23.1图形的旋转（2）（题型专练）数学人教版九年级上册

23.1图形的旋转（2） 题型一、利用旋转的性质求角度 1．（2025·河北邯郸·三模）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数最大是（    ）度． A．30 B．60 C．120 D．150 2．（24-25九年级·陕西咸阳·期末）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25九年级·河南郑州·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数．    5．（23-24九年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，求的度数． 题型二、利用旋转的性质求线段的长 6．（24-25九年级·陕西咸阳·期末）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点，，恰好在一条直线上，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级·宁夏中卫·期末）如图，将绕点A顺时针旋转到，点E和点C是对应点，若，，则的长是（    ） A． B．2 C． D．4 8．（24-25九年级·四川成都·期末）如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接，则的长为（   ） A． B．6 C．3 D． 9．（24-25九年级·陕西西安·期中）如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，使得点B的对应点D落在边的延长线上．若，，求线段的长． 10．（24-25九年级·陕西西安·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接，若线段，求的长． 题型三、旋转与几何性质辨析 11．（24-25九年级·山西运城·期中）如图，将四边形绕点按顺时针方向旋转得到四边形，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级·山西运城·期末）如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 题型四、旋转的性质与角、线段的计算及证明 13．（24-25九年级·江西上饶·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接、，且． (1)求证：； (2)求证：． 14．（24-25九年级·贵州贵阳·期中）如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)________度； (3)如图2，连接，平分吗？请说明理由． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，已知等边，点在边上，将绕点A逆时针旋转到，连． (1)在图中画出线段，； (2)求证：． 16．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，中，，点是内一点，将旋转后能与重合 (1)旋转中心是点______； (2)若，求旋转角的度数． 17．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，是等边内一点，连接、、，得，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 18．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，若点E是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点E的对应点为点D，连接，    (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．（21-22八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知点P是等边三角形ABC内一点，且，， (1)在图中画出将绕点B逆时针旋转后得到的． (2)求的度数． 题型一、旋转与角的计算和数量关系综合问题 20．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，小颖对该图形进行探究，得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由． 21．（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 题型二、旋转与最值问题 22．（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 23．（21-22九年级·江苏苏州·期中）如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 24．（23-24九年级上·江西上饶·阶段练习）【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 题型三、旋转与线段的计算和数量关系综合问题 25．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 26．（2023·广东惠州·一模）如图1，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接． (1)证明：． (2)延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，求线段的长度． 题型四、旋转与面积综合问题 27．（2023九年级上·全国·专题练习）似曾相识 （1）如图①，正方形的边长等于4，中心为，正方形的边长也等于4，在正方形绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围． 类比探索 （2）如图②，等边的边长等于4，中心为，等边的边长也等于4，在等边绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．    28．（24-25八年级上·山东淄博·期末）把一副三角板如图①放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点，则线段的长度为（    ） A．4 B． C． D． 29．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；四边形的面积是，其中正确结论有个． A．1 B．2 C．3 D．4 30．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知等腰，，．现将以点B为旋转中心逆时针旋转，得到，延长交直线于点D．则的长度为 ． 31．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 32．（24-25九年级上·广东深圳·期中）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】： （1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接、，则_____； 【解决问题】： （2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，，． ①如图2，当时，求证：平分；写出证明过程 ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则______； 【迁移应用】： （3）如图4，正方形的边长为，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，则______； （4）如图5，在菱形中，，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，则_____． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.1图形的旋转（2） 题型一、利用旋转的性质求角度 1．（2025·河北邯郸·三模）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数最大是（    ）度． A．30 B．60 C．120 D．150 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案． 【详解】解：当点D在点A的左侧时，如图1所示． ，， ． ∵， ∴， ∴． 当点D在点A的右侧时，如图2所示． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴当时，的度数为或． ∴的度数最大是． 故答案为D． 2．（24-25九年级·陕西咸阳·期末）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用旋转的性质求解，解题关键是掌握旋转的性质． 直接利用旋转的性质求解． 【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， 又， ∴，解得：， 故选：C． 3．（24-25九年级·河南郑州·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质及等腰三角形性质，熟练掌握旋转前后对应角、对应边相等是解题的关键．由旋转得，，，再根据等腰三角形性质求出角度即可． 【详解】解：由旋转性质得，， ，，， ， 故选：B． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数．    【答案】25度 【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角．由旋转得，通过等腰三角形及直角三角形可求度数，进而求的度数． 【详解】证明：是由旋转得到   ，， ， 5．（23-24九年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转性质得到旋转角即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ， ∴． 题型二、利用旋转的性质求线段的长 6．（24-25九年级·陕西咸阳·期末）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点，，恰好在一条直线上，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得，再根据可得结论．解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等． 【详解】解：∵将绕着点顺时针旋转得到，， ∴， ∴， ∵点，，恰好在一条直线上，， ∴， 即的长为． 故选：A． 7．（24-25九年级·宁夏中卫·期末）如图，将绕点A顺时针旋转到，点E和点C是对应点，若，，则的长是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．根据旋转的性质可得，，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，， ∴，， 在中，， 故选：C． 8．（24-25九年级·四川成都·期末）如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接，则的长为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，含的直角三角形的性质等知识，根据含的直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据旋转的性质可求出，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵，，， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A． 9．（24-25九年级·陕西西安·期中）如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，使得点B的对应点D落在边的延长线上．若，，求线段的长． 【答案】5 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据题意，可得，，最后利用即可求得答案． 【详解】解：将绕点A按逆时针方向旋转，得到，，， ，， ， 即线段的长为5． 10．（24-25九年级·陕西西安·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接，若线段，求的长． 【答案】5 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义．根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 题型三、旋转与几何性质辨析 11．（24-25九年级·山西运城·期中）如图，将四边形绕点按顺时针方向旋转得到四边形，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，依次分析可得答案． 【详解】解：由旋转知：，， 故选项A错误； 由旋转知， ∴是等腰直角三角形，， 故选项B正确； 由旋转知， ∴， 即， 故选项C错误； 由旋转的性质可得四边形四边形， ∴，无法得出， 故选项D错误； 故选：B． 12．（24-25九年级·山西运城·期末）如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及旋转等知识，分别证明和可得，由等边三角形的性质得，得四边形是平行四边形；；可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故可得结论． 【详解】解：∵，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴，，故②正确； ∴，故③正确； 同理可证， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，且， ∴可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故④正确； ∴正确的结论是①②③④， 故选：C． 题型四、旋转的性质与角、线段的计算及证明 13．（24-25九年级·江西上饶·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接、，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，则可证明是等边三角形，进而可得，据此可证明结论； （2）由等边三角形的性质得到，，再证明垂直平分，则，进而可证明． 【详解】（1）证明；由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴． 14．（24-25九年级·贵州贵阳·期中）如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)________度； (3)如图2，连接，平分吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)平分．理由见解析 【分析】（1）根据旋转性质可得，，结合等边三角形的性质可证明即可得出结论； （2）过点作，，垂足分别为，，利用（1）中证得的全等得到； （3）利用面积相等求得，可证得，从而得到，则平分． 【详解】（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：平分．理由如下， 如图，过点作，，垂足分别为，，   ， ， ， ， 在和中， ， ， ，平分． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握这些性质定理是解答本题的关键． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，已知等边，点在边上，将绕点A逆时针旋转到，连． (1)在图中画出线段，； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的对应边相等得到是解答的关键． （1）根据题干描述，先根据旋转性质画线段，连接即可； （2）根据旋转的性质得，，再根据等边三角形性质得到，，则有，证明得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：如图，线段，即为所求作： （2）证明：由旋转性质得，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，又， ∴． 16．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，中，，点是内一点，将旋转后能与重合 (1)旋转中心是点______； (2)若，求旋转角的度数． 【答案】(1) (2)旋转角的度数为 【分析】本题主要考查的旋转的性质，等腰三角形的定义，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质，结合题意即可求解； （2）根据等边对等角，三角形内角和定理得到的角度，由旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵将旋转后能与重合， ∴旋转中心是点， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵将旋转后能与重合， ∴旋转角为，旋转角的度数为． 17．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，是等边内一点，连接、、，得，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为13 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）连接，先证明为等边三角形，再证明即可得出结论； （2）先求出，根据勾股定理求出，进而求出结论； 【详解】（1）证明：连接，如图， 为等边三角形， ，， 线段绕点顺时针旋转得线段， ，， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， 为等边三角形， ， 在中，，， ， 的长为13． 18．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，若点E是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点E的对应点为点D，连接，    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的定义及性质； （1）由已知得，即可证出结果； （2）由得，求出，得到为等边三角形，得到，由旋转得为等边三角形即可求出． 【详解】（1）证明：∵ ∴ 由旋转知 ∴ 又 ∴ （2）解：由（1）知 ∴ ∵ ∴ ∴ 解得 ∴ ∴为等边三角形 ∴                     由旋转知 ∴为等边三角形 ∴ 19．（21-22八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知点P是等边三角形ABC内一点，且，， (1)在图中画出将绕点B逆时针旋转后得到的． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）证明是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1） （1）如图，即为所求； （2） ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得为等边三角形、为直角三角形是解题的关键． 题型一、旋转与角的计算和数量关系综合问题 20．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，小颖对该图形进行探究，得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)小颖的结论正确，理由见详解． 【分析】（1）根据SAS证明，即可得到． （2）由可得又因为因此得根据AAS可得，则，再根据HL可得，则因此． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， 又 即 ∴ （2）解：小颖的结论正确，理由如下： 如图，过A点作于M，于N， ∵ 又 ∵ 又 ∴ 在和 中 ∴ ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，恰当的添加辅助线是解题的关键． 21．（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)①；；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算； （1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解； ②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解； （2）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵，四边形是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型二、旋转与最值问题 22．（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 【答案】B 【分析】取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H， ∴， ∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为2.5， ∴长的最小值是2.5， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23．（21-22九年级·江苏苏州·期中）如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据“两点之间线段最短”，当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长． 【详解】解：如图： ∵将ΔABG绕点B逆时针旋转60°得到ΔEBF， ∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG， ∴ΔBFG是等边三角形， ∴BF=BG=FG， ∴AG+BG+CG=EF+FG+CG，根据“两点之间线段最短”， ∴当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EH⊥BC交CB的延长线于H，如上图所示： ∴∠EBH=60°， ∵， ∴，EH=3， ∴EC=2EH=6， ∵∠CBE=120°， ∴∠BEF=30°， ∵∠EBF=∠ABG=30°， ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 24．（23-24九年级上·江西上饶·阶段练习）【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【答案】（1）见详解（2），理由见详解，（3） 【分析】（1）按要求作图即可 （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值； 【详解】（1）图即为所作， （2）数量关系：， 理由如下：逆时针旋转 由题意得：如图， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键． 题型三、旋转与线段的计算和数量关系综合问题 25．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)A，90 (2)证明见解析 (3)正方形的边长为 【分析】（1）根据旋转定义结合正方形性质得出旋转中心和旋转角度即可； （2）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）解：在正方形中，， 又顺时针旋转一定角度后得到， 绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到, 故答案为：A，90； （2）证明：由旋转的性质得：， 四边形是正方形， ，即， ，即， ， ， 在和中， ， ； （3）解：设正方形的边长为，则， ， ， 由旋转的性质得：， ， 由（2）已证：， ， 又四边形是正方形， ， 则在中，， 即， 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 26．（2023·广东惠州·一模）如图1，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接． (1)证明：． (2)延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质证明，即可得出答案； （2）先证明四边形是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形即可证明； （3）设正方形边长为，在中用勾股定理建立关于的方程，求解即可 【详解】（1）证明：由题意和旋转的性质可得：，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，即：， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是正方形，理由如下： 由（1）得：，且， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）解：∵正方形的边长为， ∴， 设正方形的边长为， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴线段的长度为． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识点，运用了方程的思想．熟练掌握全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质是解题的关键． 题型四、旋转与面积综合问题 27．（2023九年级上·全国·专题练习）似曾相识 （1）如图①，正方形的边长等于4，中心为，正方形的边长也等于4，在正方形绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围． 类比探索 （2）如图②，等边的边长等于4，中心为，等边的边长也等于4，在等边绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．    【答案】（1）4（2） 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，，推出，证出，即可得出结果； （2）发生变化，对旋转角分情况讨论即可． 【详解】解：（1）连接，，    四边形和四边形都是正方形， ，，， ， 在与中， ， ， 四边形的面积等于三角形的面积， 即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的， ； （2）设等边绕着点的旋转角为，等边的边长等于4，则高为， ①如图，当经过点时，若此时开始旋转，，重叠部分的形状为直角三角形， ，    ②如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为菱形， ，    ③如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为等边三角形， ，    ④如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为直角三角形， ，    综上所述，这两个等边三角形重叠部分的面积是变化的，的变化范围是． 【点睛】本题考查正方形的性质和等边三角形的性质，找出面积之间的关系是解题关键． 28．（24-25八年级上·山东淄博·期末）把一副三角板如图①放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点，则线段的长度为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题关键．先求出，再根据旋转角可得，可判定是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出，从而得到，最后由勾股定理即可得到． 【详解】解：， 绕点顺时针旋转得到 又 是等腰直角三角形 又，， 在中， 故选：D． 29．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；四边形的面积是，其中正确结论有个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】证，即可判断①；连接，可推出是等边三角形，即可判断；由得，推出，，即可判断②；作，则，可求出，，根据四边形的面积，即可判断③；将绕点逆时针旋转得到，连接，作，同理可得：是等边三角形，，，求出，根据，即可判断④； 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得：， ∴， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到；故①正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故②正确； 作，如图所示：    则， ∴， ∴ ∴四边形的面积，故③正确； 将绕点逆时针旋转得到，连接，作，如图所示：    同理可得：是等边三角形，，， 则， ∴， ∴ ∴，故④正确； 故选：D 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，几何综合性较强，掌握举一反三的数学思想是解题关键． 30．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知等腰，，．现将以点B为旋转中心逆时针旋转，得到，延长交直线于点D．则的长度为 ． 【答案】 【分析】根据题意，先求得，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点，画出图形，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵等腰． ， ， ， 如图所示，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点， ∵等腰． ， ∵以点为旋转中心逆时针旋转， ，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确进行计算是解题关键． 31．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】(1)， (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 32．（24-25九年级上·广东深圳·期中）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】： （1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接、，则_____； 【解决问题】： （2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，，． ①如图2，当时，求证：平分；写出证明过程 ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则______； 【迁移应用】： （3）如图4，正方形的边长为，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，则______； （4）如图5，在菱形中，，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，则_____． 【答案】（1）45；（2）①见解析；②4；（3）；（4） 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，得出，则可得出答案； （2）①由矩形的性质及平行线的性质证明，则可得出结论； ②过点B作于点E，求出，证明，得出，，证明，得出； （3）过点F作交于点H，证明，得出，，证明是等腰直角三角形，则可得出答案； （4）过点F作，与的延长线交于点H，证明，得出，，，证出是直角三角形，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：45； （2）①证明：， ， 四边形是矩形， ， ； ， 平分； ②解：过点B作于点E， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：4； （3）解：如图4，过点F作交于点H， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； 故答案为：； （4）解：过点F作，与的延长线交于点H，如图5， 四边形是菱形， ，， 由旋转得，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$