22.3实际问题与二次函数（1）面积问题 （题型专练）数学人教版九年级上册

22.3实际问题与二次函数（1）面积问题 题型一、二次函数与一面靠墙面积问题 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．设，花圃面积为，根据题意得，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，花圃面积为，则， 根据题意，， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为32， 故这个花圃的最大面积是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列式． 设的长度为，则，即可得出． 【详解】解：设的长度为，则， 由题意得，， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）为了深入推进劳动教育，开展劳动实践活动，某校打算建一个如图所示的矩形菜地．菜地的一面利用学校边墙（墙长），其他三面用栅栏围住，但要开一扇宽的进出口（不需要栅栏），已知栅栏的总长度为，求矩形菜地的面积最大为多少平方米（栅栏的宽度忽略不计） 【答案】矩形菜地的面积最大为平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出二次函数表达式．设菜地垂直于墙的一边长是x米，则平行于墙的一边是米，面积，再利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：设菜地垂直于墙的一边长是米，则平行于墙的一边是米， 面积， ∵ 解得：， ，对称轴， 当时，最大（平方米）， 答：矩形菜地的面积最大为平方米． 4．（24-25九年级下·江苏徐州·开学考试）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙，墙的长度为13m，另外三面用棚栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为m（如图）． (1)若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)此时x的值为2 (2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为，长为，可得，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2； （2）设矩形养殖场的总面积是，根据墙的长度为13m，可得，而，由二次函数性质即得当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：根据题意知：较大矩形的宽为，长为， ， 解得或， 经检验，时，，不符合题意，舍去， ， 答：此时x的值为2； （2）设矩形养殖场的总面积是， 墙的长度为13m， ， 根据题意得：， ， 当时，y取最大值，最大值为48， 答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为 5．（2025·湖北宜昌·一模）九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2)能， (3)时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得该图形的长为米，然后根据面积公式可进行求解； （2）由题意易得，然后进行求解方程即可； （3）由题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：依题意得：，整理得：， 解得：； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴当时，围成的菜地面积为81平方米． （3）解：∵墙的最大可用长度为15米， ∴，即， 解得， 根据题意得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为105， ∴时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米． 6．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个如图所示的矩形羊圈，已知房屋外墙，设矩形的边，面积为 (1)请用含有x表示的长度． (2)若当为多少米时，羊圈的面积S最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，S有最大值，为 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到所给面积的等量关系． （1）根据即可求得； （2）根据配方法求出二次函数最值即可． 【详解】（1）解： （2）， ， 又， 当时，S有最大值，为． 题型二、二次函数与两面靠墙面积问题 7．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，利用一个直角墙角修建一个矩形储料场，若矩形的周长等于40．求该储料场的最大面积． 【答案】100 【分析】设可得，根据矩形的面积公式可得，即可得出答案． 【详解】解：设长为x，则长为， ， ， 当时，S最大值为100， 答：该储料场ABCD的最大面积为100． 【点睛】本题考查二次函数的最值问题，根据二次函数的性质，利用配方法求出顶点坐标是解题的关键． 8．（23-24九年级上·山东烟台·期末）为充分发挥劳动教育的综合育人功能，某校想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围出一块矩形蔬菜种植园（篱笆只围两边）． (1)若种植园的面积为，求的长； (2)点P处有一棵银杏树，它与墙的距离分别是和，要将这棵树围在种植园内（含边界，不考虑树的粗细），求种植园面积的最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用： （1）设，则，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设种植园面积为，根据题意，列出S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 由题意，得． 解得：，． 所以的长为或． （2）解：设种植园面积为， 则． 由题意，得， ∴． 在中， ∵， ∴当时，S随x的增大而增大． ∴当时，S有最大值为． 所以种植园面积的最大值为． 9．（23-24九年级上·广西防城港·期末）【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形的面积S与边长x（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可． (1)请用含有x的代数式表示的长； (2)花园的面积能否为？若能，求出x的值，若不能，请说明理由； (3)求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大？ 【答案】(1) (2)花园的面积可等于，此时x的值为12 (3)，当时，花园面积S最大，最大值为195平方米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，准确理解题意，利用矩形的面积公式列方程或者写出函数关系式是解题的关键． （1）根据篱笆的长度，求解即可； （2）先根据花园的面积写出函数关系式，再利用二次函数求最值的方法求解，注意取值范围即可． （3）先根据花园的面积写出函数关系式，再利用二次函数求最值的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴ （2）在点P与，的距离分别是和， ，， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以花园的面积可等于，此时x的值为12； （3）解：在点P与，的距离分别是和， ， 面积S与x的函数解析式为： ，抛物线的开口向下，对称轴为 当时，S随x的增大而增大 当时，S取到最大值为：， 即当时，花园面积S最大，最大值为195平方米． 题型三、二次函数与常见几何图形的面积问题 10．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为x（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得，根据矩形的面积公式解答即可． 本题考查了矩形的周长与面积，函数的表达式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为． 故选：C． 11．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，有一矩形纸片，，，将该矩形纸片沿垂直于的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设折成的长方体盒子的底面一边长为，则其相邻的边长为，长方体的体积为，根据题意列出二次函数求得最大值即可；本题主要考查二次函数的应用，根据题意准确列出二次函数是解题的关键． 【详解】解：设折成的长方体盒子的底面一边长为，则其相邻的边长为， 长方体的体积为， 根据题意得： ， 所以该纸筒的最大容积为， 故选：B． 12．（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图，把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计）盒子底面积与剪去的小正方形边长之间的函数表达式是 （不需要写自变量取值范围）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由剪去小正方形的边长，可得出折叠成的盒子的底面长为，宽为，利用矩形的面积公式，可得出S关于x的函数关系式 【详解】解：∵剪去小正方形的边长为， ∴折叠成的盒子的底面长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：． 13．（24-25九年级下·全国·假期作业）如图，一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，剩余面积种植庄稼，设剩余面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【答案】． 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，表示出剩余面积的长和宽，结合面积关系列出式子，即可作答 【详解】解：∵一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路， ∴剩余面积的长和宽分别为 ∴ 14．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，其中，且．如果新建墙总长15m． (1)设储料场面积为，的长为，则的长为______，的长为______m，与的函数关系式______． (2)当取何值时，才能使储料场的面积最大？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）根据线段的和差关系求出，过A作于H，证明四边形是矩形，得出，，求出，根据等角对等边得出，再根据线段的和差关系求出，最后根据梯形的面积公式求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵新建墙总长15m，的长为， ∴的长为， 过A作于H， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知： ∵ 抛物线开口向下 抛物线的对称轴为 ∴ 当时，储料场的面积最大． 15．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： (2)当直道为________米时，足球场的面积最大． 【答案】(1)；定义域为 (2)当直道为100米时，足球场的面积最大 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可得足球场的宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解； （2）根据（1）中的函数关系式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； ∵， ∴； ∴S关于的函数关系式为；定义域为； （2）解：由（1）可知： ， ∵， ∴当直道为100米时，足球场的面积最大． 16．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面积公式，求出函数解析式． （1）根据，得出，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得出答案； （2）通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形， 在中，，，， ∴ ； （2）解：正方形的面积为：， ∴当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 题型四、二次函数与面积最优化问题 17．（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点分别在上．设，取何值时，使剪出的矩形的面积最大，并求出矩形的最大面积． 【答案】当时，矩形的面积最大，矩形的最大面积是． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，矩形的性质，二次函数的性质．利用含的直角三角形的性质可得，，再求解，再利用矩形的面积公式列二次函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，，则， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴． 由题意，矩形的面积 ． ∵， 当时，S取得最大值． 答：当时，矩形的面积最大，矩形的最大面积是． 18．（23-24九年级上·广东广州·期末）校艺术节上，甲同学用腰长为的等腰直角三角形卡纸裁剪出如图所示的矩形纸片，且矩形的四个顶点都在的边上．    (1)若甲裁剪出来的矩形纸片周长是纸片周长的一半，那么这个矩形纸片的宽是___________cm； (2)设的长度为，矩形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②求矩形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)①  ②矩形的面积最大值为 【分析】（1）根据勾股定理求出长，然后利用等腰直角三角形的性质得到然后根据矩形纸片周长是纸片周长的一半列方程求解即可； （2）①根据计算即可；②通过配方法得到顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵矩形纸片周长是纸片周长的一半， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）①； ②， ∵ ∴当时，最大，最大为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，矩形的性质，方程，二次函数的图像和性质，利用配方法计算是解题的关键． 题型五、二次函数与动点面积问题 19．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，点分别从出发向、匀速运动，若的速度大小相等，则的面积最大为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，设的速度为a，根据题意可得：的面积为，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：设的速度为a， 根据题意可得：的面积为， ∴最大值为：， 故选：C． 20．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设动点运动的时间为t s，从而，故，再结合二次函数的性质可以判断得解． 【详解】解：根据题意，点运动的时间为，点运动的时间为，设动点运动的时间为，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为：， 故答案为：． 21．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【答案】(1) (2)3秒 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 22．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？ (1)用含的式子表示： ___________，___________，___________． (2)写出关于的函数解析式及的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）根据题意直接列式即可作答； （2）根据（1）中结果，结合三角形的面积公式即可作答． 【详解】（1）解：根据题意有：，， ∵，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵，， ∴根据题意有：， ∵，， ∴， 故关于的函数解析式为． 23．（2025·天津红桥·二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【详解】解：①∵四边形是矩形，分别为边的中点， ∴，， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴的长可以是，故①正确； ②设，则， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴， ∴的长为，故②错误； ③∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有个， 故选：． 24．（2025·天津和平·一模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12． 其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和性质，观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【详解】解：由图2可知，函数图象最高点为，经过原点， 设二次函数解析式为， 代入，得： 解得， ∴， 由此判断：①矩形最大面积是4平方米，说法错误； ②二次函数解析式为，说法正确； ③矩形面积最大时，，说法错误； ④当时，矩形面积取最大值， ∴， ∴，说法正确． 所以，说法正确的是②④，共2个， 故选：B． 25．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是小关设计的风筝草图，其中风筝的两根龙骨和互相垂直，若他计划用长为的毛竹制作风筝的龙骨（不计损耗），且要求，则当骨架的长为 cm时，四边形的面积最大，此时的最大面积是 ． 【答案】 40 1200 【分析】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，读懂题意解不等式确定的长，再根据二次函数的性质计算出最大面积即可． 【详解】解：设，根据题意得， ， 解得：， 四边形的面积 ， ， ， 根据二次函数的图象的性质可知，二次函数图象 开口向下，抛物线的对称轴 当时， ∴时，S值最大， ∴． 故答案为：40，1200． 26．（2025·福建漳州·模拟预测）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙， 其余的三边，， 用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为； ④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，准确列出方程和函数解析式是解答本题的关键．①设边长为，则边长为，当时，求出是，不符合题意，即可判断正误；②列出一元二次方程：求出值即可判断正误；③列出二次函数解析式 ，根据最值求法即可判断正误；④列出二次函数解析式 ，求得扇形面积的最大值，即可判断正误． 【详解】解：图①，设边长为，则边长为， 当时， ， ∴， ∵， 故①不正确； ∵菜园面积为 ∴， 整理得： 解得： 或， ∴或， ∵时， ， 满足，故②正确； 设矩形菜园的面积为 根据题意得：， ， ∴当时， 有最大值，最大值为，故③正确； 如图②，设则弧长， ， ， ∴当时， 有最大值，最大值为， ∴方案二围成扇形菜园的最大面积等于方案一围成矩形菜园的最大面积. 故④不正确. ∴正确结论是②③. 故答案为： ②③． 27．（24-25九年级上·青海西宁·期中）土族盘绣是青海省互助县土族民间传统美术，国家非物质文化遗产之一，在青海省都兰县发掘的土族先祖吐谷浑墓葬中，出现了类似盘绣的绣品，说明4世纪左右盘绣工艺已经出现．小花的妈妈想设计一幅周长为8米的矩形盘绣作品，已知盘绣绣作品的成本费用为每平方米2000元，设矩形的一边长为米，这幅作品的成本费用为元． (1)若该矩形作品的面积为时，该作品的两边长分别是多少？ (2)当取何值时，这幅作品的成本费用最大？为多少元？ 【答案】(1)该作品的两边长分别是1米和3米 (2)当时，这幅作品的成本费用最大，最大费用为8000元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元二次方程和二次函数的应用是解题关键． （1）先求出矩形的另一边长为米，再根据矩形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）先求出矩形的另一边长为米，再求出关于的函数关系式，然后求出自变量的取值范围，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：矩形的一边长为米，另一边长为（米）， ∵该矩形作品的面积为， ∴， 整理得：， 解得或， 当时，， 当时，， 答：该作品的两边长分别是1米和3米． （2）解：由题意得：矩形的一边长为米，另一边长为（米）， 则， ∵， ∴， 又∵二次函数中的， ∴在内，当时，取得最大值，最大值为8000， 答：当时，这幅作品的成本费用最大，最大费用为8000元． 28．（2025·四川内江·一模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设米． (1)求花园的面积S与x的函数关系式； (2)在P处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内；（含边界，不考虑树的粗细） ①若花园的面积为，求x的值； ②求花园面积S的最大值． 【答案】(1) (2)①x的值为12；②花园面积S的最大值为195平方米． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． （1）设米，则米，再根据矩形的面积公式即可得出S与x的函数关系式； （2）①根据要将这棵树围在花园内，且含边界，不考虑树的粗细，可求出x的取值范围为，再根据花园的面积为，即可列出关于x的一元二次方程，解出x，再结合x的取值范围取值即可；②根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设米，则米， ∴； （2）解：①∵要将这棵树围在花园内，且含边界，不考虑树的粗细， ∴，， ∴， 解得：． ∵花园的面积为， ∴， 解得：（舍）， ∴x的值为12； ②∵， 又∵，， ∴当时，S最大，最大值为平方米， ∴花园面积S的最大值为195平方米． 29．（2025·广东江门·一模）如图，学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼长60m的后墙，其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙8m外，还规划有机动车停车位． (1)若设车棚宽度AB为xm，则车棚长度BC为______m； (2)设自行车车棚面积为，车棚宽度AB为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (3)学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车棚进行扩建．在不对后墙进行改造的情况下，若希望扩建后车棚面积不小于405m，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位EF向外最多移动2m，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动1m 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确理解题意列出正确的不等式是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出自行车车棚面积为关于车棚宽度AB为的一次函数，再求出自变量的取值范围即可； （3）根据题意可得到不等式组，解不等式组，再结合实际需要进行解答即可． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，车棚面积为：， 由题意得到 解得， ∴ （3）解：不能，理由如下： 由（1）可得： ， 即 整理得到， ∴ 即或 解得， 当时， ∴机动车停车位向外移动1m； 答：有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动1m 30．（24-25九年级上·广东阳江·期中）如图，正方形边长为1，、、、分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与几何图形，读懂题意建立正确的函数关系是解题的关键．根据题意可知四个三角形的面积相等并用表示出其面积为，然后再表示出小正方形的面积，最后根据二次函数图象的性质得到其开口方向、对称轴和自变量的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，边长为1 ， 小正方形的面积 所求函数是一个开口向上，抛物线对称轴是直线，且取值范围是． 故选：B． 31．（2024·浙江杭州·三模）“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”． （1）如图1，夹在直线与之间的矩形与曲边形满足：，．一平行于的直线交矩形于M，N，交曲边形的曲边于，，且无论在何位置都有，则曲边形的面积为 ． （2）如图2，记函数的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为Ω，则Ω的面积为 ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了祖暅原理，正确理解祖暅原理，利用祖暅原理将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键． （1）根据祖暅原理，得出曲变形的面积等于矩形的面积； （2）根据祖暅原理，将阴影部分面积转化为三角形面积进行求解． 【详解】解：（1）∵祖暅原理， ∴曲变形的面积＝矩形的面积， ∴曲变形的面积， 故答案为：4； （2）如图， 联立方程组， 解得，， ∴, 同理可得，， ∴, 由祖暅原理得，如图，将二次函数的图象向上平移2个单位， ，，,， ， ∵平行于，平行于的直线在平移前后图象上截得的线段长是2， ∴平移前后抛物线与线段、所围成的图形的面积等于矩形的面积，阴影部分面积， 故答案为：3． 32．（2024·广西钦州·二模）如图，在边长为4的正方形，点为边靠近点的四等分点．点为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段．连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点G作于M，作于N，根据证，设，则，，根据勾股定理得出的表达式，求最小值即可． 【详解】解：过点G作于M，作于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵线段绕点F顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最小值，其最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练应用勾股定理得出关于x的代数式并求出最值是解题的关键． 33．（2025·湖北武汉·三模）问题背景：学校计划对校园里一块长，宽m的矩形场地进行绿化，如图1，将该矩形场地划分成5个区域，阴影部分宽度相同，空白部分宽度相同，阴影部分种植花卉，空白部分种植花卉（，两种花卉都要种植）．已知花卉的种植成本是9元，花卉的种植面积为，花卉的种植成本元，满足． 问题解决： (1)若种植花卉的成本为5200元，求此时花卉的种植面积； (2)学校按该方案对场地进行绿化，最多需要投入的种植成本是多少元？ (3)若学校计划投入不超过10000元种植这两种花卉，且种花卉种植面积不少于，直接写出每块阴影部分宽的取值范围． 【答案】(1) (2)10800元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的运用，不等式的应用等知识，解题的关键是∶ （1）把代入，求出B的种植面积，然后用总面积减去B的种植面积即可求解； （2）设种植总成本为元，则，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）每块阴影部分的宽为，则每块空白区域的宽为，花卉的种植总费用为，空白区域总面积为，种花卉种植成本为（元）．花卉的种植总费用为，然后根据“投入不超过10000元种植这两种花卉，且种花卉种植面积不少于”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得或（舍）， ． 答：花卉的种植面积为； （2）解∶ 设种植总成本为元， 则， 当时，取最大值为10800元； （3）解∶每块阴影部分的宽为，则每块空白区域的宽为，花卉的种植总费用为，空白区域总面积为，种花卉种植成本为（元）．花卉的种植总费用为， 由题意，得， ， ． ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.3实际问题与二次函数（1）面积问题 题型一、二次函数与一面靠墙面积问题 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为 ． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）为了深入推进劳动教育，开展劳动实践活动，某校打算建一个如图所示的矩形菜地．菜地的一面利用学校边墙（墙长），其他三面用栅栏围住，但要开一扇宽的进出口（不需要栅栏），已知栅栏的总长度为，求矩形菜地的面积最大为多少平方米（栅栏的宽度忽略不计） 4．（24-25九年级下·江苏徐州·开学考试）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙，墙的长度为13m，另外三面用棚栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为m（如图）． (1)若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 5．（2025·湖北宜昌·一模）九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 6．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个如图所示的矩形羊圈，已知房屋外墙，设矩形的边，面积为 (1)请用含有x表示的长度． (2)若当为多少米时，羊圈的面积S最大？最大值是多少？ 题型二、二次函数与两面靠墙面积问题 7．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，利用一个直角墙角修建一个矩形储料场，若矩形的周长等于40．求该储料场的最大面积． 8．（23-24九年级上·山东烟台·期末）为充分发挥劳动教育的综合育人功能，某校想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围出一块矩形蔬菜种植园（篱笆只围两边）． (1)若种植园的面积为，求的长； (2)点P处有一棵银杏树，它与墙的距离分别是和，要将这棵树围在种植园内（含边界，不考虑树的粗细），求种植园面积的最大值． 9．（23-24九年级上·广西防城港·期末）【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形的面积S与边长x（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可． (1)请用含有x的代数式表示的长； (2)花园的面积能否为？若能，求出x的值，若不能，请说明理由； (3)求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大？ 题型三、二次函数与常见几何图形的面积问题 10．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为x（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，有一矩形纸片，，，将该矩形纸片沿垂直于的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图，把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计）盒子底面积与剪去的小正方形边长之间的函数表达式是 （不需要写自变量取值范围）． 13．（24-25九年级下·全国·假期作业）如图，一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，剩余面积种植庄稼，设剩余面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 14．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，其中，且．如果新建墙总长15m． (1)设储料场面积为，的长为，则的长为______，的长为______m，与的函数关系式______． (2)当取何值时，才能使储料场的面积最大？ 15．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： (2)当直道为________米时，足球场的面积最大． 16．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 题型四、二次函数与面积最优化问题 17．（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点分别在上．设，取何值时，使剪出的矩形的面积最大，并求出矩形的最大面积． 18．（23-24九年级上·广东广州·期末）校艺术节上，甲同学用腰长为的等腰直角三角形卡纸裁剪出如图所示的矩形纸片，且矩形的四个顶点都在的边上．    (1)若甲裁剪出来的矩形纸片周长是纸片周长的一半，那么这个矩形纸片的宽是___________cm； (2)设的长度为，矩形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②求矩形的面积的最大值． 题型五、二次函数与动点面积问题 19．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，点分别从出发向、匀速运动，若的速度大小相等，则的面积最大为（    ） A． B． C．8 D． 20．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是 ． 21．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 22．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？ (1)用含的式子表示： ___________，___________，___________． (2)写出关于的函数解析式及的取值范围． 23．（2025·天津红桥·二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·天津和平·一模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12． 其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是小关设计的风筝草图，其中风筝的两根龙骨和互相垂直，若他计划用长为的毛竹制作风筝的龙骨（不计损耗），且要求，则当骨架的长为 cm时，四边形的面积最大，此时的最大面积是 ． 26．（2025·福建漳州·模拟预测）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙， 其余的三边，， 用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为； ④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 27．（24-25九年级上·青海西宁·期中）土族盘绣是青海省互助县土族民间传统美术，国家非物质文化遗产之一，在青海省都兰县发掘的土族先祖吐谷浑墓葬中，出现了类似盘绣的绣品，说明4世纪左右盘绣工艺已经出现．小花的妈妈想设计一幅周长为8米的矩形盘绣作品，已知盘绣绣作品的成本费用为每平方米2000元，设矩形的一边长为米，这幅作品的成本费用为元． (1)若该矩形作品的面积为时，该作品的两边长分别是多少？ (2)当取何值时，这幅作品的成本费用最大？为多少元？ 28．（2025·四川内江·一模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设米． (1)求花园的面积S与x的函数关系式； (2)在P处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内；（含边界，不考虑树的粗细） ①若花园的面积为，求x的值； ②求花园面积S的最大值． 29．（2025·广东江门·一模）如图，学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼长60m的后墙，其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙8m外，还规划有机动车停车位． (1)若设车棚宽度AB为xm，则车棚长度BC为______m； (2)设自行车车棚面积为，车棚宽度AB为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (3)学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车棚进行扩建．在不对后墙进行改造的情况下，若希望扩建后车棚面积不小于405m，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位EF向外最多移动2m，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由． 30．（24-25九年级上·广东阳江·期中）如图，正方形边长为1，、、、分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 31．（2024·浙江杭州·三模）“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”． （1）如图1，夹在直线与之间的矩形与曲边形满足：，．一平行于的直线交矩形于M，N，交曲边形的曲边于，，且无论在何位置都有，则曲边形的面积为 ． （2）如图2，记函数的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为Ω，则Ω的面积为 ． 32．（2024·广西钦州·二模）如图，在边长为4的正方形，点为边靠近点的四等分点．点为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段．连接，则的最小值为 ． 33．（2025·湖北武汉·三模）问题背景：学校计划对校园里一块长，宽m的矩形场地进行绿化，如图1，将该矩形场地划分成5个区域，阴影部分宽度相同，空白部分宽度相同，阴影部分种植花卉，空白部分种植花卉（，两种花卉都要种植）．已知花卉的种植成本是9元，花卉的种植面积为，花卉的种植成本元，满足． 问题解决： (1)若种植花卉的成本为5200元，求此时花卉的种植面积； (2)学校按该方案对场地进行绿化，最多需要投入的种植成本是多少元？ (3)若学校计划投入不超过10000元种植这两种花卉，且种花卉种植面积不少于，直接写出每块阴影部分宽的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$