专题07 机械能（知识清单）（全国通用）2026年高考物理一轮复习讲练测

专题07 机械能 目录 01知识脑图·学科框架速建 02考点精析·知识能力全解 【知能解读01】功和能 一、功 二、功率 三、重力势能 四、弹性势能 五、动能 六、机械能 【知能解读02】功能关系和能量守恒定律 一、功能关系 二、能量守恒定律 【核心考点】机械能守恒定律 03 攻坚指南·高频考点突破 【重难点突破01】求解变力做功的多种方法 【重难点突破02】机车启动问题 04 避坑锦囊·易混易错诊疗 【易混易错01】动能定理及其应用——功能关系 【易混易错02】传送带模型和板块模型的能量关系 05 通法提炼·高频思维拆解 【方法技巧01】机械能守恒定律的应用技巧 【方法技巧02】摩擦力做功与能量关系分析技巧 01 功和能 一、功 1. 定义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。W＝Flcosα，其中α为F、l方向间夹角，l为物体对地的位移，该公式适用于恒力做功。在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。 【注意】：功是标量，但有正负。功的正负号不表示方向，也不表示功的多少，在比较功的多少时，只比较功的绝对值，不看功的正负号。例如－5J的功要比2J的功多。 2. 功的正负判断 夹角 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 功的正负 力对物体做正功。 力对物体不做功。 力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功。 动力学角度 力是物体运动的动力。 力对物体既不起动力作用，也不起阻力作用。 力是物体运动的阻力。 能量角度 使物体的能量增加。 物体的能量不增加也不减少。 使物体的能量减少。 3. 对公式W＝Flcosα的理解 ①公式W＝Flcosα中各量W、F、l都要取国际单位制单位。 ②只适用于计算大小和方向均不变的恒力做的功，不适用于计算变力做的功。 ③可以理解为力乘以在力的方向上的位移，即W＝F(lcosα)；也可以理解为位移乘以在位移方向上的分力，即W＝(Fcosα)l。 ④只与F、l、α三者有关，与物体的质量、运动状态、运动形式及是否受其他力等因素均无关。 ⑤因为功是过程量，反映力在空间位移上的累积效果，对应一段位移或一段过程，所以用公式W＝Flcosα求力做的功时，一定要明确是哪个力在哪一段位移上(或在哪一个过程中)所做的功。 4．合力做功的计算方法 方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功。 方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。 补充：各种力做功特点 重力 做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关 弹力(弹簧) 做功只与弹簧的劲度系数和形变量有关 摩擦力 滑动摩擦力做功与路径有关，可以做正功、负功，也可以不做功 一对滑动摩擦力 做功代数和小于零 一对静摩擦力 做功代数和为零 一对相互作用力 作用力和反作用力可以做功，也可以不做功，做功代数和可以大于零、小于零，也可以等于零 合力 合力如果是恒力，可以根据功的定义式求解 重力及弹簧弹力以外的其他力 重力及弹簧弹力以外的其他力所做的功将改变系统的机械能 电场力 与路径无关，由初、末位置的电势差决定 洛伦兹力 不做功，只改变速度的方向 安培力 可以做功，也可以不做功 感应电流在磁场中受到的安培力 做负功，阻碍导体棒与导轨的相对运动 分子力 可以做正功，也可以做负功 核力 核力破坏时将释放巨大的能量 【跟踪训练】（2025·湖北襄阳·三模）下列物理表述正确的是：（　　） A．做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度的变化量的方向是竖直向下的 B．作用力与反作用力做功的代数和一定为零 C．带电粒子在电场中，只受电场力时，也可以做匀速圆周运动 D．带电粒子仅在静电力作用下运动时，动能一定增加 【答案】AC 【知识点】加速度的方向与速度变化的关系、向心力的来源、功的正负及判断、电场力做功和电势能变化的关系 【详解】A．竖直上抛运动加速度为重力加速度g，方向竖直向下，由 可知速度变化量方向与加速度方向相同，即竖直向下，故A正确； B．作用力与反作用力作用在不同物体上，两物体位移不一定相同，做功代数和不一定为零，比如两个相互吸引的磁铁，外力拉开它们时，作用力与反作用力做功代数和不为零，故B错误； C．带电粒子在点电荷电场中，若电场力提供向心力，可做匀速圆周运动（如电子绕原子核运动），故C正确； D．带电粒子仅在静电力作用下，若静电力做负功，动能减小（如带电粒子靠近同种电荷时），故D错误。 故选AC。 二、功率 1. 定义：功与完成这些功所用时间的比值。功率是描述做功的快慢的物理量，用字母P表示，P＝，在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号为W，功率是标量，只有大小，没有方向。 注意：P＝Fvcosα，该式适用于计算平均功率（速度为平均速度）和瞬时功率（速度为瞬时速度）。F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。 【注意】求解功率时要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。 2. 公式P＝ 和P＝Fv的比较 公式 P＝ P＝Fv 适用条件 功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，一般用来求平均功率；当时间t→0时，可由定义式确定瞬时功率。 功率的计算式，仅适用于F与v同向的情况，若两者方向不同，则P＝＝＝Fvcosα；v为平均速度时功率为平均功率，v为瞬时速度时功率为瞬时功率。 联系 公式P＝Fv是P＝的推论；功率P的大小与W、t无关。 补充：瞬时功率和平均功率的计算 平均功率 ＝ ＝Fcos α，其中为物体运动的平均速度 瞬时功率 P＝Fvcosα，其中v为瞬时速度 P＝FvF，其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度 P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力在速度v方向上的分力 【跟踪训练】（2025·山东·高考真题）一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电动机供电，刚好维持小车以速度v匀速运动，此时电动机的效率为。已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力（k为常量），该光伏电池的光电转换效率为，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】功率推导式：P=Fvcosθ、利用能量守恒解决实际问题 【详解】根据题意小车匀速运动，则有 小车的机械功率 由于电动机的效率为，则有 光伏电池的光电转换效率为，即 可得 故选A。 三、重力势能 1. 定义：物体由于被举高而具有的能量叫重力势能。物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积，Ep＝mgh，h是物体重心到参考平面的高度，在国际单位制中，重力势能的单位是焦耳，符号为J。 2. 性质 性质 内容 相对性 Ep＝mgh中的h是物体重心相对参考平面的高度．选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的，但重力势能的差值相同。 绝对性 当一个物体由一个位置运动到另一个位置时，重力势能之差是一定的，与参考平面的选取无关，实际问题中我们更关注的是重力势能的变化量。 系统性 所谓物体的重力势能，实际上是地球和物体组成的系统所共有的，并非物体单独所有，通常所说的物体具有多少重力势能，实际上是一种简略的说法而已。 标矢性 重力势能为标量，其正负表示重力势能的大小．物体在参考平面上方时，物体的高度为正值，重力势能为正值；在参考平面下方时，物体的高度为负值，重力势能为负值。 任意性 参考平面的选择是任意的，视处理问题的方便而定，一般选择地面或物体运动时所达到的最低点为零势能面。 3. 重力做功和重力势能变化的关系 重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加．关系式：WG＝Ep1－Ep2。 【跟踪训练】（2025·河南·高考真题）野外高空作业时，使用无人机给工人运送零件。如图，某次运送过程中的一段时间内，无人机向左水平飞行，零件用轻绳悬挂于无人机下方，并相对于无人机静止，轻绳与竖直方向成一定角度。忽略零件所受空气阻力，则在该段时间内（　　） A．无人机做匀速运动 B．零件所受合外力为零 C．零件的惯性逐渐变大 D．零件的重力势能保持不变 【答案】D 【知识点】惯性、牛顿第二定律的初步应用、重力势能的相对性 【详解】D．无人机沿水平方向飞行，零件相对于无人机静止，也沿水平方向飞行做直线运动，故零件的高度不变，可知零件的重力势能保持不变，D正确； AB．对零件受力分析，受重力和绳子的拉力，由于零件沿水平方向做直线运动，可知合外力沿水平方向，提供水平方向的加速度。零件水平向左做匀加速直线运动，AB错误； C．惯性的大小只与质量有关，零件的质量不变，故零件的惯性不变，C错误。 故选D。 四、弹性势能 1. 定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫弹性势能。，式中为弹簧的弹性势能，为劲度系数，为弹簧的形变量。只和弹簧的劲度系数（在弹性限度内，不同的弹簧发生同样大小的形变，劲度系数越大，弹性势能越大）与弹簧的形变量（同一弹簧，在弹性限度内，形变大小越大，弹簧的弹性势能就越大）有关。 2. 弹力做功与弹性势能变化的关系 ①弹力做功和重力做功一样也和路径无关，弹力对其他物体做了多少功，弹性势能就减少多少。克服弹力做多少功，弹性势能就增加多少。 ②弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小。弹性势能的变化量总等于弹力做功的相反数。 ③弹性势能的增加量与减少量由弹力做功多少来量度。 【跟踪训练】（2023·浙江·高考真题）一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中（　　） A．弹性势能减小 B．重力势能减小 C．机械能保持不变 D．绳一绷紧动能就开始减小 【答案】B 【知识点】牛顿第二定律的初步应用、用动能定理求解外力做功和初末速度、重力势能的定义和性质、弹性势能的变化和弹力做功的关系、判断系统机械能是否守恒 【详解】游客从跳台下落，开始阶段橡皮绳未拉直，只受重力作用做匀加速运动，下落到一定高度时橡皮绳开始绷紧，游客受重力和向上的弹力作用，弹力从零逐渐增大，游客所受合力先向下减小后向上增大，速度先增大后减小，到最低点时速度减小到零，弹力达到最大值。 A．橡皮绳绷紧后弹性势能一直增大，A错误； B．游客高度一直降低，重力一直做正功，重力势能一直减小，B正确； C．下落阶段橡皮绳对游客做负功，游客机械能减少，转化为弹性势能，C错误； D．绳刚绷紧开始一段时间内，弹力小于重力，合力向下做正功，游客动能在增加；当弹力大于重力后，合力向上对游客做负功，游客动能逐渐减小，D错误。 故选B。 五、动能 1. 定义：物体由于运动而具有的能叫动能。物体的动能等于物体的质量与物体速度的二次方的乘积的一半。Ek＝mv2。国际单位为焦耳，符号为J。动能是标量，只有大小，没有方向。 2. 理解 动能具有瞬时性，在某一时刻，物体具有一定的速度，也就具有一定的动能。 由于速度具有相对性，则动能也具有相对性，对不同的参考系，物体速度有不同的瞬时值，也就具有不同的动能，一般都以地面为参考系。 动能是标量，且只有正值，没有负值，但动能的变化却有正有负。动能的变化是指末状态的动能减去初状态的动能。 同一物体，速度越大，动能越大；同样速度，质量越大，动能越大。 【跟踪训练】（2025·陕西渭南·三模）近年来，我国航天事业取得了显著的成就和发展，如载人航天工程、月球探测、火星探测等。如图是火星探测任务中天问一号探测器实施近火制动中的停泊轨道，该停泊轨道可看作是椭圆轨道，a、b、c、d是该轨道上的四个点，其中d点为近火点，b点为远火点，则天问一号在经过这四个位置中动能最大的是（　　） A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 【答案】D 【知识点】开普勒第二定律、动能的定义和表达式 【详解】根据开普勒第二定律可知，当卫星经过近火点d时速度最大，动能最大。 故选D。 六、机械能 1. 定义：物体的动能与重力势能(弹性势能)之和称为机械能。E=EK+EP，EK为动能，EP为势能（重力势能和弹性势能），单位是焦耳，符号J。机械能是标量，但有正、负(因重力势能有正、负)。 2. 理解 机械能包括动能、重力势能、弹性势能。重力势能是属于物体和地球组成的重力系统的，弹性势能是属于弹簧的弹力系统的。 机械能是状态量，做机械运动的物体在某一位置时，具有确定的机械能。 机械能具有相对性，势能具有相对性(须确定零势能参考平面)，同时，与动能相关的速度也具有相对性(应该相对于同一个惯性参考系，一般是以地面为参考系)，所以机械能也具有相对性。 机械能具有系统性，是物体、地球和弹性系统所共有的。 【跟踪训练】（2025·重庆北碚·模拟预测）如图，运货小车正沿着螺旋轨道匀速率下滑，则小车（　　） A．加速度为零 B．动量不变 C．动能减少 D．机械能减少 【答案】D 【知识点】动能的定义和表达式、计算物体的机械能、动量的定义、单位和矢量性 【详解】A．运货小车做曲线运动，是变速运动，加速度不为0，故A错误； B．运货小车速度方向改变，则动量改变，故B错误； CD．运货小车匀速率下滑，动能不变，重力势能减小，机械能减小，故C错误，D正确。 故选D。 02 功能关系和能量守恒定律 一、功能关系 1. 内容：功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。 2. 常见的功能关系 力做功 能的变化 定量关系 合力做的功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力做的功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少 (2)重力做负功，重力势能增加 (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹力做的功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少 (2)弹力做负功，弹性势能增加 (3)W＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 只有重力、弹力做功 机械能不变化 机械能守恒，ΔE＝0 除重力和弹力之外的其他力做的功 机械能变化 (1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少 (2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少 (3)W其他＝ΔE 摩擦力 内能的变化 Q=|Wf滑|＝Ff滑·s(s为路程) 电场力 电势能变化 W电场力＝－ΔEp＝qU 补充：功的正负与能量增减的对应关系 (1)物体动能的增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功。 (2)势能的增加与减少要看对应的作用力(如重力、弹簧弹力、电场力等)做负功还是做正功。 (3)机械能的增加与减少要看重力和弹簧弹力之外的力对物体做正功还是做负功。 补充：特殊力做功的特点 力 做功特点 一对滑动摩擦力 做功代数和小于零，Wf滑|＝Q＝|ΔE机械能|＝Ff滑·x相对 一对静摩擦力 做功代数和为零 一对相互作用力 作用力和反作用力可以做功，也可以不做功，做功代数和可以大于零、小于零，也可以等于零 洛伦兹力 不做功，只改变速度的方向 安培力 可以做功，也可以不做功 感应电流在磁场中受到的安培力 做负功，阻碍导体棒与导轨的相对运动，|W安|＝|ΔE机械能|＝Q 分子力 可以做正功，也可以做负功，W分子力＝－ΔEp 核力 核力破坏时将释放巨大的能量，ΔE＝Δmc2其中c为光速 【跟踪训练】（2024·浙江·高考真题）如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球（　　） A．从1到2动能减少 B．从1到2重力势能增加 C．从2到3动能增加 D．从2到3机械能不变 【答案】B 【知识点】常见力做功与相应的能量转化、判断系统机械能是否守恒 【详解】AB．由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从从1到2重力势能增加，则1到2动能减少量大于，A错误，B正确； CD．从2到3由于空气阻力作用，则机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加小于，选项CD错误。 故选B。 二、能量守恒定律 1. 内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。 注意：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适应的一条规律。 2. 对能量守恒定律的几点理解 (1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 (2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 （3）E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。 （4）ΔE增＝ΔE减，增加的那些能量的增加量等于减少的那些能量的减少量。 3. 运用能量守恒定律解题的基本思路 【跟踪训练】（2025·云南·高考真题）如图所示，质量为m的滑块（视为质点）与水平面上MN段的动摩擦因数为，与其余部分的动摩擦因数为，且。第一次，滑块从I位置以速度向右滑动，通过MN段后停在水平面上的某一位置，整个运动过程中，滑块的位移大小为，所用时间为；第二次，滑块从Ⅱ位置以相同速度向右滑动，通过MN段后停在水平面上的另一位置，整个运动过程中，滑块的位移大小为，所用时间为。忽略空气阻力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用v-t图像解决变速运动的问题、利用能量守恒解决实际问题 【详解】CD．对两种运动的整个过程根据能量守恒有， 可得，故CD错误； AB．根据牛顿第二定律 可得 由于，故滑块在MN上时的加速度大，根据前面分析可知两次运动的总位移相等，即两次运动过程中图像与横轴围成的面积相等，由于第二次时滑块距离M点的距离较近，根据公式可知第二次到达M点时速度较大，作出整个过程中两种运动状态的图像 可得，故A正确，B错误； 故选A。 机械能守恒定律 1. 内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1 【注意】应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态之间过程的细节，即可以简化计算。 2．对机械能守恒条件的理解 (1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。 (2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。 (3)对物体和弹簧组成的系统，只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒。注意：并非物体的机械能守恒。 3. 守恒条件 受力角度 物体系统只受重力或弹力作用 做功角度 只有重力或弹力做功，物体系统存在其他力作用，但其他力不做功。 能量转化 相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化 注意：“只有重力或弹力做功”并非“只受重力或弹力作用”，也不是合力的功等于零，更不是某个物体所受的合力等于零。 4．机械能守恒定律的三种表达式 守恒角度 转化角度 转移角度 表达式 E1＝E2 （Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2） ΔEk＝－ΔEp ΔEA增＝ΔEB减 物理意义 系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等 表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能 若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等 适合研究对象 单个物体 一个或多个物体 两个物体 注意事项 要选取零势能面，在整个分析过程中必须选取同一个零势能面。 不需要选取零势能面，要明确势能的增加量或减少量。 不需要选取零势能面，要明确两个物体的机械能变化情况 补充：机械能守恒定律再多个物体中的应用 对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。 注意寻找用绳子或杆相连的物体之间的速度关系和位移关系。 列机械能守恒方程时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式解决问题。 补充：机械能是否守恒的三种判断方法 (1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。 (2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。 (3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒。 【跟踪训练】（2025·陕晋青宁卷·高考真题）如图，与水平面成夹角且固定于O、M两点的硬直杆上套着一质量为的滑块，弹性轻绳一端固定于O点，另一端跨过固定在Q处的光滑定滑轮与位于直杆上P点的滑块拴接，弹性轻绳原长为OQ，PQ为且垂直于OM。现将滑块无初速度释放，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。滑块与杆之间的动摩擦因数为0.16，弹性轻绳上弹力F的大小与其伸长量x满足。，g取，。则滑块（　　） A．与杆之间的滑动摩擦力大小始终为 B．下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量相同 C．从释放到静止的位移大小为 D．从释放到静止克服滑动摩擦力做功为 【答案】AC 【知识点】滑动摩擦力的大小与方向、机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用、求恒力的冲量 【详解】A．根据题意，设滑块下滑后弹性轻绳与PQ间夹角为时，对滑块进行受力分析，如图所示 在垂直杆方向有 由胡克定律结合几何关系有 联立解得 可知，滑块与杆之间的弹力不变，则滑块与杆之间的滑动摩擦力大小始终为 故A正确； B．下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的方向不同，冲量是矢量，则下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量不相同，故B错误； C．设滑块从释放到静止运动的位移为，滑块开始向下做加速度减小的减速运动，当沿着杆方向合力为0时，滑块速度最大，之后滑块继续向下做加速度增大的减速运动，当速度为为0时，有 由几何关系可得 此时 则滑块会继续向上滑动，做加速度减小的加速运动。当滑块速度再次为0时，有 解得 此时 此时 则滑块静止，故从释放到静止，滑块的位移为，故C正确； D．从释放到静止，设克服滑动摩擦力做功为，由能量守恒定律有     解得 故D错误。 故选AC。 01 求解变力做功的多种方法 图示 分析 注意事项 图像法 在F­x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负。如图所示，水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0。 此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。 平均力法 若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝·Δx，弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做的功W＝·(x2－x1) 此法只适用于物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力是均匀变化的。 等效转换法 若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。如下图所示，恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)。 此法常常用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。 微元法 质量为m的木块在水平面内做半径为R的圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。 动能定理法 使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法。如下图所示，用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)。 动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功。 【跟踪训练】（2025·湖北·三模）雨滴在穿过云层的过程中，由于水汽的凝聚，雨滴质量将逐渐增大。若其中某段运动可简化为一竖直方向运动，且该过程中雨滴的初始质量为m0，初速度为v0，高度下降h后质量变为m1，速度变为v1。假定雨滴的质量增加量与下落高度成正比，则该过程中克服阻力做功为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图像法求变力做功、应用动能定理求变力做功 【详解】根据动能定理可得 而雨滴的质量增加量与下落高度成正比，即重力与下落高度成一次函数关系，故有 联立可得 故选D。 02 机车启动问题 两类机车启动 恒定功率启动 恒定加速度启动 Pt图像和v﹣t图像 OA段 过程分析 P不变：v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ a不变：a＝⇒F不变 v↑⇒P＝Fv↑⇒P额＝Fv1 运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ v↑⇒F＝↓⇒ a＝↓ 运动性质 做速度为vm的匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动，在B点达到最大速度，vm＝ 补充：机车启动中的三个重要关系式 (1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。 (2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝<vm＝。 (3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。 【注意】①机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律不同，分析图像时应注意坐标轴的意义及图像变化所描述的规律。 ②在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力，正是基于此，牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度，即P＝Ff vm。 ③恒定功率下的启动过程一定不是匀加速过程，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)。 ④以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算(因为功率P是变化的)。 ⑤无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度。 ⑥机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大（额定功率），但速度不是最大。 【跟踪训练】（2025·广西南宁·模拟预测）2025年2月3日《观点网》消息，某品牌汽车官方微博宣布，2025年1月，某型号汽车交付量再次超过两万辆。t=0时刻，一辆该品牌汽车在一段试车专用的平直的公路上由静止启动，t=8s时功率达到360kW之后功率保持不变，其v-t图像如图所示。设汽车在运动过程中阻力不变，下列说法正确的是（　　） A．汽车受到的阻力大小为15000N B．汽车的最大牵引力为15000N C．汽车的质量为5000kg D．汽车在做变加速运动过程中的位移大小约为640m 【答案】B 【知识点】机车的额定功率、阻力与最大速度的关系、以恒定加速度启动、应用动能定理解决机车启动问题 【详解】 A．当牵引力等于阻力时，速度达到最大值，则有，故A错误； B．汽车做匀加速运动的牵引力最大，时，牵引力大小为， 故B正确； C．由图可知，汽车在内做匀加速直线运动，加速度大小为 由牛顿第二定律有 解得，故C错误； D．内牵引力做的功为 由动能定理有 解得汽车在做变加速运动过程中的位移大小，故D错误。 故选B。 【功和能专题中的易错分析】 1.力对物体是否做功，只与这两个因素有关，与其他因素（如物体运动的快慢、运动性质、物体的质量、物体是否受其它力等无关； 2.滑动摩擦力对物体可能做正功，也可能做负功，也可能不做功，静摩擦力对物体可能做正功、负功或不做功； 3.公式P=Fv计算平均功率时，F必须为恒力，计算瞬时功率时，F可以是恒力，也可以是变力，v可以是恒定的，也可以是变化的； 4.机车在恒定功率下启动过程一定不是匀加速直线运动，匀变速直线运动的公式不适用，启动过程中发动机做的功可用W=Pt计算，不能用W=Fl计算。机车以恒定加速启动只能维持一段时间，达到额定功率后又要经历非匀变速直线运动，匀变速直线运动结速点在机车功率达到额定功率时。 5.参考平的选取是任意的，视问题方便而取。重力势能有正、有负，正、负表示重力势能的大小，正的一定比负的大； 6.减小量表示量减少了多少，数值上是初态减末态；增加量是表示增加了多少，数值上是末态减初态；变化量是末态减初态； 7.动能定理：当物体运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移。计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和； 01 动能定理及其应用——功能关系 1. 内容：物体所受合外力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。W＝mv22－mv12 【注意】动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功；力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。 2. 合外力做功与动能的关系 W>0，物体的动能增加；W＝0，物体的动能不变；W<0，物体的动能减少。 3. 动能定理表达式的推导： 如图所示，光滑水平面上的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离l，速度由v1增加到v2，力F对物体做功为：W＝Fl＝F· ＝F·＝mv22－mv12。 4. 对动能定理的理解 ①运用动能定理，研究对象可以是一个物体也可以是一个系统，既适用于全过程也适用于某一个过程。 ②动能定理的计算式为标量式，v为相对同一参考系的速度。 ③定理中“外力”的两点理解：重力、弹力、摩擦力或其他力，它们可以同时作用，也可以不同时作用；可以是恒力，也可以是变力。 ④总功的求法：先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W＝F合lcosα计算；计算各个力对物体做的功W1、W2、…、Wn，然后将各个外力所做的功求代数和。 5. 应用动能定理求解步骤 补充：应用动能定理的注意事项： (1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。 (2)应用动能定理的关键在于对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析。 (3)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验。 (4)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解，这样更简便。 补充：优先应用动能定理的问题 ①不涉及加速度、时间的问题； ②有多个物理过程且不需要研究整个过程中的中间状态的问题； ③变力做功的问题； ④含有F、l、m、v、W、Ek等物理量的力学问题。 补充：动能定理与牛顿第二定律的区别和联系 牛顿第二定律 动能定理 区别 牛顿第二定律是矢量式，反映的是力与加速度的瞬时关系，即力与物体运动状态变化快慢之间的联系 动能定理是标量式，反映的是力对物体持续作用的空间累积效果，即对物体作用的外力所做功与物体运动状态变化之间的联系 牛顿第二定律和动能定理是研究力和运动的关系的两条不同途径。把对一个物理现象每个瞬时的研究转变成对整个过程的研究。 联系 力的作用效果能够使物体的运动状态发生改变，即速度发生变化，两者都是来描述力的这种作用效果的。动能定理对于一个力作用下物体的运动过程着重从空间积累的角度反映作用结果，而牛顿第二定律注重反映该过程中某一瞬时力的作用结果。 补充：动能定理与图像结合的问题 (1)v－t图：由公式x＝vt可知，v－t图线与横坐标轴围成的面积表示物体的位移。 (2)F－x图：由公式W＝Fx可知，F－x图线与横坐标轴围成的面积表示力所做的功。 (3)P－t图：由公式W＝Pt可知，P－t图线与横坐标轴围成的面积表示力所做的功。 (4)a－t图：由公式Δv＝at可知，a－t图线与横坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量。 (5)Ek­x图：由公式F合x＝Ek－Ek0可知，Ek­x图线的斜率表示合力。 补充：图像问题的处理方法 看清图像的横、纵坐标所表示的物理量及单位并注意坐标原来是否从0开始。理解图像的物理意义，能够抓住图像的一些关键点，如斜率、截距、面积、交点、拐点的物理意义。判断物体的运动情况或受力情况，明确因变量与自变量间的制约关系，明确物理量的变化趋势，分析图线进而弄懂物理过程，再结合牛顿运动定律等相关规律列出与图像对应的函数方程式，进而明确“图像与公式”、“图像与物体”间的关系，以便对有关物理问题做出准确判断。 补充：机械能守恒定律与动能定理的区别 类型 机械能守恒定律 动能定理 共同点 机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度来研究物体在力的作用下运动状态的改变，表达这两个规律的方程都是标量方程。 区别 对象 物体组成的系统。 是一个物体(质点)。 条件 只允许重力和弹力做功。 没有条件的限制，它不但允许重力和弹力做功，还允许其他力做功。 突破 系统初、末状态的机械能的表达式。 合外力做的功及初、末状态的动能的变化。 【跟踪训练】（2025·福建·高考真题）如图甲，水平地面上有A、B两个物块，两物块质量均为0.2kg，A与地面动摩擦因数为，B与地面无摩擦，两物块在外力F的作用下向右前进，F与位移x的图如图乙所示，P为圆弧最低点，M为最高点，水平地面长度大于4m，重力加速度。 (1)求，F做的功； (2)时，A与B之间的弹力； (3)要保证B能到达M点，圆弧半径满足的条件。 【答案】(1)1.5J (2)0.5N (3) 【知识点】绳/单层轨道模型、功的定义（式）、用动能定理求解外力做功和初末速度 【详解】（1）求，F做的功 （2）对AB整体，根据牛顿第二定律 其中 对B根据牛顿第二定律 联立解得 （3）当A、B之间的弹力为零时，A、B分离，根据（2）分析可知此时 此时 过程中，对A、B根据动能定理 根据题图可得 从点到点，根据动能定理 在点的最小速度满足 联立可得 即圆弧半径满足的条件。 02 传送带模型和板块模型的能量关系 1. 传送带模型中的功和能量的关系： 功能关系：对功WF和Q的理解： ①传送带的功：WF＝Fx传； ②产生的内能Q＝Ffx相对．其中x相对为相互摩擦的物体与传送带间的相对位移。 核心功能关系：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q。 分析流程如下： 2. 板块模型中的功和能量的关系 模型特点：滑块放置于长木板上，滑块和木板均相对地面或者斜面运动，且滑块和木板在摩擦力的作用下发生相对滑动。 滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板沿同一方向运动，则滑块的位移和木板的位移之差等于木板的长度；若滑块和木板沿相反方向运动，则滑块的位移和木板的位移之和等于木板的长度． 核心的功能关系： ①求摩擦力对滑块做功：WF＝Fx滑； ②求摩擦力对木板做功：WF＝Fx板； ③求摩擦生热：Q＝Ffx相对＝FfΔx. 【跟踪训练】（2025·山东枣庄·二模）如图甲所示，固定光滑斜面的倾角，右端带有固定挡板的“┚”形木板静置于水平面上，斜面底端B与木板左端紧靠且跟其上表面平齐。将质量的小物块从斜面顶端A由静止释放，物块滑上木板时不计能量损失，到达木板右端时与挡板发生弹性碰撞。以物块刚滑上木板的时刻为计时起点，物块跟挡板碰撞前物块和木板的图像，如图乙所示，木板与地面间的动摩擦因素，取重力加速度。 (1)求斜面的长度； (2)求从物块开始运动至其和挡板碰撞前的瞬间，物块与木板系统损失的机械能； (3)物块最终能否从木板上滑落？若能，请求出物块滑落时的速度；若不能，请求出物块最终到木板左端的距离d。 【答案】(1) (2) (3)不能， 【知识点】应用动能定理解决多段过程问题、能量守恒定律和板块问题结合 【详解】（1）由图乙可知，物块到达斜面底端时的速度为 物块从A下滑到的过程中，由动能定理可得 解得 （2）由图乙可知，物块与档板碰撞前瞬间，物块、木板的速度分别为， 根据加速度定义式有 解得物块、木板加速度大小分别为， 对物块进行分析，根据牛顿第二定律有 对木板进行分析，根据牛顿第二定律有 解得， 对物块与木板构成的系统，由能量守恒定律得 解得 （3）物块最终不能从木板上滑落。在（）时间内，物块相对于木板向右滑动，碰前物块，木板的速度分别记为、，可知板长 解得板长 在时物块与挡板发生弹性碰撞，碰后速度分别记为、由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 解得， 碰撞后物块向左做匀减速直线运动，加速度大小 木板向右做匀减速直线运动，加速度大小记为，则有， 解得加速度大小 假设物块最终不能从木板上滑落，碰撞后再经过两者共速，则有 解得， 在时间内，物块相对于木板始终向左滑动，相对位移为 解得 可知物块不能从木板上滑落，则物块最终到木板左端的距离 01 机械能守恒定律的应用技巧 1. 应用机械能守恒定律的前提是“守恒”，因此，需要先对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒作出判断。 2. 列方程时，选取的角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。 3. 不同情境下机械能守恒定律的应用 应用类型 分析方法 单个物体的机械能守恒问题 在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面，分析清楚各力做功的情况，选取合适的机械能守恒定律的观点列表达式进行求解 多个物体的机械能守恒问题 分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒。对多个物体组成的系统，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒。注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 含弹簧的机械能守恒问题 （1）弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 （2）弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。 非质点的机械能守恒问题 (1)在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。 (2)这类物体虽然不能看成质点来处理，但若只有重力做功，则物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。一般情况物体各部分速度大小相同，动能用mv2表示。 【跟踪训练】（2025·云南·高考真题）如图所示，倾角为的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数。过程I：Q以速度从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。则（　　） A．P、M两点之间的距离为 B．过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在OM（含O、M点）之间 【答案】CD 【知识点】机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用、弹簧连接体问题 【详解】A．设的距离为，过程I，根据动能定理有 设的距离为，过程Ⅱ中，当Q速度最大时，根据平衡条件 P、M两点之间的距离 联立可得 故A错误； B．根据功能关系，可知过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中Q和弹簧组成的系统损失的机械能为 结合 可得 但在过程Ⅱ中单独对于Q而言机械能是增加的，故B错误； C．设过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移，根据能量守恒定律 结合 解得 故C正确； D．无论Q从何处释放，Q在斜面上运动过程中，弹簧与Q初始时的势能变为摩擦热，当在点时，满足 当在点时，满足 所以在OM（含O、M点）之间速度为零时，Q将静止，故D正确。 故选CD。 02 摩擦力做功与能量关系分析技巧 摩擦力做功的特点 静摩擦力 ①静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功； ②一对静摩擦力所做功的代数和总等于零； ③静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能。 只有能量的转移，而没有能量的转化 滑动摩擦力 ①滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；②一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能的转移，做功的代数和总是负值，差值为机械能转化为内能的部分，也就是系统机械能的损失量，损失的机械能会转化为内能,内能Q=Ffx相对； 既有能量的转移，又有能量的转化 两种摩擦力对物体都可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 摩擦生热的计算：Q＝Ff x相对，其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移。 【跟踪训练】（2025·江西·模拟预测）如图所示，物流传送带在电动机的带动下始终以大小为的水平速度匀速运动。某时刻在传送带的左端轻放一个质量为m的小物箱，小物箱在传送带上做匀变速运动，经时间t小物箱的速度与传送带的速度相同，重力加速度大小为g，则在这段时间内，下列说法正确的是（　　） A．小物箱相对传送带的位移大小为 B．小物箱与传送带间的动摩擦因数为 C．小物箱与传送带间因摩擦产生的热量为 D．因传送小物箱，电动机至少要多做的功为 【答案】B 【知识点】物块在水平传送带上运动分析、能量守恒定律与传送带结合 【详解】A．小物箱相对传送带的位移就是传送带与小物箱在时间内的位移差，有 故A错误； B．小物箱在时间内做匀加速直线运动，加速度 速度，解得 故B正确； C．小物箱与传送带间因摩擦产生的热量 故C错误； D．由功能关系可知因传送小物箱，电动机至少要多做的功等于小物箱增加的动能与系统摩擦产生的热能之和，有 故D错误。 故选B。 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 机械能 目录 01知识脑图·学科框架速建 02考点精析·知识能力全解 【知能解读01】功和能 一、功 二、功率 三、重力势能 四、弹性势能 五、动能 六、机械能 【知能解读02】功能关系和能量守恒定律 一、功能关系 二、能量守恒定律 【核心考点】机械能守恒定律 03 攻坚指南·高频考点突破 【重难点突破01】求解变力做功的多种方法 【重难点突破02】机车启动问题 04 避坑锦囊·易混易错诊疗 【易混易错01】动能定理及其应用——功能关系 【易混易错02】传送带模型和板块模型的能量关系 05 通法提炼·高频思维拆解 【方法技巧01】机械能守恒定律的应用技巧 【方法技巧02】摩擦力做功与能量关系分析技巧 01 功和能 一、功 1. 定义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。W＝Flcosα，其中α为F、l方向间夹角，l为物体对地的位移，该公式适用于恒力做功。在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。 【注意】：功是标量，但有正负。功的正负号不表示方向，也不表示功的多少，在比较功的多少时，只比较功的绝对值，不看功的正负号。例如－5J的功要比2J的功多。 2. 功的正负判断 夹角 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 功的正负 力对物体做正功。 力对物体不做功。 力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功。 动力学角度 力是物体运动的动力。 力对物体既不起动力作用，也不起阻力作用。 力是物体运动的阻力。 能量角度 使物体的能量增加。 物体的能量不增加也不减少。 使物体的能量减少。 3. 对公式W＝Flcosα的理解 ①公式W＝Flcosα中各量W、F、l都要取国际单位制单位。 ②只适用于计算大小和方向均不变的恒力做的功，不适用于计算变力做的功。 ③可以理解为力乘以在力的方向上的位移，即W＝F(lcosα)；也可以理解为位移乘以在位移方向上的分力，即W＝(Fcosα)l。 ④只与F、l、α三者有关，与物体的质量、运动状态、运动形式及是否受其他力等因素均无关。 ⑤因为功是过程量，反映力在空间位移上的累积效果，对应一段位移或一段过程，所以用公式W＝Flcosα求力做的功时，一定要明确是哪个力在哪一段位移上(或在哪一个过程中)所做的功。 4．合力做功的计算方法 方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功。 方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。 补充：各种力做功特点 重力 做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关 弹力(弹簧) 做功只与弹簧的劲度系数和形变量有关 摩擦力 滑动摩擦力做功与路径有关，可以做正功、负功，也可以不做功 一对滑动摩擦力 做功代数和小于零 一对静摩擦力 做功代数和为零 一对相互作用力 作用力和反作用力可以做功，也可以不做功，做功代数和可以大于零、小于零，也可以等于零 合力 合力如果是恒力，可以根据功的定义式求解 重力及弹簧弹力以外的其他力 重力及弹簧弹力以外的其他力所做的功将改变系统的机械能 电场力 与路径无关，由初、末位置的电势差决定 洛伦兹力 不做功，只改变速度的方向 安培力 可以做功，也可以不做功 感应电流在磁场中受到的安培力 做负功，阻碍导体棒与导轨的相对运动 分子力 可以做正功，也可以做负功 核力 核力破坏时将释放巨大的能量 【跟踪训练】（2025·湖北襄阳·三模）下列物理表述正确的是：（　　） A．做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度的变化量的方向是竖直向下的 B．作用力与反作用力做功的代数和一定为零 C．带电粒子在电场中，只受电场力时，也可以做匀速圆周运动 D．带电粒子仅在静电力作用下运动时，动能一定增加 二、功率 1. 定义：功与完成这些功所用时间的比值。功率是描述做功的快慢的物理量，用字母P表示，P＝，在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号为W，功率是标量，只有大小，没有方向。 注意：P＝Fvcosα，该式适用于计算平均功率（速度为平均速度）和瞬时功率（速度为瞬时速度）。F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。 【注意】求解功率时要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。 2. 公式P＝ 和P＝Fv的比较 公式 P＝ P＝Fv 适用条件 功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，一般用来求平均功率；当时间t→0时，可由定义式确定瞬时功率。 功率的计算式，仅适用于F与v同向的情况，若两者方向不同，则P＝＝＝Fvcosα；v为平均速度时功率为平均功率，v为瞬时速度时功率为瞬时功率。 联系 公式P＝Fv是P＝的推论；功率P的大小与W、t无关。 补充：瞬时功率和平均功率的计算 平均功率 ＝ ＝Fcos α，其中为物体运动的平均速度 瞬时功率 P＝Fvcosα，其中v为瞬时速度 P＝FvF，其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度 P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力在速度v方向上的分力 【跟踪训练】（2025·山东·高考真题）一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电动机供电，刚好维持小车以速度v匀速运动，此时电动机的效率为。已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力（k为常量），该光伏电池的光电转换效率为，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为（　　） A． B． C． D． 三、重力势能 1. 定义：物体由于被举高而具有的能量叫重力势能。物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积，Ep＝mgh，h是物体重心到参考平面的高度，在国际单位制中，重力势能的单位是焦耳，符号为J。 2. 性质 性质 内容 相对性 Ep＝mgh中的h是物体重心相对参考平面的高度．选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的，但重力势能的差值相同。 绝对性 当一个物体由一个位置运动到另一个位置时，重力势能之差是一定的，与参考平面的选取无关，实际问题中我们更关注的是重力势能的变化量。 系统性 所谓物体的重力势能，实际上是地球和物体组成的系统所共有的，并非物体单独所有，通常所说的物体具有多少重力势能，实际上是一种简略的说法而已。 标矢性 重力势能为标量，其正负表示重力势能的大小．物体在参考平面上方时，物体的高度为正值，重力势能为正值；在参考平面下方时，物体的高度为负值，重力势能为负值。 任意性 参考平面的选择是任意的，视处理问题的方便而定，一般选择地面或物体运动时所达到的最低点为零势能面。 3. 重力做功和重力势能变化的关系 重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加．关系式：WG＝Ep1－Ep2。 【跟踪训练】（2025·河南·高考真题）野外高空作业时，使用无人机给工人运送零件。如图，某次运送过程中的一段时间内，无人机向左水平飞行，零件用轻绳悬挂于无人机下方，并相对于无人机静止，轻绳与竖直方向成一定角度。忽略零件所受空气阻力，则在该段时间内（　　） A．无人机做匀速运动 B．零件所受合外力为零 C．零件的惯性逐渐变大 D．零件的重力势能保持不变 四、弹性势能 1. 定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫弹性势能。，式中为弹簧的弹性势能，为劲度系数，为弹簧的形变量。只和弹簧的劲度系数（在弹性限度内，不同的弹簧发生同样大小的形变，劲度系数越大，弹性势能越大）与弹簧的形变量（同一弹簧，在弹性限度内，形变大小越大，弹簧的弹性势能就越大）有关。 2. 弹力做功与弹性势能变化的关系 ①弹力做功和重力做功一样也和路径无关，弹力对其他物体做了多少功，弹性势能就减少多少。克服弹力做多少功，弹性势能就增加多少。 ②弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小。弹性势能的变化量总等于弹力做功的相反数。 ③弹性势能的增加量与减少量由弹力做功多少来量度。 【跟踪训练】（2023·浙江·高考真题）一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中（　　） A．弹性势能减小 B．重力势能减小 C．机械能保持不变 D．绳一绷紧动能就开始减小 五、动能 1. 定义：物体由于运动而具有的能叫动能。物体的动能等于物体的质量与物体速度的二次方的乘积的一半。Ek＝mv2。国际单位为焦耳，符号为J。动能是标量，只有大小，没有方向。 2. 理解 动能具有瞬时性，在某一时刻，物体具有一定的速度，也就具有一定的动能。 由于速度具有相对性，则动能也具有相对性，对不同的参考系，物体速度有不同的瞬时值，也就具有不同的动能，一般都以地面为参考系。 动能是标量，且只有正值，没有负值，但动能的变化却有正有负。动能的变化是指末状态的动能减去初状态的动能。 同一物体，速度越大，动能越大；同样速度，质量越大，动能越大。 【跟踪训练】（2025·陕西渭南·三模）近年来，我国航天事业取得了显著的成就和发展，如载人航天工程、月球探测、火星探测等。如图是火星探测任务中天问一号探测器实施近火制动中的停泊轨道，该停泊轨道可看作是椭圆轨道，a、b、c、d是该轨道上的四个点，其中d点为近火点，b点为远火点，则天问一号在经过这四个位置中动能最大的是（　　） A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 六、机械能 1. 定义：物体的动能与重力势能(弹性势能)之和称为机械能。E=EK+EP，EK为动能，EP为势能（重力势能和弹性势能），单位是焦耳，符号J。机械能是标量，但有正、负(因重力势能有正、负)。 2. 理解 机械能包括动能、重力势能、弹性势能。重力势能是属于物体和地球组成的重力系统的，弹性势能是属于弹簧的弹力系统的。 机械能是状态量，做机械运动的物体在某一位置时，具有确定的机械能。 机械能具有相对性，势能具有相对性(须确定零势能参考平面)，同时，与动能相关的速度也具有相对性(应该相对于同一个惯性参考系，一般是以地面为参考系)，所以机械能也具有相对性。 机械能具有系统性，是物体、地球和弹性系统所共有的。 【跟踪训练】（2025·重庆北碚·模拟预测）如图，运货小车正沿着螺旋轨道匀速率下滑，则小车（　　） A．加速度为零 B．动量不变 C．动能减少 D．机械能减少 02 功能关系和能量守恒定律 一、功能关系 1. 内容：功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。 2. 常见的功能关系 力做功 能的变化 定量关系 合力做的功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力做的功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少 (2)重力做负功，重力势能增加 (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹力做的功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少 (2)弹力做负功，弹性势能增加 (3)W＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 只有重力、弹力做功 机械能不变化 机械能守恒，ΔE＝0 除重力和弹力之外的其他力做的功 机械能变化 (1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少 (2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少 (3)W其他＝ΔE 摩擦力 内能的变化 Q=|Wf滑|＝Ff滑·s(s为路程) 电场力 电势能变化 W电场力＝－ΔEp＝qU 补充：功的正负与能量增减的对应关系 (1)物体动能的增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功。 (2)势能的增加与减少要看对应的作用力(如重力、弹簧弹力、电场力等)做负功还是做正功。 (3)机械能的增加与减少要看重力和弹簧弹力之外的力对物体做正功还是做负功。 补充：特殊力做功的特点 力 做功特点 一对滑动摩擦力 做功代数和小于零，Wf滑|＝Q＝|ΔE机械能|＝Ff滑·x相对 一对静摩擦力 做功代数和为零 一对相互作用力 作用力和反作用力可以做功，也可以不做功，做功代数和可以大于零、小于零，也可以等于零 洛伦兹力 不做功，只改变速度的方向 安培力 可以做功，也可以不做功 感应电流在磁场中受到的安培力 做负功，阻碍导体棒与导轨的相对运动，|W安|＝|ΔE机械能|＝Q 分子力 可以做正功，也可以做负功，W分子力＝－ΔEp 核力 核力破坏时将释放巨大的能量，ΔE＝Δmc2其中c为光速 【跟踪训练】（2024·浙江·高考真题）如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球（　　） A．从1到2动能减少 B．从1到2重力势能增加 C．从2到3动能增加 D．从2到3机械能不变 二、能量守恒定律 1. 内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。 注意：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适应的一条规律。 2. 对能量守恒定律的几点理解 (1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 (2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 （3）E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。 （4）ΔE增＝ΔE减，增加的那些能量的增加量等于减少的那些能量的减少量。 3. 运用能量守恒定律解题的基本思路 【跟踪训练】（2025·云南·高考真题）如图所示，质量为m的滑块（视为质点）与水平面上MN段的动摩擦因数为，与其余部分的动摩擦因数为，且。第一次，滑块从I位置以速度向右滑动，通过MN段后停在水平面上的某一位置，整个运动过程中，滑块的位移大小为，所用时间为；第二次，滑块从Ⅱ位置以相同速度向右滑动，通过MN段后停在水平面上的另一位置，整个运动过程中，滑块的位移大小为，所用时间为。忽略空气阻力，则（　　） A． B． C． D． 机械能守恒定律 1. 内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1 【注意】应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态之间过程的细节，即可以简化计算。 2．对机械能守恒条件的理解 (1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。 (2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。 (3)对物体和弹簧组成的系统，只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒。注意：并非物体的机械能守恒。 3. 守恒条件 受力角度 物体系统只受重力或弹力作用 做功角度 只有重力或弹力做功，物体系统存在其他力作用，但其他力不做功。 能量转化 相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化 注意：“只有重力或弹力做功”并非“只受重力或弹力作用”，也不是合力的功等于零，更不是某个物体所受的合力等于零。 4．机械能守恒定律的三种表达式 守恒角度 转化角度 转移角度 表达式 E1＝E2 （Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2） ΔEk＝－ΔEp ΔEA增＝ΔEB减 物理意义 系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等 表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能 若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等 适合研究对象 单个物体 一个或多个物体 两个物体 注意事项 要选取零势能面，在整个分析过程中必须选取同一个零势能面。 不需要选取零势能面，要明确势能的增加量或减少量。 不需要选取零势能面，要明确两个物体的机械能变化情况 补充：机械能守恒定律再多个物体中的应用 对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。 注意寻找用绳子或杆相连的物体之间的速度关系和位移关系。 列机械能守恒方程时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式解决问题。 补充：机械能是否守恒的三种判断方法 (1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。 (2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。 (3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒。 【跟踪训练】（2025·陕晋青宁卷·高考真题）如图，与水平面成夹角且固定于O、M两点的硬直杆上套着一质量为的滑块，弹性轻绳一端固定于O点，另一端跨过固定在Q处的光滑定滑轮与位于直杆上P点的滑块拴接，弹性轻绳原长为OQ，PQ为且垂直于OM。现将滑块无初速度释放，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。滑块与杆之间的动摩擦因数为0.16，弹性轻绳上弹力F的大小与其伸长量x满足。，g取，。则滑块（　　） A．与杆之间的滑动摩擦力大小始终为 B．下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量相同 C．从释放到静止的位移大小为 D．从释放到静止克服滑动摩擦力做功为 01 求解变力做功的多种方法 图示 分析 注意事项 图像法 在F­x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负。如图所示，水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0。 此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。 平均力法 若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝·Δx，弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做的功W＝·(x2－x1) 此法只适用于物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力是均匀变化的。 等效转换法 若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。如下图所示，恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)。 此法常常用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。 微元法 质量为m的木块在水平面内做半径为R的圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。 动能定理法 使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法。如下图所示，用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)。 动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功。 【跟踪训练】（2025·湖北·三模）雨滴在穿过云层的过程中，由于水汽的凝聚，雨滴质量将逐渐增大。若其中某段运动可简化为一竖直方向运动，且该过程中雨滴的初始质量为m0，初速度为v0，高度下降h后质量变为m1，速度变为v1。假定雨滴的质量增加量与下落高度成正比，则该过程中克服阻力做功为（　　） A． B． C． D． 02 机车启动问题 两类机车启动 恒定功率启动 恒定加速度启动 Pt图像和v﹣t图像 OA段 过程分析 P不变：v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ a不变：a＝⇒F不变 v↑⇒P＝Fv↑⇒P额＝Fv1 运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ v↑⇒F＝↓⇒ a＝↓ 运动性质 做速度为vm的匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动，在B点达到最大速度，vm＝ 补充：机车启动中的三个重要关系式 (1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。 (2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝<vm＝。 (3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。 【注意】①机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律不同，分析图像时应注意坐标轴的意义及图像变化所描述的规律。 ②在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力，正是基于此，牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度，即P＝Ff vm。 ③恒定功率下的启动过程一定不是匀加速过程，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)。 ④以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算(因为功率P是变化的)。 ⑤无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度。 ⑥机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大（额定功率），但速度不是最大。 【跟踪训练】（2025·广西南宁·模拟预测）2025年2月3日《观点网》消息，某品牌汽车官方微博宣布，2025年1月，某型号汽车交付量再次超过两万辆。t=0时刻，一辆该品牌汽车在一段试车专用的平直的公路上由静止启动，t=8s时功率达到360kW之后功率保持不变，其v-t图像如图所示。设汽车在运动过程中阻力不变，下列说法正确的是（　　） A．汽车受到的阻力大小为15000N B．汽车的最大牵引力为15000N C．汽车的质量为5000kg D．汽车在做变加速运动过程中的位移大小约为640m 【功和能专题中的易错分析】 1.力对物体是否做功，只与这两个因素有关，与其他因素（如物体运动的快慢、运动性质、物体的质量、物体是否受其它力等无关； 2.滑动摩擦力对物体可能做正功，也可能做负功，也可能不做功，静摩擦力对物体可能做正功、负功或不做功； 3.公式P=Fv计算平均功率时，F必须为恒力，计算瞬时功率时，F可以是恒力，也可以是变力，v可以是恒定的，也可以是变化的； 4.机车在恒定功率下启动过程一定不是匀加速直线运动，匀变速直线运动的公式不适用，启动过程中发动机做的功可用W=Pt计算，不能用W=Fl计算。机车以恒定加速启动只能维持一段时间，达到额定功率后又要经历非匀变速直线运动，匀变速直线运动结速点在机车功率达到额定功率时。 5.参考平的选取是任意的，视问题方便而取。重力势能有正、有负，正、负表示重力势能的大小，正的一定比负的大； 6.减小量表示量减少了多少，数值上是初态减末态；增加量是表示增加了多少，数值上是末态减初态；变化量是末态减初态； 7.动能定理：当物体运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移。计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和； 01 动能定理及其应用——功能关系 1. 内容：物体所受合外力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。W＝mv22－mv12 【注意】动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功；力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。 2. 合外力做功与动能的关系 W>0，物体的动能增加；W＝0，物体的动能不变；W<0，物体的动能减少。 3. 动能定理表达式的推导： 如图所示，光滑水平面上的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离l，速度由v1增加到v2，力F对物体做功为：W＝Fl＝F· ＝F·＝mv22－mv12。 4. 对动能定理的理解 ①运用动能定理，研究对象可以是一个物体也可以是一个系统，既适用于全过程也适用于某一个过程。 ②动能定理的计算式为标量式，v为相对同一参考系的速度。 ③定理中“外力”的两点理解：重力、弹力、摩擦力或其他力，它们可以同时作用，也可以不同时作用；可以是恒力，也可以是变力。 ④总功的求法：先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W＝F合lcosα计算；计算各个力对物体做的功W1、W2、…、Wn，然后将各个外力所做的功求代数和。 5. 应用动能定理求解步骤 补充：应用动能定理的注意事项： (1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。 (2)应用动能定理的关键在于对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析。 (3)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验。 (4)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解，这样更简便。 补充：优先应用动能定理的问题 ①不涉及加速度、时间的问题； ②有多个物理过程且不需要研究整个过程中的中间状态的问题； ③变力做功的问题； ④含有F、l、m、v、W、Ek等物理量的力学问题。 补充：动能定理与牛顿第二定律的区别和联系 牛顿第二定律 动能定理 区别 牛顿第二定律是矢量式，反映的是力与加速度的瞬时关系，即力与物体运动状态变化快慢之间的联系 动能定理是标量式，反映的是力对物体持续作用的空间累积效果，即对物体作用的外力所做功与物体运动状态变化之间的联系 牛顿第二定律和动能定理是研究力和运动的关系的两条不同途径。把对一个物理现象每个瞬时的研究转变成对整个过程的研究。 联系 力的作用效果能够使物体的运动状态发生改变，即速度发生变化，两者都是来描述力的这种作用效果的。动能定理对于一个力作用下物体的运动过程着重从空间积累的角度反映作用结果，而牛顿第二定律注重反映该过程中某一瞬时力的作用结果。 补充：动能定理与图像结合的问题 (1)v－t图：由公式x＝vt可知，v－t图线与横坐标轴围成的面积表示物体的位移。 (2)F－x图：由公式W＝Fx可知，F－x图线与横坐标轴围成的面积表示力所做的功。 (3)P－t图：由公式W＝Pt可知，P－t图线与横坐标轴围成的面积表示力所做的功。 (4)a－t图：由公式Δv＝at可知，a－t图线与横坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量。 (5)Ek­x图：由公式F合x＝Ek－Ek0可知，Ek­x图线的斜率表示合力。 补充：图像问题的处理方法 看清图像的横、纵坐标所表示的物理量及单位并注意坐标原来是否从0开始。理解图像的物理意义，能够抓住图像的一些关键点，如斜率、截距、面积、交点、拐点的物理意义。判断物体的运动情况或受力情况，明确因变量与自变量间的制约关系，明确物理量的变化趋势，分析图线进而弄懂物理过程，再结合牛顿运动定律等相关规律列出与图像对应的函数方程式，进而明确“图像与公式”、“图像与物体”间的关系，以便对有关物理问题做出准确判断。 补充：机械能守恒定律与动能定理的区别 类型 机械能守恒定律 动能定理 共同点 机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度来研究物体在力的作用下运动状态的改变，表达这两个规律的方程都是标量方程。 区别 对象 物体组成的系统。 是一个物体(质点)。 条件 只允许重力和弹力做功。 没有条件的限制，它不但允许重力和弹力做功，还允许其他力做功。 突破 系统初、末状态的机械能的表达式。 合外力做的功及初、末状态的动能的变化。 【跟踪训练】（2025·福建·高考真题）如图甲，水平地面上有A、B两个物块，两物块质量均为0.2kg，A与地面动摩擦因数为，B与地面无摩擦，两物块在外力F的作用下向右前进，F与位移x的图如图乙所示，P为圆弧最低点，M为最高点，水平地面长度大于4m，重力加速度。 (1)求，F做的功； (2)时，A与B之间的弹力； (3)要保证B能到达M点，圆弧半径满足的条件。 02 传送带模型和板块模型的能量关系 1. 传送带模型中的功和能量的关系： 功能关系：对功WF和Q的理解： ①传送带的功：WF＝Fx传； ②产生的内能Q＝Ffx相对．其中x相对为相互摩擦的物体与传送带间的相对位移。 核心功能关系：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q。 分析流程如下： 2. 板块模型中的功和能量的关系 模型特点：滑块放置于长木板上，滑块和木板均相对地面或者斜面运动，且滑块和木板在摩擦力的作用下发生相对滑动。 滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板沿同一方向运动，则滑块的位移和木板的位移之差等于木板的长度；若滑块和木板沿相反方向运动，则滑块的位移和木板的位移之和等于木板的长度． 核心的功能关系： ①求摩擦力对滑块做功：WF＝Fx滑； ②求摩擦力对木板做功：WF＝Fx板； ③求摩擦生热：Q＝Ffx相对＝FfΔx. 【跟踪训练】（2025·山东枣庄·二模）如图甲所示，固定光滑斜面的倾角，右端带有固定挡板的“┚”形木板静置于水平面上，斜面底端B与木板左端紧靠且跟其上表面平齐。将质量的小物块从斜面顶端A由静止释放，物块滑上木板时不计能量损失，到达木板右端时与挡板发生弹性碰撞。以物块刚滑上木板的时刻为计时起点，物块跟挡板碰撞前物块和木板的图像，如图乙所示，木板与地面间的动摩擦因素，取重力加速度。 (1)求斜面的长度； (2)求从物块开始运动至其和挡板碰撞前的瞬间，物块与木板系统损失的机械能； (3)物块最终能否从木板上滑落？若能，请求出物块滑落时的速度；若不能，请求出物块最终到木板左端的距离d。 01 机械能守恒定律的应用技巧 1. 应用机械能守恒定律的前提是“守恒”，因此，需要先对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒作出判断。 2. 列方程时，选取的角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。 3. 不同情境下机械能守恒定律的应用 应用类型 分析方法 单个物体的机械能守恒问题 在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面，分析清楚各力做功的情况，选取合适的机械能守恒定律的观点列表达式进行求解 多个物体的机械能守恒问题 分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒。对多个物体组成的系统，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒。注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 含弹簧的机械能守恒问题 （1）弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 （2）弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。 非质点的机械能守恒问题 (1)在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。 (2)这类物体虽然不能看成质点来处理，但若只有重力做功，则物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。一般情况物体各部分速度大小相同，动能用mv2表示。 【跟踪训练】（2025·云南·高考真题）如图所示，倾角为的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数。过程I：Q以速度从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。则（　　） A．P、M两点之间的距离为 B．过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在OM（含O、M点）之间 02 摩擦力做功与能量关系分析技巧 摩擦力做功的特点 静摩擦力 ①静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功； ②一对静摩擦力所做功的代数和总等于零； ③静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能。 只有能量的转移，而没有能量的转化 滑动摩擦力 ①滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；②一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能的转移，做功的代数和总是负值，差值为机械能转化为内能的部分，也就是系统机械能的损失量，损失的机械能会转化为内能,内能Q=Ffx相对； 既有能量的转移，又有能量的转化 两种摩擦力对物体都可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 摩擦生热的计算：Q＝Ff x相对，其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移。 【跟踪训练】（2025·江西·模拟预测）如图所示，物流传送带在电动机的带动下始终以大小为的水平速度匀速运动。某时刻在传送带的左端轻放一个质量为m的小物箱，小物箱在传送带上做匀变速运动，经时间t小物箱的速度与传送带的速度相同，重力加速度大小为g，则在这段时间内，下列说法正确的是（　　） A．小物箱相对传送带的位移大小为 B．小物箱与传送带间的动摩擦因数为 C．小物箱与传送带间因摩擦产生的热量为 D．因传送小物箱，电动机至少要多做的功为 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$