2.7探索勾股定理（4知识点+11题型+课后练习）同步讲义-2025-2026学年八年级数学上册浙教版（2024）

第2章 特殊三角形 2.7探索勾股定理 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 1. 理解勾股定理及其逆定理的内容。 2. 掌握勾股定理的推导方法，能运用定理进行直角三角形的边长计算和形状判断。 3. 了解勾股定理的文化背景，体会数形结合思想 . . . 一：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边 2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 二：勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 三：勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 四：勾股数 满足关系的三个正整数称为勾股数。 常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25； 考点一： 勾股定理的证明方法 1．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 2．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 【答案】A 【分析】本题考查对勾股定理的证明，掌握“弦图”的作用是解题的关键．根据“弦图”是解决勾股定理的证明的解答即可． 【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， ∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理． 故选：A． 3．在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键．根据图形列代数式即可得出结果． 【详解】解：甲出的结果为：，不符合题意； 乙得出的结果为：，即，符合题意； 故答案为：乙． 考点二：以弦图为背景的计算题 4．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交，于点，已知，且，则（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据已知条件设出和的长度，再利用勾股定理求出的长度，最后再次利用勾股定理求出的长度．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：， 设， 由题意得，， ， ， ， ， ， ， 故选： 5．如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的性质．由小正方形的面积为49得到小正方形的边长为7，由此得到直角三角形两直角边分别为5和12，，根据勾股定理求出斜边长． 【详解】解：∵小正方形的面积为49， ∴小正方形的边长为7， 设直角三角形的短直角边长为， ∴直角三角形的长直角边为：， ∵直角三角形两直角边和为17， ∴， 解得， ∴直角三角形两直角边分别为5和12， ∴直角三角形的斜边， 即大正方形的边长为13， 故选：C． 6．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，，则正方形的边长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股弦图、全等三角形的性质，勾股定理的知识点．根据三角形全等性质得出，，再根据勾股定理求出，然后线段的和差即可解答． 【详解】解：∵正方形为四个全等的直角三角形拼接而成， ∴，， 在中，由勾股定理， ∴，即正方形的边长是7． 故选：C． 考点三. 勾股数问题 7．下列各数中，能与6，10构成一组勾股数的是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查勾股数的定义，即三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方．需逐一验证选项中的数是否与6、10构成勾股数． 【详解】勾股数要求三个正整数满足（其中为最大数）． A：三个数为6、6、10，最大数为10．，不符合条件． B：三个数为6、8、10，最大数为10．，符合条件． C：三个数为6、10、10，最大数为10．，不符合条件． D：三个数为6、10、12，最大数为12．，不符合条件． 综上，只有选项B满足勾股数的条件， 故选B． 8．在下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．，，1 D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股数的定义，根据勾股数的定义，满足三个正整数且两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即可． 【详解】解：A． 0.3，0.4，0.5：非正整数，不符合勾股数条件，排除． B． 6，8，10：均为正整数，验证得，满足勾股数定义． C． ，，1：含分数，非正整数，排除． D． ，，（即9，16，25）：验证得，不满足条件． 综上，正确答案为B． 故选：B． 9．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．，， B．，， C．4，5，6 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，勾股数需满足三个正整数且满足（为最大数）是解题的关键． 根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，，均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符合题意； B．、、，和为无理数，非正整数，故该选项不符合题意； C．4、5、6，验证最大数6：，而，，不满足勾股定理，故该选项不符合题意； D．5、12、13，验证最大数13：，，满足，且均为正整数． 故选D． 考点四.勾股定理与无理数 10．如图，中，，，在数轴上，点对应的数是，若以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及实数与数轴，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，进而可而出结论． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵点B对应的数是2， ∴点表示． 故选：D． 11．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是，过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段的长度，然后根据即可求出的长度，接着可以求出数轴上点所表示的数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴到原点的距离是． ∴点所表示的数是 ． 故选：C． 12．如图，在数轴上找出表示数字2的点D，过点D作垂直于数轴，且，以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点，则该点大致位于数轴上的（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，无理数的估算，根据勾股定理求出的长，在利用夹逼法进行估算即可． 【详解】解：由题意和勾股定理，得：， ∵以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点， ∴该点表示的数为：， ∵， ∴， 故选B． 考点五.勾股定理与网格问题 13．如图，在单位长度为1的的网格中，，，，，，各点都在格点上，其中能代表长为，的两线段是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，网格中单位长度为1，再根据勾股定理即可求出每个线段的长度． 【详解】解：根据网格可知，， ， ， ， ， 故选：A． 14．如图，在正方形网格中，点均在格点上，则下列线段长为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格图．根据勾股定理解答，即可解答． 【详解】解：根据题意得：． 即线段长为的是． 故选：D． 15．如图每个小正方形的边长均为1，其中点与点之间的距离为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：每个小正方形的边长均为1，其中点与点之间的距离为． 故选：D． 考点六.勾股定理与折叠问题 16．有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设， 则， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：D． 17．已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理得到，再由折叠的性质得到，设，则，由勾股定理可得，解方程可得，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得，，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 18．如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，图形的翻折变换，掌握相关知识点是解题的关键． 先在中由勾股定理求出，再利用翻折的性质求出，再求的长． 【详解】在中，，，， ， 由翻折的性质知，， ． 故选：B． 考点六.利用勾股定理证明线段关系 19．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）证明，得出即可求解； （2）根据（1）的结论，推出，根据勾股定理结合等腰直角三角形的性质即可得出结论； （3）设，则，利用勾股定理列式进行求解即可． 【详解】（1）解：与都是等腰直角三角形， ， ， ， ． ． ； （2）证明：， ， 即． ， 在中，， ，即； （3）解：设，则， ，即， 解得． ． 20．设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面． 此题分两种情况讨论：①当在线段上，②当在的延长线上，利用勾股定理来探讨找到符合要求的点． 【详解】 解：为线段上时， ①当为中点时，如图 则有， 即； ②当点不为中点时，如图 过点作的垂线，设， 则 同理， 两式相加得 即； 点在的延长线上时，如图， 过点作垂直于的延长线于点， 过点作垂直于的延长线于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 在中， 在中， 两式相加得 即； 综上可知：． 故选：B． 考点七.用勾股定理解三角形 21．钟摆实验中，钟摆摆锤可看作一个点．如图，当摆锤静止时，它在点处，当摆锤摆动到最高位置点时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置的水平距离，若，则钟摆的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可推出，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意可知，，，，， ∴， ∴ 在中，， ∴． 故选：C． 22．如图，这是爱心超市局部位置的平面示意图，测得起点A到第一个拐角处点B的距离为10米，点B到终点C的距离是10米，且，则A，C两点之间的距离是（    ） A．10米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题可知米，米，， ∴（米）， 故选：B． 23．如图，在中，，，以A为圆心，适当长为半径画弧交分别于点D，E两点，再分别以D，E为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规基本作图、角平分线、全等三角形和勾股定理等核心知识，熟练掌握5种尺规基本作图、全等三角形和用勾股定理建立方程是解决问题的关键． 过点作于点，利用勾股定理计算出，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，再证明，得到，设，则，在中，利用勾股定理，求出x的值，即可． 【详解】解：过点作于点，如图， ， ， 由作图痕迹得平分，得． ， 在和中， ， ． ． ． 设，则， 在中，， ， 解得 ． 故选：B． 考点八.用勾股定理构造图形解决问题 24．如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于，    则， 在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光． 故选：B． 25．“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”我们所学课本中解读是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有1根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度是（    ）尺． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查正确勾股定理的应用；找到题中的直角三角形，设芦苇长为x尺，则水深尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺， 设芦苇长为x尺，则水深尺， 由勾股定理得：， 解得：， 即这根芦苇的长度是13尺． 故选：C． 26．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高，广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，若设门的高为x尺，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题意明确线段长度是解题的关键． 设门的高为尺，则宽为尺，对角线长为尺，由勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设门的高为尺，则宽为尺， 由题意知，对角线长为尺， 由勾股定理得，， 故选：B． 考点九.判断三边能否构成直角三角形 27．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（     ） A．6，8，10 B．5，7，9 C．4，6，8 D．3，5，7 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理逆定理，若三条线段满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则可组成直角三角形． 【详解】解：A.，，和为 ，等于，该三边能组成直角三角形，符合题意； B.，不等于，该三边不能组成直角三角形，不符合题意； C.，不等于，该三边不能组成直角三角形，不符合题意； D. ，不等于，该三边不能组成直角三角形，不符合题意； 故选：A． 28．下列条件中不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．： 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质和判定方法，包括三角形内角和定理、勾股定理及其逆定理的应用．解题的关键在于能够准确地应用这些定理来判断给定条件是否能确定一个三角形为直角三角形．根据直角三角形的判定条件（勾股定理、角的关系）逐一分析各选项． 【详解】解：A. 由及三角形内角和，得，故，能判定为直角三角形； B. 将等式变形为，符合勾股定理，说明，能判定为直角三角形； C. 设三边为，验证得，满足勾股定理，说明为直角三角形； D. 由，计算得各角分别为，无角，故不能判定为直角三角形； 故选：D 29．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．7，24，25 C．3，3，5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】、∵，∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵，∴能组成直角三角形，故此选项符合题意； 、∵，∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵，∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 考点十.利用勾股定理的逆定理求解 30．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 连接，由勾股定理求得，再由勾股定理逆定理可得，由即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 31．如图，在四边形中，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，求四边形的面积，解题关键是通过连结对角线，将四边形问题转化为三角形问题求解． 先证明为直角三角形，再求出两个三角形的和即为四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积， 故选：B． 32．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 直接利用勾股定理可得的长；再根据勾股定理逆定理判定即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 考点十一.勾股定理的应用 33．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键． 利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：根据，即可得到三角形是直角三角形； 故选：D． 34．如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（    ） A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向 【答案】A 【分析】本题考查方向角，勾股定理逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解∶如图，，， ∴，， ∴， ∴， ∵长的边线为南北向， ∴长的边线方向为东西方向， 故选∶A． 35．体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（    ）． A．216 B．270 C．432 D．540 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出，再证明，，据此根据这块地的面积列式求解即可． 【详解】解；如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这块地的面积， 故选：A． 一、单选题 1．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 2．如图，这是爱心超市局部位置的平面示意图，测得起点A到第一个拐角处点B的距离为10米，点B到终点C的距离是10米，且，则A，C两点之间的距离是（    ） A．10米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题可知米，米，， ∴（米）， 故选：B． 3．如图是以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别是15，22，则正方形A的边长为（     ） A． B．7 C． D． 【答案】A 【分析】由正方形的面积公式结合勾股定理可得正方形A的面积即可推出结果． 本题考查了勾股定理，正方形的面积，无理数，熟记勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由正方形的面积公式结合勾股定理可得，， 正方形A的边长为， 故选：A． 4．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 5．如图，在单位长度为1的的网格中，，，，，，各点都在格点上，其中能代表长为，的两线段是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，网格中单位长度为1，再根据勾股定理即可求出每个线段的长度． 【详解】解：根据网格可知，， ， ， ， ， 故选：A． 6．公园中有两条近似垂直的绿道，一条长45米，一条长60米，现打算再修一条连接两条绿道端点A和B的笔直小径，则小径的长可能为（    ） A．15米 B．110米 C．72米 D．120米 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系及勾股定理的实际应用，解题的关键是根据“近似垂直”确定长度的合理范围，并结合直角三角形斜边的近似值筛选选项． 【详解】解：两条绿道近似垂直，构成直角三角形，两直角边为米、米，根据勾股定理，斜边米（理论值）．因为是近似垂直， 长度接近米，选项中米符合． 故选：C ． 7．如图，在中，，边，上的高，相交于点．若，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先在中，由勾股定理求出，证明是等腰直角三角形得，再根据同角的余角相等，进而依据“”判定和全等得，继而得，然后根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】解：是的高， ， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 在中，， 在中，， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质， 等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理和三角形的面积公式是解决问题的关键． 8．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B． C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、中，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、，故6，8，10是勾股数，符合题意， 故选：D． 9．在中，、、的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理可判断选项A和B，利用三角形的内角和定理可判断选项C和D，由此即可得． 【详解】解：A、设，则， ∵，即不构成三角形，符合题意； B、，满足勾股定理的逆定理，则此项能说明是直角三角形，不符合题意； C、∵，， ∴，即， ∴此项能说明是直角三角形，不符合题意； D、∵，， ∴， ∴此项能说明是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 10．直角三角形的两条直角边的长分别为3，4，则斜边长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理，直角三角形的斜边长为两条直角边平方和的平方根求出即可． 【详解】解：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4， 根据勾股定理，斜边长为， 因此，斜边长为5． 故选：B． 11．如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出的长，再根据作图得出，即可推出结果． 【详解】解：由勾股定理得，， 分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点， ， 的周长为． 故选：A． 12．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？(1丈尺，1尺寸)如图，若设门的高为尺，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用．高是尺，则宽为尺，根据矩形门的高、宽、对角线构成直角三角形，利用勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设门的高为尺，则宽为尺，根据勾股定理得， ， 故选：B． 13．下列各数中，能与8，10组成一组勾股数的是（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查勾股数的定义，即三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，需逐一验证选项中的数是否与8、10构成勾股数 【详解】解：勾股数要求三个正整数满足（其中为最大数）。 选项A（5）：三个数为5、8、10，最大数为10， ，不符合条件； 选项B（6）：三个数为6、8、10，最大数为10， ，符合条件； 选项C（8）：三个数为8、8、10，最大数为10， ，不符合条件； 选项D（12）：三个数为8、10、12，最大数为12， ，不符合条件； 故选B 2、 填空题 14．如图，太原某公园安装的摄像头支架由水平、竖直方向的，两段构成．若，，则段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 15．若三角形三边长之比为：：，则这个三角形中的最大角的度数是 【答案】/度 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，正确把握直角三角的判定方法是解题关键．直接利用勾股定理的逆定理，若一个三角形的三条边长分别为，且满足(其 中为最长边)，则这个三角形是直角三角 形，得出三角形的形状进而得出答案． 【详解】解：∵三角形三边长之比为：：，可设三边长分别为，，， ∵， 又∵， ∴， ∴此三角形是直角三角形， ∴这个三角形中最大角的度数是． 故答案为：． 16．如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 ． 【答案】52 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先根据勾股定理求出，再根据正方形的面积公式得出答案． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理，得， 所以正方形的面积. 故答案为：52． 17．如图，数轴上的点表示的数为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴．根据勾股定理求出的长，即可得到的长，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：如图， ， ∴， 故答案为：． 18．如图，在数轴上，点表示的数为，垂直数轴，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键．先根据题意确定，，再根据勾股定理求出，即可得答案． 【详解】解：由题意可知，， 根据勾股定理，得， 点在正半轴，且 点对应的实数为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 特殊三角形 2.7探索勾股定理 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 1. 理解勾股定理及其逆定理的内容。 2. 掌握勾股定理的推导方法，能运用定理进行直角三角形的边长计算和形状判断。 3. 了解勾股定理的文化背景，体会数形结合思想 . . . 一：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边 2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 二：勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 三：勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 四：勾股数 满足关系的三个正整数称为勾股数。 常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25； 考点一： 勾股定理的证明方法 1．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 2．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 3．在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 考点二：以弦图为背景的计算题 4．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交，于点，已知，且，则（　　） A．1 B． C． D． 5．如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 6．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，，则正方形的边长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 考点三. 勾股数问题 7．下列各数中，能与6，10构成一组勾股数的是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．在下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．，，1 D．，， 9．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．，， B．，， C．4，5，6 D．5，12，13 考点四.勾股定理与无理数 10．如图，中，，，在数轴上，点对应的数是，若以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 11．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是，过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在数轴上找出表示数字2的点D，过点D作垂直于数轴，且，以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点，则该点大致位于数轴上的（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 考点五.勾股定理与网格问题 13．如图，在单位长度为1的的网格中，，，，，，各点都在格点上，其中能代表长为，的两线段是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．如图，在正方形网格中，点均在格点上，则下列线段长为的是（　　） A． B． C． D． 15．如图每个小正方形的边长均为1，其中点与点之间的距离为（　　） A． B． C．2 D． 考点六.勾股定理与折叠问题 16．有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（   ） A． B． C． D． 17．已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D． 18．如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点六.利用勾股定理证明线段关系 19．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 20．设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 考点七.用勾股定理解三角形 21．钟摆实验中，钟摆摆锤可看作一个点．如图，当摆锤静止时，它在点处，当摆锤摆动到最高位置点时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置的水平距离，若，则钟摆的长为（    ） A． B． C． D． 22．如图，这是爱心超市局部位置的平面示意图，测得起点A到第一个拐角处点B的距离为10米，点B到终点C的距离是10米，且，则A，C两点之间的距离是（    ） A．10米 B．米 C．米 D．米 23．如图，在中，，，以A为圆心，适当长为半径画弧交分别于点D，E两点，再分别以D，E为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D． 考点八.用勾股定理构造图形解决问题 24．如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 25．“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”我们所学课本中解读是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有1根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度是（    ）尺． A．11 B．12 C．13 D．14 26．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高，广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，若设门的高为x尺，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 考点九.判断三边能否构成直角三角形 27．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（     ） A．6，8，10 B．5，7，9 C．4，6，8 D．3，5，7 28．下列条件中不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．： 29．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．7，24，25 C．3，3，5 D． 考点十.利用勾股定理的逆定理求解 30．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 31．如图，在四边形中，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 32．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 考点十一.勾股定理的应用 33．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 34．如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（    ） A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向 35．体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（    ）． A．216 B．270 C．432 D．540 一、单选题 1．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 2．如图，这是爱心超市局部位置的平面示意图，测得起点A到第一个拐角处点B的距离为10米，点B到终点C的距离是10米，且，则A，C两点之间的距离是（    ） A．10米 B．米 C．米 D．米 3．如图是以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别是15，22，则正方形A的边长为（     ） A． B．7 C． D． 4．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 5．如图，在单位长度为1的的网格中，，，，，，各点都在格点上，其中能代表长为，的两线段是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．公园中有两条近似垂直的绿道，一条长45米，一条长60米，现打算再修一条连接两条绿道端点A和B的笔直小径，则小径的长可能为（    ） A．15米 B．110米 C．72米 D．120米 7．如图，在中，，边，上的高，相交于点．若，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 8．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B． C．，， D．，， 9．在中，、、的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 10．直角三角形的两条直角边的长分别为3，4，则斜边长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．7 11．如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 12．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？(1丈尺，1尺寸)如图，若设门的高为尺，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 13．下列各数中，能与8，10组成一组勾股数的是（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 2、 填空题 14．如图，太原某公园安装的摄像头支架由水平、竖直方向的，两段构成．若，，则段的长为 ． 15．若三角形三边长之比为：：，则这个三角形中的最大角的度数是 16．如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 ． 17．如图，数轴上的点表示的数为，则 ． 18．如图，在数轴上，点表示的数为，垂直数轴，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$