5.5 三元一次方程组 预习 2025—2026学年北师大版数学八年级上册

2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第五章 二元一次方程组 5. 三元一次方程组 知识点预习 1. 三元一次方程（组）的定义 三元一次方程：含有 三个未知数，且含有未知数的项的 次数均为 1 的方程。 一般形式：（a , b , c 不全为零）。 三元一次方程组：由 三个三元一次方程 组成，共含 三个相同的未知数。 方程组的解：同时满足三个方程的 公共解。 2. 三元一次方程组的解法：消元法 核心思路：三元 → 二元 → 一元（逐步消元）。 步骤： （1）目标选择：选定一个未知数作为消元目标； （2）首次消元：将三元一次方程组转化为二元一次方程组； （3）解二元方程组； （4）回代求解； （5）检验：验证解是否满足原方程组（可省略书写）。 消元策略的灵活性： 代入消元法——适用于某一系数为 1 或 -1 时； 加减消元法——直接加减方程消元。 3. 实际应用题型解析 古代算题类（《九章算术》的“上中下禾”问题）： 数字问题（随堂练习1） 4. 总结 本节通过古代算题（《九章算术》）和数字问题引入三元一次方程组： 概念：掌握三元一次方程及方程组的形式（三个未知数、次数为1）。 解法核心：消元法（代入法或加减法）实现 三元→二元→一元 的转化。 应用：古代实际问题抽象为方程组；数字问题中的等量关系建模。 数学思想：化归思想，将复杂问题逐步简化；程序化思想，机械化的算法步骤（源于《九章算术》）。 解题口诀 三元化二元：选定目标先消元，代入加减灵活选。 二元再化一：继续消元莫畏难，回代检验解周全。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．方程组的解x、y的值互为相反数，则k的值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【解答】解：解方程组得： 根据题意得：（2k﹣6）+（4﹣k）＝0 解得：k＝2 故选：B． 2．如果方程组的解是方程3x﹣5y﹣28＝0的一个解，则a＝（　　） A．2.1 B．3 C．7 D．6 【解答】解：解方程组得． 代入方程3x﹣5y﹣28＝0得10a28＝0，解得a＝2.1． 故选：A． 3．若方程组的解也是3x﹣ay＝8的一个解，则a的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣3 D．4 【解答】解：解出方程组， 得， 代入3x﹣ay＝8，得6﹣a＝8， 解得a＝﹣2． 故选：B． 4．实数a，b，c满足等式2a+b+c＝﹣1，a+2b﹣c＝4，则102a•100b＝（　　） A．20 B．100 C．200 D．1000 【解答】解：∵实数a，b，c满足等式2a+b+c＝﹣1，a+2b﹣c＝4， ∴两个方程相加得：3a+3b＝3， ∴a+b＝1， ∴102a•100b ＝100a•100b ＝100a+b ＝1001 ＝100， 故选：B． 5．若方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【解答】解：已知方程组， 将三个方程相加可得2x+2y+2z＝18， 则x+y+z＝9， ∵方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6， ∴3k＝6+x+y+z＝6+9＝15， ∴k＝5， 故选：C． 6．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．128元 B．130元 C．150元 D．160元 【解答】解：设甲商品的单价是x元，乙商品的单价是y元，丙商品的单价是z元， 根据题意得：， （①+②）÷4得：x+y+z＝128， ∴购买甲、乙、丙三种商品各一件共需128元． 故选：A． 7．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若4x+y﹣z为定值，则t与m关系（　　） A．m﹣2t＝﹣1 B．m+2t＝1 C．2m﹣t＝1 D．2t+m＝﹣1 【解答】解：由题意得：， ①×2+②得：4x+y+2tz+mz＝8， ∵4x+y﹣z为定值， ∴2t+m＝﹣1． 故选：D． 8．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（　　） A．20元 B．30元 C．40元 D．50元 【解答】解：设一等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，三等奖奖品的单价是z元，根据题意得， ， ①×2﹣②得，6y＝180， 解得：y＝30， 故选：B． 9．解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（　　） A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③ 【解答】解：解三元一次方程组，如果消掉未知数z， 则应对方程组变形为②﹣①，②﹣③． 故选：C． 10．小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表．现各买一杯，需要花费的钱数是（　　） 口味 次数 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 A．41元 B．31元 C．40元 D．30元 【解答】解：设小明购买茉莉口味奶茶一杯需要花费x元，购买桂花口味奶茶一杯需要花费y元，购买蜜桃口味奶茶一杯需要花费z元， 由题意得：， ①+②得：6x+6y+6z＝246， ∴x+y+z＝41， 即现各买一杯，需要花费41元， 故选：A． 二、填空题预习（24分） 11．已知：，且3a+2b﹣4c＝9，则a+b+c的值等于 　﹣15　 ． 【解答】解：设k， 则a＝3k，b＝5k，c＝7k， 代入3a+2b﹣4c＝9， 得9k+10k﹣28k＝9， 解得：k＝﹣1， ∴a＝﹣3，b＝﹣5，c＝﹣7， 于是a+b+c＝﹣3﹣5﹣7＝﹣15． 故本题答案为：﹣15． 12．若方程组的解满足x+y，则m＝　0　 ． 【解答】解：， ①+②可得5x+5y＝2m+1， 由x+y可得：5x+5y＝1， 于是2m+1＝1， ∴m＝0． 故本题答案为：0． 13．如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b＝　1　 ． 【解答】解：依题意，知是方程组的解， ∴ ①+②，得7a+7b＝7， 方程两边都除以7，得a+b＝1． 14．若3x+7y+z＝1，4x+10y+z＝2005，则x+3y＝　2004　 ． 【解答】解：， ②﹣①得：x+3y＝2004， 故答案为：2004． 15．某社交平台上有这样一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是 　130　 cm． 【解答】解：设桌子的高度为x cm，站立的小猫的高度为y cm，趴着的小猫的高度为z cm， 由第一个图可知，x+y﹣z＝150， 由第二个图可知，x﹣y+z＝110，所以根据题意列三元一次方程组得， ， 两式相加可得2x＝260， 解得x＝130， 所以桌子的高度应该为130cm． 故答案为：130． 16．将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：cm），则桌子的高度h＝　80　 cm． 【解答】解：设长方体木块的长为x cm，高为y cm，而桌子的高度为h cm， 根据题意列三元一次方程组得，， 由①﹣②，得60﹣h＝h﹣100， 整理得，2h＝160， 解得h＝80， 即桌子的高度为80cm． 故答案为：80． 三、解答题预习（46分） 17．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当x与x时，y的值相等．求a、b、c的值． 【解答】解：根据题意得：， ①﹣②得：2b＝﹣22，即b＝﹣11， 将b＝﹣11代入③得：a＝6， 将a＝6，b＝﹣11代入①得：c＝3， 则a＝6，b＝﹣11，c＝3． 18．解方程组：． 【解答】解：， ①×2+②×3得13x+8y＝55④， ③﹣②得x﹣5y＝﹣7⑤， 由④⑤组成方程组得， 把x＝3，y＝2代入①得6+2+3z＝11， 解得z＝1． 所以原方程组的解为． 19．[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组． 解：把②代入①得，x+2×1＝3，解得x＝1． 把x＝1代入②得y＝0， 所以方程组的解为． （2）已知，求x+y+z的值． 解：①+②，得10x+10y+10z＝40，③ ③÷10，得x+y+z＝4． [类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若，求x+y+z的值． 【解答】解：（1）， 把②代入①得：3×2+4＝2a， 解得：a＝5， 把a＝5代入②得：5﹣b＝2， 解得：b＝3， ∴原方程组的解为：； （2）， ①﹣②得：4x+4y+4z＝4， ∴x+y+z＝1， ∴x+y+z的值为1． 20．【阅读理解】在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把①代入②得：x+3×2＝10 x＝4 把x＝4代入①得：y＝2 ∴方程组的解为． （2）已知， 求x+y+z的值． 解：①+②得：4x+4y+4z＝24③ ③，得：x+y+z＝6 【类比迁移】 （1）直接写出方程组的解； （2）若，求x+y+z的值； 【实际应用】 （3）端午节是中华民族传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，某食品店推出的肉粽、豆沙粽和蛋黄粽深受顾客喜欢，现采购1个肉粽、2个豆沙粽和3个蛋黄粽需要45元；3个肉粽、5个豆沙粽和7个蛋黄粽需要113元，那么采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要多少钱？ 【解答】解：（1）， 把②代入①得：5×2+4＝7a， ∴a＝2， 把a＝2代入②得：2+b＝0， ∴b＝0， ∴方程组的解为； （2）， ①﹣②得：2x+2y+2z＝6③， ③得：x+y+z＝3； （3）设肉粽的单价为m元，豆沙粽的单价为n元，蛋黄粽的单价为t元， 根据题意得：， ②﹣①×2得：m+n+t＝23③， ③×10得：10m+10n+10t＝230． 答：采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要230元钱． 21．请阅读下面对话，并解答问题： 一天晚饭后小明与隔壁小店老板闲聊，小店老板说：我经销A、B两种商品．A、B两种商品的进货单价之和为5元；A商品零售价比进货单价多1元，B商品零售价比进货单价的2倍少1元，按零售价购买A商品3件和B商品2件，共19元．你知道A、B两种商品的进货单价各多少元吗？小明想了想很快回答了小店老板的问题．并给小店老板出了个问题：上次我去逛超市，买甲、乙、丙三样商品，拿了4件甲商品，7件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我共8元，我没带那么多钱，就改成了买2件甲商品，3件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我要6元，可我钱还是不够，我算了算，我的钱恰好够买甲、乙、丙商品各一件，你知我那天带了多少钱吗？小店老板晕了，叹道：这我那知呀！后生可畏，后生可畏啊！ 问题： （1）你知小明是怎样求解小店老板的问题的吗？请写出求解过程． （2）小明给老板的问题真的不能解决吗？若能解，请写出求解过程． 【解答】解：（1）设A商品进货价x元，B商品进货价y元， 根据题意得， 解得． 答：A、B两种商品的进货单价分别为2元，3元； （2）设甲商品售价为a元，乙商品售价为b元，丙商品售价为c元， 根据题意得， ①﹣②得2a+4b＝2，则a+2b＝1③， ②﹣③得a+b+c＝5． 答：小明那天带了5元钱． 22．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将x+y看成一个整体，则②可变为3（x+y）+y＝10，从而解得y＝1．请用整体思想完成： （1）已知关于a，b，c的三元一次方程组，则 a+b+c＝　7　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于p，q的二元一次方程组的解为　　 ； （3）关于x，y的二元一次方程组满足x2﹣y2＞0，求k的取值范围． 【解答】解：（1）， ①+②+③得：2a+2b+2c＝14， 解得：a+b+c＝7； 故答案为：7． （2）根据题意，得， 解得， 故答案为：； （3）， ①+②得5x+5y＝6k﹣1，即x+y， ②﹣①得x﹣y＝4k+1， ∵x2﹣y2＞0， ∴（x+y）（x﹣y）＞0， ∴或， ∴或， ∴k或k． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第五章 二元一次方程组 5. 三元一次方程组 知识点预习 1. 三元一次方程（组）的定义 三元一次方程：含有 三个未知数，且含有未知数的项的 次数均为 1 的方程。 一般形式：（a , b , c 不全为零）。 三元一次方程组：由 三个三元一次方程 组成，共含 三个相同的未知数。 方程组的解：同时满足三个方程的 公共解。 2. 三元一次方程组的解法：消元法 核心思路：三元 → 二元 → 一元（逐步消元）。 步骤： （1）目标选择：选定一个未知数作为消元目标； （2）首次消元：将三元一次方程组转化为二元一次方程组； （3）解二元方程组； （4）回代求解； （5）检验：验证解是否满足原方程组（可省略书写）。 消元策略的灵活性： 代入消元法——适用于某一系数为 1 或 -1 时； 加减消元法——直接加减方程消元。 3. 实际应用题型解析 古代算题类（《九章算术》的“上中下禾”问题）： 数字问题（随堂练习1） 4. 总结 本节通过古代算题（《九章算术》）和数字问题引入三元一次方程组： 概念：掌握三元一次方程及方程组的形式（三个未知数、次数为1）。 解法核心：消元法（代入法或加减法）实现 三元→二元→一元 的转化。 应用：古代实际问题抽象为方程组；数字问题中的等量关系建模。 数学思想：化归思想，将复杂问题逐步简化；程序化思想，机械化的算法步骤（源于《九章算术》）。 解题口诀 三元化二元：选定目标先消元，代入加减灵活选。 二元再化一：继续消元莫畏难，回代检验解周全。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．方程组的解x、y的值互为相反数，则k的值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 2．如果方程组的解是方程3x﹣5y﹣28＝0的一个解，则a＝（　　） A．2.1 B．3 C．7 D．6 3．若方程组的解也是3x﹣ay＝8的一个解，则a的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣3 D．4 4．实数a，b，c满足等式2a+b+c＝﹣1，a+2b﹣c＝4，则102a•100b＝（　　） A．20 B．100 C．200 D．1000 5．若方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 6．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．128元 B．130元 C．150元 D．160元 7．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若4x+y﹣z为定值，则t与m关系（　　） A．m﹣2t＝﹣1 B．m+2t＝1 C．2m﹣t＝1 D．2t+m＝﹣1 8．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（　　） A．20元 B．30元 C．40元 D．50元 9．解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（　　） A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③ 10．小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表．现各买一杯，需要花费的钱数是（　　） 口味 次数 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 A．41元 B．31元 C．40元 D．30元 二、填空题预习（24分） 11．已知：，且3a+2b﹣4c＝9，则a+b+c的值等于 　 　 ． 12．若方程组的解满足x+y，则m＝　 　 ． 13．如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b＝　 　 ． 14．若3x+7y+z＝1，4x+10y+z＝2005，则x+3y＝　 　 ． 15．某社交平台上有这样一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是 　 　 cm． 16．将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：cm），则桌子的高度h＝　 　 cm． 三、解答题预习（46分） 17．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当x与x时，y的值相等．求a、b、c的值． 18．解方程组：． 19．[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组． 解：把②代入①得，x+2×1＝3，解得x＝1． 把x＝1代入②得y＝0， 所以方程组的解为． （2）已知，求x+y+z的值． 解：①+②，得10x+10y+10z＝40，③ ③÷10，得x+y+z＝4． [类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若，求x+y+z的值． 20．【阅读理解】在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把①代入②得：x+3×2＝10 x＝4 把x＝4代入①得：y＝2 ∴方程组的解为． （2）已知， 求x+y+z的值． 解：①+②得：4x+4y+4z＝24③ ③，得：x+y+z＝6 【类比迁移】 （1）直接写出方程组的解； （2）若，求x+y+z的值； 【实际应用】 （3）端午节是中华民族传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，某食品店推出的肉粽、豆沙粽和蛋黄粽深受顾客喜欢，现采购1个肉粽、2个豆沙粽和3个蛋黄粽需要45元；3个肉粽、5个豆沙粽和7个蛋黄粽需要113元，那么采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要多少钱？ 21．请阅读下面对话，并解答问题： 一天晚饭后小明与隔壁小店老板闲聊，小店老板说：我经销A、B两种商品．A、B两种商品的进货单价之和为5元；A商品零售价比进货单价多1元，B商品零售价比进货单价的2倍少1元，按零售价购买A商品3件和B商品2件，共19元．你知道A、B两种商品的进货单价各多少元吗？小明想了想很快回答了小店老板的问题．并给小店老板出了个问题：上次我去逛超市，买甲、乙、丙三样商品，拿了4件甲商品，7件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我共8元，我没带那么多钱，就改成了买2件甲商品，3件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我要6元，可我钱还是不够，我算了算，我的钱恰好够买甲、乙、丙商品各一件，你知我那天带了多少钱吗？小店老板晕了，叹道：这我那知呀！后生可畏，后生可畏啊！ 问题： （1）你知小明是怎样求解小店老板的问题的吗？请写出求解过程． （2）小明给老板的问题真的不能解决吗？若能解，请写出求解过程． 22．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将x+y看成一个整体，则②可变为3（x+y）+y＝10，从而解得y＝1．请用整体思想完成： （1）已知关于a，b，c的三元一次方程组，则 a+b+c＝　 　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于p，q的二元一次方程组的解为　 　 ； （3）关于x，y的二元一次方程组满足x2﹣y2＞0，求k的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$