达弧面(斜面)最高点时(滑块竖直方向的速度为零)二者有共同速度。 3.模型临界问题： （1）上升到最大高度时：m与M具有共同的水平速度v共，此时m的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒：mv0＝(M＋m)v共，系统机械能守恒：mv02＝(M＋m)v共2＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为m的重力势能)。 （2）返回最低点时：m与M的分离点．相当于完成了弹性碰撞，分离瞬间m与M的速度可以用弹性碰撞中一动碰一静的结论得到水平方向动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2，系统机械能守恒：mv02＝mv12＋Mv22，相当于完成了弹性碰撞。 【注意】该模型的临界问题为：小球上升最高时，m、M 速度必定相等 补充：模型的延伸 小球—小车/滑环模型（如下图所示）也是水平方向动量守恒和机械能守恒。 【跟踪训练】（2025·安徽·模拟预测）一个四分之一光滑圆弧形物块B静止在光滑的水平面上，圆弧的半径为R，一可视为质点的小物块A从物块B的底端以速度滑上圆弧，经过时间t恰好能滑上B的圆弧面顶端，已知滑块A的质量为m，重力加速度为g，则（　　） A．物块A滑上圆弧面后，A、B组成的系统动量守恒 B．物块B的质量为m C．物块A从底端到滑上圆弧面顶端的过程物块B的位移为 D．A和B分离时，B的速度大小为 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 动量 目录 01知识脑图·学科框架速建 02考点精析·知识能力全解 【知能解读01】动量和动量定理 一、动量 二、冲量 三、动量变化量 四、动量定理 五、动量定理的应用 【知能解读02】动量守恒定律及其应用 一、动量守恒定律 二、动量守恒定律的推导及应用 三、反冲 四、爆炸 【核心考点】碰撞的分类以及应用 03 攻坚指南·高频考点突破 【重难点突破01】滑块-弹簧模型 【重难点突破02】子弹打木块模型 04 避坑锦囊·易混易错诊疗 【易混易错01】滑块-木板模型的临界问题 【易混易错02】动量定理的应用——流体类模型 05 通法提炼·高频思维拆解 【方法技巧01】人船模型——微积分思想在动量中的应用 【方法技巧02】滑块-斜面（曲面）模型——相对运动与临界问题 01 动量和动量定理 一、动量 1. 定义：物体的质量和速度的乘积，用字母p表示。其定义式为p=mv，单位是千克·米每秒，符号是kg·m/s。 2. 性质： 瞬时性 通常说物体的动量是物体在某一时刻或某一位置的动量，所以说动量具有瞬时性，是状态量。 矢量性 动量具有方向，其方向与速度的方向相同，其运算遵循平行四边形定则。 相对性 动量具有相对性，选取不同的参考系，同一物体的速度可能不同，物体的动量也就不同。通常在不说明参考系的情况下，物体的动量是指相对地面的动量。 注意：动量与动能的关系 区别 动量是矢量，从运动物体的作用效果方面描述物体的状态，动量的变化因素是合外力的冲量； 动能是标量，从能量的角度描述物体的状态，动能的变化因素是合外力所做的功。 联系 动量和动能都是描述物体运动状态的物理量，且p＝或Ek＝ 都是相对量，与参考系的选取有关，通常选取地面为参考系 若物体的动能发生变化，则动量一定也发生变化；但动量发生变化时动能不一定发生变化。 【跟踪训练】（2025·广东广州·三模）所谓“双星”就是两颗相距较近的恒星，这两颗星在彼此之间万有引力作用下，各自以一定的速率始终绕它们连线上的某点转动，则（　　） A．两颗星做圆周运动的半径之比等于它们质量之比 B．两颗星速度大小之比等于它们质量的反比 C．两颗星的动能之比等于它们做圆周运动的半径的反比 D．两颗星的动量始终相同 【答案】B 【知识点】理解双星系统的特征、动能的定义和表达式、动量的定义、单位和矢量性 【详解】A．令两恒星间距为L，质量分别为、，轨道半径分别为、，双星圆周运动的周期相等，可知，角速度也相等，则有， 解得 即两颗星做圆周运动的半径之比等于它们质量的反比，故A错误； B．根据线速度与角速度的关系有， 结合上述解得 即两颗星速度大小之比等于它们质量的反比，故B正确； C．两恒星的动能， 结合上述解得 即两颗星的动能之比等于它们做圆周运动的半径之比，故C错误； D．两恒星的动量， 结合上述解得 可知，两恒星动量大小相等，当动量的反向始终相反，可知，两颗星的动量不相同，故D错误。 故选B。 二、冲量 1. 定义：力和力的作用时间的乘积。用字母I表示冲量，其定义式为I=Ft，在国际单位制中，冲量的单位是牛·秒，符号为 N·s。 【注意】I＝Ft适用于求恒力的冲量。 2. 性质：冲量是矢量，方向与力的方向相同，计算满足平行四边形法则。反映力的作用对时间的累积效应。 3. 对冲量的理解 （1）冲量是力在一段时间内的积累，是过程量，其大小取决于力和时间这两个因素，求解时一定要明确是哪一个力在那一段时间内的冲量。 （2）由于力与时间均与参考系无关，则冲量与参考系无关，具有绝对性。 （3）物理意义：反映力的作用对时间的累积效应。 4. 冲量的计算方法 （1）求恒力的冲量（公式法）：该力的冲量的数值等于力与力的作用时间的乘积，冲量的方向与恒力的方向一致。I＝FΔt，无需考虑物体的运动状态。 （2）求变力的冲量： ①若该力的方向不变、大小随时间均匀变化，即力为时间的一次函数，该力的冲量可以用该力在作用时间内的平均值计算，即用力的平均值代替F，公式： ②利用F-t图像的面积求解。F-t图线与t轴所围图形的面积表示力的冲量。 注意：动量定理法：物体所受合力的冲量等于物体动量的变化量，即I＝p′－p。适用于一切情况。 （3）求合力的冲量 ①可分别求每一个力的冲量，再求各冲量的矢量和。 ②如果各个力的作用时间相同，也可以先求合力，再用公式I合=F合Δt求解。 注意：冲量和功的比较 物理量 冲量 功 定义 作用在物体上的力和力作用时间的乘积 作用在物体上的力和物体在力的方向上的位移的乘积 单位 N·s J 公式 (F为恒力) (F为恒力) 性质 矢量 标量 意义 表示力对时间的累积；是动量变化的量度 表示力对空间的累积；是能量变化的量度 作用效果 改变物体的动量 改变物体的动能 联系 都是过程量，都与力的作用过程相联系 【跟踪训练】（2025·陕西汉中·三模）一物体竖直向上抛出，从开始抛出到落回抛出点所经历的时间是t，上升的最大高度是H，所受空气阻力大小恒为F，则在时间t内 （　　） A．物体受重力的冲量为零 B．物体动量的增量大于抛出时的动量 C．在上升过程中空气阻力对物体的冲量比下降过程中的冲量大 D．物体机械能的减小量等于FH 【答案】B 【知识点】常见力做功与相应的能量转化、求恒力的冲量、计算物体的动量及动量的变化 【详解】A．重力大小为，作用时间为，冲量，故A错误。 B．初动量方向向上，大小为；末动量方向向下，大小为（因空气阻力存在，）。动量增量 其绝对值，故B正确。 C．因上升加速度 大于下降加速度 根据，可知上升时间小于下降时间。阻力冲量 故上升冲量小于下降冲量，故C错误。 D．机械能减少量等于克服空气阻力做的总功。上升和下降总路程为，故克服阻力做的总功 机械能减少，故D错误。 故选B。 三、动量变化量 1. 定义：动量的变化量是指物体在某段时间内末动量与初动量的矢量差，是矢量，其方向与速度的改变量Δv相同。表达式：Δp=p2-p1为矢量式，运算遵循平行四边形定则。 【注意】因为 p＝mv 是矢量，只要 m 的大小、v 的大小和 v 的方向三者中任何一个发生了变化，动量 p 就发生变化。 2.动量变化量的理解和计算 当物体做直线运动时，只需选定正方向，与正方向相同的动量取正，反之取负。若Δp 是正值，就说明Δp 的方向与所选正方向相同；若Δp 是负值，则说明Δp 的方向与所选正方向相反。 当初、末状态动量不在一条直线上时，可按平行四边形定则求Δp 的大小和方向   【跟踪训练】（2025·甘肃庆阳·三模）质量为m的列车以额定功率P0在平直轨道上做加速运动，经时间t达到该功率下的最大速度，设列车受到的阻力恒为Ff，则在时间t内（　　） A．列车做匀加速直线运动 B．牵引力做的功为P0t C．列车的位移小于- D．列车的动量变化量为m 【答案】B 【知识点】计算物体的动量及动量的变化、应用动能定理解决机车启动问题、机车的额定功率、阻力与最大速度的关系 【详解】A． 当列车以恒定功率运行时，牵引力 随着速度增大，牵引力逐渐减小，加速度 也随之减小，因此列车做变加速运动，而非匀加速直线运动。故A错误； B．功率恒定时，根据，无论速度如何变化，牵引力在时间内做的功均为，故B正确； C．根据动能定理 其中 代入得位移，故C错误； D． 动量变化量 而 因此 故D正确。 故选BD。 四、动量定理 1. 定义：物体在一个过程中所受合外力的冲量等于该物体在这个过程中动量的变化量。 说明：这里说的“合外力的冲量”指的是各外力的合力的冲量，或者是各外力的冲量的矢量和。 2. 表达式：I=p2-p1或Ft=mv2-mv1。 表达式是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的意思。公式中的F是物体所受的合外力，若合外力是变力，则F应是合外力在作用时间内的平均值。 3. 关于I=Δp=p2-p1的几点说明 a. 合外力的冲量I是原因，动量的变化量Δp是结果。 b. 物体动量的变化量Δp的大小和方向与合外力的冲量I的大小和方向均相同。 c. 合外力的冲量I与初动量p1、末动量p2的大小和方向均无必然联系。 【跟踪训练】（2025·宁夏银川·模拟预测）我国新能源汽车技术处于世界领先水平，2025年某企业有一款新上市的新能源汽车，在粗糙路面的启动阶段可看做初速度为零的匀加速直线运动。在启动阶段，则下列说法中正确的是（　　） A．该车牵引力的冲量等于它动量的变化 B．开车时系好安全带能减小刹车时人的动量变化 C．该车的动量与它的加速度成正比 D．该车的动量与它经历的时间成正比 【答案】D 【知识点】动量的定义、单位和矢量性、动量定理的内容 【详解】A．根据动量定理可知，合外力的冲量等于动量变化。汽车在粗糙路面的启动阶段可看做初速度为零的匀加速直线运动，汽车在运动方向受到牵引力和摩擦阻力作用，故牵引力的冲量等于动量变化加上摩擦力的冲量，故A错误； B．动量变化由速度变化和质量决定，刹车时系安全带通过延长作用时间减小冲击力，但不改变动量变化的大小，故B错误； CD．汽车在粗糙路面的启动阶段可看做初速度为零的匀加速直线运动，则有 则该车的动量为 由于加速度恒定不变，所以车的动量与时间成正比，不是与加速度成正比，故C错误，D正确。 故选D。 五、动量定理的应用 1. 定性分析有关现象： ①物体的动量变化量一定时，力的作用时间越短，力就越大；力的作用时间越长，力就越小。 ②作用力一定时，力的作用时间越长，动量变化量越大；力的作用时间越短，动量变化量越小。 2. 定量计算某过程中合外力的冲量或动量变化量： 根据动量定理，一个物体的动量变化量与合外力的冲量大小相等，方向相同，据此有，。 3. 求流体问题或粒子流问题：解决这类问题等的持续作用时，需以“流体”、“粒子流”等为研究对象，方法为：选取“柱状”模型，利用微元法来求解（分析方法为：选取一小段时间内（Δt）的连续体为研究对象；确定Δt内连续体的质量Δm与Δt的关系式，若连续体密度为ρ，则Δm＝ρΔV＝ρSvΔt；分析连续体的受力情况和动量的变化情况；应用动量定理列出数学表达式；求解并分析和讨论结果。） 注意：应用动量定理的解题思路 【跟踪训练】（2025·山西临汾·三模）一物块静止在粗糙水平地面上，0~4s内所受水平拉力随时间的变化关系图像如图甲所示，0~2s内速度—时间图像如图乙所示，取重力加速度g=10m/s²，关于物块的运动。下列说法正确的是（　　） A．前2s内拉力做的功为12J B．前4s内拉力的冲量为 C．前4s内物块一直在运动 D．物块在4s末减速为零 【答案】B 【知识点】功的定义（式）、利用F-t图像求冲量、动量定理与v-t图像结合的问题 【详解】A．由图乙可知，第内、第内物块的位移分别为， 则前2s内拉力做的功为 故A错误； B．图甲中图像与时间轴所包围的面积表示拉力的冲量，故前4s内拉力的冲量为 故B正确； CD．由题意可知，物块所受的滑动摩擦力大小为 假设前4s内物块一直在运动，设物块在4s末的速度为，由动量定理得 得 说明在4s前速度已经减为零，速度减为零后保持静止，故CD错误。 故选B。 02 动量守恒定律及其应用 1. 系统、内力和外力 (1)系统：由两个(或多个)相互作用的物体构成的整体叫作一个力学系统，简称系统。 (2)内力：系统中物体间的相互作用力。 (3)外力：系统以外的物体施加给系统内物体的力。 【注意】在研究多个物体的相互作用（复杂过程）时，有时分析每一个物体的受力情况比较难，也容易出错，这时可以把若干个物体看成一个系统，这样复杂的问题就会变简单，因此在解决复杂的问题时，要根据实际需要和求解问题的方便程度，合理选择系统。 2. 动量守恒定律 (1)内容：一个系统不受外力或者所受合外力为0时，这个系统的总动量保持不变。 (2)表达式：对两个物体组成的系统，m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'。 (3)守恒条件 a. 系统不受外力或者所受外力的矢量和为零。 b. 系统所受合外力远小于系统内力时，外力的作用可忽略，近似认为系统动量守恒。 c. 系统所受合外力不为0，但在某一方向上受到的合外力为0，则系统在这一方向上动量守恒。 补充：动量守恒定律的四种表达式 m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2 选定正方向，将式中各矢量转化为代数量，用正、负符号表示各自的方向，式中的速度均为瞬时速度，均以地球为参考系。 p＝p′ 系统相互作用前的总动量p和相互作用后的总动量p′大小相等、方向相同。系统总动量的求法遵循平行四边形法则。 Δp＝p′－p＝0 系统总动量的增量为零。 Δp1＝－Δp2 相互作用的系统内中的一部分动量的增加量等于另一部分动量的减少量。 补充：对动量守恒条件的理解 理想条件 系统不受外力作用时，系统动量守恒。系统不受外力的条件可放宽至系统所受外力之和为零。 近似条件 系统所受合外力不为零时，但系统的内力远大于外力，系统的动量可看成近似守恒。比如碰撞、爆炸等现象。 实际条件 系统所受合外力为0。 单方向的守恒条件 系统在某一方向上符合以上两条中的某一条，则系统在该方向上动量守恒。 某阶段守恒条件 全过程的某一阶段系统受的合外力为零，则该阶段系统动量守恒。 补充：单方向动量守恒常见模型(地面均光滑)：     【跟踪训练】（2025·河南·高考真题）两小车P、Q的质量分别为和，将它们分别与小车N沿直线做碰撞实验，碰撞前后的速度v随时间t的变化分别如图1和图2所示。小车N的质量为，碰撞时间极短，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】动量守恒定律的初步应用 【详解】PN碰撞时，根据碰撞前后动量守恒有 即 根据图像可知，故； 同理，QN碰撞时，根据碰撞前后动量守恒有 即 根据图像可知，故； 故 故选D。 二、动量守恒定律的推导及应用 1. 动量守恒定律的推导 水平桌面上有两个小球，它们的质量分别为m1和m2，沿着水平向右的方向做匀速直线运动，它们的速度分别是v1和v2，且v2＞v1。当质量为m2的小球追上质量为m1的小球时两球发生碰撞，碰后两球的速度分别为v1′和v2′，如下图所示： 设碰撞过程中质量为m1的小球受到质量为m2的小球对它的作用力是F1，质量为m2的小球受到质量为m1的小球对它的作用力是F2。 相互作用时间为t，根据动量定理，有：F1t＝m1(v1′－v1)；F2t＝m2(v2′－v2) 因为F1与F2是两球间的相互作用力，根据牛顿第三定律有：F1＝－F2，则m1v1′－m1v1＝m2v2－m2v2′，即m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′。 注意：对动量守恒定律应用问题的分析 1. 动量守恒中的速度 在应用动量守恒定律时，关于速度，需注意以下几个问题。(以两个物体组成的系统的动量守恒为例，有m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2') (1)速度的矢量性：需先规定正方向，根据规定的正方向把各速度的正负代入； (2)速度的同时性：式中的v1、v2为作用前两物体同一时刻的速度，v1'、v2'为作用后两物体同一时刻的速度； (3)速度的同一性：各速度均以地面为参考系，若题目中给出的是两物体之间的相对速度，可利用下式把相对速度转化为对地速度，vA对地=vA对B+vB对地。 2. 碰撞中的“时间极短”的含义 “时间极短”是一种特定的物理语言，是碰撞问题中的一个隐含条件，正确理解和利用碰撞中“时间极短”这个隐含条件，往往是解决问题的关键。由于某些物理量在极短时间内的变化可以忽略，因此，“时间极短”时可近似处理一些问题。 3. 多物体、多过程问题中动量守恒定律的应用 (1)物理过程的多变性，往往使问题复杂化，解题时我们可以通过对物理过程的正确分析，把一个复杂的过程分解为几个简单的子过程，对每一个子过程，选择合适的物理规律求解，通常要结合机械能守恒定律、能量守恒定律。 (2)在某些情况下，我们不但要研究若干物体组成的大系统，还要根据题目的要求以及守恒条件选择某个子系统进行研究，这就需要把复杂的大系统恰当地划分为简单的子系统。 【跟踪训练】（2014·福建·高考真题）一枚火箭搭载着卫星以速率v0进入太空预定位置，由控制系统使箭体与卫星分离．已知前部分的卫星质量为m1，后部分的箭体质量为m2，分离后箭体以速率v2沿火箭原方向飞行，若忽略空气阻力及分离前后系统质量的变化，则分离后卫星的速率v1为（ ） A．v0-v2 B．v0+v2 C． D． 【答案】D 【知识点】动量守恒定律的内容、应用范围和推导 【分析】本题考查动量守恒定律 【详解】系统分离前后，动量守恒： ，解得： ，故ABC错误；D正确． 三、反冲 1. 定义：一个静止的物体在内力的作用下分裂为两部分，一部分向某个方向运动，另一部分必然向相反的方向运动的现象。 2. 规律 （1）相互作用：反冲运动是系统内两物体之间的作用力和反作用力产生的效果。 （2）动量守恒：反冲运动中，相互作用力一般较大，通常可以用动量守恒定律来处理。 （3）机械能增加：反冲运动中，由于有其他形式的能转化为机械能，所以系统的总机械能增加。 【注意】速度的反向性：若系统原来静止，抛出部分具有速度时，剩余部分的反冲是相对于抛出部分而言的，两者速度方向相反，可任意规定某一部分的运动方向为正方向，列出动量守恒方程。 速度的相对性：在反冲运动中，若已知条件是物体间的相对速度，利用动量守恒定律列方程时，应将相对速度转化为绝对速度(一般设为对地速度)。 3. 火箭 （1）原理：利用反冲运动，火箭燃料燃烧产生的高温、高压燃气从尾部喷管迅速喷出，使火箭获得巨大速度。 （2）影响因素：①喷气速度；②质量比（火箭起飞时的质量与火箭除燃料外的箭体质量之比．喷气速度越大，质量比越大，火箭获得的速度越大）。 【注意】变质量问题：在反冲运动中还常遇到变质量物体的运动，如在火箭的运动过程中，随着燃料的消耗，火箭本身的质量不断减小，此时必须取火箭本身和在相互作用的短时间内喷出的所有气体为研究对象，取相互作用的这个过程为研究过程来进行研究。 火箭问题：①火箭在运动过程中，随着燃料的燃烧，火箭本身的质量不断减小，故在应用动量守恒定律时，必须取在同一相互作用时间内的火箭和喷出的气体为研究对象；②注意反冲前、后各物体质量的变化；③明确两部分物体初、末状态的速度的参考系是否为同一参考系，如果不是同一参考系要设法予以转换，一般情况要转换成对地的速度。列方程时要注意初、末状态动量的方向。 【跟踪训练】（2025·四川达州·模拟预测）2024年10月30日11时，神舟十九号飞船与中国空间站完成自主交会对接，在交会对接前的最后阶段，神舟十九号与空间站在同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆形轨道。要使神舟十九号在同一轨道上追上空间站实现对接，下列神舟十九号喷射燃气的方向可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】火箭的原理 【详解】要想使神舟十九号在同一轨道上与空间站对接，则需要使神舟十九号加速，与此同时要想不脱离原轨道，根据可知，必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，又因喷气产生的推力方向与喷气方向相反，则图B是正确的。 故选B。 四、爆炸 1.特点：物体间的相互作用突然发生，作用时间很短，系统内部作用力很大，且远大于系统受的外力，故可用动量守恒定律来处理。 2、规律 动量守恒：系统的内力远远大于外力，外力可忽略不计，系统的总动量守恒。 动能增加：在爆炸过程中，有其他形式的能量（如化学能）转化为动能。 位置不变：由于爆炸问题作用时间很短，作用过程中物体的位移很小，一般可忽略不计，可以把作用过程作为一个理想化过程简化处理，认为爆炸后还从作用前瞬间的位置以新的动量开始运动。 【跟踪训练】（2022·江苏·高考真题）利用云室可以知道带电粒子的性质，如图所示，云室中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，一个质量为m、速度为v的电中性粒子在A点分裂成带等量异号电荷的粒子a和b，a、b在磁场中的径迹是两条相切的圆弧，相同时间内的径迹长度之比，半径之比，不计重力及粒子间的相互作用力，求： （1）粒子a、b的质量之比； （2）粒子a的动量大小。 【答案】（1）；（2） 【知识点】null、带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算 【详解】（1）分裂后带电粒子在磁场中偏转做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 由题干知半径之比，故 因为相同时间内的径迹长度之比，则分裂后粒子在磁场中的速度为 联立解得 （2）中性粒子在A点分裂成带等量异号电荷的粒子a和b，分裂过程中，没有外力作用，动量守恒，根据动量守恒定律 因为分裂后动量关系为，联立解得 碰撞的分类以及应用 一、碰撞 1. 定义：碰撞指的是两个物体在很短的时间内发生相互作用。 【注意】碰撞前指的是即将发生碰撞那一时刻，而不是发生碰撞前的某一时刻；碰撞后指的是碰撞刚刚结束的那一时刻， 而不是发生碰撞后的某一时刻。 2. 特点 时间特点：在碰撞现象中，相互作用时间很短。 相互作用力的特点：在碰撞过程中物体间的相互作用力先是急剧增大，然后再急剧减小，即相互作用力为变力，作用时间短，作用力很大，且远远大于系统的外力。 动量守恒的特点：碰撞过程即使系统所受外力之和不为零，但是系统内力远大于外力，所以外力可以忽略，满足动量近似守恒的条件，故均可用动量守恒定律来处理。 位移特点：由于碰撞过程是在一瞬间发生的，时间极短，所以，在物体发生碰撞瞬间，可忽略物体的位移，即认为物体在碰撞、爆炸前后仍在同一位置，但速度发生了突变。 能量特点：在碰撞过程中，没有其他形式的能转化为机械能，则系统碰撞后的总机械能不可能大于碰撞前系统的总机械能。 3. 遵循原则 (1)动量守恒：即p1＋p2＝p1′＋p2′。 (2)动能不增加：即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋. (3)速度要合理 ①若碰前两物体同向运动，则应有v后>v前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v前′≥v后′。 ②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变 二、对心碰撞和非对心碰撞 1. 对心碰撞 如图所示，一个运动的球与一个静止的球碰撞，碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在同一条直线上，碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线。这种碰撞称为正碰，也叫对心碰撞。 2. 非对心碰撞 如图所示，一个运动的球与一个静止的球碰撞，如果碰撞之前球的运动速度与两球心的连线不在同一条直线上，碰撞之后两球的速度都会偏离原来两球心的连线。这种碰撞称为非对心碰撞。 三、弹性碰撞和非弹性碰撞 1. 弹性碰撞 （1） “动碰动”弹性碰撞 发生弹性碰撞的两个物体碰撞前后动量守恒，动能守恒，若两物体质量分别为m1和m2，碰前速度为v1，v2，碰后速度分别为v1ˊ，v2ˊ，则有： (1) (2) 联立（1）、（2）解得： v1’=，v2’=. 特殊情况： 若m1=m2 ，v1ˊ= v2 ，v2ˊ= v1 . （2） “动碰静”弹性碰撞的结论 两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生正面弹性碰撞为例，则有 m1v1＝m1v1′＋m2v2′ （1） m1v＝m1v1′2＋m2v2′2 （2） 解得：v1′＝，v2′＝ 结论：(1)当m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1(质量相等，速度交换) (2)当m1＞m2时，v1′＞0，v2′＞0，且v2′＞v1′(大碰小，一起跑) (3)当m1＜m2时，v1′＜0，v2′＞0(小碰大，要反弹) (4)当m1≫m2时，v1′＝v0，v2′＝2v1(极大碰极小，大不变，小加倍) (5)当m1≪m2时，v1′＝－v1，v2′＝0(极小碰极大，小等速率反弹，大不变) 2. 非弹性碰撞和完全非弹性碰撞 （1）非弹性碰撞：介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的碰撞。动量守恒，碰撞系统动能损失。 根据动量守恒定律可得：m1v1+m2v2=m1v1ˊ+m2v2ˊ (1) 损失动能ΔEk，根据机械能守恒定律可得： m1v12+ m2v22=m1v1ˊ2+m2v2ˊ 2 + ΔEk. (2) （2）完全非弹性碰撞 碰后物体的速度相同， 根据动量守恒定律可得： m1v1+m2v2=(m1+m2)v共 （1） 完全非弹性碰撞系统损失的动能最多，损失动能： ΔEk= ½m1v12+ ½ m2v22- ½(m1+m2)v共2 （2） 联立（1）、（2）解得：v共 =；ΔEk= 注意：碰撞的类型及遵从的规律 类型 遵从的规律 弹性碰撞 动量守恒，机械能守恒 非弹性碰撞 动量守恒，机械能有损失 完全非弹性碰撞 动量守恒，机械能损失最大，碰后速度相同 注意：爆炸模型与碰撞模型的比较 情形 碰撞 爆炸 不同点 碰撞过程中没有其他形式的能转化为机械能，系统的动能不会增加 爆炸过程中往往有化学能转化为动能，系统的动能增加 相同点 时间特点 相互作用时间很短 相互作用力特点 物体间的相互作用力先是急剧增大，然后再急剧减小，平均作用力很大 系统动量的特点 系统的内力远远大于外力，外力可忽略不计，系统的总动量守恒 位移特点 由于碰撞、爆炸过程是在一瞬间发生的，时间极短，所以，在物体发生碰撞、爆炸的瞬间，可认为物体在碰撞、爆炸后仍在同一位置 【跟踪训练】（2025·江苏·高考真题）如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有n个。在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。 (1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小； (2)若钢球质量为，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小； (3)若钢球质量为，求玻璃球经历次碰撞后的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】弹性碰撞：动碰静、多物体多次碰撞问题 【详解】（1）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，由于钢球质量也为m，根据动量守恒和机械能守恒可知,碰撞过程中，二者速度互换，则最终碰撞后最右侧钢球的速度大小等于开始碰撞前玻璃球的初速度为。 （2）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，则由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 解得， 负号表示速度反向，则玻璃球的速度大小为 （3）根据题意结合小问2分析可知，玻璃球与右侧第一个小球碰撞后反弹，且速度大小变为碰撞前的，右侧第一个小球又与第二个小球发生弹性碰撞，速度互换，静止在光滑水平面上，玻璃球反弹后与左侧第一个小球同样发生弹性碰撞，同理可得，碰撞后玻璃球再次反弹，且速度大小为碰撞前的，综上所述，玻璃球碰撞次后速度大小为 则玻璃球碰撞次后最终动能大小 01 滑块（小球）—弹簧模型 模型 速度—时间图像 规律 情况一：从原长到最短（或最长）时 ①；② 情况二：从原长先到最短（或最长）再恢复原长时 ①；② (1)对于光滑水平面上的弹簧类问题，在作用过程中，系统所受的合外力为零，满足动量守恒的条件。 (2)整个过程涉及弹性势能、动能，还可能涉及内能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题。 (3)弹簧压缩至最短时，弹簧连接的两物体速度相同，此时弹簧的弹性势能最大。 【注意】临界思想：A、B 两物体相距最近时，两物体速度必定相等，此时弹簧最短，其压缩量最大。 【跟踪训练】（2022·全国乙卷·高考真题）如图（a），一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上：物块B向A运动，时与弹簧接触，到时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的图像如图（b）所示。已知从到时间内，物块A运动的距离为。A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为，与水平面光滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求 （1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值； （2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值； （3）物块A与斜面间的动摩擦因数。 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】滑块弹簧模型 【详解】（1）当弹簧被压缩最短时，弹簧弹性势能最大，此时、速度相等，即时刻，根据动量守恒定律 根据能量守恒定律 联立解得 （2）解法一：同一时刻弹簧对、B的弹力大小相等，根据牛顿第二定律 可知同一时刻 则同一时刻、的瞬时速度分别为 ， 根据位移等速度在时间上的累积可得 ， 又 解得 第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值 解法二：B接触弹簧后，压缩弹簧的过程中，A、B动量守恒，有 对方程两边同时乘以时间，有 0-t0之间，根据位移等速度在时间上的累积，可得 将代入可得 则第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值 （3）物块A第二次到达斜面的最高点与第一次相同，说明物块A第二次与B分离后速度大小仍为，方向水平向右，设物块A第一次滑下斜面的速度大小为，设向左为正方向，根据动量守恒定律可得 根据能量守恒定律可得 联立解得 方法一：设在斜面上滑行的长度为，上滑过程，根据动能定理可得 下滑过程，根据动能定理可得 联立解得 方法二：根据牛顿第二定律，可以分别计算出滑块A上滑和下滑时的加速度， ， 上滑时末速度为0，下滑时初速度为0，由匀变速直线运动的位移速度关系可得 ， 联立可解得 02 子弹打木块模型 1. 模型图例 2. 模型特点 (1)子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，系统动量守恒． (2)在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化 3.情景分析： 子弹以水平速度射向原来静止的木块，并留在木块中跟木块共同运动。这是一种完全非弹性碰撞。 设平均阻力大小为，设子弹、木块的位移大小分别为、，如图所示，显然有， 对子弹用动能定理： 对木块用动能定理： 则有：，这个式子的物理意义是：恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积。 4. 结果讨论 (1)子弹留在木块中(未穿出) 若d=L（木块的长度）时，说明子弹刚好穿过木块，子弹和木块具有共同速度v。 若d＜L（木块的长度）时，说明子弹未能穿过木块，最终子弹留在木块中，子弹和木块具有共同速度v。 ①动量守恒：mv0＝(m＋M)v ②机械能损失(摩擦生热) Q热＝Ff·d＝mv02－(m＋M)v2 其中d为子弹射入木块的深度． (2)子弹穿出木块 若d＞L（木块的长度）时，说明子弹能穿过木块，子弹射穿木块时的速度大于木块的速度。设穿过木块后子弹的速度为v1，木块的速度为v2，则有： ①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2 ②机械能的损失(摩擦生热) Q热＝Ff·L＝mv02－mv12－Mv22 【注意】由上式不难求得平均阻力的大小：， 木块前进的距离：。从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比： ，一般情况下，所以s2<<d。这说明，在子弹射入木块过程中，木块的位移很小，可以忽略不计。 该模型的临界问题为：子弹在木块内部，两者速度相等。 【跟踪训练】（2024·湖北·高考真题）如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L的木块，质量为m的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小f与射入初速度大小成正比，即（k为已知常数）。改变子弹的初速度大小，若木块获得的速度最大，则（　　） A．子弹的初速度大小为 B．子弹在木块中运动的时间为 C．木块和子弹损失的总动能为 D．木块在加速过程中运动的距离为 【答案】AD 【知识点】板块/子弹打木块模型 【详解】A．子弹和木块相互作用过程系统动量守恒，令子弹穿出木块后子弹和木块的速度的速度分别为，则有 子弹和木块相互作用过程中合力都为，因此子弹和物块的加速度分别为 由运动学公式可得子弹和木块的位移分别为 联立上式可得 因此木块的速度最大即取极值即可，该函数在到无穷单调递减，因此当木块的速度最大，A正确； B．则子弹穿过木块时木块的速度为 由运动学公式 可得 故B错误； C．由能量守恒可得子弹和木块损失的能量转化为系统摩擦生热，即 故C错误； D．木块加速过程运动的距离为 故D正确。 故选AD。 01 滑块-木板模型的临界问题 模型图例 x1 v0 x2 x相对 m1 m2 v共 v共 速度-时间图像 动力学常用关系 功能常用关系 或 动量常用关系 模型特点： 把滑块、木板看成一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒。 由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，ΔE＝Ff·s相对，其中s相对为滑块和木板相对滑动的路程。 【注意】若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，机械能损失最多。滑块—木板模型与子弹打木块模型类似，都是通过系统内的滑动摩擦力相互作用，系统所受的外力为零或内力远大于外力，动量守恒.当滑块不滑离木板或子弹不穿出木块时，两物体最后有共同速度，相当于完全非弹性碰撞，机械能损失最多。 临界思想：当滑块与木板相对静止时，两者的速度必相等。 【跟踪训练】（2023·辽宁·高考真题）如图，质量m1= 1kg的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数k = 20N/m的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m2= 4kg的小物块以水平向右的速度滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数μ = 0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为。取重力加速度g = 10m/s2，结果可用根式表示。 （1）求木板刚接触弹簧时速度的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1； （2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时木板速度v2的大小； （3）已知木板向右运动的速度从v2减小到0所用时间为t0。求木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能U（用t0表示）。    【答案】（1）1m/s；0.125m；（2）0.25m；；（3） 【知识点】用动量定理解释缓冲现象、板块/子弹打木块模型 【详解】（1）由于地面光滑，则m1、m2组成的系统动量守恒，则有 m2v0= (m1＋m2)v1 代入数据有 v1= 1m/s 对m1受力分析有 则木板运动前右端距弹簧左端的距离有 v12= 2a1x1 代入数据解得 x1= 0.125m （2）木板与弹簧接触以后，对m1、m2组成的系统有 kx = (m1＋m2)a共 对m2有 a2= μg = 1m/s2 当a共 = a2时物块与木板之间即将相对滑动，解得此时的弹簧压缩量 x2= 0.25m 对m1、m2组成的系统列动能定理有 代入数据有      （3）木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，由于木板即m1的加速度大于木块m2的加速度，则当木板与木块的加速度相同时即弹簧形变量为x2时，则说明此时m1的速度大小为v2，共用时2t0，且m2一直受滑动摩擦力作用，则对m2有 －μm2g∙2t0= m2v3－m2v2 解得 则对于m1、m2组成的系统有 U = Wf 联立有 02 动量定理的应用——流体类模型 所谓的“流体”类问题是指研究对象是连续不断的无数个微粒，如风、水流等，解决此类问题的关键是找到相互作用的研究对象，进而对其列出相应的动量定理方程即可。 1. 流体模型 对于流体运动，可沿流速v的方向选取一段柱形流体，设在极短的时间Δt内通过某一横截面积为S的柱形流体的长度为Δl，如图所示。设流体的密度为ρ，则在Δt的时间内流过该截面的流体的质量为Δm=ρSΔl=ρSvΔt，根据动量定理，流体微元所受的合外力的冲量等于该流体微元动量的增量，即FΔt=ΔmΔv。 然后根据发生相互作用前后流体的速度情况进行分析， 如：若作用后流体微元静止，有Δv=-v，代入上式有F=-ρSv2； 若作用后流体微元以速率v反弹，有Δv=-2v，代入上式有F=-2ρSv2。 2. 微粒类问题分析步骤 通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子数n。 分析步骤： a. 建立“柱体”模型，沿运动的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S； b. 微元研究，作用时间Δt内一段柱形“流体”的长度为Δl=v0Δt，对应的体积为ΔV=Sv0Δt，则微元内的粒子数N=nv0SΔt(n代表单位体积内的粒子数)； c. 先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N得出所选取的柱形“流体”微元的动量定理表达式，进而求解粒子流与物体相互作用时的作用力的大小。 【跟踪训练】（2022·福建·高考真题）我国霍尔推进器技术世界领先，其简化的工作原理如图所示。放电通道两端电极间存在一加速电场，该区域内有一与电场近似垂直的约束磁场（未画出）用于提高工作物质被电离的比例。工作时，工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，再经电场加速喷出，形成推力。某次测试中，氙气被电离的比例为95%，氙离子喷射速度为，推进器产生的推力为。已知氙离子的比荷为；计算时，取氙离子的初速度为零，忽略磁场对离子的作用力及粒子之间的相互作用，则（　　） A．氙离子的加速电压约为 B．氙离子的加速电压约为 C．氙离子向外喷射形成的电流约为 D．每秒进入放电通道的氙气质量约为 【答案】AD 【知识点】用动量定理解决流体问题、带电粒子在匀强电场中的直线运动、电流强度的定义及单位 【详解】AB．氙离子经电场加速，根据动能定理有 可得加速电压为 故A正确，B错误； D．在时间内，有质量为的氙离子以速度喷射而出，形成电流为，由动量定理可得 进入放电通道的氙气质量为，被电离的比例为，则有 联立解得 故D正确； C．在时间内，有电荷量为的氙离子喷射出，则有 ， 联立解得 故C错误。 故选AD。 01 人船模型——微积分思想在动量中的应用 1. “人船模型” 原来静止的两物体发生相互作用时，若所受外力的矢量和(或某方向上外力的矢量和)为零，则系统动量守恒(或某方向上动量守恒)。相互作用过程中,任一时刻两物体的速度(或在某方向上的速度)大小之比都等于质量的反比，此类问题归为“人船模型”问题。 （1）模型特征（适用条件）： ①系统由两个物体组成且相互作用前静止，系统总动量为零； ②动量守恒或某方向动量守恒． （2）特点： 人动则船动，人静则船静，人快船快，人慢船慢，人左船右；人船位移比等于它们质量的反比；人船平均速度(瞬时速度)比等于它们质量的反比，即。 （3）处理思想： 设人走动时船的速度大小为v船,人的速度大小为v人,以船运动的方向为正方向,则m船v船-m人v人=0,可得m船v船=m人v人；因人和船组成的系统在水平方向动量始终守恒，故有m船v船t=m人v人t, 即：m船x船=m人x人，由图可看出x船+x人=L， 可解得：； 补充：人船模型拓展： （1）气球和人 载人气球原来静止在空中，离地高度为h，人的质量为m，气球的质量为M(不含人的质量)。若气球下悬吊一轻绳，人沿轻绳返回地面，取人和气球为一个系统，系统初始静止且同时开始运动，人到达地面时，人对地的位移大小为h，设气球对地的位移大小为L，则根据“人船模型”有ML=mh，解得L=h，则轻绳的长度至少为L+h=。 (2)物块和劈 一个质量为M、底面边长为b的劈静止在光滑的水平面上，有一质量为m的物块由劈顶部无初速度滑至底部时，劈和物块组成的系统在水平方向不受外力，水平方向动量守恒，且初始时两物体均静止，根据“人船模型”有mx1=Mx2，其中x1、x2是物块和劈在水平方向上对地的位移大小，且有x1+x2=b，则劈移动的距离为x2=b。 (3)圆环和滑块 质量为M、半径为R的光滑圆环静止在光滑水平面上，有一质量为m的小滑块从环内与圆心O等高处开始无初速度下滑到最低点时，由于水平面光滑，滑块和圆环组成的系统在水平方向动量守恒。设圆环的位移大小为x,则小滑块在水平方向上对地的位移大小为R-x，根据“人船模型”有Mx=m(R-x)，故此过程中圆环发生的位移为x=R 【跟踪训练】（2025·河南开封·三模）如图，质量为m、长为L的长木板静止在光滑的水平地面上，质量为3m的智能机器人（忽略大小）从长木板的左端起跳，恰好落在长木板的右端，重力加速度为g。 (1)机器人从起跳到落在长木板右端的过程中，求机器人的位移大小； (2)若机器人与水平方向成角度起跳（），求起跳过程机器人对长木板做的功。 【答案】(1) (2) 【知识点】斜抛运动、应用动能定理求变力做功、判断系统动量是否守恒、人船模型及其变式 【详解】（1）机器人与长木板构成的系统在水平方向动量守恒，则有 等号左右同时乘以运动时间，则有 其中， 则有 由题意有 解得 （2）设机器人以大小为的速度起跳，机器人，长木板在水平方向动量守恒，则有 机器人在空中竖直方向做竖直上抛运动，则有 机器人在水平方向做匀速直线运动，则有 结合上述有 根据动能定理可知，机器人对长木板做的功 联立解得 02 滑块-斜面（曲面）模型——相对运动与临界问题 1. 模型图例 2. 模型解读： (1)在光滑水平面上，把滑块、光滑弧面(斜面)看作一个整体，它们之间的作用力为内力，滑块和弧面(斜面)组成的系统在水平方向动量守恒。 (2)由于只有动能和重力势能之间的转化，所以系统机械能守恒，应用机械能守恒定律或能量守恒定律求解问题。 (3)滑块到达弧面(斜面)最高点时(滑块竖直方向的速度为零)二者有共同速度。 3.模型临界问题： （1）上升到最大高度时：m与M具有共同的水平速度v共，此时m的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒：mv0＝(M＋m)v共，系统机械能守恒：mv02＝(M＋m)v共2＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为m的重力势能)。 （2）返回最低点时：m与M的分离点．相当于完成了弹性碰撞，分离瞬间m与M的速度可以用弹性碰撞中一动碰一静的结论得到水平方向动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2，系统机械能守恒：mv02＝mv12＋Mv22，相当于完成了弹性碰撞。 【注意】该模型的临界问题为：小球上升最高时，m、M 速度必定相等 补充：模型的延伸 小球—小车/滑环模型（如下图所示）也是水平方向动量守恒和机械能守恒。 【跟踪训练】（2025·安徽·模拟预测）一个四分之一光滑圆弧形物块B静止在光滑的水平面上，圆弧的半径为R，一可视为质点的小物块A从物块B的底端以速度滑上圆弧，经过时间t恰好能滑上B的圆弧面顶端，已知滑块A的质量为m，重力加速度为g，则（　　） A．物块A滑上圆弧面后，A、B组成的系统动量守恒 B．物块B的质量为m C．物块A从底端到滑上圆弧面顶端的过程物块B的位移为 D．A和B分离时，B的速度大小为 【答案】BC 【知识点】滑块斜（曲）面模型 【详解】A．该过程系统在水平方向动量守恒，竖直方向动量不守恒，故A错误； B．A滑上B的过程，有， 解得 故B正确； C．A滑上B的过程，A和B系统在水平方向动量守恒 故，，， 解得 故C正确； D．由于A和B质量相等，A和B分离时，相当于发生弹性碰撞，A和B交换速度，A的速度为0，B的速度大小为，故D错误。 故选BC。 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$